Sistemas de Espectro Esparcido empleando caos Ideas ... · 1 3/24/2008 Larrondo - La Falda 2007 1...

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3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 11

Sistemas de Espectro Sistemas de Espectro

Esparcido empleando caosEsparcido empleando caos

L. De MiccoL. De Micco

R. A. PetrocelliR. A. Petrocelli

C. M. ArizmendiC. M. Arizmendi

H. A. LarrondoH. A. Larrondo

FacultadFacultad de de IngenierIngenierííaa –– UNMDPUNMDP

C. M. GonzC. M. Gonzáálezlez

M. T. MartM. T. Martíínn

A. A. PlastinoPlastino

O. A. O. A. RossoRosso


Ideas PrincipalesIdeas Principales�� Una seUna seññal de espectro esparcido se produce por al de espectro esparcido se produce por

modulacimodulacióón.n.

�� CommunicacionesCommunicaciones (CDMA (CDMA SystemsSystems))

�� Mejora de la Compatibilidad Mejora de la Compatibilidad ElectromagnElectromagnéética tica (EMC)(EMC)


Ideas PrincipalesIdeas Principales�� Una seUna seññal de espectro esparcido se produce por al de espectro esparcido se produce por

modulacimodulacióón.n.

�� CommunicacionesCommunicaciones (CDMA (CDMA SystemsSystems))

�� Mejora de la Compatibilidad Mejora de la Compatibilidad ElectromagnElectromagnéética tica (EMC)(EMC)


PS de un PS de un ““clockclock”” idealideal

0f

2 f∆

0f


0f

2 f∆

0f

SeSeññales de banda ancha de ales de banda ancha de

envolvente constante (CEW)envolvente constante (CEW)


SeSeññal de un al de un clockclock modulado en FMmodulado en FM

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 T

2


SeSeññal no estacionaria: al no estacionaria: estacionariaestacionaria si la si la

modulacimodulacióón es muy lenta (n es muy lenta (TT=1s=1s))

PS

0f

f


PreguntasPreguntas

�� Influye la secuencia elegida?Influye la secuencia elegida?

�� Pueden usarse tanto secuencias aleatorias Pueden usarse tanto secuencias aleatorias

como pericomo perióódicas?dicas?

�� Es importante el valor de Es importante el valor de TT??


RespuestasRespuestas

�� El PS es diferente para diferentes El PS es diferente para diferentes

secuencias secuencias

�� El PS es diferente si cambiamos El PS es diferente si cambiamos T.T.

j jm T f= ⋅∆


RemarksRemarks

�� El estudio del PS de una seEl estudio del PS de una seññal modulada al modulada

en frecuencia con un en frecuencia con un mmjj arbitrario es un arbitrario es un

tema abierto.tema abierto.

�� El caso particular El caso particular TTjj==TT fue resuelto por fue resuelto por

CallegariCallegari et et alsals. para secuencias . para secuencias

aleatorias.aleatorias.

S. Callegari, R. Rovatti, G. Setti, IEEE Transactions on Circuitsand Systems, 50 (1) (2003)


La seLa seññal moduladoraal moduladora

( ) ( )∑∞

−∞=

−∆=k

k kTtgxftξ

adjustable

m f T= ∆ ⋅

[ ]1, 1k

x ∈ −3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 1212

( )( )02

Re

t

i f t f d

s t e

π ξ τ τ

−∞

+∆

∫ =

CEW signal

La seLa seññal modulada en FM al modulada en FM

((““clock imperfectoclock imperfecto””) )

3


( ) ( )( )[ ]

( )[ ]

−+=Φ

fxx

x

xssKE

fxKEfxKEf

,3

2

2

11

,Re,

Teorema de Teorema de CalegariCalegari para el caso para el caso

aleatorioaleatorio

�� Sea Sea

una secuencia aleatoria con PDF una secuencia aleatoria con PDF ρρ((xx). ).

