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SISTEMAS DE CONTROL APLICADO A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

Elaborado por:

Ing. Rodmy Miranda Ordoñez

La Paz, Marzo de 2009

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO A SISTEMAS DE POTENCIA

RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 2

INDICE GENERAL

1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL ............................................................... 3 1.1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3 1.2. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE CONTROL ................................................................... 3 1.3. SISTEMA NO REALIMENTADO ............................................................................................. 4 1.4. SISTEMA DE CONTROL REALIMENTADO ........................................................................... 4 1.5. CONCEPTO DE REALIMENTACIÓN ...................................................................................... 5 1.6. PROBLEMAS RESUELTOS .................................................................................................... 6 1.7. PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................................. 6

2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ....................................................................................... 8 2.1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 8 2.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................................................................ 8 2.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ..................................................... 8 2.4. TEOREMA DEL VALOR FINAL ............................................................................................... 9 2.5. TRANSFORMADA INVERSA DE LA PLACE .......................................................................... 9 2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS ............................................................................................... 10

3. MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÁMICOS .................................................... 11 3.1. CONCEPTOS SOBRE MODELOS MATEMÁTICOS ............................................................ 11 3.2. TÉCNICAS DE LINEALIZACION Y NORMALIZACION ........................................................ 11

3.2.1. LINEALIZACION DE SISTEMAS DINÁMICOS NO LINEALES .................................... 11 3.2.2. NORMALIZACIÓN ......................................................................................................... 13 3.2.3. Criterios que deben tomarse en cuenta para la normalizacion del sistema .................. 13

3.3. DIAGRAMAS DE BLOQUES Y SU TRATAMIENTO ............................................................. 13 3.3.1. CONCEPTO ................................................................................................................... 13 3.3.2. BLOQUE FUNCIONAL .................................................................................................. 14 3.3.3. SUMADOR O COMPARADOR ..................................................................................... 14 3.3.4. FLUJO DE SEÑAL ......................................................................................................... 15

3.4. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUE ................................................................... 15 3.5. MODELADO EN ESPACIOS DE ESTADOS ......................................................................... 16

3.5.1. REPRESENTACIÓN DE ESPACIO DE ESTADO ........................................................ 16 3.5.2. EL CONCEPTO DE ESTADO ....................................................................................... 16 3.5.3. PUNTOS DE EQUILIBRIO (O SINGULARIDADES) ..................................................... 16

3.6. PROBLEMAS PROPUESTOS ............................................................................................... 17 4. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA .................................................................... 21

4.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 21 4.2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN .......................................................................................... 21 4.3. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN ...................................................................................... 21 4.4. PARÁMETROS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA ............................. 22 4.5. PROBLEMAS DE ANÁLISIS ................................................................................................. 23 4.6. Problemas propuestos ........................................................................................................... 28

5. Acciones básicas de control ................................................................................................. 31 5.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 31 5.2. CONTROLADORES .............................................................................................................. 31 5.3. EFECTOS DE LAS ACCIONES DE CONTROL INTEGRAL Y DERIVATIVO SOBRE EL DESEMPEÑO DE UN SISTEMA. ................................................................................................. 31 5.4. CONTROLADORES HIDRÁULICOS ..................................................................................... 33

5.4.1. CONTROLADOR INTEGRAL ........................................................................................ 33 5.4.2. CONTROLADOR PROPORCIONAL ............................................................................. 34

5.5. REGLAS DE SINTONIZACIÓN PARA CONTROLADORES PID ......................................... 34 5.6. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR ..................................................................................... 35 5.7. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH ........................................................................... 36 5.8. PROBLEMAS DE ANÁLISIS ................................................................................................. 36 5.9. Problemas de análisis ............................................................................................................ 43



1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL

1.1. INTRODUCCIÓN El control automático ha desempeñado un papel muy importante en el avance de la ingeniería y la ciencia desde principios del siglo XX. En el área de electricidad, la habilidad de un sistema de potencia de mantener la estabilidad, depende de diversos controladores disponibles para amortiguar las oscilaciones electromecánicas producidas por un desbalance de potencia activa y/o reactiva, razón por la cual el estudio y diseño de sistemas de control es muy importante en la operación de sistemas eléctricos. Como los avances en la teoría y la práctica del control automático proporcionan los medios para conseguir un comportamiento óptimo de los sistemas dinámicos, mejorar la productividad, simplificar el trabajo de muchas operaciones manuales repetitivas y rutinarias, así como de otras actividades, la mayoría de los ingenieros deben tener un buen conocimiento de este campo.

1.2. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE CONTROL El control de una variable de proceso requiere de una estructura que incluye cuatro elementos (Proceso o Planta, Equipo de Medición o Sensor, Controlador, Elemento de Control Final o Actuador) conectados de tal manera que se establece un flujo de información que si es recirculada se describe como un lazo de control retroalimentado (Feedback). Si el controlador desarrolla su acción sin alimentarse de la información que se observa en la variable de proceso, se dice que es un control anticipatorio (Feedforward).

Figura 1.1. Esquema General de un Sistema de Control

A continuación se listan algunos términos utilizados en la teoría de sistemas de control. Sistema: Combinación de elementos ordenados que actúan conjuntamente y cumplen un determinado objetivo. Es un modelo de un dispositivo o de un conjunto de ellos existentes en el mundo real (sistema físico). En general, el estudio de sistemas físicos consta de cuatro partes: modelaje, descripción matemática, análisis y diseño. Proceso: Es un desarrollo natural progresivamente continuo, marcado por una serie de cambios graduales que se suceden uno al otro en forma relativamente fija y que conducen a un resultado o

Proceso o Planta

Equipo de Medición

Controlador Equipo de Actuación

Señal de Señal de

Señal de Señal de

Señal Manipulada

Señal de Salida



propósito determinados [Diccionario Merriam-Webster]. Un proceso es cualquier sistema que se desea controlar. Planta: Planta se denomina a cualquier equipo. Por convención se le llamará planta a cualquier equipo físico que ha de ser controlado. Una planta es grupo de sistemas a controlar, de forma que la planta también puede ser definida como un proceso cuando se controla un solo sistema. Perturbación: Es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema. La presencia de estas señales en un sistema en mayor o menor grado, es lo que justifica el uso de redes de realimentación y sobre todo de reguladores. Salida: Variable de interés que se desea mantener dentro de un rango determinado, incluso ante la afluencia de perturbaciones. Referencia: Entrada del sistema. Señal de mando directamente utilizable por el sistema, y que indica al controlador el valor deseado de la salida del sistema. Controlador o Regulador: Parte del sistema que mantiene la salida dentro de un ámbito permitido, con variaciones muy lentas y pequeñas (o sin variaciones) respecto a la referencia, esto a pesar de la presencia de perturbaciones. Actuador: Amplificador y muchas veces transductor, que permite el acople entre la señal de salida del controlador (señal de baja potencia) con la variable manipulada de la planta.

1.3. SISTEMA NO REALIMENTADO Es aquel que utiliza un controlador (un sistema) en cascada con el sistema a ser controlado (planta o proceso) para obtener la respuesta deseada, como se muestra en la Fig. 1.2.

