Sistemas de EDOs lineales - MAT UPCSistemas lineales homog eneos a coeficientes variables A lo largo...

Sistemas de EDOs lineales

Preliminares

Definiciones basicas. Un sistema de EDOs lineales de primer orden (en forma normal) es de laforma

x′ = A(t)x+ b(t)

donde A : I →Mn(R) y b : I → Rn son funciones continuas definidas en un intervalo abierto I. Poranalogıa al caso de las EDOLs, diremos que este sistema lineal (SL) es:

homogeneo, cuando b(t) = 0;a coeficientes constantes, cuando la matriz A(t) no depende del tiempo; ya coeficientes periodicos, cuando la matriz A(t) es periodica.

Teorema de existencia y unicidad. Si A = A(t) y b = b(t) son continuas en un intervalo abiertoI ⊂ R, t0 ∈ I y x0 ∈ Rn, entonces el PVI lineal

x′ = A(t)x+ b(t), x(t0) = x0,

tiene exactamente una solucion global; es decir, una unica solucion definida en todo el intervalo I.

Derivadas de funciones matriciales. Veamos como derivar las combinaciones lineales, productos,inversas y determinantes de funciones matriciales derivables. Una funcion matricial es derivable cuandotodos sus elementos son funciones derivables.

1. Cualquer combinacion lineal de matrices derivables tambien es derivable:(αA(t) + βB(t)

)′= αA′(t) + βB′(t), ∀α, β ∈ R.

2. El producto de matrices derivables es derivable:(A(t)B(t)

)′= A′(t)B(t) +A(t)B′(t).

3. La inversa de una matriz invertible derivable es derivable:(A−1(t)

)′= −A−1(t)A′(t)A−1(t).

4. El determinante de una matriz derivable es una funcion derivable:(det[A(t)]

)′=

n∑j=1

det[a1(t), . . . ,a′j(t), . . . ,an(t)],

donde a1(t), . . . ,an(t) son las n columnas de la matriz A(t).

Conviene recordar al operar con matrices que el producto de matrices no es conmutativo.

Sistemas lineales homogeneos a coeficientes variables

A lo largo de esta seccion supondremos que A(t) es una funcion matricial n× n continua definidasobre un intervalo arbitrario I ⊂ R.

Estructura de las soluciones. Las soluciones del sistema lineal homogeneo x′ = A(t)x forman unsubespacio vectorial de dimension n que podemos parametrizar, una vez fijado un instante t0 ∈ Iarbitrario, mediante la condicion inicial x0 ∈ Rn. Veamoslo.

Lema. Si x(t) es una solucion de x′ = A(t)x, entonces o bien x(t) ≡ 0, o bien x(t) 6= 0 para todo t.

Demostracion. Si existe un instante t0 ∈ I tal que x(t0) = 0, entonces x(t) y la funcion identicamentenula son soluciones del PVI x′ = A(t)x, x(t0) = 0. Por tanto, x(t) ≡ 0 por unicidad de soluciones.

Definicion. La solucion x(t) ≡ 0 se denomina solucion trivial.

Lema (Principio de superposicion). Si x1(t) y x2(t) son dos soluciones arbitrarias de x′ = A(t)x,entonces cualquier combinacion lineal de la forma

x(t) = c1x1(t) + c1x2(t), c1, c2 ∈ R,

tambien es solucion de x′ = A(t)x.

1

2 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼edos/sl.pdf

Demostracion. x′ = (c1x1 + c2x2)′ = c1x′1 + c2x

′2 = c1A(t)x1 + c2A(t)x2 = A(t)(c1x1 + c2x2) =

A(t)x.

Proposicion. Sea F el conjunto formado por todas las soluciones del sistema homogeneo x′ = A(t)x.Sea x(t) = φ(t; t0,x0) la solucion del PVI

x′ = A(t)x, x(t0) = x0.

Entonces:

1. La aplicacion Rn 3 x0 7→ φ(t; t0,x0) ∈ Rn es un isomorfismo lineal para todo t, t0 ∈ I.2. F es un subespacio vectorial de C1(I;Rn) de dimension n.

Demostracion. Sean t, t0 ∈ I instantes fijados pero arbitrarios. Entonces la aplicacion

φ(t; t0, ·) : Rn 3 x0 7→ φ(t; t0,x0) ∈ Rn

es lineal (como consecuencia del principio de superposicion), inyectiva (como consecuencia del primerlema) y exhaustiva (pues Rn es un espacio vectorial de dimension finita).

Sabemos que cualquier solucion x(t) esta definida y es continua en I, luego x′(t) = A(t)x(t) tambienes continua en I. Esto prueba que F ⊂ C1(I;Rn). El principio de superposicion implica que F es unsubespacio vectorial. Finalmente, como las soluciones del sistema estan en correspondencia biyectivacon las condiciones iniciales, tenemos que dimF = dimRn = n.

Observacion. Complexificar la matriz del sistema no produce ningun cambio apreciable. Por ejemplo,si A : I →Mn(C) es continua en un intervalo I ⊂ R, entonces las soluciones de x′ = A(t)x formanun C-espacio vectorial de dimension compleja n. En cambio, complexificar la variable independientet nos meterıa de lleno en la variable compleja. Lo evitaremos por falta de tiempo. Escribiremos Mn

para denotar indistintamente el conjunto de matrices n× n a coeficientes reales o complejas.

Observacion. Sean x1(t), . . . ,xn(t) soluciones del sistema x′ = A(t)x y sea w(t) = det[x1(t), . . . ,xn(t)]su determinante, que recibe el nombre de Wronskiano. Como la aplicacion φ(t; t0, ·) es un isomorfirmode Rn para todo t, t0 ∈ I, deducimos que o bien w(t) ≡ 0 o bien w(t) 6= 0 para todo t ∈ I.

Definicion. Cualquier base x1(t), . . . ,xn(t) del subespacio vectorial F es un conjunto fundamental(de soluciones) del sistema x′ = A(t)x.

Definicion. Decimos que la matriz X : I ⊂ R→Mn es:

Una solucion matricial del sistema x′ = A(t)x cuando sus columnas son soluciones del sistema;es decir, cuando X ′(t) = A(t)X(t);Una matriz fundamental del sistema x′ = A(t)x cuando sus columnas son soluciones linealmenteindependientes del sistema; es decir, cuando X ′(t) = A(t)X(t) y det[X(t)] 6= 0 para todo t ∈ I;La matriz principal en el instante t0 del sistema x′ = A(t)x cuando sus columnas son solucionesdel sistema y X(t0) = Id.

La proposicion y las definiciones anteriores permiten hacer los siguientes comentarios.

Dado cualquier instante t0 ∈ I y cualquier base v1, . . . ,vn de Rn, las soluciones

xj(t) = φ(t; t0,vj), j = 1, . . . , n,

forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema, luego su solucion general es

xh(t) = c1x1(t) + · · ·+ cnxn(t), c1, · · · , cn ∈ R.

Si X(t) es una matriz fundamental arbitraria del sistema, entonces su solucion general es

xh(t) = X(t)c, c ∈ Rn.

En el caso complejo deberiamos escribir c1, . . . , cn ∈ C y c ∈ Cn, respectivamente.

http://www.ma1.upc.edu/~edos/sl.pdf

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼edos/sl.pdf 3

Como φ(t; t0, ·) es un isomorfismo de Rn, sabemos que φ(t; t0,x0) = Φ(t; t0)x0 para algunauna matriz invertible Φ(t; t0) ∈Mn. Ademas, Φ(t; t0) es la (unica) solucion del PVI matricial

DtΦ(t; t0) = A(t)Φ(t; t0), Φ(t0; t0) = Id.

Es decir, Φ(·; t0) es la matriz principal en el instante t0.Hay infinitas matrices fundamentales, pero una unica matriz principal en cada instante t0 ∈ R.

Ejemplo 1. Probaremos en el ejemplo 16 que las funciones

x1(t) =

(et

2/2

et2/2

), x2(t) =

(2et

et

)son soluciones del sistema lineal homogeneo

x′ = A(t)x, A(t) =

(2− t 2t− 21− t 2t− 1

), t ∈ R.

Ademas, la matriz obtenida al poner en columnas estas soluciones tiene determinante no nulo:

X(t) =

(et

2/2 2et

et2/2 et

)=⇒ det[X(t)] = −et

2/2+t 6= 0, ∀t ∈ R.

Por tanto, x1(t),x2(t) es un conjunto fundamental, X(t) es una matriz fundamental y

xh(t) = c1x1(t) + c2x2(t) = X(t)c =

(c1et

2/2 + 2c2et

c1et2/2 + c2et

), c =

(c1c2

)∈ R2

es la solucion general del sistema.

Proposicion (Relacion entre matrices fundamentales). Dadas dos matrices fundamentales arbitrariasX(t) e Y (t) del sistema x′ = A(t)x, existe una unica matriz invertible S ∈Mn tal que

Y (t) = X(t)S.

En particular, Φ(t; t0) = X(t)X−1(t0) para toda matriz fundamental X(t).

Demostracion. Empezamos comprobando que la derivada del producto X−1Y es identicamente nula:(X−1Y

)′=(X−1

)′Y +X−1Y ′ = −X−1X ′X−1Y +X−1Y ′ = −X−1A(t)XX−1Y +X−1A(t)Y = 0.

Por tanto, existe una matriz constante S ∈ Mn tal que Y (t) = X(t)S. La unicidad esta clara, puesS = X−1(t0)Y (t0). Ademas, det[S] = det[Y (t0)]/ det[X(t0)] 6= 0. Finalmente, si buscamos S tal queΦ(t; t0) = X(t)S y evaluamos en t = t0, obtenemos que S = X−1(t0).