�� Entonces el PS de la seEntonces el PS de la seññal FM esal FM es

{ }kx


dondedonde

( ) ( )( )2

1

1, sinc

2K x f T T f f xπ= − ∆ ⋅

( ) ( )( )[ ]

( )[ ]

−+=Φ

fxx

x

xssKE

fxKEfxKEf

,3

2

2

11

,Re,


dondedonde

( )( )( )

( )

2

2

1,

2

i T f f xe

K x f iT f f x

π

π

− −∆ ⋅−

=− ∆ ⋅

( ) ( )( )[ ]

( )[ ]

−+=Φ

fxx

x

xssKE

fxKEfxKEf

,3

2

2

11

,Re,


dondedonde

( ) ( )( )2

3 ,i T f f x

K x f eπ− −∆ ⋅

=

( ) ( )( )[ ]

( )[ ]

−+=Φ

fxx

x

xssKE

fxKEfxKEf

,3

2

2

11

,Re,


En el lEn el líímite de modulacimite de modulacióón lentan lenta

ForFor

( )m or T→ ∞ → ∞

( ) ( )( )[ ]

( )[ ]

−+=Φ

fxx

x

xssKE

fxKEfxKEf

,3

2

2

11

,Re,


( )1

2ss

ff

f fρ

Φ → ∆ ∆

ForFor

( )m or T→ ∞ → ∞

0f f f→ −

En el lEn el líímite de modulacimite de modulacióón lentan lenta

4


En palabrasEn palabras

�� En el lEn el líímite de modulacimite de modulacióón lenta el espectro n lenta el espectro (PS) de la se(PS) de la seññal de FM tiene la misma forma al de FM tiene la misma forma que el histograma (PDF) de la secuencia (VALE que el histograma (PDF) de la secuencia (VALE PARA SECUENCIAS ALEATORIAS). PARA SECUENCIAS ALEATORIAS).

Una secuencia RANDOM con PDF Una secuencia RANDOM con PDF constante produce una seconstante produce una seññal al

CEW.CEW.


QuQuéé ocurre si usamos secuencias ocurre si usamos secuencias

periperióódicas?dicas?

�� Ejemplo Ejemplo

{ }

{ }1, 0.9, 0.8, ...1, 1, 0.9, 0.8, ...1, ...

kx =

− − − − − −


Es esto lo que ocurre en el dominio Es esto lo que ocurre en el dominio

de la frecuencia?de la frecuencia?

f

PS

0f


PDF es idealPDF es ideal


PS PS no no eses adecuadaadecuada parapara nada!nada!!!

2 3 4 5 6 7 8-250

-200

-150

-100

-50

0

f

ΦΦ ΦΦss(d

B)

T= 1.9905, m= 9.9524, f0= 10

/ 5f m T∆ = =


La La aleatoreidadaleatoreidad parece ser un parece ser un

requisito fundamentalrequisito fundamental

Pero las secuencias Pero las secuencias randomrandomno se pueden generar, al no se pueden generar, al menos menos artificalmenteartificalmente! Y si ! Y si probamos con dispositivos probamos con dispositivos

ffíísicos?sicos?

5


La La aleatoreidadaleatoreidad parece ser un parece ser un

requisito fundamentalrequisito fundamental

��Y si empleamos Y si empleamos secuencias casecuencias caóóticas?ticas?

��O el determinismo es un O el determinismo es un obstobstááculo?culo?


Nuestros preconceptos sobre Nuestros preconceptos sobre

sistemas aleatoriossistemas aleatorios

�� Si no conocemos el modelo que genera Si no conocemos el modelo que genera

tendemos a considerar que es un proceso tendemos a considerar que es un proceso

aleatorio. aleatorio.

�� Pero sPero sóólo los lo los teststests estadestadíísticos nos dicen si esto es sticos nos dicen si esto es

asasíí..

�� CuCuááles les teststests estadestadíísticos?sticos?


Algunos muy conocidosAlgunos muy conocidos

�� MarsagliaMarsaglia Diehard Statistical Tests: Diehard Statistical Tests:

http://stat.fsu.edu/~geo/diehardhttp://stat.fsu.edu/~geo/diehard

�� P. P. LL’’EcuyerEcuyer Statistical Tests: Statistical Tests:

http://iro.umontreal.ca/~lecuyer/http://iro.umontreal.ca/~lecuyer/

�� H. Gustafson CryptH. Gustafson Crypt--XS Tests: XS Tests:

http://www.sci.qut.edu.au/profiles/gustafson/http://www.sci.qut.edu.au/profiles/gustafson/

�� I. I. VattulainenVattulainen, Ala, Ala--NissilaNissila, , KankaalaKankaala

http://http://www.physics.helsinki.fi/~vattulaiwww.physics.helsinki.fi/~vattulai//

freeware


DieHardDieHard (by (by MarsagliaMarsaglia))

Frases de Frases de MarsagliaMarsaglia::

�� A RNG A RNG isis muchmuch likelike sex: sex: whenwhen itit isis goodgood itit isis

wonderfulwonderful, , andand whenwhen itit isis badbad itit isis stillstill prettypretty

goodgood..