Figura 1.2. Sistema de Control en Lazo Abierto

1.4. SISTEMA DE CONTROL REALIMENTADO Es aquel que utiliza una medida de la salida actual para compararla con la respuesta deseada, como se muestra en la Fig. 1.3. Un sensor o transductor es un dispositivo que convierte una señal a otra, generalmente eléctrica. Ejemplos: potenciómetros, tacogeneradores, termocuplas, termistores, presóstatos, flotadores, etc.

Figura 1.3. Sistema de Control en Lazo Cerrado

Comparador Controlador Actuador Planta

Transductor

r e u c

p

Controlador PlantaSalidaEntrada

Valor Deseado



r: señal de referencia e: señal de error u: señal de actuación o variable de control c: señal de salida p: señal de perturbación o ruido

1.5. CONCEPTO DE REALIMENTACIÓN El conocimiento del modelo matemático del sistema sobre el que se debe tomar una decisión para gobernar su funcionamiento, no es suficiente para la toma de esta decisión. Se requiere además información sobre lo que, de una forma intuitiva de momento se puede denominar estado actual del mismo. Considere una persona que debe realizar su recorrido habitual desde su domicilio al trabajo en su automóvil, definiendo como proceso el llevar el vehículo desde el domicilio al trabajo. En este sentido, el conductor representara desde su posición de gobierno de la conducción del automóvil al controlador del proceso y los objetos existentes a lo largo del camino como ser otros vehículos, señales de tránsito, transeúntes, etc., se convierten en perturbaciones en el proceso. El conductor llevara adelante el proceso solamente si advierte los obstáculos en el camino valiéndose para esto de sus ojos, que le permiten tener información sobre el estado actual del automóvil y lograr de esta forma la toma de decisión adecuada para evitar los obstáculos. Por lo señalado, los ojos del conductor representan la realimentación necesaria para lograr un grado de eficacia en el proceso de llevar el vehículo al lugar de destino. Un sistema de control realimentado o en lazo cerrado, se conoce como un sistema de control automático. La Figura 1.4, es un diagrama de bloques de un sistema de control industrial que consiste de un controlador automático, un elemento de control final, un proceso y un sensor (elemento de medición). Es un lazo cerrado donde la variable de salida del proceso se mide y retroalimenta al controlador quien determina el error de dicha medida con su valor de referencia y genera una acción que ejecuta el elemento de control final para ajustar la variable de control al valor deseado.

Figura 1.4. Sistema de Control en Lazo Cerrado

ControladorEquipo

deActuación

Proceso

Sensor

Error Salida

+-

Referencia



1.6. PROBLEMAS RESUELTOS

1. Señalar los componentes que forman la estructura del sistema de control de la siguiente figura.

Figura E1.1. Sistema de Control en Lazo Abierto

El sistema de control en lazo abierto de una lavadora, tiene como señal de entrada o referencia el grado de limpieza deseada, y como señal de salida el grado de limpieza actual. El controlador y la planta corresponden al equipo de lavado “lavadora”. Debido a que la operación de la lavadora se define en base a un tiempo determinado, la maquina no mide efectivamente que la señal de salida, que es la limpieza de la ropa.

1.7. PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Señalar los componentes que forman la estructura de los sistemas de control presentados a continuación. a. Sistema de Control Manual



b. Sistema de Control en Lazo Cerrado de un sistema térmico

c. Sistema de Control en Lazo Cerrado multivariable



2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.1. INTRODUCCIÓN La transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales. Mediante el uso de la transformada de Laplace, es posible convertir muchas funciones comunes tales como las funciones senoidales, selenoidales amortiguadas y funciones exponenciales en funciones algebraicas de una variable s compleja. Una ventaja del método de la transformada de Laplace es que permite el uso de técnicas graficas para predecir el desempeño del sistema, sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales del sistema.

2.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE Definimos: f(t) función del tiempo t tal que f(t)=0, para t<0 s variable compleja

símbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar mediante la integral de Laplace La transformada de Laplace de f(t) se obtiene mediante:

·

La transformada inversa de Laplace para t>0 es:

12

·

La transformada de Laplace de cualquier función f(t) se encuentra multiplicando f(t) por e integrando este producto desde t=0 a t=∞. Sin embargo una vez que conocemos el método para obtener la transformada de Laplace, no es necesario obtener cada vez la transformada de Laplace f(t). Es posible usar tablas de transformadas de Laplace (En el anexo 1, se presenta un resumen de las principales transformadas de Laplace).

2.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A continuación se presentan algunas propiedades más usadas de la transformada de Laplace, donde se considera f(t) y g(t) cuentan con transformada de Laplace. Teorema de Linealidad:



· · · ·

Teorema de Convolución

· Primer Teorema de Traslación:

· Teorema de la Derivada

· 0

· · 0

Teorema de la Integración

2.4. TEOREMA DEL VALOR FINAL El teorema del valor final relaciona el comportamiento en el estado estable de f(t) con el comportamiento de sF(s) en la vecindad de s=0. Sin embargo este teorema se aplica si y solo si

existe lim (lo que significa que f(t) se asienta en un valor definido para t→∞). Si todos los

polos de sF(s) se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, existe lim . Pero si F(s) tiene polos en el eje imaginario o en el semiplano derecho del plano s, f(t) contendrá funciones

de tiempo oscilantes o exponencialmente crecientes respectivamente y lim no existira. El teorema de valor final no se aplica en tales casos.

lim lim ·

El teorema de valor final plantea que el comportamiento en estado estable de f(t) es igual que el comportamiento de sF(s) alrededor de s=0. Por lo tanto, es posible obtener f(t) en t=∞ directamente de F(s).

2.5. TRANSFORMADA INVERSA DE LA PLACE Un método conveniente de obtener la transformada de Laplace es usar una tabla de transformadas de Laplace. En este caso, la transformada de Laplace debe tener una forma que reconozca de inmediato en la tabla. Si una transformada especifica F(s) no se encuentra en la tabla, puede expandirse en fracciones parciales y escribir en términos de funciones simples de s para las cuales ya se conocen las transformadas inversas de Laplace. En la expansión de F(s)=B(s)/A(s) en fracciones parciales es importante que la potencia más alta de s en A(s) sea mayor que la potencia más alta de s en B(s). Si tal no es el caso, el numerador B(s) debe dividirse entre el denominador A(s) para producir un polinomio s además de un residuo (un cociente de polinomios en s, cuyo numerador sea un grado menor que el denominador).




1. Hallar la Transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:

a) s40s22s

160s32s67s43s2)s(F

23

234

b) 2s2ss

1)s(F

2

c)

3s1ss

2s5)s(F

2

d)

2s1s

3s)s(F

e) 2s1s

7s9s5s)s(F

23

f) 5s2s

12s2)s(F

2

2. Resolver mediante Laplace las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:

a) 3)t(x;0)0(x;0)t(x6)t(xdt

d3)t(x

dt

d2

2

b) b)t(x;a)0(x;0)t(x2)t(xdt

d3)t(x

dt

d2

2

c) 0)t(x;0)0(x;3)t(x5)t(xdt

d2)t(x

dt

d2

2

3. Sea un vehículo submarino no pilotado (UFSS, “Unmanned Free-Swimming Submersible”). La

función de transferencia que relaciona su ángulo de cabeceo, θ(s), con el ángulo de timón δe(s) es:

Utilizando la transformada inversa de Laplace, encontrar la expresión analítica de la respuesta temporal del ángulo de elevación θ(t) a una entrada escalón unitario en el ángulo del timón δe(t).

