SISTEMAS DE ECUACIONEScon dos incógnitas

-2ª parte-

TRABAJO SEMANAS 8 y 9

En la primera parte vimos:

Qué es una ecuación de primer grado con dos incógnitas (ecuación lineal) Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal con dos incógnitas y cómo obtenerlas Qué es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Encontrar mediante tablas de valores la solución (si la tiene) de un sistema de dos ecuaciones

lineales

Lo que ya sabemos…

Los sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas facilitan la resolución de multitud deproblemas que se presentan en ámbitos muy diferentes: problemas domésticos, de transporte,empresariales…

En la primera parte del tema aprendimos a resolver sistemas de ecuaciones por tanteo, es decir,completando tablas de valores hasta encontrar una par de valores (x,y) que satisficiera las dosecuaciones del sistema.

En esta segunda parte del tema vamos a prender a resolver los sistemas de ecuaciones mediantemétodos algebraicos. Ya no será necesario ir probando con diferentes valores (x,y) para encontrarla solución del sistema.

Lo que vamos a aprender…

En esta parte:

Repasaremos los contenidos trabajados en la primera parte Aprenderemos 3 métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones:

• Método de sustitución• Método de igualación• Método de reducción

Aplicaremos todo lo aprendido en la resolución de problemas

Lo que ya sabemos…

Visiona el siguiente vídeo para recordar cómo es una ecuación lineal con dos incógnitas.

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Ejercicio 1:

Una ECUACIÓN LINEAL con dos incógnitas

-Adopta la forma general ax + by = c, donde a, b y c son números conocidos-Solución de una ecuación con dos incógnitas es todo par de valores (x,y) que hacen cierta la igualdad.-Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

Ejemplo:

2x – y = 7 es una ecuación lineal con dos incógnitas.Para obtener soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas, se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra:

Lo que ya sabemos…

Ejercicio 2: Comprueba que x = 1, y = 6 es una solución de la ecuación 3x + 4y = 27.

Ejercicio 3: Halla cinco soluciones de la ecuación lineal con dos incógnitas 3x + y = 18, para ello completa una tabla de valores, como en el ejemplo de la página anterior.¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 3x + y = 18?

Vemos que hay multitud de pares de valores x, y que hacen cierta la igualdad.Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

Por tanto, una sola ecuación no es suficiente para determinar el valor exacto de x, y. Necesitamos otra ecuación. Las dos ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Ejercicio 4: Visiona el siguiente vídeo Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Lo que ya sabemos…

Ejercicio 4:

Llamamos solución de un sistema de ecuaciones lineales a los valores ´x` e ´y` que satisfacenlas dos ecuaciones simultáneamente. Es una solución común a las dos ecuaciones queforman el sistema.

Busca 5 soluciones de cada ecuación, para ello completa cada tabla:-2x + y = 72x + y = -1

-2x + y = 7 y = _________ 2x + y = -1 y = _________

a) ¿Existe alguna solución común a las dos ecuaciones?b) ¿Cuál será la solución del sistema de ecuaciones?

Ejercicio 5:

Recuerda que cada ecuación por separado tiene infinitas soluciones

Métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales:

1. Método de sustitución2. Método de igualación3. Método de reducción

Método de sustitución

Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y “sustituir” en la otra ecuación.

Ejercicio 6: Lee la página 41 del libro de texto y copia el ejemplo en tu cuaderno, describiendo cada paso, tal como se hace en el ejemplo.

Ejercicio 7: Visiona el siguiente vídeo y resuelve en tu cuaderno el sistema que

se explica en él. Método de sustitución

¡Ojo! la comprobación de la solución se hace en las dos ecuaciones del sistema

Ejercicio 8:

Nota: este sistema está resuelto alfinal del documento; intenta resolverloy luego comprueba la solución.Pincha aquí para ver la resolución.

Método de sustitución

Importante: debes comprobar siempre que la solución verifica las dos ecuaciones iniciales.

Ejercicio 9: Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas. Comprueba el resultado.

¡Ojo! es importante elegir bien la incógnita que se va a despejar

describiendo cada paso que das.

Soluciones:

Método de igualación

Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e “igualar” las expresiones resultantes.

Ejercicio 10: Lee la página 42 del libro de texto y copia el ejemplo en tu cuaderno, describiendo cada paso, tal como se hace en el ejemplo.

