UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA FACULTAD DE INGENIERA MECNICA DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS BSICAS Y HUMANIDADES

Curso: Fsica I (MB 223) Periodo Acadmico 2015-1

Dinmica de Sistemas de Partculas

asta el momento nuestro estudio de la Dinmica se ha concentrado en una sola partcula, introduciendo tres mtodos de solucin de problemas de movimiento. A continuacin extenderemos dichos mtodos a los casos que contienen dos o ms partculas.

Clases de sistemas de partculas:

a) Sistemas de partculas deformables.- Son los

sistemas formados por un nmero n finito de partculas encerrados en una regin del espacio, los mismos que al desplazarse no conservan la distancia entre ellas.

Ejemplo: Los gases de escape de un auto o de

las turbinas de un avin. Las ondas de radio o de televisin.

b) Sistemas de partculas indeformables.- En

este caso, la distancia entre las partculas del sistema nunca se altera. Todos los cuerpos rgidos son claros ejemplos de estos sistemas.

A su vez, estos sistemas pueden clasificarse en:

b.1. Sistemas discretos o dispersos.- Son aquellos cuya representacin est definida

porque la distancia entre sus partculas es apreciable, pero finita.

b.2. Sistemas continuos.- Son aquellos cuya representacin est definida porque la dis-tancia entre sus partculas es prcticamente nula (hipotticamente no hay intersticios entre ellas).

Movimiento del Centro de Masa de un Sistema de Partculas En la figura 1 se observa que la i-sima partcula del sistema se sita a la posicin:

As entonces, siendo M la masa total del sistema, la misma que es constante, al aplicar el Teorema de Varignon, la posicin de su centro de masa CM vendr dada por el vector:

1

H

(1)

M

CM

Fig. 1. Sistema de n partculas. A partir de este esquema se puede definir la posicin de su centro de masa (CM).

As, la posicin de cada componente de CM ser:

=

=

n

iii xmM

x1

CM1

(2) =

=

n

iii ymM

y1

CM1

(3) =

=

n

iii zmM

z1

CM1

(4)

Al derivar (1) con respecto al tiempo obtendremos la velocidad del centro de masa.

=

=

n

iiirmM

r1

CM1

&r

&r

=

=

n

iiivmM

v1

CM1 rr

(5)

Derivando (5) con respecto al tiempo obtendremos la aceleracin del centro de masa.

=

=

n

iiivmM

v1

CM1

&r

&r

=

=

n

iiiamM

a1

CM1 rr

(6)

Fuerzas Internas y Externas en un Sistema de Partculas En la figura 2 se tiene el diagrama cuerpo libre de un sistema cerrado1 de n partculas, marcadas con 1, 2,

3, .., n. Los vectores , i = 1, 2, ., n representan la fuerza externa resultante que acta sobre la i-sima partcula, incluyendo su peso. Las fuerzas externas son causadas por interaccin de las partculas con el medio externo; adems de ellas, las partculas tambin pueden estar sometidas a la accin de fuerzas internas del sistema. Por ejemplo, dos partculas podran estar unidas por un resorte, chocar entre s o llevar cargas elctricas que hagan que se atraigan o repelan entre s. En verdad no es necesario mostrar dichas fuerzas en el DCL de la fig. 2, ya que las interacciones siempre ocurren como pares de fuerzas iguales en magnitud, opuestas en direccin, y son colineales (3ra Ley de Newton). Por lo tanto, las fuerzas internas se cancelan, pero el movimiento de una partcula individual est determinado por las fuerzas externas e internas. En la figura 3 se ilustra el par de fuerzas internas que acta entre la i-sima y j-sima partculas. La fuerza fij representa la fuerza interna que acta sobre la i-sima partcula causada por la j-sima partcula. Anlogamente, fji representa la fuerza interna que acta sobre la j-sima partcula causada por la i-sima partcula. Segn la 3ra Ley de Newton:

(7)

As entonces, el DCL de una sola partcula ser el que se muestra en la figura 4, siendo el vector:

=

n

ijj

ijf1

r

1 Sistema en el cual no entran ni salen partculas del sistema.

Fig. 2. Diagrama de cuerpo libre de un sistema cerrado de partculas.