)01.02.0()2(

)5.0(1.0

)(

)(2

sss

s

s

s

e



3. MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÁMICOS

3.1. CONCEPTOS SOBRE MODELOS MATEMÁTICOS Para generar un modelo matemático, es necesario cumplir con una etapa previa, denominada etapa de cualificacion del fenómeno. Cualificar un fenómeno no es otra cosa que explicar y/o entender cualitativamente lo que está sucediendo. Una vez consolidado la etapa de cualificación del fenómeno, viene la etapa de cuantificación que no es otra cosa que ponerle nombre y apellido a los fenómenos producidos. El resultado de este proceso nos genera el concepto "modelo matemático" (generar ecuaciones). Un modelo matemático se puede definir como la ecuación o conjunto de ecuaciones diferenciales que cuantifican la dinámica o movimiento de un sistema. Los modelos matemáticos pueden explicitarse tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:

a. Dominio del tiempo

Ecuaciones integro-diferenciales Indices de comportamiento Espacio de estado

b. Dominio de la frecuencia

Diagramas de bloque Flujos de senales

3.2. TÉCNICAS DE LINEALIZACION Y NORMALIZACION

3.2.1. LINEALIZACION DE SISTEMAS DINÁMICOS NO LINEALES

Consideremos un sistema no lineal con una entrada y una salida, como se presenta en la figura 1:

x y

Cuyo modulo matemático, esta dado por la ecuación:

y = f(x)

Donde: x es la señal de entrada del sistema en el dominio del tiempo. y es la señal de salida del sistema en el dominio del tiempo.

Para linealizar el sistema, se requiere realizar algunas consideraciones:

SISTEMA



a) El modelo linealizado debe ser un modelo lo más preciso y exacto posible. Exacto en su

estructura. Preciso en los resultados que se desean obtener, como producto de su dinámica.

b) Se debe establecer, un nuevo punto de comportamiento o funcionamiento, que establezca la base necesaria para generar el modelo lineal, debe definirse lo más próximo posible al punto definido como comportamiento o funcionamiento real del sistema.

De lo señalado considerando:

(x, y) punto real de funcionamiento. , nuevo punto de funcionamiento.

0 (valor muy pequeño). Si desarrollamos: y = f(x) mediante la serie de Taylor para un el nuevo punto de funcionamiento, tenemos la siguiente expresión:

11!

12!

13!

Aplicando el criterio de: 0, los términos elevados a potencias iguales o mayores a 2 en la ecuación anterior, serán iguales a cero. Asimismo, considerando las siguientes relaciones:

La expresión de y linealizada será:

· (1)

Para un sistema no lineal cuya salida y es una función de dos entradas x1 y x2 de forma similar a lo señalado anteriormente se tendrá lo siguiente:

,

Linealizando se tiene:

· · (2)

Donde:

,

;

;



3.2.2. NORMALIZACIÓN

Es muy común en la práctica encontrarse con sistemas de control que se encuentran conformados por un conjunto de subsistemas de naturaleza diferente. Por ejemplo, si hablamos o hacemos mención a un sistema de control de velocidad para un motor de corriente continua, vamos a poder observar que el mismo está conformado por otro sistema cuyas naturalezas difieren entre sí (naturaleza eléctrica, mecánica, electrónica, etc.). Si hacemos referencia a las unidades que se manejan dentro de este sistema de control vamos a poder ver que estas difieren unas de las otras. Esto implica que los sistemas no tienen las mismas unidades. En este sentido, resulta de suma importancia el de uniformizar de alguna manera las unidades que se manejan en el sistema. La técnica utilizada con este propósito se denomina normalizacion de sistemas. Se genera una unidad estandar denominada "por unidad - porcentual", se definen:

- Unidad de referencia (unidad base) - Unidad real

- Unidad o valor nominal Vn, es una cantidad constante independiente del tiempo, valor

máximo permisible.

- Unidad real V(t), unidad o valor instantáneo, dependiente del tiempo que muestra la dinámica del sistema en un tiempo determinado.

Definimos al valor normalizado como:

. .

Este valor es una magnitud adimensional.

3.2.3. Criterios que deben tomarse en cuenta para la normalizacion del sistema

a) Identificados los valores instantáneos o reales que deben formar parte de la dinámica del

sistema, debe establecerse una base de datos de todos los posibles valores nominales que se pueden obtener dentro del comportamiento del sistema.

b) En función de lo establecido dentro del modelo matemático que cuantifica la dinámica del

sistema (que puede estar compuesto por una o más ecuaciones) se determinan las ecuaciones normalizadas.

3.3. DIAGRAMAS DE BLOQUES Y SU TRATAMIENTO

3.3.1. CONCEPTO

Es un modelo de carácter grafico, mediante el cual se representa las partes componentes de un sistema de control y su relacionamiento de señales básicamente está conformado por tres elementos:

a) El bloque funcional b) El sumador o comparador c) Un flujo de señales



3.3.2. BLOQUE FUNCIONAL

Es el elemento gráfico del diagrama de bloques, que representa dentro del mismo a los elementos, o en su caso subsistemas de un determinado sistema y/o sistema de control. Se puede representar a través de un rectángulo, con un denominativo especifico.

F(s) = Función de transferencia (Denominativo). Como se puede observar el denominativo es una función en el dominio de la frecuencia, comúnmente denominada función de de transferencia. Se define a una función de transferencia como la relación que existe (cociente) entre la señal de salida y la señal de entrada de un determinado sistema, en el dominio de la frecuencia y para condiciones iníciales y/o de frontera nulas. En términos generales si consideramos que el modelo matemático en el dominio del tiempo está dado por la ecuación diferencial:

En donde C(t) es la salida del sistema y R(t) es la entrada. Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación anterior y considerando las condiciones iníciales igual a cero, el sistema en el dominio de la frecuencia será:

Por definición, la función de transferencia H(s) del sistema será:

H sC sR s

3.3.3. SUMADOR O COMPARADOR

Se define como aquel elemento abstracto en algunos casos suceptibles a una interpretación física de un diagrama de bloques que nos permite representar el producto o la suma de dos o más de dos señales. Se utiliza generalmente cuando no existe ningún vínculo de carácter estructural entre dos o más señales.

F(s)



x1(s) y1(s)

x2(s) y2(s)

x3(s) y3(s)

En forma general:

De forma similar para el producto de funciones:

3.3.4. FLUJO DE SEÑAL

Es un elemento de un diagrama de bloques que tiene la función de vincular de una u otra manera a los bloques funcionales, comparadores y/o sumadores de un determinado sistema. En este sentido, se encuentra explicito la dinámica o movimiento del sistema.

