Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias - … · La segunda es una condición más...
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Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (SEDO) es un conjunto de n ecuaciones diferenciales todas ellas de 1er orden:
=
=
=
),...,,(.......................................
),...,,(
),...,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
yyyxfdxdy
yyyxfdxdy
yyyxfdxdy
donde las funciones dependen sólo de una única variable x. y k ( x ), (k = 1, 2, · · · , n)La solución de este problema consiste en calcular el conjunto de las funciones , que verifican las condiciones de contorno dadas:
y k (x)
! y1(xk) = y0k, k = 1, 2 · · · , ny1(x0) = y00 , y2(x0) = y02 , · · · yn(x0) = y0n
Nos vamos a restringir a sistemas de la forma [1].
[1]
2
El sistema [1] no es la forma más general de SEDO. El caso general sería
G1(y!1, y
!2, · · · , y!n, y1, y2, · · · , yn, x) = 0
G2(y!1, y
!2, · · · , y!n, y1, y2, · · · , yn, x) = 0
· · ·Gn(y!1, y!2, · · · , y!n, y1, y2, · · · , yn, x) = 0
Teorema de existencia y unicidad El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (SEDO)
=
=
=
),...,,(.......................................
),...,,(
),...,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
yyyxfdxdy
yyyxfdxdy
yyyxfdxdy
[1]
con las condiciones de contorno dadas, , tiene una única solución si las funciones verifican en un entorno del punto las siguientes dos condiciones
y1(x0) = y00 , y2(x0) = y02 , · · · yn(x0) = y0nfk(x, y1, y2, · · · , yn), (k = 1, 2, · · · , n)
1.- Son continuas en un entorno del punto . x0, y01 , y
01 , · · · , y0n
2.- Todas las derivadas parciales !fk!yj
, k, j,= 1, 2, · · · , n
existen y están acotadas en un entorno . x0, y01 , y
01 , · · · , y0n
La segunda es una condición más restrictiva de la condicion de que las funciones verifique la llamada condición de Lipschitz.
3
x0, y01 , y
01 , · · · , y0n
Integraciónporreducciónaecuacionesdesacopladasdeordensuperior.Elmetodoconsistebásicamenteeneliminarencadaecuacióndelsistemalasotrasvariables.Paraellocambiamoselordendelaecuacióndiferencial.
EjemploI
= y
= z
d2y
dx2= y
d2z
dx2= z
[2]
[2]esunpardeEDlinealesdesacopladas.Sinembargonoestotalmenteequivalentealsistemadepar<da.
que depende de 4 constantes; las condicionesinicialesdadasresultaninsuficientes.
Lasolucióngeneralde[2]es:y(x) = Aex +Be!x
z(x) = Cex +De!x
Debemosimponerlasecuacionesdepar<da[1]aestasolución:
Seaelsistemadeecuaciones
dy
dx= z
dz
dx= y
conlascondicionesinicialesy(x0) = y0, z(x0) = z0
[1]
Derivandolasecuaciones[1]podemosdesacoplarlasfunciones:
d2y
dx2=
dz
dxd2z
dx2=
dy
