Sistemas de Ecuaciones y Matrices

SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES

UNIDAD I.-SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

1.1.- INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Gran parte del Algebra lineal está íntimamente ligada a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Veamos ahora los conceptos más generales de estos sistemas.

Una recta en el plano xy se puede representar algebraicamente mediante una ecuación de la forma:

a1x + a2y = b

Una ecuación de este tipo se conoce como ecuación lineal en las variables x y y. En forma general, se define una ecuación lineal en las n variables x1, x2,…, xn como aquella que se puede expresar de la forma:

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b

en donde a1, a2,… ,an y b son constantes reales.

Ejemplo 1Las siguientes ecuaciones son lineales:

x + 3y = 7 x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7y = ½ x +3z + 1 x1 + x2 +…+ xn = 1

Observe que una ecuación lineal no comprende producto o raíces de variables. Todas las variables se presentan únicamente a la primera potencia y no aparecen como argumento para funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales.

Las que siguen no son ecuaciones lineales:

x + 3y2 = 7 3x + 2y – xz = 4y – sen x = 0 + 2x2 + x3 = 1

Una solución de una ecuación lineal a1x1 + a2x2 +…+ anxn = b es una sucesión de n números s1, s2, …, sn, tales que la ecuación que satisface cuando se hace la sustitución

x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn.

El conjunto de todas las soluciones de la ecuación es un conjunto solución.

Ejemplo 2Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones:

(i) 4x – 2y = 1 (ii) x1 - 4x2 + 7x3 = 5

Solución (i)A fin de encontrar las soluciones de esta ecuación, se puede asignar un valor arbitrario a x y despejar y, o bien elegir un valor arbitrario para y y despejar x. Si se sigue el primer procedimiento y se asigna a x un valor arbitrario t, se obtiene:

Lic. Alexandra Noguera © UNEFA 2008Pág. Nº 2

x= t y = 2t – ½

Estas fórmulas describen el conjunto de solución de (i) en términos del parámetro arbitrario t. Es posible obtener soluciones numéricas particulares al sustituir t por valores específicos. Por ejemplo,

t = 3 x=3 y y=

t = -½ x=-½ y y=

Solución (ii)A fin de encontrar las soluciones de esta ecuación, se puede asignar valores arbitrarios a dos variables cualquiera y despejar la tercera variable.En particular, si se asignan los valores arbitrarios s y t a x2 y x3, respectivamente, y se despeja x1, se obtiene:

x2 = s ; x3= t x1 = 5 + 4s – 7t

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x1 , x2 , … , xn se conoce como un sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesión de números s1 , s2 , … , sn es una solución del sistema si x1 = s1 , x2 = s2 , … , xn = sn es una solución de toda ecuación en tal sistema.Por ejemplo, el sistema:

4x1 – x2 + 3x3 = -1 3x1 + x2 + 9x3 = -4

Tiene como solución x1 = 1, x2 = 2 y x3 = -1, puesto que estos valores satisfacen ambas ecuaciones.Sin embargo, x1 = 1, x2 = 8 y x3 = 1 no es una solución, ya que éstos valores sólo satisfacen la primera de las dos ecuaciones.

No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen soluciones.

Por ejemplo: x + y = 4

2x + 2y = 6

Si se multiplica la segunda ecuación por ½, es evidente que no hay solución alguna, ya que las ecuaciones del sistema resultante:

x + y = 4x + y = 3

se contradicen entre sí.

Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución se dice que es inconsistente o incompatible. Si existe al menos una solución, se le denomina consistente o compatible.

A fin de ilustrar las posibilidades que pueden presentarse al resolver sistemas de ecuaciones lineales, considérese un sistema general de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y:

a1x + b1y = c1 (a1, b1 ninguno es cero)


a2x + b2y = c2 (a2, b2 ninguno es cero)

las gráficas de estas ecuaciones son rectas; se hará referencia a ellas como l1 y l2. Puesto que un punto (x,y) está sobre una recta sí y sólo sí los números x y y satisfacen la ecuación de la misma, las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a puntos de intersección de l1 y l2.

Se tienen tres posibilidades:

a) Las rectas l1 y l2 pueden ser paralelas, en cuyo caso no existe intersección alguna y. como consecuencia, no hay solución para el sistema.

b) Las rectas l1 y l2 pueden intersecarse en sólo un punto, en cuyo caso el sistema tiene exactamente una solución.

c) Las rectas l1 y l2 pueden coincidir, en cuyo caso existe una infinidad de puntos de intersección y, por consiguiente una infinidad de soluciones para el sistema.

Fig. 1.- (a) Ninguna Solución. (b) Una solución. (c) Una infinidad de soluciones

Aún cuando sólo se han considerado dos ecuaciones con dos incógnitas, posteriormente se verá que éstos mismos resultados se cumplen para sistemas arbitrarios; es decir, todo sistema de ecuaciones lineales no tiene solución alguna, tiene exactamente una solución, o bien, una infinidad de soluciones.

Ejemplos:1.- El siguiente sistema:

x = 0 y = 63x + y = 6 y = 0 x = 2

6x + 2y = 12 x = 0 y = 6y = 0 x = 2

Tiene infinitas soluciones, por lo tanto es el sistema es compatible.

