Programa Acadmico Preparatorio PAP

Escuela de Formacin de Profesores de

Enseanza Media

Curso de Matemticas

Sistemas de numeracin

Profesor Pedro Comelli

Sistemas de numeracin

Un sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que permi-ten

representar datos numricos. Los sistemas de numeracin actuales son sistemas

posicionales, que se caracterizan porque un smbo-lo tiene distinto valor segn la

posicin que ocupa en la cifra.

Notacin Posicional

La notacin posicional es un sistema de numeracin en el cual cada dgito posee

un valor que depende de su posicin relativa, la cual est determinada por la base,

que es el nmero de dgitos necesarios para escribir cualquier nmero.

Digito

Una cifra es un smbolo o carcter grfico que sirve para representar un nmero. Por ejemplo, los caracteres '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8' y '9' son cifras del

sistema de numeracin arbico mientras que los caracteres '', '', '', '', '', ''

y 'M' son cifras del sistema de numeracin romano.

Las cifras se usan tambin como identificadores en: nmeros de telfono, numeracin de carreteras; como indicadores de orden en: nmeros de serie; como cdigos (ISBN), etc.

POSICION DEL SISTEMA DECIMA (BASE 10)

Valor posicional

En cualquier cantidad, los nmeros tienen dos valores: uno absoluto y otro relativo.

El valor absoluto de un nmero es el que tiene por su figura y el valor relativo depende del lugar que ocupa en la cantidad. Por ejemplo, el nmero 9 en la cantidad 84 379 561:

9 000 Valor relativo

84 379 561

9 Valor absoluto

El valor posicional depende de la posicin de un nmero determinado dentro del orden decimal. Por ejemplo, en los nmeros de seis cifras, el primer nmero de izquierda a derecha indica las centenas de millar; el que le sigue, las decenas de millar; el siguiente, las unidades de millar y despus siguen las centenas, las decenas y las unidades.

CM DM UM C D U

4 7 1 9 2 5 = 471 925

En las cantidades 582, 396, 627 y 715, el valor relativo de los nmeros marcados corresponden, respectivamente, a: 80, 90, 600 y 10,

En los nmeros 462, 41 y 124, el valor relativo de los nmeros 4 corresponden, respectivamente, a: 400, 40 y 4.

Anlisis de valor posicional

Valor posicional es el valor que tiene cada nmero segn el orden y la cantidad de cifras que tengan. Los de una cifra son de primer orden, los de dos cifras pertenecen al segundo orden, los de tres son de tercer orden y los de cuatro cifras son del cuarto orden.

El valor de un nmero depende de su posicin en estos rdenes.

El llamado valor absoluto es aquel que tiene un nmero independientemente de su posicin.

El valor relativo es el que tiene un nmero segn la posicin que ocupe en los rdenes.

Ejemplo:

Ejercicio

1. Escribe los nmeros representados en los siguientes bacos. Haz tambin su descomposicin. Comprueba tus resultados con la aplicacin.

4. Utiliza la aplicacin como creas oportuno para completar la siguiente tabla:

Nmero DM UM C D U

20.700

0 6 0 1 1

50.008

Sistema de numeracin Babilnico

Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeracin. En el siglo A.C. se invent un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para nmeros superiores.

Para la unidad se usaba la marca vertical que se haca con el punzn en forma de cua. Se ponan tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tena su propio signo.

Aunque su sistema tena claramente un sistema decimal interno prefirieron utilizar 60 como la segunda unidad ms pequea en vez de 100 como lo hacemos hoy, ms apropiadamente se considera un sistema mixto de las bases 10 y 60. Un valor grande al tener como base sesenta es el nmero da como resultado un guarismo ms pequeo y que adems se puede dividir sin resto por dos, tres, cuatro, cinco, y seis, por lo tanto tambin diez, quince, veinte, y treinta. Solamente dos smbolos usados en una variedad de combinaciones eran utilizados para denotar los 59 nmeros. Un espacio fue dejado para indicar un cero (siglo III a. C.), aunque idearon ms adelante una muestra de representar un lugar vaco.

La teora ms comnmente adoptada es que el 60, un nmero compuesto de muchos factores (los nmeros anterior y siguiente de la serie seran el 12 y el 120), fue elegido como base debido a su factorizacin 2235, que lo hace divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, y 30. De hecho, es el entero ms pequeo divisible por todos los enteros del 1 al 6.

Los enteros y las fracciones eran representados de la misma forma: el punto separador de enteros y fracciones no era escrito, sino que quedaba aclarado por el contexto.

Por ejemplo, el nmero 53 en numeracin babilnica se representaba utilizando cinco veces el smbolo correspondiente a 10, y 3 veces el smbolo correspondiente a 1, como se puede ver en la imagen superior o solamente el 50 y el 3.

A partir del 10 Utilizaban el siguiente smbolo:

De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.