Flujo de señal

La obtención de un diagrama de bloques establece los siguientes pasos a seguir:

a) En el sistema dinámico a analizar, identificar cual será la señal de entrada y la señal de

salida. Esto será definido en base a lo que se quiere obtener del sistema de control. b) Una vez que se han identificado las señales de entrada y salida, se debe establecer las

ecuaciones que gobiernan la dinámica del sistema. Para esto es adecuado escribir una ecuación integro-diferencial por cada subsistema que forma parte del sistema dinámico a analizar.

c) Mediante la transformada de Laplace, llevar todas las funciones en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Cada ecuación integro-diferencial en el dominio del tiempo, transformada en una ecuación algebraica en el dominio de la frecuencia debe representar un bloque funcional.

d) Utilizando flujos de señales, comparadores y/o sumadores vincular en forma lógica todos los bloques funcionales del sistema dinámico utilizando las señales de salida de un subsistema como una señal de entrada para otro subsistema. Es necesario que las señales de entrada y salida del sistema dinámico correspondan a las señales de entrada y salida del conjunto de bloques funcionales que forman la función de transferencia del sistema dinámico.

3.4. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUE

H1(s) H2(s)



Consiste en reducir un diagrama de bloques en un solo bloque funcional con una sola entrada y salida. Para este propósito es importante generar algunos criterios básicos de reducción de diagramas de bloque sencillos.

3.5. MODELADO EN ESPACIOS DE ESTADOS La teoría de control moderna contrasta con la teoría de control convencial en que la primera se aplica a sistemas con entradas y salidas múltiples, que pueden ser lineales o no lineales, en tanto que la segunda solo se a aplica a sistemas lineales con una entrada y salida invariantes en el tiempo. Asimismo, la teoría de control moderna es esencialmente un enfoque en el dominio del tiempo, en tanto que la teoría de control clásico es un enfoque en el dominio de la frecuencia.

3.5.1. REPRESENTACIÓN DE ESPACIO DE ESTADO

El comportamiento de un sistema dinámico como el de un sistema eléctrico de potencia, puede ser descrito mediante un conjunto de n ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden de la siguiente forma:

, , … . , ; , , … . , ; 1,2, … ,

Donde n es el orden del sistema y r es el número de entradas. Esto puede ser escrito en la siguiente forma usando notación vector-matriz:

, ,

Donde:

El vector columna x es referido como vector de estado, y sus elementos xi como variables de estado. El vector columna u es el vector de entradas del sistema. Estas son las señales externas que influencian el funcionamiento del sistema. El tiempo es denotado por t, y la derivada de una variable de estado x con respecto al tiempo es denotado por x.

3.5.2. EL CONCEPTO DE ESTADO

El estado de un sistema representa la cantidad mínima de información acerca del sistema en cualquier instante t0 que es necesario para que su comportamiento futuro pueda ser determinado sin necesidad de saber entradas anteriores a t0. Las variables de estado pueden ser cantidades físicas en un sistema, como el ángulo, velocidad, voltaje, o pueden ser variables matemáticas abstractas asociadas con las ecuaciones diferenciales que describen la dinámica del sistema. La selección de las variables de estado no es única. Esto no significa que el estado del sistema en cualquier tiempo no es única; solamente que el significado de representación de la información de estado no es única. Cualquier conjunto de variables de estado que nosotros escojamos producirá la misma información acerca del sistema.

3.5.3. PUNTOS DE EQUILIBRIO (O SINGULARIDADES)



Los puntos de equilibrio son aquellos donde todas las derivadas x , x , … . , x son simultáneamente cero. El equilibrio o punto de singularidad debe satisfacer la ecuación:

0

Donde: x0 es el vector de estado x en el punto de equilibrio.

Un sistema lineal tiene un solo estado de equilibrio (si la matriz del sistema es no singular). Para sistemas no lineales puede existir más de un punto de equilibrio. Los puntos de singularidad son verdaderamente característicos del comportamiento de la dinámica del sistema y por lo tanto se puede conocer acerca de la estabilidad desde su naturaleza.


1. Reducir el siguiente diagrama de bloques a un solo bloque Y/R

2. Encontrar la función de transferencia VL(s)/V(s) del circuito eléctrico mostrado en la figura, en torno al punto de equilibrio i = i0 = 14.78 A. La resistencia eléctrica rnl es no lineal, con una relación tensión-corriente definida por ir = 2 e0.1 Vr. Se supone que las señales aplicadas son pequeñas.

3. El circuito equivalente de la maquina sincrónica de polos lisos para estudios de estabilidad de centrales termoeléctricas se presenta en la siguiente figura, y las ecuaciones que gobiernan su funcionamiento se detallan líneas abajo. a. Determinar el diagrama de bloques que representa al modelo de este generador

sincrónico.

G1 G2 G3

H3

H1

H2

Y R ‐

‐‐

+

+ ‐ v(t)

vL(t)L = 1 H

20 V

rnl

i(t)



b. Considerando un sistema lineal, determinar las ecuaciones de estado y su representación en espacios de estado.

A continuación se presenta un sumario de las ecuaciones de la máquina sincrónica, como un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden, con el tiempo (t) en segundos, el ángulo del rotor () en radianes eléctricos, y todas las otras cantidades en por unidad. Ecuaciones de movimiento

ro

rDeMr

t

KTTHt

2

1

Donde: o = 2o rad eléctricos/s r = desviación de velocidad del rotor en p.u.

Ecuaciones de los circuitos en el rotor

qqoq

qqoq

ddod

fdfdofdadu

fdofd

iRt

iRt

iRt

iREL

R

t

222

111

111

Las corrientes del rotor están dadas por:

d ad q aq



aqqq

q

aqqq

q

addd

d

adfdfd

fd

Li

Li

Li

Li

22

2

11

1

11

1

1

1

1

1

Los enlaces de flujo mutuo del eje directo y del eje de cuadratura son:

d

d

fd

fddadsad LL

iL1

1"

q

q

q

qqaqsaq LL

iL2

2

1

1"

donde:

dfdads

ads

LLL

L

1

1111

"

qqaqs

aqs

LLL

L

21

1111

"

Donde Lads y Laqs son valores saturados de las inductancias mutuas de los ejes directo y de cuadratura y se calculan mediante:

aqusqaqs

adusdads

LKL

LKL

Ksd y Ksq son calculados como una función del enlace de flujo del entrehierro at.

Ecuaciones del voltaje del estator



Sin tomar en cuenta los transitorios del estator

ttqd

, ni tampoco la variación de la

velocidad

o

, como se sugiere en la referencia 1, el voltaje del estor puede ser escrito de

la siguiente manera:

qddqaq

dqqdad

EiXiRe

EiXiRe

''''

''''

Con:

d

d

fd

fdadsq

q

q

q

qaqsd

LLLE

LLLE

1

1

2

2

1

1

''''

''''

El par ó momento del entrehierro ( eT ) requerido para la solución de la ecuación de oscilación

es:

daqqade iiT



4. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA

4.1. INTRODUCCIÓN Para el análisis analítico de los sistemas de control, se utilizan señales de prueba típicas, tales como: escalón, rampa, parábola, impulso, senoidales, etc. Ya que con dichas señales es posible realizar con facilidad análisis matemático y experimental de los sistemas de control. La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia bajo una operación normal determinara cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema. La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: respuesta transitoria y respuesta en estado estable. Para mayor comprensión definiremos algunos conceptos. Estabilidad Absoluta: Es la característica más importante del comportamiento dinámico de un sistema de control, es decir si el sistema es estable o inestable. Un sistema será estable si sus polos simples se encentran en el semiplano izquierdo del plano complejo. Estabilidad relativa: Es la estabilidad o respuesta transitoria, es decir la que va de un estado inicial a un estado final. Esta respuesta transitoria, se debe a que la salida del sistema cuando está sujeto a una entrada, no sucede a la entrada de inmediato, debido a que todo sistema de control físico implica un almacenamiento de energía. Error en estado estable: Es la diferencia entre la salida y la entrada de un sistema. Este error indica la precisión del sistema.