2.- El siguiente sistema:

x = 0 y = 82x + y = 8 y = 0 x = 4

2x + y = 4 x = 0 y = 4y = 0 x = 2


(a) (b) (c)

2

4

6

-6

-4

-2

-12

-10

-8

No tiene solución, por lo tanto es el sistema es incompatible.

3.- El siguiente sistema:

x = 0 y = 63x + y = 6 y = 0 x = 2

3x - y = 12 x = 0 y = -12y = 0 x = 4

Tiene una solución, por lo tanto es el sistema es compatible.

1.2.- MATRICESUn sistema arbitrario de m ecuaciones lineales con n incógnitas se escribe:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

. . . .

. . . .

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

en donde x1, x2, …, xn son las incógnitas y las a y b con subíndices denotan constantes.Por ejemplo, un sistema general de tres ecuaciones lineales con cuatro incógnitas se escribe:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3

el subíndice doble en los coeficientes de las incógnitas es una idea útil que se emplea para

establecer la ubicación del coeficiente en el sistema. El primer subíndice del coeficiente aij indica la ecuación en la que se encuentra, y el segundo indica la incógnita que multiplica. Por lo tanto, a12 se encuentra en la primera ecuación y multiplica a la incógnita x2.

Si mentalmente se mantiene presente la ubicación de los signos +, las x y los signos =, es posible abreviar un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas escribiendo el arreglo rectangular de números:

a11 + a12 + … + a1n = b1

a21 + a22 + … + a2n = b2

. . . .

. . . .

am1 + am2 + … + amn = bm

Esto se conoce como matriz aumentada para el sistema.Como ilustración de esto, la matriz aumentada del sistema:

x1 + x2 + 2x3 = 92x1 + 4x2 - 3x3 = 13x1 + 6x2 - 5x3 = 0

Se representa:1 1 2 92 4 -3 13 6 -5 0


OBSERVACION: al construir una matriz aumentada, las incógnitas se deben escribir en el mismo orden en cada ecuación.

ALGUNAS NOTACIONES

A=[aij] es la denotación de una matriz con i filas y j columnas.

El renglón a11 , a12 , … , a1j , …, an, se le llama matriz fila.

La columna a11 , a21 , … , ai1 , …, am1, se le llama matriz vector columna.

A los elementos a11 , a22 , … , aij , …, ann, son los elementos de la diagonal principal.

Ejemplos:

1.- Encuentre los componentes de la matriz A de dimensión 2x3 dado por aij =3i – 2j.

Solución:

a11 =3(1) – 2(1) = 1 a12 =3(1) – 2(2) = -1 a13 =3(1) – 2(3) = -3a21 =3(2) – 2(1) = 4 a22 =3(2) – 2(2) = 2 a23 =3(2) – 2(3) = 0

Por lo tanto, la matriz resultante

1.- Encuentre los componentes de la matriz A de dimensión 3x3 dado por aij =2i – 3j

2.- Encuentre los componentes de la matriz B de dimensión 1x3 dado por aij = i – 2j

3.- Encuentre los componentes de la matriz A de dimensión 4x3 dado por aij =2(i)2 – 3j

MATRICES IGUALES

Se dice que dos matrices y son iguales, A=B, si ambas son del mismo tamaño y

sus componentes correspondientes son iguales, es decir: .

EJEMPLO:Sean las matrices:

Como , ,…, Por lo tanto A = B

MATRIZ CUADRADAUna matriz cuadrada es aquella que posee igual número de columnas y filas.


EJEMPLOS:

MATRIZ DIAGONAL

Una matriz cuadrada A se le llama matriz diagonal si todas sus componentes distintas de cero están en la diagonal. EJEMPLOS:

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIORUna matriz cuadrada se llama triangular superior si todas sus componentes que se encuentran debajo de la diagonal principal son cero.

Lic. Alexandra Noguera © UNEFA 2008

B=8 01 8 2x2

B=8 00 2 2x2

Pág. Nº 7

EJEMPLOS:

MATRIZ TRIANGULAR INFERIORUna matriz cuadrada se llama triangular inferior si todas sus componentes que se encuentran por encima de la diagonal principal son cero.

EJEMPLOS:

MATRIZ IDENTIDADUna matriz cuadrada se llama matriz identidad si todas sus componentes de la diagonal principal son puros 1 y 0 en todas las demás posiciones.

EJEMPLOS:

1.3.- SUMA Y RESTA DE MATRICES

DEFINICIÓN: Si A y B son dos matrices cualquiera del mismo tamaño, entonces la suma A + B es la matriz que se obtiene al sumar los elementos correspondientes de las dos matrices. Las matrices de tamaños diferentes no se pueden sumar.

En general, dadas las matrices:

Entonces:

Ejemplos:

1.- Considérese las siguientes matrices:


B=8 00 1 2x2

B=8 01 1 2x2

B=1 00 1 2x2

B=

b11 … b1n

.

.

.

.

.

.

.

.

.bm1 … bmn mxn

A+B=

a11 + b11 … a1n + b1n

.

.

.

.

.

.

.

.am1+ bm1 … amn + bmn mxn

Pág. Nº 8

Entonces:

En tanto que A + C, A + D, B + C, B + D y C + D no están definidos.

