Sistemas de e l gauss jordan
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Bachiller:
Jorge Franco Calkitis
C.I: 10.292.157
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Ingeniería IndustrialCátedra: Algebra Lineal
Sede Barcelona
Profesora: Milagros Maita
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.Gauss y Gauss-Jordan
MÉTODO DE GAUSS
APLICACION DEL METODO DE GAUSS
MÉTODO DE GAUSS-JORDANAPLICACIÓN DE GAUSS-JORDAN
PUNTOS A TRATAR
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
MÉTODO DE GAUSS
El método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en transformar un sistema en otro equivalente con forma triangular, cuya resolución es sencilla.
Para ello se mantiene invariable la primera ecuación y se sustituyen las siguientes ecuaciones por las que resultan de eliminar la primera incógnita entre la primera ecuación y cada una de las restantes
Se mantendrán invariables las ecuaciones por las que se obtienen de eliminar la segunda incógnita entra la segunda ecuación y cada una de las siguientes.
Se continúa así el proceso hasta obtener un sistema en forma triangular
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
APLICACION DEL METODO DE GAUSS
Reducir a forma triangular los siguientes sistemas:
x + y + z = 3 x+ 2y + 3z = 2 x + 4y + 9z = - 2
( m =3, n = 3)
Sobre la matriz del sistema eliminamos la x entre la primera ecuación y las dos restantes. Para ello:
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 3 2 0 1 2 -1 1 4 9 -2 -f1 + f2 0 3 8 -5 -f1 + f3
ahora eliminamos la y entre la segunda y la tercera ecuación,
1 1 1 3 1 1 1 31 2 3 -1 0 1 2 -1 0 3 8 -5 -3 / 2 + f3 0 0 2 -2
obtenemos así el sistema equivalente en forma triangular y + 2z = -1 x + y + z = 3 2z = -2
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
APLICACION DEL METODO DE GAUSS
-2x + y + z = 1 x – 2y + z = -2 (m = n = 3) x + y – 2z = 4
-2 1 1 1 -2 1 1 1 1 -2 1 -2 0 -3 3 -3 1 1-2 4 f1 + 2f2 0 3 -3 9 f2 + f3
f1 + 2f3
-2 1 1 10 -3 3 –3 0 0 0 6
obteniendo el sistema triangular equivalente al original: -2x + y + z = 1 -3y + 3z = -3 0 = 6
APLICACION DEL METODO DE GAUSS
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
2x + y +z = 1 (m = 2 n =3)3x + y – z = 0
efectuando transformaciones:
2 1 1 1 2 1 1 13 1 -1 0 -3f1 + 2f2 0 –1 –5 -3
y obtenemos el sistema triangular : 2x + y + z = 1 -y – 5z = -3
APLICACION DEL METODO DE GAUSS
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas lineales de tantas ecuaciones como incógnitas.
Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Método de Gauss.
OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes valgan cero.
Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’a”.x + b”.y + c”.z = d”
Opero mediante el Método de Gauss, obteniendo:a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j
METODO DE GAUSS
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
Aplico el método de Jordan:
Resto a la 2º fila la 3º fila multiplicada por f / hResto a la 1º fila la 3º fila multiplicada por c / h
Queda:a.x + b.y = k + e.y = p h.z = j
Resto a la 1º fila la 2º fila multiplicada por b / e
Queda:a.x = q x = q / a e.y = p y = p / e h.z = j z = j / h
METODO DE GAUSS- JORDAN
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las centenas y la de las decenas suman la de las unidades. Si invertimos el orden de las cifras el número aumenta en 396 unidades. ¿De qué número se trata?.
Resolución:
Sea N = zyx el número pedido Sea x = la cifra de las unidades.Sea y = la cifra de las decenas.Sea z = la cifra de las centenas.
Tenemos:x+y+z = 14 x + y + z = 14z+y=x x – y – z = 0 xyz=zyx+396 100.x+10.y+z = 100.z + 10.y + x + 396
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
APLICACION DE GAUSS-JORDAN
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
APLICACION DE GAUSS-JORDAN
0 – 99 – 198 – 990
El sistema de ecuaciones quedará así:
x + y + z = 14x – y – z = 0 99.x – 99.z = 396
Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes:
1 1 1 141 -1 -1 099 0 -99 396
Aplicando el método de Gauss:
F3 = F3 – 99F1 y F2 = F2 - F1 1 1 1 140 – 2 – 2 – 14
Dividiendo entre - 2 la segunda y entre – 99 la tercera, queda:
1 1 1 140 1 1 70 1 2 10
A la tercera fila o ecuación la resto la segunda fila o ecuación.F3 = F3 – F2
1 1 1 140 1 1 70 0 1 3
Aplicando el método de Jordan:A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la
primera:
1 0 0 7 x = 70 1 0 4 y = 40 0 1 3 z = 3
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS