Sistemas CX Radiante

UNIVERSIDAD TCNICA DEL NORTE

FICA

ESCUELA DE INGENIERA EN ELECTRNICA Y REDES DE

COMUNICACIONES

COMUNICACIN RADIANTE

Integrantes: Obando Nataly

Nivel: Sexto

IBARRA ECUADOR

ANTENAS FUNDAMENTOS DE RADIACIN 1

Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politcnica de Valencia

Ecuaciones de Maxwell

Ecuaciones diferenciales

Los fenmenos electromagnticos se pueden describir a partir de las cuatro ecuaciones de Maxwell. Ley de Ampre D

H Jt

= +

rr r

Ley de Faraday BE

t

= -

rr

Ley de Gauss D r =r

Ley de Gauss 0B =

r

Unidades

Er

Campo elctrico Voltios/m

Hr

Intensidad del campo

magntico Amperios/m

Dr

Desplazamiento del campo

elctrico Culombios/m2

Br

Flujo del campo magntico Weber/m2=tesla

Jr

Densidad de corriente Amperios/m2

r Densidad de carga Culombios/m3

Ecuacin de continuidad

De las ecuaciones anteriores se deduce la ecuacin de continuidad. Para ello se toma la divergencia de la ley de Ampre. Teniendo en cuenta que la divergencia del rotacional es cero, se obtiene la relacin entre las cargas y las corrientes.

0

0

DJ

t

Jtr

= +

+ =

rr

r



Casos particulares de las Ecuaciones de Maxwell

En el espacio libre las corrientes y las cargas son cero y las ecuaciones de Maxwell se pueden simplificar eliminando los trminos correspondientes. Asimismo si las fuentes varan armnicamente con el tiempo, las ecuaciones electromagnticas y sus soluciones se simplifican, utilizando para ello una notacin fasorial, de forma que las derivadas respecto al tiempo se transforman en productos por el factor jw . Finalmente para casos sin variacin temporal, las ecuaciones toman las formas de electrosttica y magnetosttica.

Diferencial Ley de Ampre Ley de Faraday

Ley de Gauss

Ley de Gauss

Caso general

DH J

t

= +

rr r

BE

t

= -

rr

D r =r

0B =r

Espacio libre

DH

t

=

rr

BE

t

= -

rr

0D =r

0B =r

Armnica ( )H J j Es we = + +r r r

E j Hwm = -r r

D r =r

0B =r

Estacionario H J =

r r 0E =

r D r =

r 0B =

r

Ecuaciones en forma integral

Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma integral, aplicando para ello los teoremas de Stokes y de la divergencia

DH dl J ds

t

= +

r uurrr r

B

E dl dst

= -

ruur uurr

D ds dvr = uurr

0B ds =uurr



En medios materiales hay que considerar la relacin entre los

vectores intensidad ,E Hr r

e induccin ,D Br r

utilizando la permitividad elctrica y la permeabilidad magntica, que en el espacio libre toman los valores

0e = 10-9/36p F/m

0m = 4p10-7 H/m

En general

0

0

r

r

D E E

B H H

e e e

m m m

= =

= =

r r rr r r

Los valores relativos de la permitividad y permeabilidad pueden ser reales o complejos, escalares o matrices , constantes o variables(dependientes de la posicin). En cada caso los medios se denominan como:

Permitividad, permeabilidad

Tipo de medio

Real Sin prdidas Compleja Con prdidas Escalar Istropo Matriz Anistropo Constante Homogneo Variable Inhomogneo

Finalmente, las antenas se estudiarn en medios lineales, homogneos e istropos. En este caso las ecuaciones de Maxwell para campos variables sinusoidalmente se pueden escribir como

0

E

H

E j H

H J j E

re

wm

we

=

=

= -

= +

r

rr rr r r



Ecuaciones de Onda para los Campos

Ecuaciones de Maxwell (variacin armnica )

0

E

H

E j H

H J j E

re

wm

we

=

=

= -

= +

r

rr rr r r

Ecuacin de continuidad

De las ecuaciones anteriores se deduce la ecuacin de continuidad, tomando para ello la divergencia de la Ley de Ampre, y teniendo en cuenta que la divergencia del rotacional es cero.