TEOREMA:

Sean A y B matrices de mxn. Sea 0 la matriz cero o nula. Entonces:

i) A + 0 = A (Identidad Aditiva)ii) A + B = B + A (Propiedad Conmutativa)iii) A + (B + C) = (A + B) + C (Propiedad Asociativa)

NOTA: Se le recomienda al estudiante hacer la demostración respectiva para cada uno de los

ítems.

DEFINICION:

Sea una matriz mxn y además c un número real cualquiera, entonces c.A es una matriz

mxn tal que:

c.A= c.


B=-4 3 5 12 2 0 -13 2 -4 5

D=-4 12 -1

A+ B=2+(-4) 1+3 0+5 3+1-1+2 0+2 2+0 4+ (-1)4+3 -2+2 7+(-4) 0+5

A+ B=-2 4 5 41 2 2 37 0 3 5

[c . ]=

c a11 … c a1n ...

.

.

.

.

.

.c am1 … c amn

Pág. Nº 9

EJEMPLO:

Sea y c =2. Encontrar c.A

DEFINICION:Sean A y B matrices mxn y 0 la matriz nula mxn. Sean c y d escalares arbitrarios y 0 y 1 los escalares identidad de la suma y multiplicación respectivamente. Entonces:

i) c.(A+B) = c A + c B ii) (c + d).A = c.A + d.A iii) (c.d).A = c(d.A)iv) 1.A = Av) 0.A = 0

NOTA: Se le recomienda al estudiante hacer la demostración respectiva para cada uno de los ítems.

DEFINICIÓN: Si A y B son dos matrices cualquiera del mismo tamaño, entonces la resta A-B = A + (-B). Las matrices de tamaños diferentes no se pueden restar.

En general, dadas las matrices:

Ejemplos:1.- Considérese las siguientes matrices:

Entonces:


A=-4 12 -1

c .A=-8 24 -2c.A = 2.

A=-4 12 -1

-B=

-b11 … -b1n

.

.

.

.

.

.

.

.

.-bm1 … -bmn mxn

A+(-B)=

a11 - b11 … a1n - b1n

.

.

.

.

.

.

.

.

.am1- bm1 … amn - bmn mxn

B=-4 3 5 12 2 0 -13 2 -4 5

A- B=2+4 1-3 0-5 3-1-1-2 0-2 2-0 4+ 14-3 -2-2 7+ 4 0-5Pág. Nº 10

1.4.- MATRIZ TRANSPUESTA

DEFINICIÓN: Si A = [aij] una matriz mxn, entonces la transpuesta de A, denotada como AT es una matriz nxm tal que: AT = (aij)T = (aji)

Ejemplos:

1.- Considérese la matriz A:

3x2

Su transpuesta es:

2x3

2.- Prueba que (A + B)T = AT + BT si A y B son de dimensión 2 x 3.

Solución: Considérense dos matrices cualquiera A y B de orden 2 x 3:

Trabajemos con el primer lado de la igualdad, es decir (A + B)T

Ahora, desarrollemos el segundo miembro, es decir AT + BT


A- B=6 -2 -5 2-3 -2 2 51 -4 11 -5

A=2 01 45 2

AT=2 1 50 4 2

B=6 4 34 3 1

(A+B)T=8 49 72 3

A+B=8 9 24 7 3

A T +BT=8 49 72 3

Pág. Nº 11

Por lo tanto, queda demostrado que: (A + B)T = AT + BT

TEOREMA: Sean A y B matrices mxn y c un escalar, entonces:

a) (AT)T = Ab) (A + B)T = AT + BT

c) (cA)T = c(A)T

NOTA: Se le recomienda al estudiante hacer la demostración respectiva para cada uno de los ítems.

1.5.- MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

DEFINICIÓN: Sea A una matriz de dimensión mxr, y B de tamaño rxn, entonces el producto A.B es una matriz de dimensión mxn.

Ejemplos:

1.- Sea A una matriz 2x3 y B una matriz 3x2 dadas por:

2x3

3x2

NOTA: Se le recomienda al estudiante hacer el producto B.A con las mismas matrices del ejemplo anterior y con ello verifique si la propiedad conmutativa se cumple para la multiplicación de matrices, es decir, A.B = B.A.

2.- Sea A una matriz de orden 2 x 3. Encuentre A2.

Solución: A2 = A.A

2x3 2x3

NOTA: Observe que para que pueda efectuarse el producto de estas matrices, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz, en este


A=2 0 14 5 -3

A.B=(2)(2)+(0)(6)+(1)(5) (2.4)+(0.1)+(1.2)

(4)(2)+(5)(6)+(-3)(5) (4.4)+(5.1)+(-3.2)

B=2 46 15 2

A.B=9 10

23 15

A=2 0 14 5 -3

Pág. Nº 12

caso no es posible efectuar esta multiplicación. Para que A2 exista, la matriz A deberá ser una matriz cuadrada.

3.- Sea A una matriz de orden mxn y sea I la matriz Identidad de Orden mxn. Demuestre que (A+I)2 = A2 +2.A.I +I2.

TEOREMA: Si A es una matriz mxr, B una matriz rxn y C una matriz nxq, entonces (A.B).C = A.(B.C).

