Sistemas de Control en Tiempo Discreto
10
Sistemas de Control en Tiempo Discreto Mapeo entre los planos S y Z Recordando la forma de la transformada de Laplace de una señal muestreada, se tiene que ésta es una función periódica, con una frecuencia igual a Se demuestra de la siguiente manera: Sea, pero como entonces ( para todo k , n enteros) queda, 0 * k kTs e kT f s F T s 2 0 0 * k jknT kTs k jn s kT s s s e e kT f e kT f jn s F s F jn s F e kT f e e kT f jn s F s k kTs k jkn kTs s * * 0 0 2 * 2 s T
description
Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Recordando la forma de la transformada de Laplace de una señal muestreada, se tiene que ésta es una función periódica, con una frecuencia igual a Se demuestra de la siguiente manera: Sea, - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Mapeo entre los planos S y Z
Recordando la forma de la transformada de Laplace de una señal muestreada,
se tiene que ésta es una función periódica, con una frecuencia igual a
Se demuestra de la siguiente manera:
Sea,
pero como entonces ( para todo k , n enteros) queda,
0
*
k
kTsekTfsF
Ts
2
00
*
k
jknTkTs
k
jnskTs
ss eekTfekTfjnsF
sFjnsFekTfeekTfjnsF sk
kTs
k
jknkTss
**
00
2*
2sT
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Mapeo entre los planos S y Z
La interpretación de este resultado es que existen bandas horizontales en el plano S,
tales que lo que pasa con en la banda fundamental se repite en el resto de las bandas complementarias; entonces se puede hacer el siguiente recorrido: sF *
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Mapeo entre los planos S y Z
Recorrido sobre la banda fundamental y dentro del lado de estabilidad en S:
Cualquier consideración que se haga bajo este recorrido, se repetirá dada la periodicidad de la función sF *
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Mapeo entre los planos S y Z
El mapeo se da sobre la variable compleja, haciendo que En general:
Es decir que Z tiene su módulo igual a y su fase como .Así por ejemplo:
Gráficamente,
sTez js
Teez TTj
TeT
02/
12/
2/14/
100
s
s
s
j
j
j
j
ZS
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Mapeo entre los planos S y Z
Del mapeo se tienen las siguientes implicaciones:
El semiplano izquierdo de S corresponde al área interior del círculo unitario en Z. (Región de Estabilidad) Puntos hacia en S corresponden a un círculo de radio infinitesimal en Z.
Un lugar geométrico de parte real constante en S se corresponde con un círculo de radio en Z :
Un lugar geométrico de parte imaginaria constante en S se traslada como una línea recta con un ángulo en Z :
2/sj
Te
T
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Función de Transferencia en Z
Considérese el siguiente diagrama de bloques:
Luego,
pero sabiendo del Espectro Frecuencial de una señal muestreada que,
(Se propone su deducción)
entonces, siendo que es periódica, resulta:
Es decir,
sRsGsC *
n
sjnsCT
sC 1*
ns
nss jnsG
TsRjnsRjnsG
TsC 11 ***
sjnsRsR **
zGzRzCsGsRsC Z ***
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Función de Transferencia en Z
EJEMPLO 1:En el sistema se tiene que
Hallar la función de transferencia discreta.
Resp.
Se tiene que,
…o más simplemente,
Con lo que de la tabla de la transformada Z se obtiene:
as
sG
1
akTat eZeZas
LZzRzC
**
1 1
asZzRzC
1
aTez
zzRzC
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Función de Transferencia en Z
EJEMPLO 2:Considérese el siguiente sistema,
Aquí:
luego,
¿Qué pasaría si se elimina el muestreo central?
Diferente !
sGsRsYsGsRsY oMuestreand *1
**1
*
zGzGzRzCsGsGsRsC Z21
*2
*1
**
nss jnsGjnsG
TsRsGsGsRsC 21
*21
* 1)(
zGGzRzCsGGsRsC Z21
*21
**
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Función de Transferencia en Cadena Cerrada
Sea el siguiente sistema con realimentación:
Entonces se tiene,
Así:
Finalmente,
sHsYsRsEcon
sEsGsY *
sGH
sRsE
sEsGHsRsEsEsGsHsRsE
*
**
*****
1
zRzGH
zGzY
sGH
sRsGsY Z
11 *
***
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Función de Transferencia en Cadena Cerrada
Otras configuraciones típicas:
zR
zHzG
zGzYciaTransferendeFunción
1
zR
zHGzG
zGzGzYciaTransferendeFunción
21
21
1
zHGG
zRGzGzYciaTransferendeFunción
21
12
1
zGH
zGRzYciaTransferendeFunción
1