4.2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Dominio del tiempo (t): Su ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del sistema es de orden 1. Dominio de la frecuencia (s): El polinomio característico de la función de transferencia del sistema es de grado 1.

4.3. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN (t): El modelo matemático del sistema tiene una ecuación diferencial de orden 2. (s): El polinomio característico de la función de transferencia del sistema es de grado 2. La función de transferencia de un sistema de segundo orden, puede ser representado en forma general como:

22

2

2)(

)(

nn

n

sssR

sC

donde:

n , es la frecuencia natural no amortiguada.

, factor de amortiguamiento relativo del sistema.

El comportamiento dinámico de este tipo de sistema se describe a continuación en términos de n

y . Si 0< <1, los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el

semiplano izquierdo del plano s. El sistema se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si =1, el sistema se denomina críticamente amortiguado. Los sistemas



sobreamortiguados corresponden a >1. La respuesta de los sistemas críticamente amortiguados

y sobreamortiguados no oscila. Si =0, la respuesta transitoria no se amortigua.

4.4. PARÁMETROS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA Es una característica que defina la respuesta transitoria de un determinado sistema. Estos parámetros son: Tiempo de retardo (td): es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final. Tiempo de levantamiento (tr): es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90% o del 0 al 100% de su valor final. Tiempo pico (tp): es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso. Sobrepaso Máximo (Mp): es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Tiempo de asentamiento (ts): es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general de 2 a 5%) y permanezca dentro de este rango.

Los parámetros de la respuesta transitoria de un sistema de segundo orden a causa de una entrada escalón unitario, puede ser calculada por las siguientes ecuaciones:

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Especif icaciones de la respuesta transitoria

c(t)

+/-0.02

Mp

tp tr ts td



nts

eMp

dtp

4

)1/( 2

......(1)

Nota.- tS , es considerado con el criterio de 2%.

4.5. PROBLEMAS DE ANÁLISIS 1. Un termómetro requiere de 1 minuto para alcanzar el 98% del valor final de la respuesta a una

entrada escalón. Suponiendo que el termómetro es un sistema de primer orden, encuentre la constante de tiempo. Si el termómetro se coloca en un baño, cuya temperatura cambia en forma lineal a una velocidad de 10°/min, ¿Cuánto error muestra el termómetro? Determina la respuesta del sistema para una entrada impulso unitario.

Solución. Un sistema térmico de primer orden puede ser representado, como:

1

1

)(

)(

TssR

sC

Dado que la transformada de Laplace de la función escalón unitario es 1/s, sustituyendo R(s)=1/s, en la anterior ecuación, tenemos:

)2...)/1(

111

1

1)(

TsssTssC

Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación (2), obtenemos:

Ttetc /1)( para t>=0

Según el problema, para t=60s, c(t)=0.98, reemplazando los valores numéricos a c(t), hallamos T: T = 15,337 b) Para una entrada rampa, con pendiente 10, representamos la velocidad de 10°/min. La transformada de Laplace de una función rampa de pendiente 10 es 10/s2 , remplazando R(s)=10/s2, obtenemos:

)3.......1

110

10

1

1)(

2

22

Ts

T

s

T

ssTssC

Tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación (3), obtenemos:

)(10)( / TtTeTttc , para t>=0

De este modo la señal de error e(t) es:



)1(10)(

)()()(/ TteTte

tctrte

Conforme t tiende a infinito, la señal de error es: Te )(

La representación del sistema en MATLAB, es: Programa 1_1 %----respuesta escalón unitario---- %1. Introducir el numerador y denominador %del sistema num=[0 1]; den=[15.337 1]; %2. Determinando la respuesta a una %entrada escalón unitario step(num,den) %2.1. dando un formato a la grafica grid title('Respuesta escalón unitario de G(s)=1/(Ts+1)') pause

%3. Encontramos la respuesta y el error a una %entrada rampa %3.1.cambiando la función de transferencia del sistema %de manera de utilizar el comando step, para obtener una %función rampa num1=[0 0 10]; den1=[15.337 1 0]; t=0:0.8:80; %Especificamos los puntos a evaluar en la graf. c=step(num1,den1,t); %3.2.Al graficar la curva de la respuesta rampa, añadimos la %entrada r(t)=10t. plot(t,c,'o',t,10*t,'-') %agregamos reticula, titulo y etiquetas x y y. grid title('Curva de respuesta rampa de G(s)')

Step Response

Time (sec.)

Am

plitu

de

0 15 30 45 60 75 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1From: U(1)

To: Y

(1)



xlabel('t Seg.') ylabel('Entrada y Salida') %el error será e=10*t(1,100)-c(100,1)

2. Considere el sistema mecánico de la figura 1, suponga que el sistema está inicialmente en

reposo y que en t=0 se pone en movimiento mediante una fuerza impulso unitario. Obtenga un modelo matemático para el sistema. Después encuentre el movimiento del sistema.

Solución. El modelo matemático para este sistema será:

)(tkxxm

Tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de está ultima ecuación, y considerando las condiciones iniciales igual a cero, la posición de la masa será:

kmssX

2

1)(

La posición de la masa en el dominio del tiempo se obtiene aplicando la transformada inversa de Laplace a X(s):

tm

ksen

mktx

1)(

0 10 20 30 40 50 60 70 800

100

200

300

400

500

600

700

800Curva de respuesta rampa de G(s)

t Seg.

Ent

rada

y S

alid

a



La oscilación es un movimiento armónico simple. La amplitud de la oscilación es mk/1 . 3. La figura 2a muestra un sistema vibratorio mecánico. Cuando se aplica al sistema una fuerza

de 2lb (entrada escalón), la masa oscila como se aprecia en la figura 2b. Determine m, b y k del sistema a partir de está curva de respuesta. El desplazamiento x se mide a partir de la posición de equilibrio.

Solución. La función de transferencia de este sistema es:

kbsmssP

sX

2

1

)(

)(

Dado que:

ssP

2)(

el valor en estado estable de x es:

ftkkbsmss

sssXxss

1.02

)(

2lim)(lim)(

200

Por tanto: K = 20 lbf/ft De la figura 2(b) , podemos ver que Mp = 9.5% corresponde a =0.6. El tiempo pico tp se obtiene

mediante:

nn

pt

8.01 2

La curva experimental muestra que tp = 2 s. Por tanto.