dx
A = C B = !Ddy
dx= Aex !Be!x
= z = Cex +De!xy(x) = Aex +Be!x
z(x) = Aex !Be!x
quesólodependededosconstantesdeintegración,AyB.AyBsepuedenobtenerdelasconcionesiniciales.En
Aex0 +Be!x0 = y0
Aex0 !Be!x0 = z0
x = x0
A =y0 + z0
2e!x0
B =y0 ! z0
2ex0
y(x) =y0 + z0
2e(x!x0) +
y0 ! z02
e!(x!x0)
z(x) =y0 + z0
2e(x!x0) ! y0 ! z0
2e!(x!x0)
4
5
Encontrarlasolucióndelsistemadeecuacionesdiferenciales
Problemaspropuestos
dy
dx= 3y ! 2z
dz
dx= 2y ! z
conlascondicionesinicialesy(0) =
3
2, z(0) = 1
66
Encontrarlasolucióngeneraldelsistemadeecuacionesdiferenciales
GeneralizaciónasistemasdemasdedosEDde1erorden
= 9y
esunsistemade3EDcontresfuncionesy(x), z(x), w(z)Sepuede‘desacoplar’elsistemadeformaanálogaalcasodedosecuaciones:
Deformaqueelproblema sereduceatresEDordinariasconunaúnicafunción:
[1]
dy
dx= 3z
dz
dx= w
dw
dx= 9y
dy
dx= 3z
dz
dx= w
dw
dx= 9y
= 3w
= 27z
= 27y
= 27z
= 27w
derivando
d3y
dx3= 3
dw
dxd3z
dx3= 9
dy
dxd3w
dx3= 27
dy
dx
derivando
d2y
dx2= 3
dz
dxd2z
dx2=
dw
dxd2w
dx2= 9
dy
dx
d3y
dx3= 27y
d3z
dx3= 27z
d3w
dx3= 27w
[2]
7
d3y
dx3= 27y
d3z
dx3= 27z
d3w
dx3= 27w
[2][1]
dy
dx= 3z
dz
dx= w
dw
dx= 9y
Hemosconver<doelsistema[1]deEDde1erordenenunconjuntodetresecuacionesde3erorden
peroambossistemasnosonestrictamenteequivalentes.La solución del sistema [1]depende de tres constantes arbitarias,mientras que la del conjunto [2]deecuaciones<ene9constantesindeterminadas.Buscamoslasolucióngeneraldeunaecuaciónde[2];porejemplodelaprimeray!3 ! 27y = 0
Probamoslasolucióny(x) = epx p3 ! 27 = 0,laecuacióncaracterís<casereduceaBuscamoslasraícesdelpolinomiocaracterís<co:
p3 ! 27 = (p! 3)(p2 + 3p+ 9)
Lasolucióngeneraldela1ªecuaciónesportanto
Porlotantolasraicessonylaparejadeconjugadasp1 = 3
p2,3 =!3±
"9! 4# 9
2
dondesonconstantesarbitrarias.Ay, By, Cy
Lasotras funcionesde [2] verifican lamismaecuacióndiferencial, por lo tanto la solucióngeneraldees[2]:
=!3± i3
"3
2
yG(x) = Ayep1x +Bye
p2x + Cyep3x
yG(x) = Ayep1x +Bye
p2x + Cyep3x
zG(x) = Azep1x +Bze
p2x + Czep3x
wG(x) = Awep1x +Bwe
p2x + Cwep3x
8
d3y
dx3= 27y
d3z
dx3= 27z
d3w
dx3= 27w
[2]
Lasolucióndelasecuaciones
dy
dx= 3z
dz
dx= w
vemosque todas lasconstantesde integraciónquedandeterminadaspor tresdeellas (ennuestrocasohemoselegido,peropodríanserotras)Ay, By, Cy
Si imponemosqueverifiquenel sistema deecuacionesdepar<da
dy
dx= 3z
dz
dx= w
dw
dx= 9y
[1]
Aw = p1Az, Bw = p2Bz, Cw = p3Cz
Ayp1ep1x +Byp2e
p2x + Cyp3ep3x = 3Aze
p1x + 3Bzep2x + 3Cze
p3x
Azp1ep1x +Bzp2e
p2x + Czp3ep3x = Awe
p1x +Bwep2x + Cwe
p3x
Az =p13Ay, Bz =
p23By, Cz =
p33Cy [3a]
subs<tuyendolosvalores[3a]: [3b]Aw =p213Ay, Bw =
p223By, Cw =
p233Cy
estándesacopladas.