La matriz S de la proposicion anterior se puede interpretar como la matriz del cambio de base entrelas bases de F asociadas a las columnas de ambas matrices fundamentales.

Proposicion (Formula de Liouville). Si X(t) es una solucion matricial de x′ = A(t)x, entonces

det[X(t)] = det[X(t0)] exp

(∫ t

t0

traza[A(s)]ds

), ∀t, t0 ∈ I.

Demostracion. Probamos un resultado equivalente. A saber, que el determinante de cualquier solucionmatricial cumple la EDO lineal homogenea de primer orden(

det[X(t)])′

= traza[A(t)] · det[X(t)].

Distinguimos dos situaciones diferentes a la hora de probar la validez de la EDO anterior.En primer lugar, suponemos que X(t) no es una matriz fundamental, luego su determinante es

identicamente nulo (sus columnas son linealmente dependientes) y es la solucion trivial de la EDO.En segundo lugar, suponemos que X(t) es una matriz fundamental. En tal caso, sus columnas

x1(t), . . . ,xn(t) son una base de Rn para todo t ∈ I, luego existen unas funciones cij(t) tales que

x′j(t) = A(t)xj(t) =

n∑i=1

cij(t)xi(t), ∀j = 1, . . . , n, ∀t ∈ I.



Es decir, la matriz C(t) =(cij(t)

)es la matriz del endomorfismo lineal A(t) : Rn 3 x 7→ A(t)x ∈ Rn

en la base x1(t), . . . ,xn(t). En otras palabras, C(t) = X−1(t)A(t)X(t). Operando, vemos que

(det[X(t)]

)′=

n∑j=1

det[x1(t), . . . ,x′j(t), . . . ,xn(t)] =

n∑j=1

det

[x1(t), . . . ,

n∑i=1

cij(t)xi(t), . . . ,xn(t)

]

=

(n∑i=1

cii(t)

)det[x1(t), . . . ,xj(t), . . . ,xn(t)] = traza[A(t)] · det[X(t)].

En la penultima igualdad hemos usado que el determinante es una aplicacion multilineal alternada.Y en la ultima hemos usado que la traza de un endomorfismo no depende de la base escogida.

La formula de Liouville junto a las ecuaciones variacionales respecto la posicion permiten estudiarcomo evoluciona el volumen de una region del espacio bajo la accion del flujo de un sistema de EDOsde primer orden. En el siguiente teorema, med(M) denota la medida de Lebesgue de un conjuntomedible M ⊂ Rn, mientras que

div f(t,x) = traza[Dxf(t,x)] =

n∑i=1

∂fi∂xi

(t,x)

denota la divergencia de un campo de vectores f = (f1, . . . , fn) respecto la posicion x = (x1, . . . , xn).

Teorema (Evolucion de un volumen por un flujo general). Sea f : Ω → Rn una aplicacion de claseC1 en un abierto Ω ⊂ R×Rn. Sea φ(t; t0,x0) el flujo del sistema x′ = f(t,x), que es de clase C1 enun abierto D ⊂ R× R× Rn. Sea M0 un medible de Rn y sean t, t0 ∈ R tales que (t, t0,x0) ∈ D paratodo x0 ∈M0. Entonces M = φ(t; t0,x0) : x0 ∈M0 tambien es un medible de Rn y

med[M ] =

∫M0

exp

(∫ t

t0

div f(s,φ(s; t0,x0)ds

)dx0.

Demostracion. El conjunto M = φ(t; t0,M0) es la imagen de un medible por una aplicacion de claseC1, luego es medible. Consideramos las matrices A(t) = Dxf(t,φ(t; t0,x0)) e Y (t) = Dx0φ(t; t0,x0).La matriz Y (t) cumple la ecuacion variacional y la condicion inicial

Y ′(t) = A(t)Y (t), Y (t0) = Id.

Es decir, Y (t) es la matriz principal en el instante t0 del sistema x′ = A(t)x. Por tanto, la formula deLiouville implica que

det[Dx0

φ(t; t0,x0)]

= det[Y (t)] = 1 · exp

(∫ t

t0

traza[A(s)]ds

)= exp

(∫ t

t0


).

Realizando el cambio de variables M0 3 x0 7→ x = φ(t; t0,x0) ∈M , resulta que

med[M ] =

∫M

dx =

∫M0

∣∣det[Dx0

φ(t; t0,x0)]∣∣ dx0 =

∫M0

exp

(∫ t

t0


)dx0.

En la ultima igualdad hemos usado la formula anterior.

Observacion. El flujo φ(t; t0,x0) conserva el volumen de todos los conjuntos medibles si y solo si ladivergencia del campo vectorial f(t,x) es identicamente nula. De hecho, el flujo expande, preserva ocontrae volumen localmente (en tiempo y espacio) en funcion del signo de la divergencia.

Ejemplo 2. Consideramos el campo central autonomo 3D

f(x) = −x/‖x‖3.

definido en el abierto Ω = R3 \ 0, Se puede comprobar que div f(x) ≡ 0, luego el flujo del sistemax′ = f(x) preserva volumen. Sorprendentemente, el campo apunta siempre hacia el origen, lo cualpodrıa hacernos pensar que contrae volumen.



Corolario (Evolucion de un volumen por un flujo lineal). Sea φ(t; t0,x0) el flujo del sistema linealx′ = A(t)x+ b(t). Entonces la formula anterior se simplifica bastante. Concretamente,

med[M ] =

∫M0

exp

(∫ t

t0

trazaA(s)

)dx0 = med[M0] · exp

(∫ t

t0

traza[A(s)]ds

), ∀t, t0 ∈ I.

Si ademas el sistema lineal es a coeficientes constantes, entonces

med[M ] = med[M0]e(t−t0) traza[A], ∀t, t0 ∈ I.

Sistemas lineales homogeneos a coeficientes constantes

Los sistemas a coeficientes constantes x′ = Ax, A ∈Mn, son autonomos, luego sus flujos son de laforma φ(t; t0,x0) = ϕ(t − t0;x0), con ϕ : R × Rn → Rn. Queremos encontrar una formula explıcitapara el flujo ϕ(t;x0) en terminos de la matriz A. El metodo es muy simple cuando A es diagonalizable;basta calcular sus VAPs y una base de VEPs. El caso general requiere usar la forma de Jordan y unabase de Jordan de la matriz.

El caso diagonalizable (real o complejo). La idea basica para resolver el caso diagonalizable esque las funciones vectoriales que se obtienen al multiplicar un VEP por la funcion exponencial quetiene el correspondiente VAP por exponente son soluciones.

Proposicion. Si v es un VEP de VAP λ de una matriz A ∈Mn, entonces

x(t) = ϕ(t;v) = eλtv

es la solucion del PVI x′ = Ax, x(0) = v.

Demostracion. Como v es un VEP de VAP λ de la matriz A, sabemos que Av = λv. Por tanto,

x′(t) = λeλtv = eλtλv = eλtAv = Aeλtv = Ax(t),

pues podemos escribir el escalar eλt en la posicion que queramos. La propiedad x(0) = v es obvia.

Ejercicio. Probar que si v es un VEP constante de VAP λ(t) de una matriz cuadrada A(t), entonces

x(t) = φ(t; t0,v) = e∫ tt0λ(s)ds · v

es una solucion del PVI no autonomo x′ = A(t)x, x(t0) = v.

Cuando la matriz del sistema es diagonalizable podemos, a partir de una base de VEPs, encontrarun conjunto fundamental formado por soluciones de la forma anterior o dar una formula para el flujo.

Teorema. Supongamos que v1, . . . ,vn es una base de VEPs de VAPs λ1, . . . , λn de la matriz A.Entonces, la solucion general del sistema x′ = Ax es

xh(t) = c1eλ1tv1 + · · ·+ cneλntvn, c1, . . . , cn ∈ R.

Y su flujo viene dado por: x0 = c1v1 + · · ·+ cnvn ⇒ ϕ(t;x0) = c1eλ1tv1 + · · ·+ cneλntvn.

Demostracion. Basta notar que las funciones vectoriales xj(t) = φ(t; 0,vj) = ϕ(t;vj) = eλjtvj ,1 ≤ j ≤ n, forman un conjunto fundamental de soluciones, pues v1, . . . ,vn es una base. La formuladel flujo es una consecuencia de la linealidad de la aplicacion ϕ(t; ·) : Rn → Rn.

Ejemplo 3. Calcular la solucion general y una matriz fundamental del sistema

x′ = Ax, A =

(−3 1

1 −3

).

El polinomio caracterıstico de esta matriz es

QA(λ) = det(A− λId) = λ2 − (trazaA)λ+ detA = λ2 + 6λ+ 8 = (λ+ 2)(λ+ 4),



luego los VAPs son λ1 = −2 y λ2 = −4, ambos simples. Por tanto, la matriz A diagonaliza y resultafacil calcular una base de VEPs. Una posible base es v1 = (1, 1) y v2 = (1,−1). Ası pues,

xh(t) = c1eλ1tv1 + c2eλ2tv2 = c1e−2t

(11

)+ c2e−4t

(1−1

)=

(c1e−2t + c2e−4t

c1e−2t − c2e−4t

), c1, c2 ∈ R

es la solucion general del sistema. Ademas,

X(t) =

(eλ1tv1

∣∣∣∣ eλ2tv2

)=

(e−2t e−4t

e−2t −e−4t

)es una matriz fundamental, probablemente la mas simple de obtener. N

Ejercicio. Sea x(t) una solucion del sistema anterior. ¿Que se puede decir sobre lımt→+∞ x(t)?

