SISTEMA DIÉDRICO. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERAS MAGNITUDES. DIBUJO...

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DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO PARALELISMO PERPENDICULARIDAD DISTANCIAS VERDADERA MAGNITUD T9. SISTEMA DIÉDRICO II P´= P´´ Q´´ r´´ Hr´´ Vh´ Vh” h” Vr´´ Vr´ Hr´ a2 b2 b1 a1

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Ejercicios resueltos de paralelismo, perpendicularidad, distancias y verdadera magnitud entre planos y entre rectas y planos en el sistema diédrico. Está enfocado al alumnado de Dibujo Técnico 2º de Bachillerato

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DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO

PARALELISMO PERPENDICULARIDAD

DISTANCIAS VERDADERA MAGNITUD

T9. SISTEMA DIÉDRICO II

P´= P´´Q´´

r´´

Hr´´ Vh´

Vh” h”

Vr´´

Vr´

Hr´

a2 b2

b1

a1

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Para que dos rectas sean paralelas en el espacio, se tiene que cumplir que sus proyecciones sobre el PV y el PH sean paralelas (salvo en las rectas de perfil)

V´´

V´´

H´´V´ V´

s´´

r´´

r

s

H´´ H´´V´

V´´

V´´

r´ s´

s´´

r´´

V´H´´

PARALELISMO ENTRE RECTAS

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Trazado de una recta paralela a la recta r, que contenga al punto P

r´´

P´´

PARALELISMO ENTRE RECTAS

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PARALELISMO ENTRE RECTAS

Hacemos dos paralelas a r´y r´´ respectivamente, que pasen por P´y P´´.Dichas rectas serán las proyecciones s´y s´´ de la recta que buscamos

r´´

s´´

P´´

Trazado de una recta paralela a la recta r que contenga al punto P

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PARALELISMO ENTRE PLANOS

Los planos paralelos tienen paralelas las trazas del mismo nombre

a´´

a´´b´´

b´´

b´a´

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PARALELISMO ENTRE PLANOS

Trazado del plano paralelo a otro alfa, que pase por un punto P dado

P´´

a´´

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PARALELISMO ENTRE PLANOS

Trazado del plano paralelo a otro alfa, que pase por un punto P dado

1. Trazamos una recta r horizontal de plano, cuya traza horizontal es paralela ala traza vertical del plano

a´´

P´´ r´´

Vr´´

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PARALELISMO ENTRE PLANOS

Trazado del plano paralelo a otro alfa, que pase por un punto P dado

2. Hemos trazado la horizontal de plano para asegurarnos que el plano que tracemos ahora, paralelo a a, contenga a P, así que

trazamos una paralela a a´´ que pase por Vh´´. Esta recta será b´´, traza vertical del plano que buscamos.

a´´ b´´

P´´Vh´´ h´´

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PARALELISMO ENTRE PLANOS

Trazado del plano paralelo a otro alfa, que pase por un punto P dado

3. Por último, trazamos una paralela a a´´ por donde la traza vertical b´´ ha cortado a la LT, y ya tenemos b´, trazahorizontal del plano solución.

a´´ b´´

b´a´

P´´Vh´´ h´´

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1. Trazar la recta perpendicular al plano que forman las rectas r y s, por el punto P dado

r´´

s´´

P´´

A´´

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1. Trazar la recta perpendicular al plano que forman las rectas r y s, por el punto P dado

r´´

a´´ 1´´

2´´

2´r´

- h´´

s´´

1. Trazamos el plano auxiliar paralelo al horizontal, a´´. Dicho plano corta con el plano que forman las rectas r y s en la recta horizontal de plano h´- h´´, que intersecciona con r y s en los puntos 1 y 2

P´´

A´´

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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1. Trazar la recta perpendicular al plano que forman las rectas r y s, por el punto P dado

2. Trazamos el plano auxiliar paralelo al vertical, b´. Dicho plano corta con el plano que forman las rectas r y s en la recta frontal de plano f´- f´´, que intersecciona con r y s en los puntos 3 y 4

P´´

r´´

a´´

1´´

3´´

3´ 4´

4´´

2´´

r´h´

f´´

-f´

- h´´

s´´

A´´

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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1. Trazar la recta perpendicular al plano que forman las rectas r y s, por el punto P dado

3. La perpendicular trazada a f´´ desde P´´ será la traza t´´ de la recta que buscamos perpendicular al plano formado por las rectas r y s.