0 ( )

0

H J j E

H J j E

J j

J j

we

we

rwe

ewr

= +

= +

= +

+ =

r r rr r rr

r

Las ecuaciones de Maxwell, desde un punto de vista matemtico son un sistema de ecuaciones diferenciales vectoriales de primer orden, apareciendo entremezclados los campos elctricos y magnticos. A continuacin se van a obtener unas nuevas ecuaciones diferenciales, de segundo orden donde se encuentren separados los campos.

Ecuacin de onda para el campo elctrico

Tomando el rotacional de la Ley de Faraday se obtiene la ecuacin de onda para el campo elctrico

2

2 2

( )

( )

E j H

E j H

E E j J j E

E E j J

wm

wm

wm we

rw me wm

e

= -

= -

- = - +

+ = +

r rr r

r r r r

r r r



Ecuacin de onda para el campo magntico

Tomando el rotacional de la Ley de Ampre se obtiene la ecuacin de onda para el campo magntico.

2 2

2 2

H J j E

H J j E

H H J H

H H J

we

we

w me

w me

= +

= +

- = +

+ = -

r r rr r r

r r r rr r r

Definicin de los potenciales Para simplificar el clculo de los campos elctricos y magnticos se puede recurrir a una funciones potenciales escalar y vector, que simplifiquen los clculos.

Definicin del potencial vector

El potencial vector se puede definir teniendo en cuenta la ley de

Gauss para el flujo magntico. Si se define Br

como el rotacional de un vector, automticamente se cumple que la divergencia es cero.

0B

B A

=

=

rrr

Definicin del potencial escalar

El potencial escalar se puede definir a partir de la Ley de Faraday y de la definicin del potencial vector. Teniendo en cuenta que el rotacional del gradiente de una funcin es cero, se puede definir el potencial escalar como:

( )

( ) 0

E j H

E j A

E j A

E j A

E j A

wm

w

w

w

w

= -

= -

- =

- = -F

= - -F

r rrr

rrrr

rr



Ecuacin de onda para el potencial vector elctrico

La ley de Ampre y las definiciones anteriores nos permiten obtener la siguiente ecuacin de onda para el potencial vector elctrico.

2

2 2

( )

( )

( )

H J j E

A J j j A

A A J j j A

A A J A j

we

m wme w

m wme w

w me m wme

= +

= + -F -

- = + -F -

+ = - + + F

r r rr rr

r r rrr r rr

Ecuacin de onda para el potencial escalar elctrico

Utilizando la Ley de Gauss para el campo elctrico se obtiene la ecuacin de onda para el potencia escalar

2 2 2

( )

( )

E

j A

j A

re

rwe

rw me w w me

e

=

- -F =

F + F = - + - + F

r

r

r

Definicin de la condicin de Lorentz

Se ha definido el campo magntico a partir del rotacional del potencial vector, pero es necesario definir tambin su divergencia. Esta relacin se denomina condicin de Lorentz.

0A jwme + F =r

Es posible simplificar las expresiones de las ecuaciones de onda para los potenciales.

Ecuaciones de onda de los potenciales

2 2

2 2

k

A k A J

re

m

F + F = -

+ = -r r r



Ondas planas, cilndricas y esfricas Los campos elctricos y magnticos y los potenciales estn relacionados mediante la ecuacin de onda vectorial inhomognea. La ecuacin de onda escalar homognea, (en ausencia de fuentes) se puede escribir como

2 2 0k W + W = La ecuacin de onda se puede resolver de forma analtica en diversos sistemas de coordenadas (cartesianas, cilndricas, esfricas, etc). Se puede resolver mediante el mtodo de separacin de variables, en forma de productos de series. Los coeficientes de las series se determinan a partir de las condiciones de contorno del problema.

Ondas planas

En algunos casos la ecuacin de onda se puede resolver directamente. Por ejemplo en coordenadas cartesianas, cuando no existe variacin respecto a x e y la ecuacin de onda tiene la solucin conocida de ondas planas unidimensionales.

2 2

22

2

0

0

0

0

jkz jkz

k

x

y

kz

Ae Be-

W + W =

W=

W

=

W+ W =

W = +

Ondas cilndricas

La solucin de la ecuacin de onda en coordenadas cilndricas, con la condicin de no variacin en las direcciones f,z se puede obtener fcilmente a partir de la expresin de 2 en cilndricas y de las soluciones de la ecuacin diferencial de Bessel.