Deducción:

A mxr . B rxn = A.B mxn

Luego, (A.B).C = A.B mxn . C nxq = [(A.B).C] mxq

4.- Se invita al estudiante a demostrar esta deducción a través de tres matrices cualquiera A, B y C, y comente con el resto del curso su experiencia y conclusiones

sobre esta demostración.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE MATRICESSuponiendo que los tamaños de las matrices son tales que es posible efectuar las operaciones indicadas, son válidas las reglas que siguen de la aritmética matricial:

a) A.(B.C) = (A.B).C (Ley asociativa para la multiplicación)b) A.(B+C) = A.B + A.C (Ley distributiva)c) (B+C).A = B.A + C.A (Ley distributiva)

5.- Dadas las matrices A, B y C que a continuación se ilustran, demuestre la propiedad asociativa de la multiplicación.

TEOREMA: Sea A una matriz mxn y B una matriz de nxp entonces: (A.B)T = BT . AT.


A=1 23 40 1

C=1 0

2 3

Pág. Nº 13

Ejemplo:

1.- Tomemos dos matrices A y B para demostrar el teorema anterior:

Comencemos con el lado izquierdo de la igualdad (A.B)T

3x2

2x2

Ahora, sigamos con el lado derecho de la igualdad BT . AT

Por lo tanto, acabamos de demostrar que (A.B)T = BT . AT.

1.- Suponga que A y B son matrices 4x5 y que C, D y E son matrices 5x2, 4x2 y 5x4, respectivamente. Determine cuáles de las siguientes expresiones matriciales están definidas. Para que estén definidas, dé el tamaño de la matriz resultante.a) B.A b) A.C +D c) A.E +B d) A.B + B e) E(A+B) f) E(A.C)

2.- Demuestre que si tanto AB como BA están definidas entonces AB y BA son matrices cuadradas.

3.- Resuelva la siguiente ecuación matricial para a, b, c y d

=

4.- Considere las matrices:


A=3 40 61 5

A.B=6 160 62 9

B=2 4

0 1

(A.B)T=6 0 2

16 6 9

BT=2 0

4 1

BT.AT=6 0 2

16 6 9

8 1

7 6

C=1 4 2

3 1 5

Pág. Nº 14

Calcule:a) A.B b) D+E c) D – E d) D.E e) E.D f) -7B

5.- Sea I la matriz identidad mxn cuyo elemento i y columna j es

1 si i=j0 si i=j

Demuestre que A.I = I.A = A para toda matriz A de nxn

1.6.- MATRIZ SIMETRICA

DEF: una matriz A mxn se denomina simétrica si AT = A. Una matriz es simétrica si encontrando su transpuesta coincide con la matriz original.

A= [aij][aij] = [aji]

AT = [aji]

Ejm.

Se puede evidenciar que los elementos de la matriz A, aij son iguales a los elementos de la matriz aji, es decir aij = aji . Por lo tanto, como A=AT entonces la matriz A es una matriz simétrica.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Demostrar que toda matriz simétrica debe ser cuadrada.2.- Demostrar que la matriz identidad I de nxn es simétrica.3.- Rellenar los registros que faltan de la matriz 4x4

de modo que la matriz sea simétrica. Explique el procedimiento utilizado para tal fin.


E=6 1 3-1 1 24 1 3

AT=

3 0 0 00 4 0 00 0 -4 00 0 0 4

1 -1 54 8

2 -7 -16 3

Pág. Nº 15

1.7.- METODO DE GAUSS

Sabías que el llamado “Príncipe de las Matemáticas”: Carl Friedrich Gauss, fue un prodigio desde niño? A los tres años de edad, corrigió a su padre un error cometido calculando los salarios de unos obreros que trabajaban para él.Historia:

Carl Friedrich Gauss nació en 1777 y aportó grandes descubrimientos a la Ciencia de su época, especialmente a la Matemática, pero también a la Física y a la Astronomía.Cuando tenía 10 años de edad, su maestro de escuela ordenó a los niños que sumaran los números del 1 al 100, probablemente para mantenerlos ocupados un largo rato. Gauss, casi inmediatamente, encontró el resultado: 5.050. Se dice que, para calcular la suma hizo lo siguiente: colocó la suma de los números del 1 al 100 de dos maneras:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100100 + 99 + 98 + 97 + … + 4 + 3 + 2 + 1

Se dio cuenta de que la suma de cada pareja de números en la misma posición vertical es igual a 101:

101= 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ……

Luego, observó que la suma de todas esas parejas de números es el doble de la suma que estaba buscando, es decir:

1 + 2 + …. + 97 + 98 + 99 + 100 =

Puesto que son 100 veces 101 lo que se obtiene de sumar las dos filas de la manera indicada.

Pero es un número fácil de calcular: .

A los 19 años, Gauss comenzó a escribir un diario personal que contiene 146 anotaciones sobre resultados matemáticos importantes; ese diario es hoy considerado uno de los documentos más preciosos de la Historia de las Matemáticas. Gauss hizo grandes contribuciones al área del Álgebra.

ELIMINACION GAUSSIANA

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:

3x + y + z = 6

2y + 4z = 2

5z = 15

decimos que un sistema va a estar dado en su forma triangular o escalonada si posee esta forma.