P´´

t´´

r´´

a´´

1´´

3´´

3´ 4´

4´´

2´´

r´h´

f´´

-f´

- h´´

s´´

A´´

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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1. Trazar la recta perpendicular al plano que forman las rectas r y s, por el punto P dado

4. La perpendicular trazada a h´ desde P´ será la traza t´ de la recta que buscamos.

P´´

t´´

r´´

a´´

1´´

3´´

3´ 4´

4´´

2´´

r´h´

f´´

-f´

- h´´

s´´

A´´

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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2. Trazar un plano perpendicular a la recta r por el punto P

r´´

P´´

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2. Trazar un plano perpendicular a la recta r por el punto P

r´´

P´´

h´´

Vh´

1. De antemano sabemos que las trazas del plano serán perpendiculares a las proyecciones de la recta.Por tanto, pasamos por P, en primer lugar, una horizontal de plano h cuya traza horizontal sea

perpendicular a la traza r´.

Vh´´

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2. Trazar un plano perpendicular a la recta r por el punto P

r´´

P´´

h´´

f´´

Hf´

Hf´´

Vh´

2. En segundo lugar, trazamos la frontal f, cuya traza f´´es perpendicular a r´´.

Vh´´

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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2. Trazar un plano perpendicular a la recta r por el punto P

r´´

P´´

h´´

f´´

Hf´

Hf´´

Vh´´

Vh´

P´a´

a´´

3. Las trazas a1 y a2 del plano que buscamospasarán por Vh´´ y Hf´, y serán perpendiculares a

las trazas de la recta r´y r´´

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3. Dibuja las trazas del plano que contenga al punto P y sea paralelo a las rectas a y b

a´´P´´

b´´

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3. Dibuja las trazas del plano que contenga al punto P y sea paralelo a las rectas a y b

a´´

Hr´´Vr´

P´´

b´´

1. Para que un plano sea paralelo a una recta, el plano ha de contener al menos una recta paralela a ella.Así, trazamos las rectas r (paralela a la recta a) y s (paralela a la recta b).

r´´

Vr´´

Hr´

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3. Dibuja las trazas del plano que contenga al punto P y sea paralelo a las rectas a y b

a´´

r´´

Hr´´Hs´´

Hs´

Vs´ Vr´

P´´

b´´

1. Para que un plano sea paralelo a una recta, el plano ha de contener al menos una recta paralela a ella.Así, trazamos las rectas r (paralela a la recta a) y s (paralela a la recta b).

s´´

Vr´´

Vs´´

Hr´

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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3. Dibuja las trazas del plano que contenga al punto P y sea paralelo a las rectas a y b

a´´

r´´s´´

Hr´´Hs´´

Hs´

Vr´´

Vs´´

Vs´ Vr´

Hr´

P´´

a´´

b´´

2. La unión de Hs´con Hr´y de Vs´´ con Vr´´ nos da las trazas a1 y a2, trazas del plano a, que contiene a ambas rectas

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4.Determinar las trazas del plano que contenga al punto P (P´= P´´)y sea paralelo al definido por la recta r (r´-r´´) y el punto Q (Q´-Q´´)

P´= P´´Q´´

r´´

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4.Determinar las trazas del plano que contenga al punto P (P´= P´´)y sea paralelo al definido por la recta r (r´-r´´) y el punto Q (Q´-Q´´)

P´= P´´Q´´

a2

a1

r´´

1. En primer lugar determinamos el plano a, que contiene a la recta r

y al punto Q (el punto Q pertenece al plano vertical, por tanto a2

pasará por Q”)

Hr´´

Vr´´

Vr´

Hr´

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4.Determinar las trazas del plano que contenga al punto P (P´= P´´)y sea paralelo al definido por la recta r (r´-r´´) y el punto Q (Q´-Q´´)

P´= P´´Q´´

r´´

2. Sabemos que dos planos paralelos en el espacio tienen

sus trazas paralelas entre sí. Para hallar las trazas de un plano bque sea paralelo a a y contenga al punto P, trazamos una horizontal