�� DIEHARD DIEHARD isis a a mixingmixing betweenbetween deterministicdeterministic andand

““physicalphysical”” generators (Johnson Noise or any generators (Johnson Noise or any

other natural phenomena). Why?other natural phenomena). Why?��TheThe p

hysical

physi

caldevices

devices

are

are th

erethere

just

just toto

preven

t

preven

t pred

ictabili

ty

predic

tability

((forfortho

setho

sewh

owh

o feelfeel

badbad).).


Trabajos en PRNGTrabajos en PRNG

�� ““Statistical complexity measure of pseudorandom bit Statistical complexity measure of pseudorandom bit

generators.generators.””. C.M.Gonz. C.M.Gonzáález, H.A. Larrondo, O.A.Rosso. lez, H.A. Larrondo, O.A.Rosso.

Physica A 354 (2005) 281Physica A 354 (2005) 281--300.300.

�� ““Intensive Statistical Complexity Measure of Intensive Statistical Complexity Measure of

pseudorandom bit generators.pseudorandom bit generators.”” H.A. Larrondo, H.A. Larrondo,

C.M.GonzC.M.Gonzáález, M.T.Martlez, M.T.Martíín, A. Plastino, O.A.Rosso. n, A. Plastino, O.A.Rosso.

Physica A 356 (2005) 133Physica A 356 (2005) 133––138138

�� ““Random number generators and causalityRandom number generators and causality”” H.AH.A. .

Larrondo, Larrondo, M.TM.T. Mart. Martíín, n, C.MC.M. Gonz. Gonzáález, A. lez, A. PlastinoPlastino andand

O.AO.A. . RossoRosso, , Physics Letters A, Volume 352, Issue 4Physics Letters A, Volume 352, Issue 4--5, 5,

(2006) p. 421(2006) p. 421--425.425.3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 3030

Trabajos en PRNGTrabajos en PRNG

�� ““Statistical complexity measure of pseudorandom bit Statistical complexity measure of pseudorandom bit

generators.generators.””. C.M.Gonz. C.M.Gonzáález, H.A. Larrondo, O.A.Rosso. lez, H.A. Larrondo, O.A.Rosso.

Physica A 354 (2005) 281Physica A 354 (2005) 281--300.300.

�� ““Intensive Statistical Complexity Measure of Intensive Statistical Complexity Measure of

pseudorandom bit generators.pseudorandom bit generators.”” H.A. Larrondo, H.A. Larrondo,

C.M.GonzC.M.Gonzáález, M.T.Martlez, M.T.Martíín, A. Plastino, O.A.Rosso. n, A. Plastino, O.A.Rosso.

Physica A 356 (2005) 133Physica A 356 (2005) 133––138138

�� ““Random number generators and causalityRandom number generators and causality”” H.AH.A. .

Larrondo, Larrondo, M.TM.T. Mart. Martíín, n, C.MC.M. Gonz. Gonzáález, A. lez, A. PlastinoPlastino andand

O.AO.A. . RossoRosso, , Physics Letters A, Volume 352, Issue 4Physics Letters A, Volume 352, Issue 4--5, 5,

(2006) p. 421(2006) p. 421--425.425.

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Estrategia para Estrategia para ““randomizarrandomizar””

PRNGPRNG

�� SeaSea

La secuencia generada por un mapa caLa secuencia generada por un mapa caóóticotico

{ }ky

( )1k ky M y −=



PRNGPRNG

�� DiscretizeDiscretize itit toto N bits (N bits (exampleexample 16 bits) 16 bits)

((symbolicsymbolic dynamicsdynamics))

{ }ky 1− 1+

162 1−0{ }ky�



PRNGPRNG

�� DiscardDiscard allall thethe bits bits otherother thanthan thethe lastlast oneone

((thisthis meansmeans symbolicsymbolic dynamicsdynamics ofof parityparity))

