Sistemas Acoplados Masa Resorte

8/17/2019 Sistemas Acoplados Masa Resorte

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En esta sección extenderemos nuestro modelo masa-resorte para incluir situaciones en las

que los resortes acoplados unen dos masas que pueden moverse libremente. Los movimien-tos resultantes pueden ser muy intrincados. Para simplificar la exposición, despreciaremos

los efectos de la fricción, la gravedad y las fuerzas externas. Consideremos el siguiente ex-

perimento.

En una superficie horizontal suave, una masa m1 2 kg está unida a una pared fija me-

diante un resorte con constante de resorte m1 4 N/m. Otra masa m2 1 kg está unida

al primer objeto mediante un resorte con constante de resorte k 2 2 N/m. Los objetos es-

tán alineados en forma horizontal, de modo que los resortes tengan su longitud natural (fi-

gura 5.20). Si ambos objetos se desplazan 3 m a la derecha de sus posiciones de equilibrio

(figura 5.21) y luego se liberan, ¿cuáles son las ecuaciones de movimiento de los dos ob-

jetos?

Sección 5.5 Sistemas acoplados masa-resorte 277

5.5 SISTEMAS ACOPLADOS MASA-RESORTE

EJEMPLO 1

SOLUCIÓN

x = 0 y = 0

k1 = 4 k2 = 2

2 kg 1 kg

x = 3 y = 3

Figura 5.20 Sistema acoplado en equilibrio

x = 0 y = 0

x > 0 y > 0

k1 = 4 k2 = 2

2 kg 1 kg

Figura 5.21 Sistema acoplado en sudesplazamiento inicial

Por nuestras hipótesis, las únicas fuerzas que debemos tomar en cuenta son las fuerzas in-

herentes a los propios resortes. Recordemos que la ley de Hooke afirma que la fuerza que

actúa sobre un objeto debido a un resorte tiene una magnitud proporcional al desplazamien-

to del resorte a partir de su longitud natural y tiene dirección opuesta a su desplazamiento. Es

decir, si el resorte se estira o comprime, entonces trata de regresar a su longitud natural.

Como cada masa se puede mover libremente, aplicamos la segunda ley de Newton a ca-

da objeto. Sea el desplazamiento (hacia la derecha) de la masa de 2 kg a partir de su

posición de equilibrio, y de manera análoga, sea el desplazamiento correspondiente pa-ra la masa de 1 kg. La masa de 2 kg tiene una fuerza F 1 que actúa por su lado izquierdo de-

bido a un resorte y a una fuerza F 2 que actúa por su lado derecho debido al segundo resorte.

En relación con la figura 5.21 y al aplicar la ley de Hooke, vemos que

porque es el desplazamiento neto del segundo resorte con respecto de su longitud

natural. Sólo hay una fuerza que actúa sobre la masa de 1 kg: la fuerza debida al segundo

resorte, que es

F 3 k 2 A y xB .

A y xB

F 1 k 1 x , F 2 k 2 A y xB ,

y At B

x At B


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Al aplicar la segunda ley de Newton a estos objetos, obtenemos el sistema

(1)

o

(2)

En este problema vemos que m1 2, m2 1, k 1 4, y k 2 2. Al sustituir estos valo-

res en el sistema (2) obtenemos

(3)

(4)

Utilizaremos el método de eliminación de la sección 5.2 para resolver (3) – (4). Hace-

mos y escribimos el sistema como

(5)(6)

Sumamos aplicado a la ecuación (5) al doble de la ecuación (6) para eliminar y:

lo que se simplifica como

(7)

Observe que la ecuación (7) es lineal con coeficientes constantes. Para resolverla, pro-

cedemos como en el caso de las ecuaciones lineales de segundo orden y tratamos de hallar

soluciones de la forma . Al sustituir en la ecuación (7) tenemos

Así, obtenemos una solución de (7) cuando r satisface la ecuación auxiliar

Al factorizar vemos que las raíces de la ecuación auxi-

liar son los números complejos Al usar la fórmula de Euler, tenemos que

z1 At B eit cos t i sen t y z2 At B e

2it cos 2t i sen 2 t

i,i, 2i, 2i.

r 4 5r 2 4 Ar 2 1B Ar2 4B,

r 4 5r2 4 0 .