2 2

22

2

(1) (2)0 0

0

0

0

10

( ) ( )

k

z

k

AH k BH k

f

r r r

r r

W + W =

W=

W

=

W W+ + W =

W = + Las funciones H que se obtienen son las funciones de Hankel modificadas de primera y segunda especie, que tienen un comportamiento asinttico como

(2)0

(1)0

( )

( )

jk

jk

eH k

eH k

r

r

rr

rr

-

;

;

Representan ondas cilndricas que se propagan en la direccin radial en el sentido de radios crecientes y decrecientes

Ondas esfricas

En coordenadas esfricas en el caso de que haya simetra en trono al origen, sin variacin respecto a las variables angulares, la solucin de la ecuacin de onda en con la condicin de no variacin en las direcciones q,f es

2 2

22

2

0

0

0

20

4 4

jkr jkr

k

kr r r

e eA B

r r

f

q

p p

-

W + W =

W=

W

= W W

+ + W =

W = +



La solucin se obtiene como superposicin de dos ondas esfricas, progresiva (desde el origen a infinito) y regresiva, en sentido contrario.

Funcin de Green de la Ecuacin de Onda La ecuacin de onda en coordenadas esfricas, con una fuente puntual en el origen de coordenadas se puede resolver teniendo en cuenta que la solucin debe ser en forma de ondas progresivas.

2 2

2

( )

( )

4

jkr

G k G r

G k G r

eG A

rp

-

+ = -

+ = -

=

Para determinar el valor de la constante A, se puede integrar en una esfera que encierre el origen de coordenadas, teniendo en cuenta que la superficie de la esfera es proporcional a r2 , mientras que el volumen es proporcional a r3. Calculando la divergencia de la solucin e integrando se obtiene A=1.

2 2 sin( ) 1

0

( )4

s v

v

jkr

G rr d d k Gdv

Gdv

eG r

r

q q f

p

-

+ = -

-

=

Si las fuentes estn situadas en un punto distinto del origen, definido por el vector 'r

r, la solucin es la misma que en el caso

anterior, con un cambio en el sistema de referencia.

'

( , ')4 '

jk r reG r r

r rp

- -

=-

r r

r r



Soluciones Integrales para los Potenciales Una vez obtenida la solucin de la ecuacin de onda para una fuente puntual, para obtener la solucin general se puede aplicar el principio de superposicin, integrando el conjunto de todas las fuentes.

Potencial escalar

La ecuacin de onda para el potencial escalar es

2 2kre

F + F = -

La funcin de Green para la ecuacin de onda en coordenadas esfricas es

'

( , ')4 '

jk r reG r r

r rp

- -

=-

r r

r r

La solucin para el potencial se puede obtener como la convolucin de la respuesta impulsional (funcin de Green) con las fuentes (distribucin volumtrica de cargas).

'

'

'

1( , ') ( ') '

1( ') '

4 '

v

jkr r

v

G r r r dv

er dv

r r

re

re p

- -

F =

F =-

r r

r r r

rr r

Potencial vector

Para obtener la solucin para el potencial vector elctrico, se puede partir de la ecuacin de onda

2 2A k A Jm + = -r r r

La ecuacin de onda anterior se puede descomponer en tres ecuaciones escalares, correspondientes a cada una de las componentes cartesianas del vector. La solucin se obtiene sumando las soluciones escalares.



2 2

2 2

2 2

x x x

y y y

z z z

A k A J

A k A J

A k A J

m

m

m

+ = -

+ = -

+ = - Solucin integral para la ecuacin de onda del potencial vector

'

'

'

( , ') ( ') '

( ') '4 '

v

jk r r

v

A G r r J r dv

eA J r dv

r r

m

mp

- -

=

=-

r r

r r r r

r rr r

Soluciones Temporales de los Potenciales La solucin de la ecuacin de onda para variacin armnica es

'

( , ')4 '

jk r rj teG r r e

r rw

p

- -

=-

r r

r r

Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier de una funcin de mdulo constante y fase lineal se puede escribir como un delta en el dominio del tiempo.

''

( )12 4 ' 4 '

j k r rj t

r rte ce d

r r r rw w

p p p

- -

-

- -

=- -r r

r r

r r r r

El potencial escalar se puede obtener a partir de la convolucin de la respuesta impulsional con la distribucin de cargas.