162 1−0{ }ky�



PRNGPRNG

�� DiscardDiscard allall thethe bits bits otherother thanthan thethe lastlast oneone

((thisthis meansmeans symbolicsymbolic dynamicsdynamics ofof parityparity))

{ } { }0,1,1,0,0,1,0,0,0,...k

z =



PRNGPRNG

�� FormForm againagain a Na N--bitbit numbernumber

{ }kx



PRNGPRNG

�� TheThe complete complete processprocess isis equivalentequivalent toto

studystudy a particular a particular symbolicsymbolic dynamicsdynamics in a in a

NN--dimdim embeddingembedding spacespace

{ }1 1, ,N

y y x→�

ParityParity sequencesequence

7


Ahora tenemos una Ahora tenemos una

secuencia con PDF secuencia con PDF

constanteconstante


PDF de la secuencia LogPDF de la secuencia Logíísticastica


LogLogíístico stico randomizadorandomizado


FunciFuncióón n randrand de de MatlabMatlab


Ahora tenemos una secuencia Ahora tenemos una secuencia

aleatoriaaleatoria

Podemos usarla para obtener la sePodemos usarla para obtener la seññal al

de FMde FM


PS para la secuencia logPS para la secuencia logíísticastica

PDFPDF

8


PS para la logPS para la logíística LSBstica LSB

PDFPDF


PS para funciPS para funcióón n randrand

PDFPDF


PerronPerron--FrobeniusFrobenius

�� La evoluciLa evolucióón de la PDF de una secuencia n de la PDF de una secuencia generada por un mapa cagenerada por un mapa caóótico tico unidimensional estunidimensional estáá dada por el operador dada por el operador PerronPerron--FrobeniusFrobenius del mapa.del mapa.A. Lasota, M. C. Mackey. “Chaos Fractals and Noise Stochastic Aspects of Dynamics, 2nd Edition, Springer (1994)



1 ( )n n n

x x M x+→ =

( )1( ) ( )

n n M nx x P xρ ρ ρ+→ = �


�� Principales propiedades a evaluar Principales propiedades a evaluar para el caso EMCpara el caso EMC

�� Densidad InvarianteDensidad Invariante

�� τ τ (la constante de tiempo de (la constante de tiempo de mezcla)mezcla)



PerronPerron--FrobeniusFrobenius para el mapa para el mapa loglogíísticostico

( )( )

1

1x

x xρ

π=

−

9


PerronPerron--FrobeniusFrobenius para el mapa para el mapa loglogíísticostico

3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 50500 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

2

4

6

8

10

datos

PD

F

iteración= 1

EvoluciEvolucióón temporaln temporal


0

2

4

6

8

10

datos

PD

F

iteración= 2



0

2

4

6

8

10

datos

PD

F

iteración= 3

( )( )

1

1x

x xρ

π=

−



AproximaciAproximacióónn al al operadoroperador PFPF

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


La La matrizmatriz KK

0.5000000000.5

0.5000000000.5

00.50000000.50

00.50000000.50

000.500000.500

000.500000.500

0000.5000.5000

0000.5000.5000

00000.50.50000

00000.50.50000

10


MapaMapa loglogíísticostico

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Autovalores aproximadosAutovalores aproximados

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Logistic Map, div:200, rmix=0.58112

eigenvalue:-0.0053002+0.5811i eigenvalue:-0.0053002+0.5811i

eigenvalue:1+0i


-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Logistic Map, div:200, rmix=0.58112

eigenvalue:-0.0053002+0.5811i eigenvalue:-0.0053002+0.5811i

eigenvalue:1+0iλλ11=1=1

µ=|λµ=|λιι|=0|=0.58.58

14.22

logτ

µ

−= �


RemarksRemarks

�� Un mejor Un mejor mixingmixing corresponde a un menor corresponde a un menor µ.µ.