(podría ser una frontal) por P de forma que h1 sea paralela a a1

Hr´´ Vh´

Vh” h”

Vr´´

Vr´

Hr´

a2

a1

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4.Determinar las trazas del plano que contenga al punto P (P´= P´´)y sea paralelo al definido por la recta r (r´-r´´) y el punto Q (Q´-Q´´)

P´= P´´Q´´

r´´

3. Al obtener Vh” podemos trazar b2, que pasará por dicho punto

y será paralela a a2

Hr´´ Vh´

Vh” h”

Vr´´

Vr´

Hr´

a2 b2

a1

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4.Determinar las trazas del plano que contenga al punto P (P´= P´´)y sea paralelo al definido por la recta r (r´-r´´) y el punto Q (Q´-Q´´)

P´= P´´Q´´

r´´

4. b1 es paralela a a1 y a h´

Hr´´ Vh´

Vh” h”

Vr´´

Vr´

Hr´

a2 b2

b1

a1

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5. Hallar las trazas del plano a, que contenga al punto P (P´- P´´),

sea paralelo a la recta a (a´-a´´) y perpendicular al plano w (w1- 2)w

P´´

w´´a´´

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5. Hallar las trazas del plano a, que contenga al punto P (P´- P´´),

sea paralelo a la recta a (a´-a´´) y perpendicular al plano w (w1- 2)w

P´´

w´´a´´ r”

1. Para que el plano a que buscamos sea paralelo a la recta a, debe contener

una recta r paralela a la recta a. Si además, ha de ser perpendicular a

w,deberá contener a una recta s, perpendicular a éste.

Empezamos por hacer la recta r paralela a la recta a

Hh”

Vr”

Vr´

Hr´

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5. Hallar las trazas del plano a, que contenga al punto P (P´- P´´),

sea paralelo a la recta a (a´-a´´) y perpendicular al plano w (w1- 2)w

P´´

w´´a´´ r”

s”

2. Trazamos la recta s, perpendicular a w

Hr” Hs” Vs´

Vs”

Vr”

Vr´

Hr´

Hs´

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5. Hallar las trazas del plano a, que contenga al punto P (P´- P´´),

sea paralelo a la recta a (a´-a´´) y perpendicular al plano w (w1- 2)w

P´´

w´´a´´ r”

s”

3. Trazadas las rectas r y s, hallamos el plano que las contiene, a,que será el plano buscado, ya que contiene el punto P, es paralelo a r

y perpendicular al plano w. Unimos Vr” con Vs” y obtenemos a”

Hr” Hs” Vs´

Vs”

Vr”

Vr´

Hr´

a2

Hs´

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5. Hallar las trazas del plano a, que contenga al punto P (P´- P´´),

sea paralelo a la recta a (a´-a´´) y perpendicular al plano w (w1- 2)w

P´´

w´´a´´ r”

s”

4. Unimos Hr´ con Hs´, comprobando que están alineados con la unión

de la traza a1 y la LT. Ésta será la traza horizontal a1. Así se acaba de solucionar el problema.

Hr” Hs” Vs´

Vs”

Hs´

Vr”

Vr´

Hr´

a2

a1

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6. Calcula las proyecciones de la recta que pasa por el punto P (P´- P´´), y corta perpendicularmente a la recta t (t´-t´´)

t´´

P”

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6. Calcula las proyecciones de la recta que pasa por el punto P (P´- P´´), y corta perpendicularmente a la recta t (t´-t´´)

t´P”

t´´

1. Para hallar la solución el primer paso será trazar un plano a que contenga al punto P (tercer cuadrante) y sea perpendicular a la recta t.

. Para ello, nos ayudamos trazando por P la horizontal de plano h,cuya traza horizontal es perpendicular a t´. Una vez tenemos Vh” trazamos una

perpendicular a t” por Vh” y ya tenemos a2. Luego, trazamos una perpendicular

a t´ desde donde a1 corta a la LT y obtenemos a´.