2 Ar4 5r 2 4Bert 0 .

ert x ert

2

d 4 x

dt 4 10

d 2 x

dt 2 8 x 0 .

3 A D2 2B A2 D2 6B 4 4 3 x 4 0 ,

A D2 2B

2 x A D2 2B 3 y 4 0 . A2 D

2

6B 3 x 4 2 y 0 ,

D J d / dt

d 2 y

dt 2 2 y 2 x 0 .

2

d 2 x

dt 2 6 x 2 y 0 ,

m2 d 2 y

dt 2 k 2 y k 2 x 0 .

m1 d 2 x

dt 2 Ak 1 k 2B x k 2 y 0 ,

m2 d 2 y

dt 2 F 3 k 2 A y xB ,

m1 d 2 x

dt 2 F 1 F 2 k 1 x k 2 A y xB ,

278 Capítulo 5 Introducción a los sistemas y el análisis del plano fase


3/8

son soluciones de la ecuación (7) con valores complejos. Para obtener soluciones con valo-

res reales, consideramos las partes real e imaginaria de y . Así, tenemos cuatro so-

luciones con valores reales

y una solución general

(8)

donde a1, a2, a3, y a4 son constantes arbitrarias.†

Para obtener una fórmula para , usamos la ecuación (3) para expresar y en términos

de x:

y entonces

(9)

Para determinar las constantes a1, a2, a3, y a4, regresemos al problema original. Sabe-

mos que en un principio, los objetos se desplazaron 3 m hacia la derecha y que luego fue-

ron liberados. Por lo tanto,

(10)

Al derivar las ecuaciones (8) y (9), tenemos

Ahora, si hacemos t 0 en las fórmulas para x, , y, y , las condiciones iniciales

(10) implican las cuatro ecuaciones

En este sistema hallamos que a1 2, a2 0, a3 1, y a4 0. Por lo tanto, las ecuaciones

de movimiento para los dos objetos son

que se muestran en la figura 5.22 de la página 280. ■

y At B 4 cos t cos 2t ,

x At B 2 cos t cos 2t ,

y A0B 2a1 a3 3 , dy

dt

A0B 2a2 2a4 0 .

x A0B a1 a3 3 ,

dx

dt A0B a2 2a4 0 ,

dy / dt dx / dt

dy

dt 2a1 sen t 2a2 cos t 2a3 sen 2 t 2a4 cos 2 t .

dx

dt a1 sen t a2 cos t 2a3 sen 2 t 2a4 cos 2 t ,

x A0B 3 , dx

dt

A0B 0 ; y A0B 3 , dy

dt

A0B 0 .

y At B 2a1 cos t 2a2 sen t a3 cos 2 t a4 sen 2 t .

3a1 cos t 3a2 sen t 3a3 cos 2 t 3a4 sen 2 t ,

a1 cos t

a2 sen t

4a3 cos 2 t

4a4 sen 2 t

y At B d 2 x

dt 2 3 x

y At B

x At B a1 cos t a2 sen t a3 cos 2t a4 sen 2t ,

x1 At B cos t , x2 At B sen t , x3 At B cos 2t , x4 At B sen 2t ,

z2 At B z1 At B


†En el capítulo 6 se da un análisis más detallado de las soluciones generales.


4/8

La pareja solución general (8), (9) que se obtiene es una combinación de senoides que

oscilan a dos frecuencias angulares distintas: 1 radián/segundo y 2 radianes/segundo. Estas

frecuencias amplían la noción de frecuencia natural del oscilador masa-resorte simple (libre

no amortiguado; sección 4.8, página 208) y se llaman las frecuencias angulares naturales†

(o normales) del sistema. Un sistema complejo con más masas y resortes tendría muchas

frecuencias normales.