yG(x) = Ayep1x +Bye
p2x + Cyep3x
zG(x) = Azep1x +Bze
p2x + Czep3x
wG(x) = Awep1x +Bwe
p2x + Cwep3x
9
La3ªecuacióndelsistemadw
dx= 9y
[3b]Aw =p213Ay, Bw =
p223By, Cw =
p233Cy
conducealosvaloresquehabíamosobtenidoenlaecuación[3b]:
yaquedadoqueysonsolucionesdelaec.caracterís<ca:loscoeficientesde[3b]y[3b]soniguales
p1, p2, p3 p3 = 27
Awp1ep1x +Bwp2e
p2x + Cwp3ep3x = 9Aye
p1x + 9Byep2x + 9Cye
p3x
Así: =9p2127
=p213
9
p1=
9
p1
p21p21
[3c]Aw =9
p1Ay, Bw =
9
p2By, Cw =
9
p3Cy
ylomismoocurreconlosotroscoeficientesdeyBw Cw
dondeyp1 = 3 p2,3 =!3± i3
"3
2
Lasoluciongeneraldelsistemasólodependedetresconstantesarbitrarias.A ! Ay, B ! By, C ! By
yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x
zG(x) =p13Aep1x +
p23Bep2x +
p33Cep3x
wG(x) =p213Aep1x +
p223Bep2x +
p233Cep3x
[4]
10
Lasolucióndelsistemadeecuaciones[2]
si buscamos soluciones del sistema reales, elegimos las constantes de integración de forma que lostérminoscomplejosasociadosalasraícescomplejasydenunvalorreal.p2 p3
dondeyp1 = 3 p2,3 =
!3± i3"3
2
Par<mosporejemplode[4ª]
yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x = Ae3x +Be!3+3i
"3
2 x + Ce!3!3i
"3
2 x
= Ae3x + e!32x[Be
i3!
32 x + Ce!
i3!
32 x]
= Ae3x + e!32x[cos(
3!3
2x)(B + C) + i sin(
3!3
2x)](B " C)]
= Ae3x + e!32x{B[cos(
3!3
2x) + i sin(
3!3
2x)] + C[cos(
3!3
2x)" i sin(
3!3
2x)]}
= !e3x + "e!32x cos(
3!3
2x) + #e!
32x sin(
3!3
2x)
donde! = A
" = B + C
# = i(B ! C)
B =1
2(! ! i")
C =1
2(! + i")
yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x
zG(x) =p13Aep1x +
p23Bep2x +
p33Cep3x
wG(x) =p213Aep1x +
p223Bep2x +
p233Cep3x
[4a]
[4b]
[4c]
esequivalentea[4ª],ysilasconstantesysonreales,tambiénloeslafunción[5ª].!," #En este caso y la suma de los dos úl<mos términos de [4ª]es la suma de dos complejosconjugados,queesreal.
B = C!
Lasolución[5a]yG(x) = !e3x + "e!
32x cos(
3!3
2x) + #e!
32x sin(
3!3
2x)
11
Hemosvistoqueconelcambio
dondeysonreales,lasolucionesunafunciónreal.
!," #
Escribimoslaec.[4b]conlasconstantesy!," #
zG(x) =p13Aep1x +
p23Bep2x +
p33Cep3x =
p1!
3ep1x +
p2(" ! i#)
6ep2x +
p2(" ! i#)
e
p3x
A = !, B =1
2(" ! i#), C =
1
2(" + i#)
p1 = 3, p2,3 =!3± i3
"3
2
= !e3x +(!3 + i3
"3)(" ! i#)
12e!
3x2 xei
3!
32 x +
(!3! i3"3)(" + i#)
12e!
3x2 xe!i 3
!3
2 x
= !e3x +p2(" ! i#)
6e!
3x2 xei
3!
32 x +
p3(" + i#)
6e!
3x2 xe!i 3
!3
2 x
losdosúl<mostérminossoncomplejosconjugados,deformaquesusumareal z + z! = 2Real(z)
= !e3x +e!