El caso diagonalizable complejo. Cuando la matriz diagonaliza en los complejos; es decir, cuandodiagonaliza pero tiene algunos VAPs complejos conjugados, el metodo anterior proporciona solucionescomplejas que se pueden convertir facilmente en soluciones reales (es decir, en soluciones que tomanvalores reales para todo t ∈ R). Basta substituir cada pareja de soluciones complejas conjugadas porsus partes real e imaginaria.

Proposicion. Si v± = u±w i son VEPs de VAPs λ± = α±β i de una matriz A ∈Mn(R), entonces

y(t) = ϕ(t;u) = <[eλ+tv+

]= eαt

(u cosβt−w sinβt

),

z(t) = ϕ(t;w) = =[eλ+tv+

]= eαt

(u sinβt+w cosβt

),

son soluciones linealmente independientes del sistema x′ = Ax. Ademas, y(0) = u y z(0) = w.

Demostracion. En primer lugar, recordamos que las funciones

x±(t) = ϕ(t;v±) = eλ±tv± = eαt(cosβt± i sinβt)(u± iw) = y(t)± z(t) i

son soluciones complejas conjugadas. En la tercera igualdad hemos usado la formula de Euler. Comoel conjunto de soluciones es un subespacio vectorial sobre C, deducimos que las combinaciones lineales

y(t) =x+(t) + x−(t)

2, z(t) =

x+(t)− x−(t)

2 i

tambien son soluciones. Para ver que son linealmente independientes, recordamos un resultado clasicode algebra lineal: VEPs de VAPs diferentes siempre son linealmente independientes. En particular, losVEPs complejos conjugados v± = u±w i son independientes, luego sus partes reales e imaginarias uy w tambien lo son. En consecuencia, y(t) = ϕ(t;u) y z(t) = ϕ(t;w) tambien lo son, pues ϕ(t, ·) esun isomorfismo de Rn. Las propiedades y(0) = u y z(0) = w son triviales.


x′ = Ax, A =

1 −12 −141 2 −31 1 −2

.

Se puede comprobar (¡comprobadlo!) que el polinomio caracterıstico de esta matriz es

QA(λ) = det(A− λId) = · · · = −λ3 + λ2 − 25λ+ 25 = −(λ− 1)(λ2 + 25).

Los VAPs son λ1 = 1 y λ2,3 = ±5i, todos simples. Por tanto, la matriz diagonaliza en los complejos.Pasamos a calcular un conjunto fundamental de soluciones reales.

Empezamos por el caso mas facil, el VAP real λ1 = 1.

Nuc(A− Id) =

x

yz

∈ R3 :−12y − 14z = 0x+ y − 3z = 0

=

25z/6−7z/6z

: z ∈ R

=

25−7

6

.



Por tanto, v1 = (25,−7, 6) es un VEP de VAP λ1 = 1, luego obtenemos la solucion

x1(t) = eλ1tv1 =

25et

−7et

6et

.

El caso de los VAPs complejos conjugados es mas complicado, aunque aprovecharemos que si dosVAPs son conjugados, sus VEPs tambien lo son. Es decir, basta realizar la mitad de los calculos. Portanto, para calcular la parte de la base asociada a los VAPs λ2,3 = ±5i, basta calcular el nucleo

Nuc(A− 5iId) =

x

yz

∈ R3 :(1− 5i)x− 12y − 14z = 0

x+ (2− 5i)y − 3z = 0x+ y − (2 + 5i)z = 0

=

1 + 5i11

.Por tanto, v2,3 = u ± w i son VEPs complejos conjugados de VAPs λ2,3 = α ± β i, siendo α = 0,β = 5, u = (1, 1, 1) y w = (5, 0, 0). Usando la proposicion anterior, obtenemos dos soluciones realeslinealmente independientes:

y(t) = <[eλ2tv2

]=

cos 5t− 5 sin 5tcos 5tcos 5t

, z(t) = =[eλ2tv2

]=

sin 5t+ 5 cos 5tsin 5tsin 5t

.

En particular, xh(t) = c1x1(t) + c2y(t) + c3z(t) = X(t)c es la solucion general real del sistema, dondeel vector de constantes c = (c1, c2, c3) ∈ R3 queda libre y

X(t) =

(eλ1tv1

∣∣∣∣ <[eλ2tv2

] ∣∣∣∣ =[eλ2tv2

])=

25et cos 5t− 5 sin 5t sin 5t+ 5 cos 5t−7et cos 5t sin 5t

6et cos 5t sin 5t

es una matriz fundamental real. N

El caso general: Exponencial de una matriz. Cuando la matriz del sistema no diagonaliza senecesitan algunos resultados mas elaborados del algebra lineal. A saber, la forma (reducida) de Jordany las bases de Jordan. Damos un rapido repaso a las notaciones clasicas y los resultados basicos.

Dado un escalar λ ∈ C y un natural r ∈ N, Jr(λ) denotara la matriz r×r cuyos elementos diagonalesson igual al escalar λ, cuyos elementos subdiagonales son igual a uno y el resto son nulos. Por ejemplo,

J1(λ) = (λ), J2(λ) =

(λ 01 λ

), J3(λ) =

λ 0 01 λ 00 1 λ

, J4(λ) =

λ 0 0 01 λ 0 00 1 λ 00 0 1 λ

.

Las matrices de la forma Jr(λ) son bloques de Jordan. Las matrices diagonales por bloques, cuyosbloques diagonales son bloques de Jordan, son matrices de Jordan.

Teorema (Forma de Jordan). Dada cualquier matriz A ∈Mn, existe una matriz de Jordan

J = diag(J1, . . . , Jl) ∈Mn,

con bloques de Jordan Jk = Jrk(λk), 1 ≤ k ≤ l, y una matriz invertible S ∈Mn tales que

J = S−1AS.

La matriz de Jordan es unica salvo permutaciones de sus bloques.

Definicion. La matriz J es la forma (reducida) de Jordan de A. Las columnas de la matriz S formanuna base de Jordan de A. El conjunto formado por todos los VAPs de A se denomina espectro y sedenota Spec(A). Un VAP es semi-simple cuando su bloque de Jordan es diagonal.

Una matriz es diagonalizable si y solo si su forma de Jordan es diagonal o, equivalentemente, cuandotodos sus VAPs son semi-simples. Por tanto, es diagonalizable en los complejos si y solo si todos susVAPs tienen multiplicidades algebraicas y geometricas iguales: mg(λ) = ma(λ) para todo λ ∈ Spec(A).Y diagonaliza en los reales cuando, ademas, todos sus VAPs son reales. Finalmente, recordamos que1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ) para todo λ ∈ Spec(A). Fin del repaso.



Ejemplo 5. Si λ ∈ Spec(A) no es semi-simple, en cada base de Jordan existen dos vectores consecutivosu y v tales que Au = λu + v y Av = λv. En la seccion anterior vimos que ϕ(t;v) = eλtv. Ahoraveremos que ϕ(t;u) = eλt(u+ tv). Efectivamente, si notamos q(t) = eλt(u+ tv), entonces q(0) = u y

q′(t) = eλtλ(u+ tv) + eλtv = eλt(λu+ tλv + v) = eλt(Au+ tAv) = Aeλt(u+ tv) = Aq(t).

Sabemos que dado cualquier escalar a ∈ R, x(t) = ϕ(t;x0) = eatx0 es el flujo de la EDO x′ = ax.Por analogıa, conjeturamos que dada cualquier matriz A ∈ Mn, x(t) = ϕ(t;x0) = eAtx0 es el flujodel sistema x′ = Ax. Sin embargo, necesitamos dar un significado preciso al sımbolo eAt.

Ejercicio. Probar por induccion que las iteraciones de Picard correspondientes al PVI x′ = Ax,x(0) = x0 vienen dadas por

xj(t) =

(j∑

k=0

Aktk

k!

)x0, ∀j ≥ 0.

Definicion. El ejercicio anterior sugiere definir la matriz exponencial eAt como la serie de potencias

eAt :=

∞∑k=0

Aktk

k!.

Ejemplo 6. La exponencial de una matriz diagonal es diagonal. Si D = diag(λ1, . . . , λn), entonces

eDt =

∞∑k=0

Dktk

k!=

∞∑k=0

diag(λk1 , . . . , λkn)tk

k!= diag

( ∞∑k=0

(λ1t)k

k!, . . . ,

∞∑k=0

(λnt)k

k!

)= diag

(eλ1t, . . . , eλnt

).

En particular, esto prueba que la exponencial de una matriz no se obtiene calculando la exponencialelemento a elemento de la matriz inicial. N

A continuacion comprobamos que nuestras intuiciones son correctas y listamos las propiedades masimportantes de la matriz exponencial eAt.

Proposicion. Dada una matriz arbitraria A ∈ Mn, la funcion matricial eAt : R 3 t 7→ eAt ∈ Mn

cumple las siguientes propiedades:

1. eAt es absolutamente convergente en R y uniformemente convergente sobre compactos de R;2. eAt ∈ C∞(R;Mn) y Dt

(eAt)

= AeAt;

3. La matriz eAt es igual a la matriz identidad n× n cuando t = 0;4. eA(t+s) = eAteAs;5. Si A,B ∈Mn conmutan (es decir, si AB = BA), entonces e(A+B)t = eAteBt = eBteAt;6. det

[eAt]

= etraza[A]t;

7. La matriz eAt es invertible para todo t ∈ R y su inversa es la matriz e−At;8. El flujo del sistema x′ = Ax es φ(t; t0,x0) = ϕ(t− t0;x0) = e(t−t0)Ax0; y9. Si S es invertible y J = S−1AS, entonces eJt = S−1eAtS.