]/[96.1 sradn

Dado que mmkn /20/2 , obtenemos:



][1662.520

2lbslugsm

n

Después b se determina a partir de:

]/[2.122.5*96.1*6.0*22 ftslbmb fn

El programa 1_2, muestra la representación del sistema en MATLAB: Programa 1_2 %respuesta escalón de un sistema de segundo orden %G(s)=1/(ms2+bs+k) %1. Introducir el numerador y denominador del sistema %mediante el uso de variables m=5.2; b=12.2; k=20; num=[0 0 2]; %la entrada es P(s)=2/s den=[m b k]; %2. Determinando la respuesta a una %entrada escalón unitario step(num,den) %2.1. dando un formato a la grafica grid title('Respuesta escalón unitario de G(s)=2/(ms2+bs+k)') xlabel('t Seg.') ylabel('x(t)')

4. Un diagrama de bloques simplificado representa el control de velocidad de un generador

hidráulico alimentando una carga aislada como se muestra en la figura. La turbina está representada por el modelo clásico y el gobernador por una ganancia Kg=1/R. El generador está representado en términos de la inercia combinada del rotor del generador y la turbina. Si Tw=2s, Tm=10s, y Kd=0, determine (i) El valor mínimo de el amortiguamiento R para el cuál la velocidad del gobernador es estable, (ii) el valor de R para el cuál la acción del controlador es críticamente amortiguado, (iii) el valor de R de manera de obtener un sobrepaso máximo de 10% en 0.3s.

t Seg.

x(t)

Respuesta escalón unitario de G(s)=2/(ms2+bs+k)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12From: U(1)

To: Y

(1)



Solución. La ecuación característica de el sistema en lazo cerrado es:

012910(10

01

10

1

1

211

2

sRRs

óRss

s

(i) Para que el sistema sea estable, las raíces de la ecuación característica tienen que estar en el lado izquierdo de el plano complejo s. En el caso de una ecuación cuadrática, una condición necesaria y suficiente es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos. Por lo tanto: 10R>0 ó R>0 y 10R-2>0 ó R>0.2 El valor más pequeño de R que resulta en una respuesta estable es 0.2 ó 20% (ii) Para una amortiguamiento critico

0)10(4210 2 RR

Resolviendo el sistema

0536.0

746.0

2

1

R

R

Con R1=0.746 obtenemos el amortiguamiento critico y respuesta estable. Y R2=0.0536 es menor que el valor limite de 0.2, por lo tanto no corresponde a una respuesta estable.

4.6. Problemas propuestos 1. Considere el sistema de la figura 3. Un servomotor de cd controlado por armadura, maneja una

carga formada por el momento de inercia Jl. El par que desarrolla el motor es T. El desplazamiento angular del motor y del elemento de carga son m y , respectivamente. La

relación de engranes es n= / m . Obtenga la función de transferencia )(/)( sEis .

Determine valores numéricos del sistema de manera de obtener un respuesta con un sobrepaso de 15% para un tiempo pico de 0.5s, debido a una entrada escalón. Obtenga la respuesta en Matlab de dicho sistema.

Ref.Vel.

dWdPm-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s+Kd

Generador

1/R

Gain



2. La figura 4 muestra un sistema que consiste en 4 unidades de 555 MVA, 24 kV, 60 Hz cada

una. Los valores pasivos que se muestran en la figura están en por unidad sobre una base de 2220 MVA, 24 kV (referidos al lado de baja tensión, del transformador elevador).

El objetivo de este ejemplo es de analizar las características de estabilidad del sistema lineal cerca del punto de operación en estado estable, seguido de la perdida del circuito 2. Las condiciones de posfalla del sistema sobre la misma base son: P = 0.9; Q = 0.3 (sobreexcitado); Et = 1/36° ; Eb = 0.995/0° Los generadores pueden ser modelados como un generador equivalente representado por el modelo clásico con los siguientes parámetros expresados en por unidad sobre la misma base: Xd’ = 0.3; H = 3.5 MW*s/MVA a) Escriba las ecuaciones de estado linealizadas de el sistema. Determine si el sistema es estable o no, halle la frecuencia natural no amortiguada, amortiguada, el coeficiente relativo de amortiguamiento, para cada uno de los siguientes valores de coeficiente de amortiguamiento (en torque pu/velocidad pu): (i) Kd=0 ; (ii) Kd=-10; (iii) Kd=10 b) Para el caso con Kd=10, determine la respuesta en el tiempo si en t=0, 5 y .0 Obtenga está respuesta en Matlab.



3. Para que valores de g, el sistema realimentado mostrado en el siguiente diagrama es estable.

4. Determinar los valores de k que hagan que el siguiente sistema sea estable.

X(s) Y(s)

g

1

(s+3)(s+1)

G(s)

X(s) Y(s)

k

s

1

(s+1)

G(s)1

1

(s+1)G(s)



5. Acciones básicas de control

5.1. INTRODUCCIÓN Un controlador real automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control que reducirá la desviación a cero ó a un valor pequeño.

5.2. CONTROLADORES Los controladores industriales se clasifican de acuerdo con sus acciones de control, como:

1. De dos posiciones o de encendido y apagado 2. Proporcionales 3. Integrales 4. Proporcionales – integrales 5. Proporcionales – derivativos 6. Proporcionales – integrales – derivativos

Ó de acuerdo con el tipo de energía que utilizan en su operación, como neumáticos, hidráulicos ó electrónicos. El controlador detecta la señal de error, que por lo general está a un nivel de potencia bajo, y la amplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida del controlador se alimenta a un actuador, tal como un motor o una válvula neumática, un motor hidráulico, o un motor eléctrico. (El actuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada para la planta de acuerdo con la señal de control, a fin de que la señal de salida se aproxime a la señal de referencia.)

5.3. EFECTOS DE LAS ACCIONES DE CONTROL INTEGRAL Y DERIVATIVO SOBRE EL DESEMPEÑO DE UN SISTEMA.

Acción de control integral. En el control proporcional de una planta, cuya función de transferencia no posee un integrador 1/s, hay un error de estado estable, o desplazamiento (offset), en la respuesta para una entrada escalón. Tal offset se elimina si se incluye la acción del control integral en el controlador. Ejemplo 3.1. Como ejemplo analizaremos la acción de control integral, sobre un sistema de primer orden (planta).

Primero obtendremos la respuesta para un cambio escalón unitario en la entrada al sistema de la figura E3.1(a), el cuál tiene un controlador proporcional.

R(s) C(s)E(s) R(s) C(s)E(s)

Figura E3.1

(a)

K

controladorproporcional

K

s

controladorintegral

1

T.s+1

Planta1

1

T.s+1

Planta

(b)



La función de transferencia en lazo cerrado entre C(s) y R(s) es:

KTs

K

sR

sC

1)(

)(

Ya que la entrada es un escalón unitario R(s)=1/s. La respuesta C(s) será:

tT

K

eK

Ktc

T

Ks

sK

K

KTsssC

1

11

)(

111

11

11)(

(3.1)

De acuerdo con esto observamos que, conforme t tiende a infinito, el valor de c(t) tiende a K/(1+K). Por lo tanto el error e(t) = r(t)-c(t), en estado estable será:

1

1)(

Keess

Ahora mostraremos que tal error se elimina si se incluye en el controlador una acción de control integral, como se muestra en la figura E3.1(b). La función de transferencia en lazo cerrado entre C(s) y R(s) es:

KTss

K

sR

sC

)1()(

)( (3.2)

El error en estado estable para la respuesta escalón unitario se obtiene aplicando el teorema del valor final del modo siguiente:

0

11

)(2

00limlim

ss

ssss

e

KsTs

K

ssssEe

Por lo visto, el control integral elimina el error en estado estable. Acción de control derivativa. Una ventaja de usar un control derivativo es que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Por tanto, el control derivativo prevé el error, inicia una acción correctiva oportuna y tiende a aumentar la estabilidad del sistema. Este modo no se emplea solo, se usa junto con una acción proporcional o proporcional-integral.