3x2 x
12[(!3 + i3
"3)(" ! i#)ei
3!
32 x + (!3! i3
"3)(" + i#)e!i 3
!3
2 x]
[5b]zG(x) = !e3x +e!
3x2 x
2[(!" +
"3#) cos(
3"3
2x)! (
"3" + #) sin(
3"3
2)]
Operando
quetambienesrealsilasconstantesdeintegraciónloson.
yG(x)
yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x
zG(x) =p13Aep1x +
p23Bep2x +
p33Cep3x
[4a]
[4b]
[4c]wG(x) =p113Aep1x +
p223Bep2x +
p233Cep3x
12
Hemosvistoqueconelcambio
dondeysonreales,lassolucionesy sonfuncionesreales,paralosvalorescalculadosde
!," #
A = !, B =1
2(" ! i#), C =
1
2(" + i#)
p1 = 3, p2,3 =!3± i3
"3
2
yG(x)wG(x)
yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x
zG(x) =p13Aep1x +
p23Bep2x +
p33Cep3x
[4a]
[4b]
[4c]wG(x) =p113Aep1x +
p223Bep2x +
p233Cep3x
Escribimoslaec.[4c]conlasconstantesy!," #
wG(x) =p113Aep1x +
p223Bep2x +
p233Cep3x = 3!e3x +
p223
" ! i#
2ep2x +
p233
" + i#
2ep3x
Teniendoencuentaqueyp3 = [p2]! [z1z2]
! = z!1z!2 ! p23(! + i")ep3x = [p22(! " i")ep2x]!
wG(x) = 3!e3x +1
6p22(" ! i#)ep2x +
1
6[p22(" ! i#)ep2x]!= 3!e3x +
1
3Real[p22(" ! i#)ep2x]
p2 =!3± i3
"3
2# p22 = !9
4(1 + i
"3)
= 3!e3x ! 3e!32x
4Real{[" + #
"3 + i("
"3! #)][cos(
3"3x
2) + i sin(
3"3x
2)}
= 3!e3x ! 3
4Real[(1 + i
"3)(" ! i#)e!
32x[cos(
3"3x
2) + i sin(
3"3x
2)]
= 3!e3x ! 3e!32x
4[(" + #
"3) cos(
3"3x
2)! ("
"3! #) sin(
3"3x
2)]
wG(x) = 3!e3x ! 3e!32x
4[(" + #
"3) cos(
3"3x
2)! ("
"3! #) sin(
3"3x
2)] [5c]
lasoluciónestambiénreal
13
HemosvistoquelasolucióngeneraldelsistemaConclusión
[1]
dy
dx= 3z
dz
dx= w
dw
dx= 9y
era
ydonde p1 = 3, p2 =!3± i3
"3
2Estaeslasolucióngeneraldelsistema,quedependedetresconstantesarbitrariasA,ByC.Conelcambiodeconstantes,estaeslasoluciónsepuedereescribircomo
A = !, B =1
2(" ! i#), C =
1
2(" + i#)
yG(x) = !e3x + "e!32x cos(
3!3
2x) + #e!
32x sin(
3!3
2x)
wG(x) = 3!e3x ! 3e!32x
4[(" + #
"3) cos(
3"3x
2)! ("
"3! #) sin(
3"3x
2)]
zG(x) = !e3x +e!
3x2 x
2[(!" +
"3#) cos(
3"3
2x)! (
"3" + #) sin(
3"3
2)] [5]
yG(x) = Aep1x +Bep2x + Cep3x
zG(x) =p13Aep1x +
p23Bep2x +
p33Cep3x
wG(x) =p113Aep1x +
p223Bep2x +
p233Cep3x
[4]
Ambassolucionessontotalmenteequivalentes.[5]esotraformadeescribirlasolucióngeneraldelsistema,entérminosdefuncionesreales.Sevequesielegimoslasconstantesylasoluciónestambiénreal,comounoesperaria.!,", #