Demostracion. 1. Sea ‖ · ‖ una norma matricial sub-multiplicativa arbitraria. Entonces,∞∑k=0

∥∥∥∥Aktkk!

∥∥∥∥ ≤ ∞∑k=0

‖A‖ktk

k!= e‖A‖t <∞, ∀t ∈ R.

Por tanto, aplicando el criterio M de Weiertrass vemos que la serie de potencias∑k≥0A

ktk/k!es absolutamente convergente en R y uniformemente convergente sobre compactos de R.

2. Toda serie de potencias uniformemente convergente sobre compactos es C∞ y puede ser derivadatermino a termino. Por tanto, eAt ∈ C∞(R;Mn) y

Dt

(eAt)

=

∞∑k=1

Aktk−1

(k − 1)!= A

∞∑k=1

Ak−1tk−1

(k − 1)!= A

∞∑k=0

Aktk

k!= AeAt.

3. El termino A0t0/0! = Id es el unico que no se anula al evaluar la serie de potencias en t = 0.



4. Fijado s ∈ R, consideramos las funciones X1(t) = eA(t+s) y X2(t) = eAteAs. Entonces

X ′1 = AeA(t+s) = AX1, X ′2 = AeAteAs = AX2, X1(0) = eAs = X2(0).

Por tanto, X1(t) y X2(t) son soluciones del mismo PVI matricial, luego X1(t) = X2(t) porunicidad de soluciones.

5. Consideramos las funciones matriciales Y1(t) = e(A+B)t e Y2(t) = eAteBt. Entonces

Y ′1 = (A+B)e(A+B)t = (A+B)Y1, Y ′2 = AeAteBt + eAtBeBt = (A+B)Y2.

Las matrices eAt y B conmutan, pues A y B conmutan. Ademas, Y1(0) = Id = Y2(0). Portanto, Y1(t) e Y2(t) son soluciones del mismo PVI matricial, luego Y1(t) = Y2(t).

6. Es una consecuencia directa de la formula de Liouville, pues eAt es una solucion matricial delsistema x′ = Ax.

7. El punto anterior implica que la matriz eAt es invertible para todo t ∈ R, pues su determinanteno es nulo. Ademas,

eAte(−A)t = e(A+(−A))t = e0t = Id,

pues las matrices A y B = −A conmutan.8. Hemos visto que eAt es una matriz fundamental de x′ = Ax, luego φ(t; t0,x0) = Φ(t; t0)x0 con

Φ(t; t0) = eAt(eAt0

)−1= eAte−At0 = eA(t−t0).

9. Aplicamos la definicion de exponencial de una matriz:

eJt =

∞∑k=0

Jktk

k!=

∞∑k=0

(S−1AS)ktk

k!=

∞∑k=0

S−1AkStk

k!= S−1

( ∞∑k=0

Aktk

k!

)S = S−1eAtS,

ya que (S−1AS)k = S−1ASS−1AS · · ·S−1ASS−1AS = S−1AkS. El calculo de la matriz exponencial eAt se realiza mediante un cambio de base a forma de Jordan.

Proposicion. Sea J = diag(J1, . . . , Jl) ∈Mn, Jk = Jrk(λk), 1 ≤ k ≤ l, la forma reducida de Jordande A ∈Mn y sea S ∈Mn una matriz invertible tal que J = S−1AS. Entonces:

X(t) = eAtS = SeJt es una matriz fundamental del sistema x′ = Ax.Φ(t; t0) = eA(t−t0) = SeJ(t−t0)S−1 es la matriz principal en el instante t0 del sistema x′ = Ax.eJt = diag

(eJ1t, . . . , eJlt

).

Dado un bloque de Jordan Jr(λ) de orden r y VAP λ, se cumple que

eJr(λ)t = exp(Jr(λ)t

)=

1t 1t2

2 t 1...

. . .. . .

. . .tr−1

(r−1)! · · · t2

2 t 1

eλt.

Sea PA(λ) = Πmk=1(λ− λk)rk el polinomio mınimo de A. Entonces cada elemento de la matriz

eAt es una combinacion lineal de las funciones

eλ1t, teλ1t, . . . , tr1−1eλ1t, eλ2t, teλ2t, . . . , tr2−1eλ2t, . . . , eλmt, teλmt, . . . , trm−1eλmt.

Para calcular la solucion general de un sistema, basta tener una matriz fundamental arbitraria. Portanto, como espabilados perezosos que somos, nos limitaremos a calcular la matriz fundamental dadapor la formula X(t) = SeJt, evitando a toda costa invertir la matriz S.


x′ = Ax, A =

(0 −11 −2

).

El polinomio caracterıstico de esta matriz es

QA(λ) = det(A− λId) = λ2 − (trazaA)λ+ detA = λ2 + 2λ+ 1 = (λ+ 1)2,



luego tiene un unico VAP doble: λ1 = λ2 = −1. Ademas, la matriz no diagonaliza, pues

mg(−1) = dim[Nuc(A+ Id)] = 1 < 2 = ma(−1).

La forma de Jordan J y una matriz de cambio de base (de base de Jordan a base natural) S son

J = J2(−1) =

(−1 0

1 −1

), S =

(1 10 1

).

Por tanto, podemos calcular una matriz fundamental con la formula

X(t) = SeJt =

(1 10 1

)(1 0t 1

)e−t =

(1 + t 1t 1

)e−t.

Finalmente, la solucion general del sistema es

xh(t) = X(t)c =

(c1 + c2 + c1tc1t+ c2

)e−t, c1, c2 ∈ R.

Ejercicio. Sea x(t) una solucion del sistema anterior. ¿Que se puede decir sobre lımt→+∞ x(t)?

Ejercicio. ¿Cuales de las siguientes funciones vectoriales son soluciones de un sistema lineal homogeneoa coeficientes constantes x′ = Ax con A ∈M2? Dar una matriz A cuando sea posible.(

3et + e−t

e2t

),

(3et + e−t

et

),

(3et + e−t

tet

),

(3et

t2et

),

(et + 2e−2t

et + 2e−2t

).

Observacion. Si la funcion a : I → R es continua, entonces φ(t; t0,x0) = exp(∫ t

t0a(s)ds

)x0 es el

flujo de la EDO lineal homogenea de primer orden x′ = a(t)x. Por contra, si la funcion matricial

A : I →Mn(R) es continua, entonces φ(t; t0,x0) = exp(∫ t

t0A(s)ds

)x0 no es, en general, el flujo del

sistema a coeficientes variables x′ = A(t)x.

Ejercicio. Probar que si la funcion matricial A : I →Mn(R) es continua y A(t)A(s) = A(s)A(t) para

todo t, s ∈ I, entonces φ(t; t0,x0) = exp(∫ t

t0A(s)ds

)x0 es el flujo de x′ = A(t)x.

Estabilidad. Queremos describir cualitativamente las soluciones del sistema x′ = Ax, con A ∈Mn.

Definicion. Diremos que un punto x0 ∈ Rn es un punto de equilibrio del sistema x′ = Ax cuandola velocidad del sistema en ese punto sea cero. Es decir, cuando x0 ∈ NucA. Diremos que el sistemax′ = Ax es degenerado cuando tenga infinitos puntos de equilibrio. Es decir, cuando det[A] = 0.

Observacion. Si x0 es un punto de equilibrio de x′ = Ax, entonces el cambio de variable dependientey = x− x0 transforma el sistema original en el sistema y′ = Ay (¡es el mismo!), pues

y′ = (x− x0)′ = x′ = Ax = Ax−Ax0 = A(x− x0) = Ay.

Por tanto, todos los puntos de equilibrio son “iguales” y basta estudiar el origen.

Dado un sistema lineal homogeneo a coeficientes constantes, la primera cuestion cualitativa queplanteamos consiste en determinar si sus trayectorias escapan a infinito o tienden al origen cuandot → +∞. En realidad, estos dos comportamientos no cubren todas las posibilidades. Por ejemplo,existen sistemas cuyas trayectorias giran eternamente sin escapar a infinito ni tender al origen.

Definicion. Diremos que el sistema x′ = Ax es:

Repulsor cuando todas sus soluciones no triviales escapan a infinito;Inestable (I) cuando alguna de sus soluciones escapa a infinito;Estable (E) cuando todas sus soluciones son acotadas; yAtractor o asintoticamente estable (AE) cuando todas sus soluciones tienden al origen.

Observacion. Si x0 es un punto de equilibrio, entonces x(t) ≡ x0 es la unica solucion que cumplex(t0) = x0 para algun t0 ∈ R. Un sistema degenerado tiene soluciones no triviales que ni escapan ainfinito ni tienden al origen al ser constantes, luego no es ni repulsor ni atractor,



Ejemplo 8. La aplicacion ϕ(t;x0) = eλtx0 es el flujo de la EDO lineal homogenea x′ = λx. Por tanto,esta EDO es: repulsora o I ⇔ λ > 0, atractora o AE ⇔ λ < 0 y E pero no AE ⇔ λ = 0. N

Definicion. Sea v un VEP de VAP λ ∈ R de la matriz A. Sea r = [v] la recta que pasa por el origencon direccion v. Entonces, diremos que r es una

Recta invariante inestable del sistema x′ = Ax cuando λ > 0.Recta invariante estable del sistema x′ = Ax cuando λ < 0.Recta invariante de puntos de equilibrio del sistema x′ = Ax cuando λ = 0.