Observe que si las condiciones iniciales se alteran de modo que las constantes a3 y a4en (8) y (9) se anulen, el movimiento sería una senoide pura que oscila con la única frecuen-

cia de un radián/segundo. De manera similar, si a1 y a2 se anulan, sólo la oscilación de 2 ra-

dianes/segundo se “excitaría”. Tales soluciones, donde el movimiento completo queda

descrito mediante una única senoide, son los modos normales del sistema.†† Los modos

normales del siguiente ejemplo se pueden visualizar fácilmente, pues podemos considerar

que todas las masas y todas las constantes de resorte son iguales.

Tres resortes idénticos con constante de resorte k y dos masas idénticas m se unen en línea

recta con los extremos de los resortes exteriores fijos (véase la figura 5.23). Determinar e in-

terpretar los modos normales del sistema.


2 4

5

10

15

20

x

t t

−2−4 2 4

5

10

15

20

y−2−4

Figura 5.22 Gráficas de movimiento de las dos masas del sistema masa-resorte acoplado

mk

mk k

x = 0

x 0 y 0

y = 0

Figura 5.23 Sistema masa-resorte acoplado con extremos fijos

†El estudio de las frecuencias naturales de las oscilaciones de sistemas complejos se conoce en ingeniería como análi-

sis modal.††Los modos normales se caracterizan de manera más natural en términos de los valores propios (véase la sección 9.5).

EJEMPLO 2


5/8

Definimos los desplazamientos a partir del equilibrio, x y y, como en el ejemplo 1. Las ecua-

ciones que expresan la segunda ley de Newton para las masas son bastante parecidas a (1),

excepto por el efecto del tercer resorte sobre la segunda masa:

(11)

(12)

o

Al eliminar y de la manera usual se tiene

(13)

Esto tiene la ecuación auxiliar

con raíces . Al hacer obtenemos la siguiente solución ge-

neral de (13):

(14)

Para obtener , despejamos en (11) y sustituimos dada en (14). Al simplificar ob-

tenemos

(15)

Las fórmulas (14) y (15) muestran que las frecuencias angulares normales son

De hecho, si C 3 C 4 0, tenemos una solución donde que oscila y At B x At B,v y 2 3v.

y At B C 1 cos vt C 2 sen vt C 3 cos A2 3vt B C 4 sen A2 3vt B .

x At B y At B y At B

x At B C 1 cos vt C 2 sen vt C 3 cos A2 3vt B C 4 sen A2 3vt B .

v J 2 k / m,i2 k / m, i2 3k / m

Amr2 2k B2 k 2 Amr2 k B Amr2 3k B 0 ,

3 AmD2 2k B2 k 2 4 3 x 4 0 .

kx AmD2 2k B 3 y 4 0 . AmD2 2k B 3 x 4 ky 0 ,

my– k A y xB ky ,

mx– kx k A y xB ,


11

5

10

15

20

5

10

15

20

x

t t

y x

t

y

1−1

5

10

15

20

5

10

15

20

t

(a) (b)

Figura 5.24 Modos normales para el ejemplo 2

SOLUCIÓN


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con la frecuencia angular radianes/segundo (equivalente a una frecuencia de

periodos/segundo). Ahora, si en la figura 5.23, las dos masas se mue-

ven como si fuesen un único cuerpo rígido de masa 2m, forzado por un “resorte doble” con

una constante de resorte dada por 2k . De hecho, de acuerdo con la ecuación (4) de la sec-ción 4.8 (página 208), sería de esperar que tal sistema oscilara con la frecuencia angular

(!) Este movimiento se muestra en la figura 5.24(a) de la página 281.