Para resolver este sistema se procede utilizando el método de sustitución regresiva (o sustitución hacia atrás o método Jordán), como por ejemplo:

i) resolvemos la ultima ecuación 5z = 15, por lo tanto z = 3ii) Sustituimos el valor de la incógnita encontrada en la ecuación anterior a ésta 2y + 4z

= 2 y =-5iii) Se repite el procedimiento ii) en la primera ecuación 3x + y + z = 6 x =

8/3.

Un procedimiento sistemático para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea lo suficientemente simple como para que el sistema de ecuaciones se pueda resolver por observación.

El método de eliminación Gaussiana consiste en reducir el sistema a la forma triangular y después utilizar la sustitución regresiva.

En general, para transformar una matriz aumentada en su forma triangular o en su forma escalonada, procedemos aplicando las siguientes operaciones:

i) multiplicación de una ecuación por un escalar adicionándosela a otraii) multiplicación de una ecuación por un escalar distinto de ceroiii) intercambio de dos filas


Ejemplo:1.- Resuelva el siguiente sistema utilizando el método de eliminación Gaussiana:

2x + 3y – z = 1 2 3 -1 1 x + 4y – z = 4 llevamos el sistema a una matriz aumentada 1 4 -1 43x + y + 2z = 5 3 1 2 5

Intercambie la primera y la segunda ecuación:

x + 4y – z = 4 1 4 -1 42x + 3y – z = 1 2 3 -1 13x + y + 2z = 5 3 1 2 5

Sume -2 veces la primera ecuación a la segunda; después sume -3 veces la primera ecuación a la tercera:

x + 4y – z = 4 1 4 -1 42x - 5y + z = -7 0 -5 1 -73x - 11y + 5z = -7 0 -11 5 -7

Multiplique la segunda ecuación por

x + 4y – z = 4 1 4 -1 42x y -1/5z = 7/5 0 1 -1/5 7/53x - 11y + 5z = -7 0 -11 5 -7

Sume 11 veces la segunda ecuación a la tercera: x + 4y – z = 4 1 4 -1 42x y -1/5z = 7/5 0 1 -1/5 7/53x - 11y 14/5z = 42/5 0 0 14/5 42/5

Ahora el sistema está en su forma triangular y se puede resolver por la sustitución regresiva.

14/5 z = 42/5 z = 3y -1/5z = 7/5 y = 2x + 4y – z = 4 x = -1

Por lo tanto se dice que la solución es (-1, 2,3). Se recomienda al estudiante hacer la verificación de la solución encontrada.


1.- En los siguientes ejercicios, la matriz aumentada para un sistema lineal ha sido reducida a una matriz en la forma escalonada y las variables están dadas. Resuelva el sistema.

a) 2 1 3 b) 0 3 2 6 c) -2 1 3 40 2 6 0 0 4 2 0 0 3 6 x,y x1, x2, x3 x,y,z

d) 2 -1 1 -2 e) 4 3 7 2 4 f) 0 4 -1 3 7 1

0 3 4 15 0 0 3 3 -6 0 0 0 3 4 9


0 0 -2 -6 x1, x2, x3, x4 0 0 0 0 5 0 x,y,z x,y,z,u,w

2.- Utilice el método de eliminación Gaussiana para resolver los siguientes sistemas:

a) 3x + 2y = 0 b) 4x + 5y = 7 c) 4x - 8y = 36x + 7y = 3 12x + 7y = -3 3x + 2y = 13

d) x + 2y + z = 8 e) x1 + 7x2 – 7x3 = 0 f) 3x - 6y = 21-x + 3y - 2z = 1 2x1 + 3x2 + x3 = 0 5x - 2y = -53x + 4y – 7z = 10 x1 - 4x2 + 3x3 = 0

g) 2x1 + 3x2 – x3 + x4 = -5 h) x + 2y + z = 84x1 + 5x2 + 2x3 - x4 = 4 2x + 7y + z – w = -1-2x1 - x2 – x3 - x4 = 1 3x - 2y + 4w = 86x1 + 7x2 + x3 - 4x4 = 2 -x + y - 3z – w = -6

1.8.- ELIMINACION GAUSS-JORDANEl método de eliminación Gauss-Jordan se puede aplicar a fin de llevar cualquier matriz a la forma escalonada.

Ejemplo:

1.- Considérese el siguiente sistema:

-2x3 + x5 = 12 0 0 -2 0 7 122x1 + 4x2 -10x3 + 6x4 + 12x5 = 28 2 4 -10 6 12 282x1 + 4x2 - 5x3 + 6x4 - 5x5 = -1 2 4 -5 6 -5 -1

Paso 1. Se localiza la columna (línea vertical) que no conste completamente de ceros y que esté más a la izquierda.

0 0 -2 0 7 122 4 -10 6 12 282 4 -5 6 -5 -1

Columna más a la izq. que no consta completamente de cero

Paso 2. Se intercambia el renglón superior con otro renglón, si es necesario, para llevar un elemento diferente de cero a la parte superior de la columna que se encontró en el paso 1.

2 4 -10 6 12 28 Se intercambió F1 por F20 0 -2 0 7 122 4 -5 6 -5 -1

Paso 3. Si el elemento que está ahora en la parte superior (a11) es a, se multiplica toda la F1 por

para convertir ese elemento en 1 al cual llamaremos Pivote.

