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Conceptos principales de un sistema masa-resorte-amortiguador

Luis Angel Hernandez ParedesUniversidad Politcnica de TlaxcalaIng. Mecatrnicaluisangelhernandezparedes@gmail.com

Resumen

Este documento contiene la explicacin y la opinin personal de la ecuacin matemtica de un sistema m-r-a, la solucin de la ecuacin, su comportamiento y sus elementos, se explica algunas de las diferentes representaciones y aplicaciones, y se explica las variables de estados de este sistema tan relevante para un ingeniero mecatrnica. Contiene algunos diagramas del sistema y Se explica de una manera muy personal.

Introduccin

A continuacin mostrare parte de la dinmica de un sistema compuesto por una Masa, que se desplaza sobre un espacio ideal (sin roce) y la cual est unida a una pared, por medio de un resorte y un amortiguador. El resorte tiene constante elstica k y largo natural , en tanto que el amortiguador tiene coeficiente de roce viscoso c. Llamemos x a la posicin de la masa M medida desde el espacio sujetado. Sobre la masa actan fuerzas como la fuerza que ejerce el resorte, la fuerza del amortiguador y una externa como una perturbacin.

conceptos de sis. masa-resorte-amortiguadorEcuacin de un sistema m-r-a

La obtencin de la ecuacin de este tipo de sistema mecnico (fig. 1) se logra a partir de dos leyes, Ley de Hooke que es para el resorte y la segunda Ley de Newton que es para la masa.

Fig. 1 Partes principales de un motor trifsico.

Lo mencionado en la ley de Hooke es que la fuerza ejercida en un resorte es igual a la multiplicacin de una constante elstica en este caso establecida k y un desplazamiento x. como est a continuacin: . El signo negativo que se observa expresa la oposicin del resorte a la deformacin que sufre.

Ahora la pregunta es y la aplicacin de la segunda Ley de Newton?, pues la segunda ley establece que la fuerza neta aplicada a un cuerpo o masa es proporcional a la aceleracin que se ejerce sobre este cuerpo o masa. Como dice a continuacin: si se expresa la aceleracin como la segunda derivada de la posicin quedara as:

Para el amortiguador tomare en cuenta que se ejerce una fuerza la cual depende de la velocidad y de la masa; entre mayor sea la velocidad en el sistema, mayor es la fuerza de oposicin del amortiguador. Entonces la constante c multiplicara a la velocidad la cual es la derivada de la posicin pero la constante c tendr un signo negativo pues la fuerza que ejerce es contraria a la fuerza aplicada o dicindolo de otra manera pues va en sentido contrario a la velocidad del cuerpo y quedara de esta forma:

Tomando en cuenta que la velocidad es con respecto al tiempo.

Expresado a manera de derivada:

Para la obtencin de la ecuacin del sistema la cual expresa su comportamiento pues se toma en cuenta cada uno de los elementos.

Obteniendo la fuerza de la masa o Igualando la fuerza de la masa a la suma de las fuerzas del resorte y el amortiguador. Podra escribirlo as:

Ahora como la puedo escribirlo como:

O bien como:

La ecuacin obtenida modela el movimiento amortiguado de la masa.

Fig. 2 sistema masa resorte amortiguador, amortiguado.

Solucin de la ecuacin

Se podra decir que las soluciones existentes serian tres pues para este sistema se consideran tres comportamientos que suelen depender de valores, valores que se les da o que tiene asignados a la masa, al resorte y al amortiguador. Las soluciones nos permitirn observar, el freno mecnico del sistema y su respuesta natural.

Partimos de nuestra ecuacin obtenida:

Y asignamos valor a una resultante r:

, ,

Entonces la ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial del sistema m-r-a es:

Podemos encontrar races del sistema con la formula general o chicharronera. Las soluciones de esta ecuacin que resulta ser cuadrtica son:

&

El signo del radicando el cual es determina el tipo de movimiento del sistema y como mencione hay tres posibilidades como que podra ser positivo, negativo o cero. Estos casos son:

Movimiento sobreamortiguado

En este caso analizaremos, tomando en cuenta nuestro radicando de esta forma:

O podra decirse:

Podra decirse que como las resultantes obtenidas (r1 y r2) son diferentes y ambas son negativas pues esto implica directamente que la solucin de la ecuacin diferencial lineal homognea es:

Que se obtiene de: &

Ahora las funciones exponenciales en la ecuacin nos indican que son decrecientes as que no se espera vibracin alguna en nuestro sistema y el sistema reacciona de una manera pues rpida y regresara a su posicin de equilibrio, as que es sobreamortiguado.

Crticamente amortiguado

En este segundo caso analizaremos, tomando en cuenta nuestro radicando de esta forma:

Entonces las dos races resultan de esta forma:

As que la solucin de la ecuacin diferencial homognea es:

; O bien:

La funcin obtenida como una segunda solucin o como segunda posicin contiene un trmino exponencial decreciente, que ahora se multiplica por la funcin lineal dependiente del tiempo.

Esto indica o se interpreta como cuando la posicin vuelve a su posicin de equilibrio sin vibrar. La manera en que lo haga depender de las condiciones en las que estaba inicialmente.