Vh´

Vh” h”

a1

a2

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6. Calcula las proyecciones de la recta que pasa por el punto P (P´- P´´), y corta perpendicularmente a la recta t (t´-t´´)

t´P”

t´´

2. Trazamos un plano b, proyectante horizontal, que contiene a la recta tdada.

Vh´

Vh” h”

h´a2

b2

=b2

a1

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6. Calcula las proyecciones de la recta que pasa por el punto P (P´- P´´), y corta perpendicularmente a la recta t (t´-t´´)

t´P”

t´´

i”

Q”

Q

3. La intersección de a y b es la recta i. Donde i corta a la recta t

hallamos el punto Q de intersección entre la recta t y el plano a.

Vh´

Vh” h”

h´a2

b2

=b2 = i´

a1

Vi”

Vi´

Hi´

Hi”

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6. Calcula las proyecciones de la recta que pasa por el punto P (P´- P´´), y corta perpendicularmente a la recta t (t´-t´´)

t´P”

t´´r”

i”

Q”

4. La recta r, resultante de unir los puntos Q y P, es la solución quebuscábamos

Vh´

Vi”

Vi´

Hi´

Hi”

Vh” h”

h´a2

b2

=b2 = i´

a1

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1. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) alplano definido por la recta a (a´- a´´ )

P´´

a´´

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1. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) alplano definido por la recta a (a´- a´´ )

1. Dibujamos el plano a (a1-a2), del que la recta a es de máxima inclinación.Para ello, comenzamos a dibujar las trazas de la recta a

P´´

a´´

Va´

Ha´

Ha´´

Va´´

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1. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) alplano definido por la recta a (a´- a´´ )

2. Dibujamos el plano a (a1-a2). a2 es perpendicular a a”. Para hallar a1

unimos H1a con el punto donde a1 corta a la LT

P´´

a´´

Va´´

Va´

Ha´

Ha´´

a´´

a´´

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1. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) alplano definido por la recta a (a´- a´´ )

3. Trazamos la recta r, perpendicular al por el punto P plano a

r”

P´´

a´´

Va´´

Va´

Ha´

Ha´´

a´´

a´´

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1. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) alplano definido por la recta a (a´- a´´ )

4. Trazamos el plano auxiliar proyectante b, cuya traza vertical b2 coincide con r”.

r”=b2

b1

P´´

a´´

Va´´

a´´

a´´

Va´

Ha´

Ha´´

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1. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) alplano definido por la recta a (a´- a´´ )

5. Hallamos la recta intersección i entre a y b

r”=b2= i”

b1

P´´

a´´

Vi´

Vi”

Hi”

Hi´

Va´´

a´´

a´´

Va´

Ha´

Ha´´

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1. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) alplano definido por la recta a (a´- a´´ )

6. Hallamos el punto Q, punto intersección entre la recta r y el plano a.Para ello prolongamos r´ y donde corta a i´ obtenemos Q´. Una vez obtenemos

Q´ podemos obtener Q”, que estará en la traza r”=b”=i”

r”=b2= i”

b1

P´´

a´´

Vi´

Vi”

Hi”

Hi´

Va´´

a´´

a´´

Va´

Q”

Ha´

Ha´´

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1. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) alplano definido por la recta a (a´- a´´ )

7. Los segmentos P´Q´ y P”Q” son las proyecciones d´ d” de la distancia

del punto P al plano a. Ahora sólo hay que hallar la magnitud realdel segmento d

r”=b2= i”

b1

P´´

a´´

Vi´

Vi”

Hi”

Hi´

Va´´

a´´

a´´

Va´

Q”

d”

Ha´

Ha´´

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1. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) alplano definido por la recta a (a´- a´´ )

8. Para hallar la magnitud real de d, hallamos la distancia x (diferencia de cotas de P´a Q´)

r”=b2= i”

b1

P´´

a´´

Vi´

Vi”

Hi”

Hi´

Va´´

a´´

a´´

Va´

Q”

d”

Ha´

Ha´´

a´x

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1. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) alplano definido por la recta a (a´- a´´ )

9. Trazamos una perpendicular a d” desde P”, y sobre dicha recta trasladamosel segmento x

r”=b2= i”

b1

P´´

a´´

Vi´

Vi”

Hi”

Hi´

Va´´

a´´

a´´

Va´

Q”

d”

Ha´

Ha´´

a´x

x

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1. Calcular, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) alplano definido por la recta a (a´- a´´ )