Analogamente, sean v± = u±w i VEPs complejos conjugados de VAPs λ± = α± β i de la matriz A.Sea Π = [u,w] el plano que pasa por el origen con direcciones u y w. Entonces, diremos que Π es un

Plano invariante inestable del sistema x′ = Ax cuando α > 0.Plano invariante estable del sistema x′ = Ax cuando α < 0.Plano invariante de giros cerrados del sistema x′ = Ax cuando α = 0.

Pasamos a interpretar estas definiciones. Sea x(t) = ϕ(t;x0) = eAtx0 el flujo del sistema x′ = Ax.Si x0 ∈ r, entonces Ax0 = λx0, luego x(t) = eλtx0. Por tanto, cualquier trayectoria que empieza

en un punto de la recta r se mantiene dentro de la recta (por eso decimos que la recta es invariante)y para decidir si escapa hacia infinito, tiende al origen o se queda fija basta mirar el signo del VAP λ.

Si x0 ∈ Π = [u,w], entonces existen unos coeficientes a0, b0 ∈ R tales que x0 = a0u+ b0w, luego

x(t) = ϕ(t;x0) = ϕ(t; a0u+ b0w) = a0ϕ(t;u) + b0ϕ(t;w) = a0y(t) + b0z(t) = a(t)u+ b(t)w,

donde y(t) = ϕ(t;u) = eαt(u cosβt−w sinβt

), z(t) = ϕ(t;w) = eαt

(u sinβt+w cosβt

)y(

a(t)b(t)

)= eαt

(cosβt sinβt− sinβt cosβt

)(a0

b0

).

Por tanto, cualquier trayectoria que empieza en un punto del plano Π se mantiene dentro del plano(por eso decimos que el plano es invariante) girando sin parar y para decidir si escapa hacia infinito,tiende al origen o los giros son cerrados basta mirar el signo de la parte real α. Si la parte real es iguala cero, entonces todas las trayectorias contenidas en el plano son periodicas de periodo T = 2π/β.Podemos escribir la fomula anterior en “polares”. Notando a0 + ib0 = r0e iθ0 y a(t) + ib(t) = r(t)e iθ(t),resulta que r(t) = r0eαt y θ(t) = θ0 − βt, lo cual muestra que el angulo avanza a velocidad constante.

Ejercicio. En una recta o plano invariante estable, ¿cuanto tarda la trayectoria en llegar al origen?

Hemos visto que los VAPs reales positivos y los VAPs complejos de parte real positiva se asocian arectas y planos invariantes inestables, luego dan lugar a sistemas inestables. No son los unicos VAPscon esta propiedad. Vimos en el ejemplo 5 que si λ es un VAP no semi-simple, existe una solucion dela forma q(t) = eλt(u+ tv), con v 6= 0. Por tanto, si la parte real del VAP es igual a cero, resulta que

lımt→+∞

|q(t)| = lımt→+∞

|eλt||u+ tv| = lımt→+∞

e<λt|u+ tv| = lımt→+∞

|u+ tv| = +∞.

Por contra, cuando todos los VAPs tienen parte real negativa la siguiente cota nos permitira deducirque el sistema es asintoticamente estable.

Lema. Sea ‖ · ‖ una norma en el espacio Mn. Sea A ∈ Mn una matriz tal que <λ < −µ < 0 paratodo λ ∈ Spec(A). Entonces existe una constante C = C(A,µ, ‖ · ‖) > 0 tal que

‖eAt‖ ≤ Ce−µt, ∀t > 0.

Demostracion. Basta probarlo para la norma ‖A‖∞ = max1≤i≤n∑nj=1 |aij |, pues todas las normas

de Mn son equivalentes. Sea PA(λ) =∏mk=1(λ− λk)rk el polinomio mınimo de A. Sabemos que cada

elemento de la matriz exponencial eAt = (eij(t)) es una combinacion lineal de las funciones

eλ1t, teλ1t, . . . , tr1−1eλ1t, eλ2t, teλ2t, . . . , tr2−1eλ2t, . . . , eλmt, teλmt, . . . , trm−1eλmt.



Es un ejercicio de calculo de una variable el comprobar que si <λ < −µ < 0 y r ∈ N, entonces existeuna constante c = c(µ+ <λ, r) > 0 tal que

|tseλt| = tse<λt =(tse(µ+<λ)t

)e−µt ≤ ce−µt, ∀t > 0, ∀s = 0, . . . , r − 1.

Por tanto, existen unas constantes cij = cij(A,µ) > 0 tales que

|eij(t)| ≤ cije−µt, ∀t > 0, ∀i, j = 1, . . . , n.

Finalmente, ‖eAt‖∞ = max1≤i≤n∑nj=1 |eij(t)| ≤ Ce−µt si tomamos C = max1≤i≤n

∑nj=1 |cij |.

Podemos cristalizar todos los argumentos anteriores en un teorema general.

Teorema (Estabilidad de SLs homogeneos a coeficientes constantes). El sistema x′ = Ax es:

Inestable si y solo si tiene algun VAP de parte real positiva o no semi-simple de parte real nula.Atractor/repulsor si y solo si todos sus VAPs tienen parte real negativa/positiva.

Demostracion. Solo probaremos las implicaciones en el sentido “si”; es decir, en el sentido [⇐].Si la matriz A tiene algun VAP de parte real positiva, entonces existe una recta o plano invariante

inestable, luego el sistema es inestable. Si la matriz A tiene algun VAP no semi-simple de parte realnula, entonces existe una solucion y(t) que escapa a infinito y el sistema es inestable. Si todos losVAPs de la matriz A tienen parte real negativa, entonces existe µ ∈ R tal que <λ < −µ < 0 para todoλ ∈ Spec(A) y podemos acotar cualquier solucion x(t) = eAtx0 aplicando el lema anterior:

|x(t)| ≤ ‖eAt‖|x0| ≤ C|x0|e−µt, ∀t > 0.

Por tanto, todas las soluciones tienden al origen y el sistema es asintoticamente estable (o atractor).Finalmente, si todos los VAPs de la matriz A tienen parte real positiva, entonces todos los VAPs dela matriz −A tienen parte real negativa y el sistema x′ = −Ax es atractor. Pero las trayectorias delsistema x′ = −Ax son las trayectorias del sistema x′ = Ax recorridas en sentido contrario, luegox′ = Ax es un repulsor.

Ejemplo 9. Estudiar la estabilidad del sistema x′ = Ax, donde A =

(3 −1

14 −4

). Este sistema,

¿expande, preserva o contrae area?Las raıces del polinomio caracterıstico QA(λ) = λ2 + λ + 2 son λ1,2 = (−1 ±

√7i)/2, luego este

sistema lineal es atractor. La traza es T = −1 < 0, luego contrae area. N

Ejercicio. Probar que si la traza de A es positiva, entonces el sistema x′ = Ax es inestable.

Clasificacion en el caso 2D. En esta seccion nos limitamos a clasificar los sistemas lineales x′ = Axcon A ∈M2(R). Es decir, es una seccion de terminologıa.

Cuando el sistema no es degenerado, sus dos VAPS son no nulos y clasificaremos el sistema como:

Una silla, si los VAPs son reales y de signos diferentes,Un nodo, si los VAPs son reales pero del mismo signo, en cuyo caso diremos que el nodo es:• atractor/repulsor cuando ambos VAPs sean negativos/positivos; y• propio/impropio si la matriz diagonaliza/no diagonaliza;

Un centro, si los VAPs son imaginarios puros; yUn foco, si los VAPs son complejos conjugados de parte real no nula, en cuyo caso diremos queel foco es atractor/repulsor cuando la parte real sea negativa/positiva.

Solo hay tres tipos de sistemas 2D a coeficientes constantes que preservan area: los centros, un tipoespecial de sillas y los sistemas degenerados con VAP cero doble.

Proposicion (Criterio traza-determinante para SLs 2D a coeficientes constantes). Sea A ∈ M2(R).Notamos T = trazaA, D = detA y ∆ = T 2 − 4D. Entonces el sistema x′ = Ax es:

Una silla (I) si y solo si D < 0.Un centro (E, pero no AE) si y solo si T = 0 y D > 0.Un foco si y solo si T 6= 0 y ∆ < 0. El foco es repulsor cuando T > 0 y atractor cuando T < 0.



Un nodo si y solo si D > 0 y ∆ ≥ 0. El nodo es repulsor cuando T > 0 y atractor cuandoT < 0. Ademas, el nodo es impropio si y solo si ∆ = 0 y la matriz A no es diagonal.Degenerado cuando D = 0. Un sistema degenerado es I cuando T > 0, E pero no AE cuandoT < 0, y puede ser E o I cuando T = 0.

Demostracion. Sean λ+ y λ− las raıces del polinomio caracterıstico QA(t) = t2 − Tt+D. Entonces

λ± =T ±√T 2 − 4D

2=T ±√

∆

2.

Ademas, T = λ+ + λ− y D = λ+λ−. Ahora distinguimos cinco casos:

D = λ+λ− < 0 =⇒ ∆ = T 2 − 4D ≥ 0 =⇒ λ+, λ− ∈ R =⇒ signoλ+ 6= signoλ− =⇒ Silla (I).T = 0 y D > 0 =⇒ λ± = ±

√−D son imaginarios puros =⇒ Centro (E, pero no AE).

T 6= 0 y ∆ < 0 =⇒ λ± = T2 ±

√−∆2 i son complejos conjugados y Reλ± = T/2 6= 0 =⇒ Foco.