De manera análoga, si C 1 C 2 0, determinamos el segundo modo normal donde

de modo que en la figura 5.23 hay dos sistemas, uno reflejo del otro, cada uno

con masa m y un “resorte y medio” con constante de resorte k 2k 3k . (El medio resor-

te sería el doble de rígido). La ecuación (4) de la sección 4.8 predice entonces una frecuen-

cia de oscilación angular para cada sistema, que de nuevo es consistente

con (14) y (15). Este movimiento se muestra en la figura 5.24(b). ■

2 3k / m 2 3 v,

y At B x At B,

2 2k / 2m 2 k / m

x At B y At B2 k / m / 2pv 2 k / m


EJERCICIOS 5.51. Dos resortes y dos masas están unidos en línea rec-

ta sobre una superficie horizontal sin fricción, como

se muestra en la figura 5.25. El sistema se pone en

movimiento manteniendo la masa m2 en su posición

de equilibrio y jalando la masa m1 a la izquierda de

su posición de equilibrio una distancia de 1 metro,

para luego liberar ambas masas. Exprese la ley de

Newton para el sistema y determine las ecuaciones

de movimiento para las dos masas si m1

1 kg,m2 2 kg, k 1 4 N/m y N/m.k 2 10 / 3 4. Dos resortes, dos masas y un amortiguador se unen

en línea recta sobre una superficie horizontal sin

fricción como se muestra en la figura 5.27. El amor-

tiguador proporciona una fuerza de amortiguamien-

to sobre la masa m2, dada por Deduzca

el sistema de ecuaciones diferenciales para los des-

plazamientos x y y.

F by¿.

k 1 k 2

x 0 y 0

x = 0 y = 0

m1 m2

Figura 5.25 Sistema masa-resorte acoplado con un extremo

libre

k k k km m m

x 0 y 0 z 0

x = 0 y = 0 z = 0

Figura 5.26 Sistema masa-resorte acoplado con tres gradosde libertad

k1 k2 bm2

m1

x 0 y 0

x y = 0= 0

Figura 5.27 Sistema masa-resorte acoplado con un extremoamortiguado

2. Determine las ecuaciones de movimiento para las

dos masas descritas en el problema 1 si m1 1 kg,

m2 1 kg, k 1 3 N/m, y k 2 2 N/m.

3. Cuatro resortes con la misma constante de resorte y

tres masas iguales se unen en línea recta sobre una

superficie horizontal sin fricción, según se muestra

en la figura 5.26. Determine las frecuencias norma-

les del sistema y describa los tres modos normalesde vibración.

5. Dos resortes, dos masas y un amortiguador se unen

en línea recta sobre una superficie horizontal sin

fricción como se muestra en la figura 5.28. El siste-

ma se pone en movimiento manteniendo la masa m2en su posición de equilibrio y jalando la masa m1


7/8


a la izquierda de su posición de equilibrio a una

distancia de 2 metros, para luego liberar ambas ma-

sas. Determine las ecuaciones de movimiento para

las dos masas si m1 m

2 1 kg, k

1 k

2 1 N/m,

y b 1 N-s/m. [Sugerencia: El amortiguador ac-

túa sobre m1 y m2 con una fuerza de magnitud

b 0 y¿ x¿ 0 ] .

donde son ángulos pequeños. Resuelva el

sistema cuando m1 3 kg, m2 2 kg, l1 l2 5m, , u2 A0B u¿1 A0B u¿2 A0B 0.u1 A0B p / 6

u1 y u2

m2l22u–2 m2l1l2u–1 m2l2gu2 0 ,

Am1m2Bl21u–1 m2l1l2u–2 Am1m2Bl1gu1 0 ,

k1 k2bm

2m

1

x 0 y 0

x y = 0= 0

Figura 5.28 Sistema masa-resorte acoplado conamortiguamiento entre las masas

l2

l1

m2

m1

Figura 5.29 Péndulo doble

l l

k

x1 x2

m m

Figura 5.30 Péndulos acoplados

6. En relación con el sistema masa-resorte acoplado

del ejemplo 1, suponga que se aplica una fuerza ex-

terna cos 3t al segundo objeto de masa 1

kg. Las funciones de desplazamiento , satis-

facen ahora el sistema

(16)

(17)

(a) Muestre que satisface la ecuación(18)

(b) Determine una solución general de la ecua-

ción (18). [Sugerencia: Use coeficientes inde-

terminados, con x p A cos 3t B sen 3t ].