10. Unimos el extremo de x con q” y obtenemos la verdadera magnitud dela distancia d

r”=b2= i”

b1

P´´

a´´

Vi´

Vi”

Hi”

Hi´

Va´´

a´´

a´´

Va´

Q”

d”

d

Ha´

Ha´´

a´x

x

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2. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) a la recta t (t´- t´´ ), de la que se conocen las proyecciones de sus trazas

P´´

Vt´´

Ht´´-Vt´

Ht´

t´´

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2. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) a la recta t (t´- t´´ ), de la que se conocen las proyecciones de sus trazas

P´´ P´´´

P´´

Vt´´ Vt´´´

Ht´´´

Ht´´-Vt´

Ht´

t´´

t´´´

1. Tenemos que hallar un punto Q de la recta t que sea pie de la perpendiculara t por P. Para ello, llevamos ambos elementos a la proyección

de perfil, donde el ángulo entre t y dicha perpendicular estará en verdadera magnitud

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2. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) a la recta t (t´- t´´ ), de la que se conocen las proyecciones de sus trazas

P´´ P´´´

P´´

Vt´´ Vt´´´

Ht´´´

Ht´´-Vt´

Ht´

t´´

t´´´

d´´´

Q´´´

2. Trazamos la perpendicular a t´´´desde P´´´, segmento d. La distancia PQ es la distancia que buscamos. Ya sólo queda hallar su verdadera magnitud

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2. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) a la recta t (t´- t´´ ), de la que se conocen las proyecciones de sus trazas

P´´ P´´´

P´´

Vt´´ Vt´´´

Ht´´´

Ht´´-Vt´

Ht´

t´´

t´´´

d´´´d´´

3. Una vez tenemos d´´´, podemos dibujar d´y d´´

Q´´´Q´´

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2. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto P (P´- P´´) a la recta t (t´- t´´ ), de la que se conocen las proyecciones de sus trazas

P´´ P´´´

P´´

Vt´´ Vt´´´

Ht´´´

Ht´´-Vt´

Ht´

t´´

t´´´

d´´´d´´

d

4. Ya sólo falta hallar la verdadera magnitud: hipotenusa del triángulo rectángulocuyos catetos son d´y x, siendo x la diferencia de cotas de los puntos P y Q

Q´´´Q´´

xx

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3. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto A (A´- A´´) a la recta r (r´- r´´ )

A´´

A´r´

r´´

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3. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto A (A´- A´´) a la recta r (r´- r´´ )

A´´

f´´

Hf´´

Hf´

A´r´

r´´

1. Con ayuda de la recta frontal f hallamos el plano a, que contiene al punto A y es perpendicular a la recta f. Para ello trazamos, en primer lugar, la traza

f´´, que pasa por A´´ y es perpendicular a r´´. La traza f´ es paralela a LT

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3. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto A (A´- A´´) a la recta r (r´- r´´ )

A´´

f´´

a2

a1

Hf´´

Hf´

A´r´

r´´

2. Trazamos el plano a (a1 es perpendicular a r´ y a f´´,

y a2 es perpendicular a r´´ y paralela a f´´)

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3. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto A (A´- A´´) a la recta r (r´- r´´ )

A´´

f´´

a2

a1

b1

Hf´´

Hf´

B´´

r´´=b2=i´´

3. Calculamos la intersección de la recta r con el plano a, que será el punto B.

Para ello hemos creado el proyectante auxiliar b, que contiene a r, y hemos

trazado la intersección entre a y b. El punto B´ está donde la traza r´corta a i´.

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3. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto A (A´- A´´) a la recta r (r´- r´´ )

A´´

f´´

a2

a1

b1

Hf´´

Hf´

B´´d´´

r´´=b2=i´´

4. Los segmentos A´B´= d´ y A” B” = d” son las proyecciones de la distancia que buscamos.

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3. Determinar, en proyecciones y en magnitud real, la distancia del punto A (A´- A´´) a la recta r (r´- r´´ )

A´´

A0

f´´

a2

a1

b1

Hf´´

Hf´

B´´d´´

r´´=b2=i´´

5. Hallamos la verdadera magnitud de d, como hicimos en el ejercicio anteriorx

xd

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a1

a2

4. Dibujar las trazas del plano b, paralelo al plano a (a1-a2), situado a su izquierda y que diste de él, en magnitud real, 30 mm

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a1

a2

Para resolver este problema, se trata de hallar un punto cualquiera Q, que

diste 30mm del plano a, y a continuación, trazar por él un plano b, paralelo a a.