Ademas, el signo de la parte real de los VAPs coincide con el signo de la traza.D = λ+λ− > 0 y ∆ ≥ 0 =⇒ VAPs reales del mismo signo =⇒ Nodo.

Ademas, el signo de la traza T = λ+ +λ− coincide con el signo de ambos VAPs. Finalmente,el nodo es impropio, por definicion, si y solo si A no diagonaliza. Las unicas matrices 2× 2 nodiagonalizables son las matrices no diagonales con un VAP doble.El sistema es degenerado, por definicion, si y solo si D = 0. Las relaciones D = λ+λ− = 0 yT = λ+ + λ− implican que uno de los VAPs es igual a cero y el otro es igual a la traza.

Este criterio simplifica la clasificacion de sistemas 2D con parametros. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 10. Clasificar el sistema x′ = Ax, donde

A =

(−2µ 2µ− 1−1 0

), µ ∈ R.

La traza T = −2µ solo cambia de signo en µ = 0. El determinante D = 2µ − 1 solo cambia designo en µ = 1/2. El discriminante ∆ = T 2 − 4D = 4µ2 − 8µ + 4 = 4(µ − 1)2 es positivo si µ 6= 1y nulo si µ = 1. Ademas, la matriz A no es diagonal cuando µ = 1. Por tanto, aplicando el criteriotraza-determinante vemos que el sistema es:

Una silla (I) cuando µ < 1/2;Degenerado (E pero no AE) cuando µ = 1/2; yUn nodo atractor (AE) cuando µ > 1/2, siendo propio para µ 6= 1 e impropio para µ = 1.

En particular, la unica bifurcacion1 del sistema tiene lugar al cruzar el valor µ∗ = 1/2, momento enel cual el sistema pasa de inestable a asintoticamente estable. (Al cruzar el valor µ = 1 no se produceningun cambio importante.) Es usual representar toda la informacion en un diagrama a color2 llamadodiagrama de bifurcacion, ver figura 1. N

tµ∗

Silla (I) Degen. (E) Nodo (AE)

Figura 1. Diagrama de bifurcacion del ejemplo 10 en la recta µ ∈ R. Aquı, µ∗ = 1/2.

1Una bifurcacion se define como un cambio en el aspecto cualitativo de las trayectorias de sistema.2En esta asignatura seguimos la convencion rojo para I, azul para AE y verde para E pero no AE.



Croquis. Una vez conocemos la estabilidad del sistema x′ = Ax, con A ∈Mn(R), podemos dibujaruna representacion geometrica de sus orbitas; es decir, de las curvas de Rn recorridas por sus soluciones.En esta representacion, denominada croquis o retrato de fases del sistema, se resaltan las rectas yplanos invariantes. Seguiremos un codigo de colores para distinguir los objetos inestables (rojo), losestables (azul), los planos de giros cerrados (verde) y las rectas de puntos de equilibrio (amarillo). Yun codigo de flechas para distinguir direcciones rapidas y lentas o visualizar sentidos de giro.

La interpretacion geometrica de las rectas y los planos invariantes dada en la pagina 11 nos ayudaa dibujar croquis precisos de cualquier sistema lineal homogeneo a coeficientes contantes x′ = Axcuando la matriz A diagonaliza.

Por ejemplo, sean v1, . . . ,vn los VEPs y supongamos que todos los VAPs λ1, . . . , λn son reales.Los signos de los VAPs determinan el comportamiento de las trayectorias contenidas en las rectasinvariantes rj = [vj ]. Luego la pregunta es: ¿Que aspecto tienen las otras trayectorias? Para respondera esta pregunta basta recordar que el flujo ϕ(t;x0) = eAtx0 es lineal en la condicion inicial x0. Comolos VEPs v1, . . . ,vn forman una base de Rn, sabemos que cualquier punto x0 ∈ Rn tiene unas unicasproyecciones x0

j ∈ rj tales que x0 = x01 + · · ·+ x0

n. Ademas, ϕ(t,x0j ) = eλjtx0

j . Por tanto,

ϕ(t,x0) = ϕ(t,x01 + · · ·+ x0

n) = ϕ(t,x01) + · · ·+ϕ(t,x0

n) = eλ1tx01 + · · ·+ eλntx0

n.

Esto permite describir la forma de cualquier orbita del sistema. Veamos un ejemplo 2D y otro 3D.

Ejemplo 11. Sea A ∈ M2(R) la matriz del ejemplo 3. Sabemos que tiene VEPs v1 = (1, 1) y v2 =(1,−1) de VAPs λ1 = −2 y λ2 = −4. Por tanto, hay dos rectas invariantes estables:

r1 = [v1] =

(x1, x2) ∈ R2 : x1 − x2 = 0, r2 = [v2] =

(x1, x2) ∈ R2 : x1 + x2 = 0

.

Ademas, r1 corresponde a la recta estable lenta y r2 a la rapida, pues eλ1t = e−2t tiende a cero maslentamente que eλ2t = e−4t. El sistema es atractor. Concretamente, las soluciones situadas sobre unarecta invariante no abandonan la recta, mientras que las demas soluciones trazan orbitas con aspectode parabolas tangentes en el origen a la recta lenta y que lejos del origen tienden a adquirir la direccionde la recta rapida. Con esos datos ya podemos dibujar el croquis del sistema. N

Ejemplo 12. Sea A ∈ M3(R) la matriz del ejemplo 4. Sabemos que tiene VEPs v1 = (25,−7, 6) yv2,3 = u±w i, con u = (1, 1, 1) y w = (5, 0, 0), de VAPs λ1 = 1 y λ2,3 = ±5i. Por tanto,

r = [v1] =

(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1/25 = −x2/7 = x3/6

es una recta invariante inestable y

Π = [u,w] =

(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2 = x3

es un plano invariante de giros cerrados. Todas las trayectorias son periodicas de periodo T = 2π/5.El truco de proyectar una condicion inicial arbitraria sobre r y Π para ver la forma de su trayectoriafunciona igual que antes. En este caso, obtenemos que todas las orbitas del sistema x′ = Ax nocontenidas ni en r ni en Π son helices que escapan a infinito. N

En estos apuntes, por pereza, no vamos a incluir dibujos. El lector interesado los puede realizar porsu cuenta y compararlos despues con los dibujos de la referencia Notes on Differential Equations deBob Terrell que se puede obtener del enlace http://www.math.cornell.edu/∼bterrell/dn.pdf. O mejoraun, puede realizar el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Conectarse al enlace http://www-math.mit.edu/daimp/ y entender los dos applets de JAVAsobre Linear Phase Portraits.

Los siguentes comentarios proporcionan algunas claves para dibujar un croquis:

Dos orbitas diferentes no pueden tocarse, pues el sistema es autonomo;Los VAPs reales dan lugar a rectas invariantes estables, inestables o de puntos de equilibrio;Los VAPs complejos conjugados dan lugar a planos invariantes estables, inestables o de giros;Una silla tiene una recta invariante estable y otra inestable, el resto de sus orbitas tienen elaspecto de hiperbolas cuyas asıntotas son las rectas invariantes;


http://www.math.cornell.edu/~bterrell/dn.pdf

http://www-math.mit.edu/daimp/


Un nodo propio con VAPs simples tiene dos rectas invariantes (lenta y rapida) y el resto de susorbitas tienen el aspecto de parabolas tangentes en el origen a la recta lenta;Un nodo impropio tiene una unica recta invariante y todas sus otras orbitas son tangentes enel origen a esa recta;Todas las orbitas de un nodo propio con un VAP doble son rectas que pasan por el origen;En un sistema degenerado 2D el campo de vectores f(x) = Ax apunta siempre en la mismadireccion, luego sus orbitas forman un “haz” de rectas paralelas;Todas las orbitas de un centro son elipses;Todas las orbitas de un foco son espirales; yEn estos dos ultimos casos, que corresponden a VAPs complejos conjugados λ± = α ± β i, elsentido de giro se determina calculando la velocidad en algun punto del plano. La velocidad degiro depende de la parte imaginaria β y la expansion/contraccion depende de la parte real α.

Ejemplo 13. Sea A ∈M3(R) una matriz con VAPs λ1, λ2, λ3 ∈ R tales que

λ3 < λ2 < 0 < λ1

y sea v1,v2,v3 una base de VEPs. Entonces existen tres rectas invariantes: r1 = [v1] (inestable),r2 = [v2] (estable lenta) y r3 = [v3] (estable rapida). En el plano generado por los VEPs de VAPsnegativos el sistema tiene el aspecto de un nodo propio atractor. En los planos generados por v1 y unVEP de VAP negativo, el sistema es una silla. El resto del croquis 3D se deduce de ese “esqueleto”.

Ejercicio. Dibujar el croquis en los casos: λ3 < λ2 = 0 < λ1; λ3 < λ2 < λ1 = 0 y λ3 < λ2 < λ1 < 0.

Ejemplo 14. Sea A ∈M3(R) una matriz con VAPs λ1 ∈ R y λ2,3 = α± β i tales que

α < 0 < λ1.

Sea v1 un VEP de VAP λ1 y sean v2,3 = u±w i VEPs de VAP λ2,3. Entonces r1 = [v1] es una rectainvariante inestable y Π = [u,w] es un plano invariante estable. En el plano Π el sistema es un focoatractor. Las trayectorias 3D trazan espirales que se escapan al infinito en la direccion v1, pero cuyasamplitudes se hacen cada vez mas pequenas.