Movimiento subamortiguado

En este tercer caso analizaremos, tomando en cuenta nuestro radicando de esta forma:

, es decir,

En este caso nuestras resultantes resultan con un nmero complejo o bien nuestras races de la ecuacin caracterstica que se obtuvo en un inicio son complejas las cuales son:

&

Podemos obtener una solucin de cada resultante sin embargo si definimos:

Por lo tanto:

O bien:

Entonces la solucin es:

i

En esta solucin si observamos la masa y la constante del resorte son mayor que la constante de amortiguacin o no existe amortiguador.

Es por esto que el sistema oscila ms y tarda ms tiempo en llegar a su estado de reposo. En este caso entra en funcin la exponencial decreciente pues que trata de eliminar las funciones senos y coseno que son la oscilacin del sistema.

C. Comportamientos del sistema m-r-a.

Los comportamientos se logran definir de manera matemtica, mediante simulaciones o mediante graficas que establecen autores o por nosotros mismos conforme a la experiencia obtenida en este caso muestro unas graficas donde se muestran los tres casos de comportamiento de un sistema m-r-a:

Fig. 3 comportamientos del sistema masa -resorte -amortiguador.

En el caso de amortiguamiento critico les puedo decir que el amortiguamiento suele ser ms efectivo sin embargo el coeficiente de rozamiento es mayor en el rgimen del caso sobreamortiguado. Si observamos la grfica (fig.3) se puede mostrar la evolucin de la velocidad en cada caso. Cuando el amortiguamiento es crtico la velocidad es mayor pero como el rozamiento es proporcional a la velocidad es ms efectivo.

En el caso sobreamortiguado se tienen exponentes los cuales se interpretan como frenos por lo cual las oscilaciones van decayendo en cierto intervalo de tiempo.

En el caso subamortiguado interpretndolo de manera fsica es cuando despus de un tiempo el valor de la amplitud es prcticamente cero, en este caso el rozamiento es poco asique se necesitan de varias oscilaciones para que se detenga la oscilacin de la masa.

Fig. 4 grafica de los tres casos de amortiguamiento.

Diferentes representaciones y aplicaciones.

Al hablar de las diferentes representaciones se habla de diferentes aplicaciones as que en este apartado mencionare tres ejemplos:

1. Cepillo con pasta de dientes porttil.

En este caso, se busca la similitud con el sistema m-r-a as que debe constar de una masa, una constante similar al resorte y una a la del amortiguador. Podra decir que nuestro cepillo es el que tendr una constante k como la del resorte pues sufre cambios pero retorna a su estado, nuestro amortiguador podra ser el almacenamiento de pasta, por qu? porqu retiene la pasta y ayuda a que no se dae o desperdicie y al final nuestra masa seria la pasta.

2. Un par de zapatos deportivos (tenis).

En este caso podra decir que un sistema relacionado es un calzado deportivo siendo tanto nuestro resorte y amortiguador la suela del zapato deportivo, tomando en cuenta el materia del que este hecho, pues es capaz de deformarse con una fuerza externa y es capaz de retener y oponerse a la fuerza exterior como lo hace un amortiguador. La masa seria nuestro cuerpo. Incluso me atrevo a decir q nuestro mismo sistema muscular y seo sera un gran amortiguador pos somos capaces de absorber una energa de impacto.

3. Un satlite.

Una gran representacin y aplicacin al igual que las ya mencionadas es un satlite pues. La seal mandada hasta el satlite mismo tiene una direccin y una deformacin pero llega a ser constante en cuanto a una distancia. Nuestro amortiguador es el CPU de este satlite pues retiene la gran informacin hasta que se requiere obtenerla. Nosotros en cuanto a nuestros dispositivos al descargar informacin y recibirla hacemos la funcin de masa o nuestros dispositivos.

Variables de estado.

Podramos decir que una variable suele ser un smbolo que nos ayuda a guardar cierta informacin y pero al decir de es una variable de estado es porque describe un historial de trabajo o del sistema.

Las variables de estado, al mostrarnos el historial del sistema, el cual es a partir de una variable principal nos muestran cmo cambia o evoluciona dicho sistema.

Las variables de estado pueden guardar cualquier tipo de informacin y se ocupan matrices para almacenar datos relacionados de nuestro sistema acerca del estado en el que se encuentra un ejemplo es: posicin, velocidad, aceleracin. En este caso me atrevo a decir que la variable guarda la posicin de nuestro sistema m-r-a. Sin embargo al derivar x que resulta , obtenemos la velocidad del sistema y solo por eso estamos guardando este nuevo dato en sta nueva variable. Y si derivamos esta nueva variable x y obtenemos la aceleracin x

Conclusiones

Al realizar el estudio de este tipo de sistema pude observar que el comportamiento que tiene y los estados que puede llegar a tener son muy aplicados en diferentes sistemas no solo de ingeniera sino en cosas de la vida diaria y que en ocasiones es difcil encontrarlas pues debes interpretar de una manera especial el conocimiento. Podemos encontrar ejemplos sencillos como el del auto y como se observan los estados cuando pasa un tope o frena, sin embargo existen mas aplicaciones.

Como ingeniero es necesario, siempre tener otro ngulo de lo que estamos aprendiendo y observando pues as lograras desarrollas cosas que no creas. Lo que provocan estudio de un sistema m-r-a que hasta cierto punto es sencillo pues es un apoyo extra de lo aprendido en clases.

Referencias

[1] http://www.renewableenergyworld.com/rea/news/article/2009/02/mit-shockabsorber-increases-fuel-economy

[2] PDF impamortiguadolibre. Captulo 5 aplicaciones de ED de segundo orden. 22pag. Vibraciones amortiguadas libres.