1. Comenzamos haciendo una frontal f del plano a

f´´

4. Dibujar las trazas del plano b, paralelo al plano a (a1-a2), situado a su izquierda y que diste de él, en magnitud real, 30 mm

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a1

a2

2. Tomamos un punto P cualquiera de f, que al pertenecer a f,

pertenecerá por tanto al plano a

f´´

f´P´

P´´

4. Dibujar las trazas del plano b, paralelo al plano a (a1-a2), situado a su izquierda y que diste de él, en magnitud real, 30 mm

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a1

a2

3. Por P trazamos la recta r, perpendicular a a.

f´´

r´´

f´P´

P´´

4. Dibujar las trazas del plano b, paralelo al plano a (a1-a2), situado a su izquierda y que diste de él, en magnitud real, 30 mm

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4. Dibujar las trazas del plano b, paralelo al plano a (a1-a2), situado a su izquierda y que diste de él, en magnitud real, 30 mm

a1

a2

4. Sobre la recta r tomamos el punto Q, que dista de P la medida real de 30 mm.Para hacer esto hallamos la verdadera magnitud de un punto cualquiera A

de la recta r, y sobre esta veraddera magnitud tomaremos los 30 mm que nosdarán el punto Q0. Empezamos por situar un punto A cualquiera en r.

f´´

f´P´

A´´

P´´

r´´

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4. Dibujar las trazas del plano b, paralelo al plano a (a1-a2), situado a su izquierda y que diste de él, en magnitud real, 30 mm

a1

a2

5. Hallamos la distancia x entre A´ y P´y calculamos la verdadera magnitudde la distancia AP

f´´

f´P´

A´´

A0 d AP

P´´

x

x

r´´

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4. Dibujar las trazas del plano b, paralelo al plano a (a1-a2), situado a su izquierda y que diste de él, en magnitud real, 30 mm

a1

a2

6. Sobre la distancia AP, y partiendo de P´´, trazamos un segmento de 30 mmen cuyo extremo estará Q0

f´´

f´P´

A´´

A0 d AP

P´´

x

x

Q0r´´

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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4. Dibujar las trazas del plano b, paralelo al plano a (a1-a2), situado a su izquierda y que diste de él, en magnitud real, 30 mm

a1

a2

7. Obtenido Q0, podemos hallar Q´´ y Q´.

f´´

f´P´

A´´

A0 d AP

P´´

Q0

Q´´

Q´x

x

r´´

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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4. Dibujar las trazas del plano b, paralelo al plano a (a1-a2), situado a su izquierda y que diste de él, en magnitud real, 30 mm

a1

a2

b2

b1

8. Trazando la horizontal h, que contiene a Q, determinamos las trazas del

plano b, paralelo al plano a a 30 mm

f´´

f´P´

A´´

A0 d AP

P´´

Q0

Q´´

Q´x

x

r´´

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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10. Halla la distancia entre los dos planos paralelos a a (-50, -50, 50) y b (-20, -20, 20). Origen en el centro de la LT

O

a2

a1

b2

b1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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10. Halla la distancia entre los dos planos paralelos a (-50, -50, 50) y b (-20, -20, 20). Origen en el centro de la LT

O

a2

a1

b2

b1

1. Se traza una recta cualquiera perpendicular a los dos planos a y b.

La proyección vertical r2 debe ser perpendicular a las trazas a2 y b2,

y la horizontal r1 debe ser perpendicular a a1 b1

r1

r2

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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10. Halla la distancia entre los dos planos paralelos a (-50, -50, 50) y b (-20, -20, 20). Origen en el centro de la LT

O

a2

d1

a1

b2

b1

2. Utilizando un plano auxiliar proyectante d que contenga a la

recta r, se hallan los puntos M y N de intersección de r con a y brespectivamente, a través de las rectas m y n

La recta m es la inter-

sección de d con a

r1

Hm1

Vm2

r2=d2=m2

m1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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10. Halla la distancia entre los dos planos paralelos a (-50, -50, 50) y b (-20, -20, 20). Origen en el centro de la LT