Ejercicio. Dibujar el croquis en los casos: α = 0 < λ1; 0 < α < λ1; 0 < α = λ1 y 0 < λ1 < α.¿Que diferencia hay entre los casos segundo y cuarto?

Ejercicio. Dibujar los croquis de los sistemas degenerados x′ = A±x y x′ = A0x dados por

A± =

(±1 0

0 0

), A0 =

(0 01 0

).

Sistemas lineales homogeneos a coeficientes periodicos

El objetivo de esta seccion es probar que los sistemas a coeficientes periodicos tienen, esencialmente,las mismas propiedades que los sistemas a coeficientes constantes. El resultado basico es que cualquiersistema x′ = A(t)x, con A : R → Mn funcion matricial continua T -periodica, se puede transformaren un sistema a coeficientes constantes mediante un cambio de variables lineal en x y periodico en t.

El logaritmo de una matriz. Empezamos por una cuestion tecnica.

Definicion. Dada una matriz A ∈ Mn, diremos que una matriz B ∈ Mn es un logaritmo de A si ysolo si eB = A. Escribiremos B = lnA.

Las matrices con determinante nulo no tienen logaritmos, pues sabemos que todas las matricesexponenciales son invertibles. Una matriz diagonal cuyos elementos diagonales son todos positivos tieneinfinitos logaritmos diagonales, pero solo uno de ellos es real. Efectivamente, si D = diag(λ1, . . . , λn)y L = diag(l1, . . . , ln), entonces

eL = D ⇐⇒ elj = λj ∀j = 1, . . . , n⇐⇒ lj ∈ lnλj + 2πkj : kj ∈ Z ∀j = 1, . . . , n.



El unico logaritmo real se obtiene tomando k1 = · · · = kn = 0. Ninguno de estos logaritmos diagonaleses real cuando alguno de los elementos diagonales es negativo. Efectivamente, pues

el = λ < 0⇐⇒ l ∈ ln |λ|+ (2k + 1)i : k ∈ Z .Y ninguna eleccion de k ∈ Z proporciona un valor l ∈ R. Sin embargo, si D es una matriz real diagonalinvertible, entonces D2 es diagonal con elementos diagonales positivos, luego tiene un logaritmo real.Estos resultados son validos para matrices generales, aunque no lo probaremos. La demostracion maselegante usa variable compleja.

Teorema (Logaritmo de una matriz). Toda matriz invertible compleja tiene logaritmo complejo. Elcuadrado de toda matriz invertible real tiene logaritmo real.

Ejercicio. Calcular un logaritmo (real o complejo) de las siguientes matrices reales:(1 00 1

),

(1 00 −1

),

(1 01 1

),

(α β−β α

).

Cuando no es posible encontrar un logaritmo real, encontrar un logaritmo real de la matriz al cuadrado.

Matrices de monodromıa y teorema de Floquet.

Definicion. Sea A : R → Mn una funcion matricial continua y T -periodica. Dada una matrizfundamental X(t) del sistema x′ = A(t)x, diremos que

MX := X−1(t)X(t+ T )

es la matriz de monodromıa del sistema x′ = A(t)x asociada a X(t).

Proposicion (Propiedades de la matriz de monodromıa). La matriz de monodromıa es invertibley constante. En particular, MX = X−1(0)X(T ). Un sistema periodico tiene infinitas matrices demonodromıa, pero todas son conjugadas; es decir, estan relacionadas mediante cambios de base.

Demostracion. La matriz X(t) = X(t+ T ) tambien es una matriz fundamental de x′ = A(t)x, pues

X ′(t) = X ′(t+ T ) = A(t+ T )X(t+ T ) = A(t)X(t)

y det[X(t)] = det[X(t + T )] 6= 0 para todo t ∈ R. Por tanto, existe una matriz invertible MX ∈ Mn

tal que X(t+ T ) = X(t) = X(t)MX para todo t ∈ R, luego MX = X−1(t)X(t+ T ) es constante.Supongamos que X(t) e Y (t) son dos matrices fundamentales del sistema x′ = A(t)x. Sabemos que

existe una matriz invertible S ∈Mn tal que Y (t) = X(t)S. Por tanto,

MY = Y −1(t)Y (t+ T ) = S−1X−1(t)X(t+ T )S = S−1MXS,

lo cual demuestra que las matrices de monodromıa MX y MY son conjugadas. El resultado mas importante de esta seccion sirve para reducir el estudio de los sistemas a coeficientes

periodicos al estudio de los sistemas a coeficientes constantes.

Teorema (Teorema de Floquet). Sea A : R → Mn una funcion matricial continua y T -periodica.Sea M una matriz de monodromıa del sistema x′ = A(t)x. Sea B ∈ Mn tal que eBT = M . Entoncesel sistema a coeficientes T -periodicos x′ = A(t)x se puede transformar en el sistema a coeficientesconstantes y′ = By mediante un cambio de variables lineal x = P (t)y, siendo P (t) una matrizT -periodica. Ademas, P (t) viene determinada por la ecuacion diferencial P ′(t) = A(t)P (t)− P (t)B.

En general B y P (t) son complejas, aunque A(t) sea real. Pero si A(t) es real y escogemos M real,

entonces existe B ∈ Mn(R) tal que e2BT = M2, en cuyo caso el sistema a coeficientes T -periodicos

x′ = A(t)x se puede transformar en el sistema a coeficientes constantes y′ = By mediante un cambio

de variables lineal x = P (t)y, siendo P (t) una matriz 2T -periodica. Ademas, P (t) viene determinada

por la ecuacion diferencial P ′(t) = A(t)P (t)− P (t)B.

Corolario. Con las notaciones anteriores resulta que X(t) = P (t)eBt y X(t) = P (t)eBt son matricesfundamentales del sistema x′ = A(t)x.



Demostracion. Sea X(t) una matriz fundamental del sistema x′ = A(t)x y sea M = MX su matrizde monodromıa. Sabemos que existe B ∈ Mn(C) tal que eBT = M . Definimos P (t) = X(t)e−Bt

(comparar con el corolario anterior) y comprobamos que el cambio de variables x = P (t)y se comportacon afirma el teorema.

Ecuacion diferencial del cambio: Basta derivar la definicion de P (t) para obtener que

P ′(t) =(X(t)e−Bt

)′= X ′(t)e−Bt −X(t)Be−Bt = A(t)X(t)e−Bt −X(t)e−BtB = A(t)P (t)− P (t)B;

Es un cambio de variables: det[P (t)] = det[X(t)] det[e−Bt] 6= 0 para todo t ∈ R;Periodicidad: P (t+ T ) = X(t+ T )e−B(t+T ) = X(t)Me−BT e−Bt = X(t)e−Bt = P (t); yReduccion a coeficientes constantes: Vemos que P (t)y′ = P (t)By, pues(A(t)P (t)− P (t)B

)y + P (t)y′ = P ′(t)y + P (t)y′ =

(P (t)y

)′= x′ = A(t)x = A(t)P (t)y.

Pero la matriz P (t) es invertible, luego y′ = By.

La segunda parte del teorema se prueba de forma similar. Empezamos observando que, como la

matriz de monodromıa es real, existe B ∈ Mn(R) tal que e2BT = M2. A continuacion definimos

P (t) = X(t)e−Bt y comprobamos que el cambio de variables x = P (t)y se comporta con afirma elteorema. Dejamos los detalles para el lector, pero advertimos que para probar la 2T -periodicidad delcambio se debe usar que A(t+ 2T ) = A(t+ T ) = A(t) y X(t+ 2T ) = X(t+ T )M = X(t)M2.

No es verdad que cualquier sistema a coeficientes T -periodicos tiene alguna solucion periodica notrivial3 de periodo T . Ni siquiera es cierto que tenga soluciones periodicas no triviales de periodo nTpara algun n ∈ N. Pero no es dıficil caracterizar los sistemas que poseen tales soluciones.

Proposicion (Existencia de soluciones periodicas en SLs a coeficientes periodicos). Fijado n ∈ N, elsistema x′ = A(t)x tiene alguna solucion nT -periodica no trivial si y solo si existe k ∈ Z tal que

2πk i

nT∈ Spec(B).

Demostracion. [⇐] Si λ = 2πk i/nT ∈ Spec(B) y Bv = λv, entonces y(t) = eλtv es una solucion dey′ = By, luego x(t) = P (t)y(t) = P (t)eλtv es una solucion de x′ = A(t)x. Ademas,

x(t+ nT ) = P (t+ nT )eλ(t+nT )v = P (t)eλtenTλv = P (t)eλte2πk iv = P (t)eλtv = x(t),

luego la solucion x(t) es nT -periodica.[⇒] Ejercicio para el lector.

Estabilidad. La estabilidad de un sistema a coeficientes periodicos viene dada por la estabilidaddel sistema a coeficientes constantes en que se transforma. Eso nos lleva a introducir los siguientesconceptos. Seguimos suponiendo que A(t) es una funcion matricial continua T -periodica.

Definicion. Los multiplicadores caracterısticos (o de Floquet) de x′ = A(t)x son los VAPs de cualquiermatriz de monodromıa del sistema. Los exponentes caracterısticos (o de Floquet) de x′ = A(t)x sonlos VAPs de cualquier matriz B tal que eTB = M es una matriz de monodromıa del sistema.

Es importante entender que la definicion anterior es correcta pues todas las matrices de monodromıason conjugadas. La relacion entre los multiplicadores m1, . . . ,mn y los exponentes λ1, . . . , λn es

mj = eλjT , ∀j = 1, . . . , n.