Características de la acción de control proporcional-integral-derivativa PID. El controlador PID tiene varias funciones importantes: suministra una retroalimentación, tiene la habilidad de



eliminar el error de estado estable a través de la acción integral, se puede anticipar a posibles fallas a través de la acción derivativa. Como se indico anteriormente, los controladores pueden clasificarse como: neumáticos, hidráulicos ó electrónicos. A continuación describiremos algunos controladores hidráulicos y obtendremos su representación, como función de transferencia.

5.4. CONTROLADORES HIDRÁULICOS

5.4.1. CONTROLADOR INTEGRAL

Flujo de aceite: )()/( stskgq (1)

Desplazamiento del pistón = )/()()( 32 mKgmAmy (2)

Igualando 1 y 2 yAtq (3)

Suponemos que el flujo de aceite (q) es proporcional al desplazamiento x de la válvula piloto Kxq (4)

reemplazando en la ecuación 2 y aplicando la transformada de La Placa se obtiene:

s

K

sX

sY i)(

)( (5)

Donde: A

KKi (6)

La ecuación (6), representa la expresión matemática de un integrador, por lo que el mecanismo válvula piloto – servomotor actúa como un controlador integral.

x

y

I II

Servom otor

Aceite apresión

VálvulaPiloto

DrenajeDrenaje



5.4.2. CONTROLADOR PROPORCIONAL

PKa

b

sE

sY

)(

)(

A continuación mostramos una aplicación de esto: Controlador de velocidad mecánico-hidráulico En unidades antiguas, la función del gobernador es realizada usando componentes hidráulicos y mecánicos, como se muestra en la figura

5.5. REGLAS DE SINTONIZACIÓN PARA CONTROLADORES PID El proceso de seleccionar los parámetros del controlador que cumplan con las especificaciones de desempeño se conoce como sintonización del controlador. A continuación mostraremos las reglas de sintonización de Zeigler-Nichols.

Primer Método: La respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se obtiene de manera experimental Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de repuesta escalón puede tener la forma de S. Si la respuesta de la planta al escalón no tiene la forma de S no debe aplicarse el método.

Transient droop adjuster

Needle valve

Compensating dashpot

Fast Slow

Speed droop

Pilot servo

Pilot valve

Relay valve

Gate servomotor

a

b

g

dSpeeder rod

Fkyballs

Speed adjustment

x

y

I II

S e rvo m o to r

A ce ite ap re s ió n D re n a jeD re n a je

b

a

e



En este caso, la función de transferencia se aproxima mediante un sistema de primer orden:

Ts

Ke

sU

sY Ls

1)(

)(

Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti, y Td, de acuerdo con las formulas que aparecen en la siguiente tabla.

Tipo de Controlador

Kp Ti Td

P T/L ∞ 0 PI 0.9T/L L/0.3 0 PID 1.2T/L 2L 0.5L

Tabla1

Segundo Método. En el segundo método usamos solo la acción de control proporcional, como se ve en la figura, se busca el valor de KP con el cual se obtiene oscilaciones sostenidas a la salida. El valor de KP para el cual oscila se denomina ganancia critica (KCR) y el período de oscilación TCR.

Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti, y Td, de acuerdo con las formulas que aparecen en la siguiente tabla.

Tipo de Controlador

Kp Ti Td

P 0.5Kcr ∞ 0 PI 0.45Kcr Pcr/1.2 0 PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

Tabla 2

5.6. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La respuesta de un sistema de orden superior está compuesta de varios términos que contienen las funciones simples encontradas en las respuestas de los sistemas de primer y segundo orden. El sistema es estable si todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo s. La curva de respuesta de un sistema estable de orden superior es la suma del número de curvas exponenciales y curvas senoidales amortiguadas.

R(s) C(s)E(s)Kp

controladorproporcional

1

T.s+1

Planta

Planta u(t) y(t)



Polos dominantes en lazo cerrado. Si los cocientes de las partes reales de los polos en lazo cerrado son superiores a 5 y no hay ceros cerca, los polos en lazo cerrado más cercanos al eje jw dominarán el comportamiento de la respuesta transitoria, debido a que corresponden a los términos de la respuesta transitoria que disminuyen lentamente. Un par polo-cero cercanos entre si se cancelarán efectivamente uno al otro.

5.7. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH El criterio de estabilidad de Routh nos dice si existe ó no raíces inestables en la ecuación característica, sin tener que obtenerlas en realidad. El procedimiento es el siguiente: Escriba el polinomio en s en la forma siguiente:

)13......(0....... 11

10

nnnn asasasa

donde los coeficientes son reales y an0 Si alguno de los coeficientes es cero ó negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz ó raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso el sistema no es estable. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio como sigue:

10

3212

5311

420

ds

bbbs

aaas

aaas

n

n

n

Los coeficientes b1,b2,etc, se evalúan del modo siguiente:

1

50412

1

30211

a

aaaab

a

aaaab

La evaluación de las b continúan hasta que todas las restantes son cero. Se sigue el mismo patrón de multiplicación cruzad de los coeficientes de los reglones anteriores al evaluar las c, d, etc. Este criterio tiene una utilidad limitada, ya que no sugiere como mejorar la estabilidad relativa ni como estabilizar un sistema inestable. Sin embargo es posible determinar los efectos de cambiar uno o dos parámetros de un sistema si se examinan los valores que producen inestabilidad.

5.8. PROBLEMAS DE ANÁLISIS



1. El diagrama de bloques de la figura 3.1., muestra un sistema de control de velocidad de una central hidráulica alimentando una carga aislada. En el cuál el miembro de salida del sistema esta sujeto a una perturbación de par. Utilice los valores numéricos del problema de análisis 4, para analizar la respuesta de este sistema para un par de perturbación escalón unitario. Suponga que la entrada de referencia es cero.

Solución. En ausencia de un par de perturbación, la variación de la velocidad de salida es cero. La figura 3.2 es un diagrama de bloques modificado, conveniente para el análisis presente.

La función de transferencia en lazo cerrado es:

sT

sT

RsT

sP

s

M

L

21

11

1

)(

)(

Para un par de perturbación escalón unitario, la variación de la velocidad de salida en estado estable es:

R

sT

sT

RsT

ssLimssLim

SS

M

ssSS

21

11

11)()(

00

Ref.Vel.

dW

dPm

dPl

Figura 3.1

-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s+Kd

Generador

1/R

Gain

dW

dPm

-dPl

Figura 3.2

-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s

Generador

1/R

Gain



2. A partir de este análisis concluimos que, si se aplica un par de perturbación escalón al miembro de la salida del sistema, se producirá una velocidad de error tal que el par en el rotor del generador resultante cancelara exactamente el par de perturbación. En el sistema considerado en el ejemplo anterior, determine un controlador capaz de eliminar el error de velocidad producido por el par de perturbación.