O

a2

d1

a1

b2

b1

2. Utilizando un plano auxiliar proyectante d que contenga a la

recta r, se hallan los puntos M y N de intersección de r con a y brespectivamente, a través de las rectas m y n

La recta n es la inter-

sección de d con b

r1

Hm1

Vm2

r2=d2=m2=n2

Vn2

Hn1

n2m1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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10. Halla la distancia entre los dos planos paralelos a (-50, -50, 50) y b (-20, -20, 20). Origen en el centro de la LT

O

a2

d1

a1

b2

b1

2. Utilizando un plano auxiliar proyectante d que contenga a la

recta r, se hallan los puntos M y N de intersección de r con a y brespectivamente, a través de las rectas m y n

Una vez tenemos las rectas m y n, situamos los

puntos M y N de intersección

de r con a y b

r1

M2

Hm1

Vm2

r2=d2=m2=n2

Vn2

Hn1

n1

N1

N2

m1

M1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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10. Halla la distancia entre los dos planos paralelos a (-50, -50, 50) y b (-20, -20, 20). Origen en el centro de la LT

O

a2

d1

a1

b2

b1

3. Se determina la verdadera magnitud del segmento MN:Por M1 se traza la perpendicular a M1N1, y se traslada sobre ella

la diferencia de cotas M1M´, siendo la verdadera magnitud el segmento N1M

Perpendicular a M1N1 desde M1

r1

m1

M2

Hm1

Vm2

r2=d2=m2=n2

Vn2

Hn1

n1

N1

N2

M1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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10. Halla la distancia entre los dos planos paralelos a (-50, -50, 50) y b (-20, -20, 20). Origen en el centro de la LT

O

a2

d1

a1

b2

b1

3. Se determina la verdadera magnitud del segmento MN:Por M1 se traza la perpendicular a M1N1, y se traslada sobre ella

la diferencia de cotas M1M´, siendo la verdadera magnitud el segmento N1M

Se calcula la diferencia de cotas entre N2 M2=d,y se traslada sobre la

perpendicular a M1N1 tra-zada anteriormente

r1

m1

M1

M2

Hm1

Vm2

r2=d2=m2=n2

Vn2

Hn1

n1

N1

N2d

d

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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10. Halla la distancia entre los dos planos paralelos a (-50, -50, 50) y b (-20, -20, 20). Origen en el centro de la LT

O

a2

d1

a1

b2

b1

3. Se determina la verdadera magnitud del segmento MN:Por M1 se traza la perpendicular a M1N1, y se traslada sobre ella

la diferencia de cotas M1M´, siendo la verdadera magnitud el segmento N1M

La Verdadera Magnitud de

la distanciaentre a y bes el segmento M´N1

r1

m1

M1

M´VM

M2

Hm1

Vm2

r2=d2=m2=n2

Vn2

Hn1

n1

N1

N2d

d

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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11. Dibuja la verdadera magnitud de la distancia del punto P (-10, 15, 15) a la recta t: A(0, 10, 10) B (20, 20, 15). Origen en el centro de LT

O

P2t2

t1

Vt2

Ht1 B2

B1

A1

P1

A2

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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11. Dibuja la verdadera magnitud de la distancia del punto P (-10, 15, 15) a la recta t: A(0, 10, 10) B (20, 20, 15). Origen en el centro de LT

1. Por el punto P se traza el plano a,

perpendicular a la recta t. Paraello utilizamos una recta

horizontal m que pasa porP y cuya proyección horizontal

m1 es perpendicular a la proyec-

ción horizontal t1

1a. Trazamos la recta horizontal m

O

P2m2 Vm2

m1

t2

t1

Vt2

Ht1 B2

B1

A1

P1

A2

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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11. Dibuja la verdadera magnitud de la distancia del punto P (-10, 15, 15) a la recta t: A(0, 10, 10) B (20, 20, 15). Origen en el centro de LT