(c) Sustituya en (16) para obtener una fórmu-

la para .

(d) Si ambas masas se desplazan 2 m hacia la de-

recha de sus posiciones de equilibrio y luego se

liberan, determine las funciones de desplaza-

miento y .

7. Suponga que las funciones de desplazamiento y

para un sistema masa-resorte acoplado (similar

al analizado en el problema 6) satisfacen el proble-

ma con valores iniciales

Determine y .

8. Un péndulo doble oscila en un plano vertical bajo la

influencia de la gravedad (véase la figura 5.29) y sa-tisface el sistema

y At B x At B

y A0B 1 , y¿ A0B 0 .

x A0B x A0B 0 ,

y At B 2 y At B 2 x At B 3 sen 2t ;

x At B 5 x At B 2 y At B 0 ,

y At B x At B

y At B x At B

y At B x At B

x At B

xA4B At B 5 x At B 4 x At B 37 cos 3t .

x At B

y At B 2 y At B 2 x At B 37 cos 3t .

2 x At B 6 x At B 2 y At B 0 ,

y At B x At B E At B 37

9. El movimiento de una pareja de péndulos idénticos

acoplados mediante un resorte se modela mediante

el sistema

para desplazamientos pequeños (véase la figura

5.30). Determine las dos frecuencias normales del

sistema.

mx–2 mg

l x2 k A x1 x2B

mx–1 mg

l x1 k A x1 x2B ,


8/8

Las ecuaciones que describen las relaciones voltaje-corriente para una resistencia, un induc-

tor y un condensador se dieron en la sección 3.5, junto con las leyes de Kirchhoff que res-

tringen el comportamiento de estas cantidades cuando los elementos se conectan en formaeléctrica a un circuito. Ahora que tenemos las herramientas para resolver ecuaciones linea-

les y sistemas de orden superior, podemos analizar circuitos eléctricos más complejos.

El circuito RLC en serie de la figura 5.31 tiene una fuente de voltaje dada por E t sen

100t voltios (V), una resistencia de 0.02 ohms (Ω), un inductor de 0.001 henrios (H) y un

condensador de 2 faradios (F). (Elegimos estos valores por conveniencia; los valores típicos

para el condensador son mucho menores). Si la corriente y la carga iniciales en el conden-

sador son iguales a cero, determinar la corriente en el circuito para t 0.

BA


10. Suponga que el sistema masa-resorte acoplado del

problema 1 (figura 5.25) se cuelga verticalmente en

un soporte (con la masa m2 sobre m1), como en la

sección 4.9, página 218.(a) Justifique que en el equilibrio, el resorte inferior

se estira una distancia l1 con respecto de su lon-

gitud natural L1, dada por .l1 m1g / k 1

(b) Justifique que en el equilibrio, el resorte superior

se estira una distancia .

(c) Muestre que si x1 y x2 se definen ahora como los

desplazamientos con respecto de las posicionesde equilibrio de las masas m1 y m2, entonces las

ecuaciones de movimiento son idénticas a las ob-

tenidas en el problema 1.

l2 Am1 m2Bg / k 2

5.6 CIRCUITOS ELÉCTRICOS

E

Resistencia R

Fuentede volta je

Capacitancia C

Inductancia

Figura 5.31 Representación esquemática de un circuito RLC en serie.

Con la notación de la sección 3.5, tenemos que L 0.001 H, R 0.02Ω, C 2 F y E t

sen 100t . Según la ley de corriente de Kirchhoff, la misma corriente I pasa por cada elemen-

to del circuito. La corriente que pasa por el condensador es igual a la razón instantánea de

cambio de su carga q:

(1)

Por las ecuaciones de la sección 3.5, observamos que la caída de voltaje a través del conden-

sador ( E C ), la resistencia ( E R) y el inductor ( E L) se expresan como

(2) E C qC , E R RI , E L L dI dt

.

I dq / dt .

BA

EJEMPLO 1

SOLUCIÓN

Sistemas Acoplados Masa Resorte

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