En particular, los exponentes caracterısticos estan determinados salvo multiplos enteros de 2π i/T .

Corolario (Estabilidad de SLs homogeneos a coeficientes periodicos). El sistema x′ = A(t)x es:

Inestable si y solo si tiene algun exponente de Floquet de parte real positiva o no semi-simplede parte real nula.Atractor/repulsor si y solo si todos sus exponentes de Floquet tienen parte real negativa/positiva.

3La solucion trivial x(t) ≡ 0 es constante y, por tanto, periodica de cualquier periodo.



Demostracion. Sabemos que el sistema x′ = A(t)x se transforma en el sistema y′ = By mediante uncambio de variables x = P (t)y periodico en t. Por tanto, el sistema x′ = A(t)x hereda la estabilidaddel sistema y′ = By.

Proposicion (Multiplicadores, exponentes y traza). Con las notaciones anteriores,

n∏j=1

mj = exp

(∫ T

0

traza[A(s)]ds

),

n∑j=1

λj =1

T

∫ T

0

traza[A(s)]ds.

Demostracion. Sea X(t) una matriz fundamental arbitraria del sistema x′ = A(t)x. Su matriz demonodromıa es M = MX = X−1(0)X(T ). Por tanto, aplicando la formula de Liouville obtenemos que

n∏j=1

mj = det[M ] = det[X(T )]/ det[X(0)] = exp

(∫ T

0

traza[A(s)]ds

).

La segunda formula es una consecuencia de las relaciones mj = eλjT .

Ejemplo 15. Resolver el sistema a coeficientes 2π-periodicos x′ = A(t)x donde

A(t) =

(−1 + cos t 0

cos t −1

).

Calcular sus multiplicadores y exponentes caracterısticos. Describir el comportamiento cualitativo desus trayectorias: estabilidad y existencia de trayectorias periodicas. Finalmente, comprobar que secumple la formula de la suma de los exponentes de Floquet.

Los sistemas a coeficientes periodicos son, en general, irresolubles. Sin embargo, este sistema esresoluble pues es triangular. Si notamos x = (x1, x2), el sistema anterior es equivalente a las ecuaciones

x′1 = (−1 + cos t)x1, x′2 = (cos t)x1 − x2.

La primera ecuacion es una EDO lineal homogenea de primer orden, cuya solucion general es

x1(t) = c1e∫

(−1+cos t)dt = c1e−t+sin t, c1 ∈ R.Una vez resuelta la primera ecuacion, la segunda es una EDO lineal no homogenea de primer orden,cuya solucion general es

x2(t) = e−t(c2 +

∫et(cos t)x1(t)dt

)= c1e−t+sin t + c2e−t, c1, c2 ∈ R.

Por tanto, la solucion general del sistema original es

x(t) = X(t)c, X(t) =

(e−t+sin t 0e−t+sin t e−t

)=

(esin t 0esin t 1

)e−t, c =

(c1c2

)∈ R2

y el sistema es asintoticamente estable pues todas sus soluciones tienden al origen cuando t → +∞.Ademas, la solucion trivial x(t) ≡ 0 es la unica solucion periodica. Queremos obtener estos resultadosa partir de los exponentes (o multiplicadores) caraterısticos.

Empezamos notando que X(t) es una matriz fundamental, ya que sus columnas son soluciones delsistema y det[X(t)] = e−2t+sin t 6= 0 para todo t ∈ R. Su matriz de monodromıa es

M = MX = X−1(0)X(2π) =

(1 01 1

)−1(1 01 1

)e−2π = e−2πId =

(e−2π 0

0 e−2π

).

A continuacion, buscamos una matriz B ∈ M2 tal que e2πB = M . Recordando los comentarios sobrelogaritmos de matrices diagonales obtenemos que B = −Id es un logaritmo real. Por tanto, la matrizdel cambio de base es igual a

P (t) = X(t)e−Bt =

(esin t 0esin t 1

)e−teIdt =

(esin t 0esin t 1

),

ya que eIdt = etId. En particular, resulta que:

Los multiplicadores caracterısticos del sistema son m1 = m2 = e−2π (multiplicador doble); y



Los exponentes caracterısticos del sistema son λ1 = λ2 = −1 (exponente doble); luegoEl sistema es asintoticamente estable, pues <λ1 = <λ2 = −1 < 0; yEl sistema no tiene soluciones periodicas no triviales, pues Spec(B) = −1 ⊂ R.

Finalmente, observamos que λ1 + λ2 = −2 = 12π

∫ 2π

0(−2 + cos s)ds.

Sistemas lineales no homogeneos

Finalmente, acabamos el tema estudiando los sistemas lineales no homogeneos de la forma x′ =A(t)x+ b(t), con A : I →Mn(R) y b : I → Rn funciones continuas en un intervalo I ⊂ R.

Estructura de las soluciones. Las soluciones de un sistema no homogeneo forman una variedadlineal afın de dimension n dentro del espacio vectorial C1(I;Rn).

Proposicion. Sea X(t) una matriz fundamental del sistema homogeneo x′ = A(t)x. Sea xp(t) unasolucion particular del sistema no homogeneo x′ = A(t)x+ b(t). Entonces

xg(t) = xh(t) + xp(t) = X(t)c+ xp(t), c ∈ Rn

es la solucion general del sistema no homogeneo.

Demostracion. El cambio de variable dependiente y = x−xp(t) transforma el sistema no homogeneoen el sistema homogeneo. Efectivamente,

y′ = x′ − x′p(t) =(A(t)x+ b(t)

)−(A(t)xp(t) + b(t)

)= A(t)

(x− xp(t)

)= A(t)y.

Por tanto, las soluciones de ambos sistemas estan en correspondencia mediante el cambio de variables.Es decir, y(t) es una solucion del homogeneo si y solo si x(t) = y(t)+xp(t) lo es del no homogeneo.

Una consecuencia interesante de la estructura de las soluciones es que todas las soluciones deun sistema lineal a coeficientes constantes o periodicos atractor/repulsor (homogeneo o no) se acer-can/alejan.

Proposicion. Sean x1(t) y x2(t) dos soluciones diferentes de un sistema lineal no homogeneo acoeficientes constantes o periodicos.

1. Si el sistema homogeneo asociado es atractor, entonces lımt→+∞∣∣x1(t)− x2(t)

∣∣ = 0.

2. Si el sistema homogeneo asociado es repulsor, entonces lımt→+∞∣∣x1(t)− x2(t)

∣∣ =∞.

Demostracion. Si x1(t) y x2(t) son soluciones diferentes del sistema no homogeneo x′ = Ax + b(t),la diferencia x(t) = x1(t)− x2(t) es una solucion no trivial del sistema homogeneo asociado, pues

x′(t) = x′1(t)− x′2(t) =(Ax1(t) + b(t)

)−(Ax2(t) + b(t)

)= A(x1(t)− x2(t)

)= Ax(t).

Si este sistema homogeneo es atractor/repulsor, entonces, por definicion, todas sus soluciones tiendena cero/infinito cuando t→ +∞, luego lımt→∞

∣∣x1(t)− x2(t)∣∣ sera cero o infinito segun el caso.

Ejercicio. Probar que un sistema lineal no homogeneo a coeficientes constantes tal que su sistemahomogeneo asociado es atractor o repulsor no puede tener dos soluciones periodicas diferentes.

Formula de variacion de las constantes. Sirve para calcular una solucion particular de un sistemalineal no homogeneo a partir de una matriz fundamental de su sistema homogeneo asociado.

Teorema. Si X(t) es una matriz fundamental del sistema homogeneo x′ = A(t)x y la derivada de lafuncion vectorial u : I → Rn es una solucion del sistema X(t)u′(t) = b(t), entonces

xp(t) = X(t)u(t)

es una solucion particular del sistema no homogeneo x′ = A(t)x+ b(t).

Demostracion. HUECO.



Ejemplo 16. Resolver el sistema lineal no homogeneo x′ = A(t)x+ b(t), donde

A(t) =

(2− t 2t− 21− t 2t− 1

), b(t) =

(tt

).

(Indicacion: Los VEPs de la matriz A(t) no dependen de t.)La matriz A(t) es diagonalizable con VEPs v1 = (1, 1) y v2(2, 1) de VAPs λ1(t) = t y λ2(t) = 1.

Por tanto, usando el ejercicio de la pagina 5 obtenemos que las funciones

x1(t) = e∫λ1(t)dt · v1 = et

2/2v1, x2(t) = e∫λ2(t)dt · v2 = etv2

son soluciones del sistema homogeneo x′ = A(t)x. Poniendolas por columnas, obtenemos la matriz

X(t) =

(et

2/2 2et

et2/2 et

).

Esta matriz es fundamental, pues su Wronskiano es no nulo: w(t) = det[X(t)] = −et+t2/2. Por tanto,

xh(t) = X(t)c = c1x1(t) + c2x2(t) = c1

(11

)et

2/2 + c2

(21

)et, c1, c2 ∈ R

es la solucion general del sistema homogeneo. Ahora resolvemos el sistema lineal(et

2/2 2et

et2/2 et

)(u′1(t)u′2(t)

)= X(t)u′(t) = b(t) =

(tt

)⇒

et2/2u′1(t) = t

u′2(t) = 0⇒ u(t) =

(−et

2/2

0

).

Finalmente, xp(t) = X(t)u(t) es una solucion particular y

xg(t) = xh(t) + xp(t) = X(t)[c+ u(t)

]= c1

(11

)et

2/2 + c2

(21

)et +

(−1−1

), c1, c2 ∈ R

es la solucion general del sistema no homogeneo. N


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