1 2 -5 3 6 14Se multiplicó F1 por 1/20 0 -2 0 7 122 4 -5 6 -5 -1


Paso 4. Se suman múltiplos apropiados de la F1 a las demás filas, de modo que los elementos debajo del Pivote se conviertan en cero.

1 2 -5 3 6 140 0 -2 0 7 120 0 5 0 -17 -29 -2F1 + F3= F3

Paso 5. Se cubre ahora F1 y se comienza nuevamente con el paso 1 aplicado a la submatriz que queda. Se continúa de esta manera hasta que la matriz completa quede en la forma escalonada en los renglones.

1 2 -5 3 6 140 0 -2 0 7 120 0 5 0 -17 -29

Columna más a la izq. Que no consta completamente de ceros

1 2 -5 3 6 140 0 -2 0 7 12 -1/2F20 0 5 0 -17 -29

1 2 -5 3 6 140 0 1 0 -7/2 -6 0 0 0 0 1/2 1 -5F2 + F3 = F3

1 2 -5 3 6 140 0 1 0 -7/2 -6 Se cubre F2 y comienzo nuevamente con el paso 10 0 0 0 1/2 1

Columna más a la izq. Que no consta completamente de ceros

1 2 -5 3 6 140 0 1 0 -7/2 -6 0 0 0 0 1 2 2F3

La matriz completa está ahora en la forma escalonada por renglones. A fin de encontrar la forma escalonada en los renglones reducida se necesitan los siguientes pasos adicionales:

Paso 6. Empezando con la última fila distinta de cero y yendo hacia arriba, se suman múltiplos apropiados de cada fila a los de arriba, para introducir ceros arriba de los pivotes.

1 2 -5 3 6 140 0 1 0 0 1 7/2F3 + F2 = F20 0 0 0 1 2

1 2 -5 3 0 2 -6F3 + F1 = F10 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2


1 2 0 3 0 7 5F2 + F1 = F10 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2

Esta última matriz está en la forma escalonada en los renglones reducida.

Ejemplo:

2.- Considérese el siguiente sistema y resuelva por Gauss-Jordán.

2x1 - 2x2 + 4x3 + 6x4 = 4 2 -2 4 6 4 3x1 - 6x2 - 3x3 + 15x4 = 3 3 -6 -3 15 3-5x1 + 8x2 + x3 - 17x4 = -9 -5 8 1 -17 -9 x1 - x2 - 11x3 - 7x4 = -7 1 -1 -11 -7 -7

Paso 1: Primero aplicaremos el Método de Gauss. Identificamos el elemento a11 y lo convertimos en Pivote. Para ello multiplicamos por ½.

2 -2 4 6 4 1/2F1 1 -1 2 3 2 3 -6 -3 15 3 3 -6 -3 15 3 -3F1+F2-5 8 1 -17 -9 -5 8 1 -17 -9 1 -1 -11 -7 -7 1 -1 -11 -7 -7

1 -1 2 3 2 1 -1 2 3 2 0 -3 -9 6 -3 0 -3 -9 6 -3-5 8 1 -17 -9 3F1+F3 0 3 11 -2 1 1 -1 -11 -7 -7 1 -1 -11 -7 -7 (-1)F1+F4

1 -1 2 3 2 1 -1 2 3 2 0 -3 -9 6 -3 -1/3F2 0 1 3 -2 1 0 3 11 -2 1 0 3 11 -2 1 -3F2+F3 0 0 -13 -10 -9 0 0 -13 -10 -9


1 -1 2 3 2 1 -1 2 3 2 0 1 3 -2 1 0 1 3 -2 1 0 0 2 4 -2 1/2F3 0 0 1 2 -1 0 0 -13 -10 -9 0 0 -13 -10 -9 13F3+F4

1 -1 2 3 2 1 -1 2 3 2 0 1 3 -2 1 0 1 3 -2 1 0 0 1 2 -1 0 0 1 2 -1 0 0 0 16 -22 1/16F4 0 0 0 1 -11/8

Aplicando el método Jordán o sustitución en retroceso o sustitución regresiva (nótese que hay varios términos para denominarla) nos queda:

x1 - x2 + 2x3 + 3x4 = 2 x2 + 3x3 - 2x4 = 1 x3 + 2x4= -1 x4 = -11/8

Sustituyendo el valor de x4 = -11/8 en x3 + 2x4 = -1 nos queda que x3 =7/4Luego, sustituimos los valores de X4 y X3 en x2 + 3x3 - 2x4 = 1 y nos queda: x2 =-7.Finalmente, si sustituimos los valores encontrados de X4, X3 y x2 en x1 - x2 + 2x3 + 3x4 = 2 nos queda x1 =-35/8.

Observemos como se resuelve el sistema llevando la matriz escalonada a una matriz identidad:

1 -1 2 3 2 F2+F1 1 0 5 1 3 -5F3+F1 0 1 3 -2 1 0 1 3 -2 1 -3F3 + F2 0 0 1 2 -1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 -11/8 0 0 0 1 -11/8

1 0 0 -9 8 9F4+F1 1 0 0 0 -35/8 0 1 0 -8 4 8F3 + F2 0 1 0 0 -7 0 0 1 2 -1 -2F4 +F3 0 0 1 0 7/4 0 0 0 1 -11/8 0 0 0 1 -11/8

Observe que los valores x1, x2, x3 y x4 obtenidos al reducir a la matriz identidad, coinciden con los obtenidos al aplicar sustitución regresiva.