'

'( ', )

( , ) '4 'v

r rr t

cr t dvr r

r

pe

--

F =-

r rrr r r

El potencial vector de una distribucin de corrientes, en el dominio temporal es de la forma

'

'( ', )

( , ) '4 'v

r rJ r t

cA r t dvr r

m

p

--

=-

r rr rr r r r



Expresiones generales de los campos Los campos elctricos y magnticos se pueden obtener a partir de los potenciales mediante las expresiones siguientes

1H A

E j A

m

w

=

= - -F

rr

rr

Las soluciones que se han obtenido para los potenciales en forma integral son

'

'

'

1( , ') ( ') '

( , ') ( ') '

( , ')4 '

'

( )4

v

v

jk r r

jkR

G r r r dv

A G r r J r dv

eG r r

r r

R r r

eG R

R

re

m

p

p

- -

-

F =

=

=-

= -

=

r r

r r r

r r r r

r rr r

Para calcular los campos es necesario calcular los gradientes y rotacionales de los potenciales.

'

1( ) ( , ') ( ') '

( ) ( , ') ( )4

1 ( , ') ( )4

v

jkR

jkR

r G r r r dv

e dG RG r r R

R dRe

G r r jk RR R

re

p

p

-

-

F =

= =

= - -

r r r r

' '

( , ') ( ') ' ( , ') ( ') 'v v

A G r r J r dv G r r J r dvm m = = r r r r r r r

Finalmente, simplificando las anteriores expresiones se obtiene el campo elctrico, vlido en todos los puntos del espacio.

( )2' '

1 ( ') ' ' '4 4

jkR jkR

v v

e jk eE R r dv r R J dv

R k Rwme

r rpe pe

- - = + -

r rr r



El campo magntico es

2' '

1 ( ') ' ( ( ')) '4 4

jkR jkR

v v

e jk eH R J r dv R J r dv

R Rp p

- -

= - - r r rr r

A distancias muy cercanas a las fuentes predominan los campos que son proporcionales a 1/r2, mientras que a grandes distancias predominan los proporcionales a 1/r

Campos inducidos

Son proporcionales a 1/r2 y corresponden a las leyes de Coulomb y Biot y Savart, con un trmino adicional de fase. Si k=0 se obtienen las expresiones conocidas de los campos de una distribucin de cargas y de corrientes.

2'

1 ( ') '4

jkR

i

v

eE R r dv

Rr

pe

-

= r r

2'

1 ( ') '4

jkR

i

v

eH R J r dv

Rp

-

= - r r r

Campos radiados

Los campos radiados son proporcionales a 1/r y son los que contribuyen a la radiacin a grandes distancias de las fuentes.

( )'

' '4

jkR

r

v

jk eE r R J dv

k Rwme

rpe

- = -

r rr

'

( ( ')) '4

jkR

r

v

jk eH R J r dv

Rp

-

= - r r r

Los campos magnticos inducidos y radiados son iguales cuando se cumple la condicin

2

1

2

kR R

Rlp

=

=



Campos radiados Los campos radiados se pueden calcular a partir de las expresiones generales de los campos, realizando las correspondientes integrales. Si estamos a una distancia suficientemente grande de la antena, podemos hacer una serie de aproximaciones que nos simplificarn los clculos. Se puede considerar que todas las ondas originadas en la antena siguen trayectorias paralelas hasta el punto de campo, es decir

Al ser las trayectorias de los rayos paralelas, la diferencia de caminos recorridos por las diferentes ondas se puede calcular como

'R r r r-

r;

Las ondas producidas en cada punto se pueden aproximar por una onda centrada en el origen de coordenadas con un desfase adicional equivalente a la diferencia de caminos.

Funcin de Green aproximada

'( , ')4 4

jkR jkrjkr re eG r r e

R rp p

- -=rr r ;

El potencial vector elctrico a grandes distancias se puede calcular a partir de la funcin de Green aproximada a grandes distancias

Potencial vector

'

'

' '

( , ') ( ') '

( ') ' ( ') '4 4

v

jkR jkrjkr r

v v

A G r r J r dv

e eA J r dv J r e dv

R r

m

mm

p p

- -

=

= =

r

r rr r r

r r r r

Campo magntico

El campo magntico radiado se obtiene a partir de la expresin anterior, junto con la expresin aproximada del potencial.



'

'

'

( ( ')) '4

( ( ')) '4

jkR

v

jkrjkr r

v

jk eH R J r dv

R

jk eH r J r e dv

r

jkH r A

p

p

m

-

-

= -

= -

= -

r

r r r

r r r

rr

Se puede observar que el campo magntico es perpendicular a la direccin radial y al potencial vector.