Ejercicio 11: Visiona el siguiente vídeo y resuelve en tu cuaderno los sistemas

que se explican en él. Método de igualación

¡Ojo! la comprobación de la solución se hace en las dos ecuaciones del sistema

Método de igualación

Ejercicio 12:

Importante: debes comprobar siempre que la solución verifica las dos ecuaciones iniciales.

Ejercicio 13: Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas. Comprueba el resultado.

¡Ojo! es importante elegir bien la incógnita que se va a despejar

Nota: el sistema está resuelto al finaldel documento; intenta resolverlo yluego comprueba la solución.Pincha aquí para ver la resolución.

describiendo cada paso que das.

Soluciones:

Método de reducción

Consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismocoeficiente en ambas, pero con distinto signo. Sumando las ecuaciones resultantes, miembro amiembro, se obtiene otra con solo una incógnita (se ha reducido el número de incógnitas)

Ejercicio 14: Visiona el siguiente vídeo y resuelve en tu cuaderno los sistemas que se explican en el

vídeo. Método de reducción

Ejercicio 15:

Método de reducción

Lee la página 43 del libro de texto.

Ejercicio 16:

Nota: los sistemas están resueltos alfinal del documento; intenta resolverlosy luego comprueba la solución.Pincha aquí para ver la resolución.

Método de reducción

Ejercicio 17: Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas.

Soluciones:

Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen un aspecto complicado, empieza por “arreglarlas”

hasta llegar a la expresión ax + by = c.

Lee la página 46 del libro y resuelve por el método que consideres más adecuado. Ejercicio 18:

Soluciones:

¿Qué método elegir?

Veamos algunas ventajas de los métodos aprendidos:

- El método de sustitución es especialmente útil cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1 o –1 en alguna de las ecuaciones.

- El método de reducción es muy cómodo de aplicar cuando una incógnita tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro.

Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas

Resolución de problemas

Suele ser más sencillo plantear un problema mediante un sistema de ecuaciones que mediante una única ecuación con una incógnita. Veamos los pasos que conviene dar:

Un kilo de peras y dos de manzanas cuestan 4.80 € . Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7.80 € . ¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el de manzanas?

1er paso: identificar las incógnitas (recuerda que ahora son dos los datos desconocidos)

Precio del kilo de peras = x €/kgPrecio del kilo de manzanas = y €/kg

2º paso: escribir las ecuaciones

Un kilos de peras y dos de manzanas cuestan 4.80€ 1x + 2y = 4.80

Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7.80€ 2x + 3y = 7.80

3º paso: resolver el sistema de ecuaciones resultante

Ejercicio 19: Copia en tu cuaderno el problema y completa los puntos 3, 4 y 5:

x + 2y = 4.802x + 3y = 7.80

Resuelve el sistema por el método que consideres más apropiado

Ahora te toca a ti

Ejercicio 20: Resuelve, explicando cada paso como en el problema anterior:

Por dos cafés y un cruasán hemos pagado 4.30 €. En la mesa de al lado había un grupo de amigos que han pagado 11.60 € por cinco cafés y tres cruasanes. ¿Cuánto cuesta cada café y cada cruasán?

4º paso: interpretar la solución Precio del kilo de manzanas = €/kg Precio del kilo de peras = €/kg

5º paso: comprobar la solución con el enunciado

Un kilos de peras y dos de manzanas cuestan 4.80€

Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7.80€

Ejercicio 21: Resuelve, explicando cada paso como en los problemas anteriores:

En un hotel hay habitaciones dobles e individuales. En total tiene 90 habitaciones y 165 camas.¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

Cierto supermercado presenta las siguientes ofertas:

¿A cómo sale el kilo de solomillo? ¿Y el de chuletas?

Ejercicio 22:

Ayuda1er paso: identificar las incógnitas

Habitaciones dobles = xHabitaciones individuales = y

2º paso: escribir las ecuaciones

Escribe las dos ecuaciones del sistema con ayuda de la tabla y termina el problema siguiendo los pasos

Ayuda: este problema es similar al problema 19

Soluciones

Volver al método de sustitución Volver al método de igualación

Ejercicio 8: Ejercicio 12:

Soluciones

Volver

Ejercicio 16:

FIN DE LA UNIDAD