Solución. Si elegimos un controlador conveniente cuya función de transferencia sea GC(s), como se observa en la figura 3.3

En ausencia de la entrada de referencia, la función de transferencia en lazo cerrado es:

sT

sTsGcsT

sP

s

M

L

21

1)(

1

)(

)(

Para un par de perturbación escalón unitario, la variación de la velocidad de salida en estado estable es:

)0(

1

21

1)(

11)()(

00

Gc

sT

sTsGcsT

ssLimssLim

SS

M

ssSS

Para satisfacer el requerimiento de : 0)(

debemos seleccionar Gc(0)=. Esto se logra si elegimos:

s

KsGc )(

Una acción de control integral elimina el offset ó desplazamiento. Sin embargo este controlador presenta un problema, debido a que la ecuación característica tendrá raíces imaginarias ó partes reales positivas según el criterio de Routh.

Ref.Vel.

dW

dPm

dPl

Figura 3.1

-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s+Kd

Generador

Gc(s)

Controlador



Un método para estabilizar un sistema como este es agregar un modo proporcional al controlador, o elegir:

s

KKsGc P )(

3. Con la ayuda del criterio de Routh. Determine el rango de valores de K y Kp del controlador del

sistema anterior. Solución. La ecuación característica del sistema es:

0)2()210(10

0)()(2

23

23

KKKsKss

KKTKsTKTssTT

PP

PPMM

El arreglo de coeficientes de Routh es:

KsK

KKKKs

KKs

KKs

P

PPP

P

P

0

1

2

3

210

)304()210()210(

0)2(10

Para la estabilidad es necesario que:

0

0210

)304()210(

0210

K

K

KKKK

K

P

PPP

P

Resolviendo el sistema de desigualdades:

P

PP

P

K

KKK

K

430

)210(0

5

Si consideramos que: KP = 4 ; K debe ser menor que 0.57. Aplique una de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols para la determinación de los valores del controlador PI del ejemplo anterior. A continuación obtenga una curva de respuesta escalón unitario y verifique si el sistema diseñado exhibe un sobrepaso máximo aproximado de 35 %. Si esto no es así realice una sintonización fina para lograrlo. Solución. Debido a que la planta tiene un integrador, usamos el segundo método de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. Estableciendo Ti igual a infinito, de manera que el controlador solo será representado por la ganancia Kp. La función de transferencia en lazo cerrado, que relaciona la variación de velocidad de la salida y la referencia de entrada del diagrama de bloques de la figura es:



)1(2

)1(

)(

)(

2 sTKsTT

sT

sTK

sR

s

PM

M

P

El valor de Kp que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra una oscilación sostenida se obtiene de la siguiente manera:

0)210(10

0)(2

2

2

PP

PPMM

KKss

KTKTssTT

Para la estabilidad solo es necesario que todos los cocientes sean positivos en una ecuación cuadrática. Por lo tanto:

0

0210

P

P

K

K

Encontramos que ocurrirá una oscilación sostenida si: KP=5. Por lo tanto la ganancia critica es: KCR=5. Con KP=KCR, la ecuación característica se vuelve:

0510 2 s Para encontrar la frecuencia de oscilación sostenida, sustituimos s = jw en la ecuación característica, del modo siguiente:

0510

05)(102

2

j

A partir de lo cuál encontramos que la frecuencia de oscilación sostenida es:

5.0

10

52

El periodo de oscilación sostenida es:

8858.82

CRP

De acuerdo con la tabla 2, los valores para un controlador PI se calculan como sigue:

R(s)dW(s)dPm

-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s+Kd

Generador

Gc(s)

Controlador



4048.72.1

25.245.0

CRi

CRP

PT

KK

Por tanto la función de transferencia del controlador PI es:

s

ssGc

ssTKsGc

iP

30386.025.2)(

30386.025.2

11)(

El controlador tiene un polo en el origen y un cero en s = -0.135. La figura siguiente muestra el diagrama de bloques del sistema.

A continuación, examinemos la respuesta escalón unitario del sistema. La función de transferencia en lazo cerrado es:

30386.064228.15.510

30386.05.464228.1

)(

)(23

2

sss

ss

sR

s

La respuesta escalón unitario de este sistema se obtiene fácilmente con Matlab. Véase programa 3_4. Programa 3_4 %respuesta escalón unitario %1. Introducir el numerador y denominador del sistema num=[0 -4.5 1.64228 0.30386]; den=[10 5.5 1.64228 0.30386]; %2. Determinando la respuesta a una %entrada escalón unitario step(num,den) %2.1. dando un formato a la grafica grid on title('Respuesta escalón unitario') xlabel('t Seg.') ylabel('Amplitud')

R(s)dW(s)dPm

-2s+1

s+1

Turbina

1

10s

Generador

2.25s+0.30386

s

Controlador PI



La figura presenta la curva de respuesta escalón unitario. El sobrepaso máximo ed de aproximadamente 87% demasiado elevado. Se reducen los parámetros del controlador mediante un sintonizado fino. Dicha sintonización se hace en computadora. Si conservamos Kp=2.25 y moviendo el cero del controlador PI a (s = -0.01), es decir usando el controlador PI:

s

ssGc

0225.025.2)(

El sobrepaso máximo en la respuesta escalón unitario se reduce a aproximadamente 18%, como se muestra en la figura.

Si la ganancia proporcional Kp se incrementa a 2.8, sin modificar la ubicación del cero, es decir usando un controlador:

t Seg.

Am

plitu

d

Respuesta escalón unitario

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5

0

0.5

1

1.5

2From: U(1)

To: Y

(1)

t Seg.

Am

plitu

d


0 50 100 150-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2From: U(1)

To: Y

(1)



s

ssGc

028.08.2)(

La velocidad de respuesta se incrementa, pero el valor del sobrepaso también aumenta a aproximadamente 36%, como se observa en la figura.

5.9. Problemas de análisis 1. Escriba un programa en Matlab, para obtener en forma gráfica las respuesta de la variación de

la velocidad angular debido a una perturbación escalón unitario de los problemas de análisis 1 y 2. Con R = 0.5, y los valores de Kp y K según se describió en el problema de análisis 3.

2. Determine el rango de valores de K para la estabilidad de un sistema de control con

realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:

)2)(1()(

sss

KsG

3. Demuestre que la función de transferencia del controlador proporcional hidráulico que se

mostró anteriormente es:

PKa

b

sE

sY

)(

)(

4. Considere el sistema de control de la figura 3.9.1., en el cuál se usa un controlador PID, para

controlar el sistema. El controlador PID tiene la función de transferencia.

sT

sTKsGc d

iP

11)(

t Seg.

Am

plitu

d


0 50 100 150-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: U(1)

To: Y

(1)



Figura 3.9.1

Aplique una de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols para la determinación de los valores del controlador PID, de este sistema. A continuación obtenga una curva de respuesta escalón unitario y verifique si el sistema diseñado exhibe un sobrepaso máximo aproximado de 30 %. Si esto no es así realice una sintonización fina para lograrlo. 5. Considere el sistema de control de la figura 3.9.2. Usando las reglas de sintonización de

Ziegler-Nichols, determine los valores de Kp, Ti y Td. Se pretende que el sobrepaso máximo en la respuesta escalón unitario sea aproximadamente de 25%.

6. Escriba un programa en Matlab que realice la integración del método explicito de Runge-Kutta

de segundo orden. Y permita la simulación de una falla trifásica en un sistema generador-barra infinita. Como el analizado en clases.

R(s)dW(s)dPm

-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s+Kd

Generador

Gc(s)

Controlador

Figura 3.9.2

10

(s+5)(s+1)PID

PID Controller

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