1. Por el punto P se traza el plano a,

perpendicular a la recta t. Paraello utilizamos una recta

horizontal m que pasa porP y cuya proyección horizontal

m1 es perpendicular a la proyec-

ción horizontal t1

1b. Se traza el plano a,

cuya traza vertical a2

pasa por Vm2 y es perpendicular a t2,

y su traza horizontalparte del vértice en la LT y es perpendicular a t1

P2m2 Vm2

m1

A2

a2

a1

t2

t1

Vt2

Ht1 B2

B1

A1

P1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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11. Dibuja la verdadera magnitud de la distancia del punto P (-10, 15, 15) a la recta t: A(0, 10, 10) B (20, 20, 15). Origen en el centro de LT

2. Se halla el punto M de intersección

de la recta t con el plano a, para lo cual se ha utilizado un plano

arbitrario b que contiene a la recta t, y que se corta con el

plano a según la recta r

2a. Se traza el plano b,

cuya traza vertical b2

pasa por Vt2

y su traza horizontal por Ht1

P2m2 Vm2

m1

A2

a2b2

b1a1

t2

t1

Vt2

Ht1 B2

B1

A1

P1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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11. Dibuja la verdadera magnitud de la distancia del punto P (-10, 15, 15) a la recta t: A(0, 10, 10) B (20, 20, 15). Origen en el centro de LT

2. Se halla el punto M de intersección

de la recta t con el plano a, para lo cual se ha utilizado un plano

arbitrario b que contiene a la recta t, y que se corta con el

plano a según la recta r

2b. Se traza la recta rde intersección de

los planos a y b,P2

r2

r1

m2 Vm2

m1

A2

a2b2

b1a1

t2

t1

Vt2

Ht1 B2

B1

A1

P1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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11. Dibuja la verdadera magnitud de la distancia del punto P (-10, 15, 15) a la recta t: A(0, 10, 10) B (20, 20, 15). Origen en el centro de LT

2. Se halla el punto M de intersección

de la recta t con el plano a, para lo cual se ha utilizado un plano

arbitrario b que contiene a la recta t, y que se corta con el

plano a según la recta r

2c. Donde r2 corta a t2tenemos M2, y donde r1 corta a t1 tenemos M1

P2m2 Vm2

m1

A2M2

a2b2

b1a1

t2

t1

Vt2

Ht1 B2

B1

A1

P1

r2

r1

M1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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11. Dibuja la verdadera magnitud de la distancia del punto P (-10, 15, 15) a la recta t: A(0, 10, 10) B (20, 20, 15). Origen en el centro de LT

3. Determinamos la Verdadera Magnitud de PM.

3a. Por P1 trazamos la perpendiculara P1M1

P2m2 Vm2

m1

A2M2

a2b2

b1a1

t2

t1

Vt2

Ht1 B2

B1

A1

P1

r2

r1

M1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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11. Dibuja la verdadera magnitud de la distancia del punto P (-10, 15, 15) a la recta t: A(0, 10, 10) B (20, 20, 15). Origen en el centro de LT

3. Determinamos la Verdadera Magnitud de PM.

3b. Se calcula la diferencia de cotasP2M2 = d

P2m2 Vm2

m1

A2M2

a2b2

b1a1

t2

t1

Vt2

Ht1 B2

B1

A1

P1

r2

r1

d

M1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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11. Dibuja la verdadera magnitud de la distancia del punto P (-10, 15, 15) a la recta t: A(0, 10, 10) B (20, 20, 15). Origen en el centro de LT

3. Determinamos la Verdadera Magnitud de PM.

3c. Se traslada la d sobre laperpendicular trazada anteriormente

en P1, y obtenemos P´

P2m2 Vm2

m1

A2M2

a2b2

b1a1

t2

t1

Vt2

Ht1 B2

B1

A1

P1

r2

r1

d

d

P´M1

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD

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11. Dibuja la verdadera magnitud de la distancia del punto P (-10, 15, 15) a la recta t: A(0, 10, 10) B (20, 20, 15). Origen en el centro de LT

3. Determinamos la Verdadera Magnitud de PM.

3d. La distancia P´M1 es laVERDADERA MAGNITUDde la distancia de P a T

P2m2 Vm2

m1

A2M2

a2b2

b1a1

t2

t1

Vt2

Ht1 B2

B1

A1

P1

r2

r1

M1

d

d

DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T9 S. DIÉDRICO II. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS Y VERDADERA MAGNITUD