�� Los Los embeddingsembeddings 2D 2D andand 3D de una secuencia 3D de una secuencia generada por el mapa dan una visigenerada por el mapa dan una visióón n cualitativa del cualitativa del mixingmixing del mapa. del mapa. (Una secuencia (Una secuencia randomrandom perfecta produce cobertura de todos los perfecta produce cobertura de todos los espacios de espacios de embeddingembedding de cualquier dimenside cualquier dimensióón)n)


3D 3D randrand


3D mapa log3D mapa logíístico stico FF

11


Mejora del Mejora del mixingmixing mediante la tmediante la téécnica de cnica de skippingskipping propuesta por propuesta por CalegariCalegari


3D mapa log3D mapa logíístico stico FF

1τ


3D log3D logíístico iterado stico iterado FF22

2 1τ τ≤


3D log3D logíístico doble iterado stico doble iterado FF44

4 2τ τ≤


3D Log3D Logíístico stico FF88

lim 0n

nτ

→∞→


Conclusiones acerca del Conclusiones acerca del skippingskipping

�� SkippingSkipping cambia el valor de cambia el valor de τ.τ.

�� SkippingSkipping no cambia la PDF del mapa.no cambia la PDF del mapa.

Para EMC s

Para EMC sóólo sirve para mapas

lo sirve para mapas

con PDF constante

con PDF constante

12


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

div

r mix

puro

M2

M3

M4

M5

M6


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

iterado

rmix

3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 6969 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 7070


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 2 3 4 5 6 7 8

i t er ado

drmix/ dn

( 1- H) / C ( D =4 )

( 1- H) / C ( D =5)

( 1- H) / C ( D =6 )


ConjeturaConjetura

�� H H eses funcifuncióónn de la de la densidaddensidad invarianteinvariante..

�� (1(1--H)/C H)/C dada la la velocidadvelocidad de de variacivariacióónn de la de la

constanteconstante de mixing de mixing rrmixmix con el skipping.con el skipping.

13


Conclusiones y trabajo en Conclusiones y trabajo en

realizacirealizacióónn

�� ConclusionesConclusiones�� El mEl méétodo de todo de randomizacirandomizacióónn LSB funcionaLSB funciona

�� Se lo puede usar para cualquier mapa caSe lo puede usar para cualquier mapa caóótico. tico.

�� Es mEs máás general que el s general que el skippingskipping propuesto por propuesto por CalegariCalegari et et alsals..

�� El El skippingskipping es una tes una téécnica vcnica váálida si la lida si la pdfpdf es la deseadaes la deseada

�� (1(1--H)/(CH)/(C--0) tiene igual comportamiento que 0) tiene igual comportamiento que ddrrmixmix//ddnn

�� (1(1--H)/(CH)/(C--0) da un criterio de hasta qu0) da un criterio de hasta quéé iteraciiteracióón conviene seguirn conviene seguir

�� En realizaciEn realizacióónn�� Estudio sistemEstudio sistemáático de otras dintico de otras dináámicas simbmicas simbóólicas ademlicas ademáás de s de

LSB.LSB.

�� AnAnáálisis de lisis de PerronPerron--FrobeniusFrobenius para diversos mapas.para diversos mapas.


GRACIAS !GRACIAS !


Bonus packBonus pack


Generador CaGenerador Caóóticotico


Mejoras

Perturbación

LSB


( )

( )13440

1282568

232

201601282568

264

,88

1

1

1

+

+

+−

+−

−=

−

−

+

++

−=

−

+=

+

+

+

nnnn

nnn

nn

nnn

nn

nnn

nn

nn

Yfloor

Xfloor

YXfloor

YXfloor

ZfloorZZ

Zfloor

Xfloor

Zfloor

ZfloorX

YfloorYY

Xfloor

YfloorXX

;512;40;2;24;8;64/1 ====Γ== SBbk δ

14


11.5

22.5

33.5

x 104

0

1

2

3

4

x 104

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x 104

Xn

Yn

Zn




La complejidad MPR es muy sensible para detectar la mejora


15


3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8787 3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8888Larrondo 2004

3/24/20083/24/2008 Larrondo Larrondo -- La Falda 2007La Falda 2007 8989Larrondo 2004


CaracterizaciCaracterizacióón de n de prngprng

Larrondo et al., 2005 y 2006

16



ColpittsColpitts allall


ColpittsColpitts msbmsb


ColpittsColpitts lsblsb


PRNG lineales por tramosPRNG lineales por tramos

�� Se utilizan en Se utilizan en comunciacionescomunciaciones de espectro de espectro esparcidoesparcido

�� Presentan estructuras geomPresentan estructuras geoméétricastricas

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18




Sistemas de Espectro Esparcido empleando caos Ideas ... · 1 3/24/2008 Larrondo - La Falda 2007 1...

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