1.- Aplique el método de eliminación Gauss-Jordan para obtener la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a) x + 2y + z = 8 b) x1 + 7x2 – 7x3 = 0 c) 3x - 6y = 21-x + 3y - 2z = 1 2x1 + 3x2 + x3 = 0 5x - 2y = -53x + 4y – 7z = 10 x1 - 4x2 + 3x3 = 0


d) 2x1 + 3x2 – x3 + x4 = -5 e) x + 2y + z = 84x1 + 5x2 + 2x3 - x4 = 4 2x + 7y + z – w = -1-2x1 - x2 – x3 - x4 = 1 3x - 2y + 4w = 86x1 + 7x2 + x3 - 4x4 = 2 -x + y - 3z – w = -6

1.9.- SISTEMAS HOMOGENEOS DE ECUACIONES LINEALES

Como se señaló anteriormente, todo sistema de ecuaciones lineales tiene: una solución, infinidad de soluciones o ninguna solución. Ahora, se presentan situaciones en las que no se tiene interés en buscar la solución del sistema dado, sino que, por el contrario, se trata de decidir cuántas soluciones tiene ese sistema.

Consideraremos varios casos en los que es posible, mediante simple observación, llegar a proposiciones acerca del número de soluciones.

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos constantes son cero, es decir, que tiene la forma:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0

. . . .

. . . .

. . . .Am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0

Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales es consistente, ya que x1=0, x2=0,…,xn=0 siempre es una solución. Esta solución se conoce como trivial; si existen otras soluciones, se dice que son soluciones no triviales.

Dado que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales debe ser consistente, se tiene una solución o infinidad de soluciones. Puesto que una de esas soluciones es la trivial se puede afirmar lo siguiente:

Para un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, se cumple exactamente una de las siguientes proposiciones:

1. El sistema tiene sólo la solución trivial2. El sistema tiene una infinidad de soluciones no triviales además de la trivial.

Existe un caso en el que queda asegurado que un sistema homogéneo tiene soluciones no triviales: siempre que el sistema comprende más incógnitas que ecuaciones.


Ejemplo:

1.- Resuélvase el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que sigue, aplicando eliminación de Gauss-Jordán.

2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0 -x1 - x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0 x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0 (1.2) x3 + x4 + x5 = 0

La matriz aumentada del sistema sería:

2 2 -1 0 1 0-1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0

Al llevar esta matriz a su forma escalonada en los renglones reducida, se obtiene:

1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

El sistema correspondiente de ecuaciones es:

x1 + x2 + x5 = 0 x3 + x5 = 0 (1.3) x4 = 0Despejando las variables principales se llega a:

x1 = -x2 - x5

x3 = -x5 x4 = 0

Por tanto, el conjunto de solución queda dado por:

x1 = -s - tx2 = s x3 = -t Note que se obtiene una solución trivial cuando s=t=0x4 = 0x5 = t

En el ejemplo se ilustra un hecho importante: “ninguna de las tres operaciones elementales sobre los renglones puede alterar la columna final de ceros en la matriz aumentada, de modo que el sistema de ecuaciones correspondientes a la forma escalonada reducida de la matriz aumentada también deben ser un sistema homogéneo”.

Teorema: Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con más incógnitas que ecuaciones siempre tiene infinidad de soluciones.


Observación: este teorema sólo se aplica a sistemas homogéneos. Un sistema no homogéneo con más incógnitas que ecuaciones no necesariamente es consistente, sin embargo si es consistente, tendrá infinidad de soluciones.

1.- Sin utilizar papel ni lápiz, determine cuáles de los sistemas homogéneos que siguen tienen soluciones no triviales:

a) x1 + x2 = 0 b) x1 + 2x2 + 3x3 = 02x1 + x2 = 0 x2 + 4x3 = 0

5x3 = 0

c) a11x1 + a12x2 + a13x3 =0 d) x1 + 3x2 + 5x3 + x4 = 0a21x1 + a22x2 + a23x3 =0 4x1 - 7x2 - 3x3 - x4 = 0

3x1 + 2x2 + 7x3 + 8x4 = 02.- En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema homogéneo dado de ecuaciones lineales

a) 3x1 + x2 + x3 + x4 = 0 c) x + 6y -2z = 05x1 - x2 + x3 - x4 = 0 2x – 4y + z = 0

b) 2x1 + x2 + 3x3 = 0 d) 2x1 - 4x2 + x3 + x4 = 0 x1 + 2x2 = 0 x1 - 5x2 + 2x3 = 0 x2 + x3 = 0 - 2x2 - 2x3 - x4 = 0

x1 + 3x2 + x4 = 0 x1 - 2x2 - x3 + x4 = 0

1.10.- MATRIZ INVERSA (A-1)DEFINICION: Si A es una matriz de orden nxn se dice que tiene inversa (A-1) de orden nxn si cumple:

A.A-1 =I = A-1.A

siendo I la matriz identidad de orden nxn. Las matrices que tienen inversa se llaman invertibles.