A partir de ah se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el nmero de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y asi sucesivamente como en los ejemplos que se acompaan.

Tabla del 1 al 50 en numeracin babilnica.

Sistema de Numeracin Binario

El sistema de numeracin binario utiliza slo dos dgitos, el cero (0) y el uno (1).

En una cifra binaria, cada dgito tiene distinto valor dependiendo de la posicin que ocupe. El valor de cada posicin es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posicin del dgito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurra con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dgitos utilizados (2) para representar los nmeros.

De acuerdo con estas reglas, el nmero binario 1011 tiene un valor que se calcula as:

1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20,

Es decir:

8 + 0 + 2 + 1 = 11

y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos as:

10112 = 1110

TRANSFORMACIN DE BINARIO A DECIMAL

Para cambiar un nmero binario a nmero decimal se multiplica cada dgito binario por la potencia y se suman. Para conseguir el valor de la potencia, usamos , donde es la base y es el exponente. Como estamos cambiando de binario a decimal, usamos la base 2. El exponente nos indica la posicin del dgito. A continuacin se transformar el nmero binario 11010 a decimal:

Para la transformacin de binarios a decimales estaremos siempre utilizando potencias a las cuales ser elevado el nmero 2. El siguiente listado nos presenta progresivamente las primeras 20 potencias con base 2:

Conversin entre nmeros decimales y binarios

Convertir un nmero decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada divisin en orden inverso al que han sido obtenidos.

Por ejemplo, para convertir al sistema binario el nmero 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarn los restos siguientes:

77 : 2 = 38 Resto: 1

38 : 2 = 19 Resto: 0

19 : 2 = 9 Resto: 1

9 :2 = 4 Resto: 1

4 : 2 = 2 Resto: 0

2 : 2 = 1 Resto: 0

1 : 2 = 0 Resto: 1

y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

7710 = 10011012

Suma, Resta, Multiplicacin y Divisin

Dos nmeros binarios se pueden sumar siguiendo este esquema: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10. Ejemplos:

Suma de dos nmeros binarios

Sean los nmeros binarios 00102 y 01102

Primer paso

De la misma forma que hacemos cuando sumamos nmeros del sistema decimal, esta operacin matemtica la comenzamos a realizar de derecha a izquierda, comenzando por los ltimos dgitos de ambos sumandos, como en el siguiente ejemplo:

En la tabla de suma de nmeros binarios podemos comprobar que 0 + 0 = 0

Segundo paso

Se suman los siguientes dgitos 1 + 1 = 10 (segn la tabla), se escribe el 0 y se acarrea o lleva un 1. Por tanto, el 0 correspondiente a tercera posicin de izquierda a derecha del primer sumando, adquiere ahora el valor 1.

Tercer paso

Al haber tomado el 0 de la tercera posicin el valor 1, tendremos que sumar 1 + 1 = 10. De nuevo acarreamos o llevamos un 1, que tendremos que pasar a la cuarta posicin del sumando.

Cuarto paso

El valor 1 que toma el dgito 0 de la cuarta posicin lo sumamos al dgito 0 del sumando de abajo. De acuerdo con la tabla tenemos que 1+ 0 = 1.

El resultado final de la suma de los dos nmeros binarios ser: 1 0 0 0.

Resta:

1011010

- 110101

________

100101

Multiplicacin:

101

* 1001

______

101

000

000

101

_______

101101

Las operaciones aritmticas con nmeros en base 2 son muy sencillas. Las reglas bsicas son: 1 + 1 = 10 y 1 1 = 1. El cero cumple las mismas propiedades que en el sistema decimal: 1 0 = 0 y 1 + 0 = 1. La adicin, sustraccin y multiplicacin se realizan de manera similar a las del sistema decimal. Reglas de la divisin binaria: 0/0 no permitida, 1/0 no permitida, 0/1=0, 1/1=1

EJERCICIOS DE SUMA DE NMEROS BINARIOS

1. Dados los nmeros 30, 35 y 22 en sistema decimal, efectuar la suma y expresar el resultado en el sistema de numeracin binaria.

BIBLIOGRAFIAS

Ejercicios:

http://www.monografias.com/trabajos26/suma-binarios/suma-binarios.shtml#ixzz2fXVRJ0OP

Ejercicio:

http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/aritmetica/decimales_y_fracciones/sistema_decimal/actividad.html

Informacin

http://es.wikipedia.org/wiki/Cifra_%28matem%C3%A1tica%29

Informacin

http://www.tareasya.com.mx/index.php/tareas-ya/primaria/tercer-

grado/matematicas/901-An%C3%A1lisis-de-valor-posicional.html

Informacin del sistema babilnico

http://www.sectormatematica.cl/historia/babilonia.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_babil%C3%B3nica

Ejercicio.

http://www.monografias.com/trabajos26/suma-binarios/suma-

binarios.shtml