Campo elctrico

El campo elctrico radiado se puede calcular a partir de los potenciales y la condicin de Lorentz

jE j A j A Aw w

wme= - - F = - -

r r rr

El gradiente y la divergencia en coordenadas esfricas es

( )22

1 1 sin

1 1 1sin

sin sin r

rr r r

Ar A A

r r r rf

q

y y yy q f

q q f

qq q q f

= + +

= + +

Se puede observar que todos los trminos de la divergencia son proporcionales a la distancia, excepto el primero, la divergencia se puede aproximar por

rAAr

r ;

Tomando el gradiente de la divergencia se llega a

2 2 2

2

1 1 sin

r r rA A AA rr r r r r

q fq q f

= + +

r

Efectuando las operaciones indicadas, el sumando que decrece menos con las distancia es el debido a la componente radial



22

2 ( )r

AA r k r A r

r

= -

r r;

Finalmente nos queda una expresin muy simple para el campo elctrico radiado a grandes distancias

( ( ) ) ( ( ))E j A r A r j r r Aw w= - - = r r rr

El campo elctrico es perpendicular a la direccin radial (slo tiene componentes tangenciales).

Expresiones aproximadas para los campos radiados

Los campos elctricos y magnticos son perpendiculares entre s y slo tienen componentes tangenciales. La relacin entre sus mdulos es la impedancia caracterstica del medio, que no debe confundirse con la eficiencia.

( ) ( ( ))

( )

jkH r A

E j A r A j r r A

E H r

m

w w

h

= -

= - - =

=

rr

r r rrr r

Desarrollando los productos vectoriales, se pueden obtener las componentes de los campos radiados

0rE

E j A

E j Aq q

f f

w

w

=

= -

= -

0rH

EH

EH

fq

qf

h

h

=

= -

=



El vector de radiacin

Definicin del vector de radiacin

El potencial vector es el producto de dos trminos, por una parte tenemos una onda esfrica centrada en el origen de coordenadas, y por otra parte una integral que vamos a denominar vector de radiacin N

r.

'

'

'

'

( ') '4

4

( ') '

jkrjkr r

v

jkr

jkr r

v

eA J r e dv

r

eA N

r

N J r e dv

mp

mp

-

-

=

=

=

r

r

r r r

r r

r r r

El vector de radiacin se puede considerar como la suma vectorial de todas las corrientes multiplicadas por un trmino que representa la diferencia de fase entre la onda que produce y la que tendra si la onda estuviera situada en el origen de coordenadas.

Interpretacin como Transformada de Fourier tridimensional

El trmino de fase depende de la direccin del espacio que se est considerando y de la distancia al origen. Descomponiendo el vector distancia en sus tres componentes

' ' ' 'x y zkr k k x k y k z

r x x y y z z

= = + +

= + +

rr

Vemos que el vector de radiacin se puede interpretar como una integral tridimensional.

' ' ''

' '

( ') ' ( ') 'yx zjk yjk x jk zjkr r

v v

N J r e dv J r e e e dv= = rr r rr r



La integral se puede interpretar como una transformada de Fourier tridimensional entre las posiciones de las fuentes (x,y,z) y las frecuencias espaciales (kx,ky,kz). El vector k

r depende de la longitud

de onda y de las direcciones del espacio ( ),q f . Si las corrientes se distribuyen a lo largo del eje z, la interpretacin es ms simple.

Vector de radiacin de un hilo de corriente

'' '

'

'' '

'

( ') '

( ', ', ') ( ') ( ') ( ')

( ') ' ( ') ' ( ') '

( ') '

yx z

yx z

z

jk yjk x jk z

v

jk yjk x jk z

jk z

N J r e e e dv

J x y z I z x y z

N z e x dx e y dy I z e dz

N z I z e dz

=

=

=

=

r r r

rrr

El vector de radiacin se puede interpretar como la transformada de Fourier unidimensional de las corrientes. Si el hilo de corriente uniforme, el vector de radiacin se calcula como.

'

'2

2

( ') '

( ')

2

( ) '

sin( )2( )

2cos( )

z

z

jk z

hjk z

hz

z

z

z

z

N z I z e dz

I z I

hz

N k z Ie dz

hk

N k zIhh

k

k k q

-

=

=

=

=

=

r

r

r

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