Ejemplo 1:

La matriz B = 3 5 es la inversa de A = 2 -51 2 -1 3

Puesto que:

A.B= 3 5 . 2 -5 = 1 0 = I B.A= 2 -5 . 3 5 = 1 0 = I1 2 -1 3 0 1 -1 3 1 20 1

2.- La matriz A= 1 4 0no es invertible. Para ver por qué, sea2 5 03 6 0


B= b11 b12 b13

B21 b22 b23

B31 b32 b33

Una matriz cualquiera de orden 3x3. Al efectuar la multiplicación de B.A, la tercera columna es:b11 b12 b13 0 0

B.A= B21 b22 b23 0 = 0

B31 b32 b33 0 0

Por lo tanto,

1 0 0B.A I = 0 1 0

0 0 1

TEOREMA: Si tanto B como C son inversas de la matriz A, entonces B=C.Lo que a todas luces quiere decir que una matriz inversible tiene una y solo una inversa.

En general, para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A se ejecutan los siguientes pasos:1. Se aplican operaciones elementales de filas A para transformarla a matriz identidad.2. Las mismas operaciones que se aplican a A para transformarla a la matriz identidad, se

aplican a la matriz para obtener A-1.

Ejemplo 2:

Considérese la matriz 2x2 A= a bc d

si ad-bc 0, entonces:

A-1= d -b =

-c a

Dado que A.A-1 = I y A-1.A=I (verifíquese). Este es un método muy sencillo para encontrar las matrices de orden 2x2.

Teorema: Si A y B son matrices inversibles del mismo tamaño, entonces:i) AB es inversible.ii) (AB)-1 = B-1.A-1

Demostración:

Considérense las matrices:A= 1 2 B= 3 2 AB= 7 6

1 3 2 2 9 8

Al aplicar la fórmula del ejemplo 2 para el cálculo de las inversas, se obtiene:


A-1= 3 -2 B-1= 1 -1 (AB) -1= 4 -3-1 1 -1 3/2 -9/2 7/2

También:B-1 . A-1= 1 -1 3 -2 = 4 -3

-1 3/2 -1 1 -9/2 7/2

Por consiguiente, (AB)-1 = B-1.A-1 ,según lo garantiza el teorema

Observaciones:

La matriz Onxn (matriz nula) no es invertible, ya que no existe una matriz B tal que: Onxn.Bnxn=Bnxn.Onxn=Inxn

Las matrices que no tienen inversa se les llama singular. Las matrices que tienen inversa se les llama no singular.

1.- Aplique la fórmula dada en el Ejemplo 2 para calcular las inversas de las siguientes matrices:A= 3 1 B= 2 -3 C= 2 0

5 2 4 4 0 3

2.- Verifique que las matrices A y B del ejercicio anterior satisfacen la relación (AB)-1 = B-1.A-1.

3.- Sea A una matriz inversible cuya inversa es 3 4 . Encuentre la matriz A.5 6

4.- Sea A una matriz inversible cuya inversa de 7A es -1 2 . Encuentre la matriz A. 4 -7

5.- Encuentre la inversa de: cos sen -sen cos

Método de la matriz separada para hallar A-1

El método de la matriz separada consiste en reducir la matriz A dada (a la cual se le desea calcular su inversa) en una matriz identidad, por medio de operaciones elementales entre filas en forma simultánea a ambas matrices.

Ejemplo:

1.- Encuéntrese la inversa de A= 1 2 32 5 31 0 8

Solución:Partiendo de [A:I] realizamos operaciones elementales en A que afecten simultáneamente a I para llegar a [I:A-1]1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 02 5 3 0 1 0 -2F1+F2 0 1 -3 -2 1 01 0 8 0 0 1 -F1+F3 0 -2 5 -1 0 1 2F2+F3

1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0


0 1 -3 -2 1 0 -2F1+F2 0 1 -3 -2 1 01 0 8 0 0 1 -F1+F3 0 0 -1 -5 2 1 - F3

1 2 3 1 0 0 -2F2+F1 1 0 9 5 -2 0 -9F3+F10 1 -3 -2 1 0 0 1 -3 -2 1 0 3F3+F20 0 1 5 -2 -1 0 0 1 5 -2 -1

1 0 0 -40 16 90 1 0 13 -5 -30 0 1 5 -2 -1

Por lo tanto, A-1= -40 16 9 13 -5 -3 5 -2 -1

Compruebe que realmente esa es la inversa de A, verificando que se cumpla: A.A-1 = I


1.- Encuentre las inversas de las matrices dadas, haciendo uso del método de la matriz separada:

A= 1 2 B= -2 3 C= 8 -63 5 3 -5 -4 3

3 4 1 3 1 5 1 0 1A= 1 0 3 B= 2 4 1 C= 0 1 1

2 5 -4 -4 2 -9 1 1 0

2 6 6 1 0 1 5 11 7 3D= 2 7 6 E= -1 1 1 F= 2 1 4 -5

2 7 7 0 1 0 3 -2 8 70 0 0 0

REFERENCIAS

Antón, Howard. (1989).Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa.Edición en Español (3ra. Reimpresión). México.

Fleming, Walter y Varberg, Dale. (1998) Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Editorial Pentice Hall.


Sistemas de Ecuaciones y Matrices

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