Fig. 3. Fuerzas internas entre dos partculas de un sistema cerrado.

la fuerza resultante sobre la partcula por accin de las dems part-culas del sistema. Sobre ella se aplicar la Segunda Ley de Newton.

Ecuacin de movimiento del Centro de Masa

),....,2,1(1

niamfF iin

ijj

iji ==+=

rrr (8)

Como hay n partculas en el sistema, la ecuacin anterior representa n ecuaciones. Al sumar las n ecuaciones, se obtiene:

==

==

=+n

iii

n

i

n

ijj

ij

n

ii amfF

11 11

rrr (9)

La ecuacin anterior es simplificable, teniendo en cuenta lo siguiente:

1. RFn

ii

rr=

=1 es la fuerza externa resultante que acta sobre el sistema, incluyendo el peso

de las partculas. 2. Segn la relacin (7), las fuerzas internas se presentan en pares iguales y opuestos,

por lo cual su suma se cancela, sto es:

01

rr=

=

n

ijj

ijf (10)

En otras palabras, el efecto de las fuerzas internas no altera el fenmeno que tiene lugar en el sistema de partculas.

3. Utilizando la ecuacin (6), el segundo miembro se puede sustituir con:

CMaMamn

i

ii

rr=

=1 (11)

Con los resultados anteriores, la ecuacin (9) se puede escribir como:

CMaMRrr

= (12)

Al comparar la ecuacin anterior con la Segunda Ley de Newton para una partcula, se ve que el centro de masa del sistema de partculas se mueve como si fuera una partcula de masa igual a la masa total del sistema, sobre la que acta la resultante de las fuerzas externas que actan sobre el sistema.

Fig. 4. DCL final de una partcula de un sistema cerrado.

Energa Cintica de un Sistema de Partculas Considerando un vector trazado desde el centro de masa del sistema, se podr determinar su energa cintica respecto a dicho punto.

=

=

n

iiivmE

1

2c 2

1 (13)

Se puede apreciar que la posicin de la partcula mi es: . Asimismo:

22

2

2 iii

iiiiii

rrv

rrrrrv

&&r&r&r

&r&r&r&rr&r&r

++=

++===

.

)).((.

CM2

CM

CMCM

Al reemplazar en (13) se tiene:

===

+

+=

n

ii

n

iii

n

ii mmdt

drrmE

1

2i

1CM

1

2CMc 2

1.

21 &r&r&

El primer trmino del segundo miembro se puede expresar como:

12

12

12

El segundo trmino es cero, ya que la posicin del centro de masa respecto a s mismo es 0.

0

Finalmente, la energa cintica del sistema de partculas queda expresada del siguiente modo:

=

+=n

iiimMvE

1

22CMc 2

121 & (14)

Es decir, Ec es la suma de la energa cintica del sistema con velocidad igual a la del centro de masa, mas la energa cintica del sistema medida con respecto al centro de masa. Teorema del Trabajo y la Energa Mecnica para un Sistema de Partculas Sabemos que para una partcula, este teorema tiene la siguiente forma:

!"#$% !$." () (*+ (*, (-." (15)

Donde: ==

==+n

iii

n

ii rdFWWW

1

despus

antes1n.ccons

.

rr

Fig. 5. En el esquema, la masa mi ser base para determinar la energa cintica del sistema de partculas.

As entonces, para un sistema de partculas indeformable, se deber sumar todos los cambios de energa que tendrn lugar, as como los trabajos que realicen las fuerzas conservativas y no conservativas sobre cada partcula. Por lo tanto, la relacin anterior ser vlida para el sistema de partculas que se tenga. Si el primer miembro de la relacin (15) fuera igual a cero, entonces se concluir que la energa mecnica del sistema de partculas se conserva. Luego, el Principio de Conservacin de la Energa para un sistema de partculas ser:

() (*+ (*, (/,) 0 (16)

O tambin: 0(1(23(2456.%78% 0(1(23(245:$;.% (17) Impulso y Cantidad de Movimiento para un Sistema de Partculas

Fig. 6

Sobre la partcula i acta la fuerza externa Fi y las fuerzas internas =

n

ijj

ijf1

r. Podemos escribir

el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento del siguiente modo:

121

)()(2

1

2

1

iiii

n

ijj

t

t

ij

t

t

i vmvmdtfdtF rrrr

=+=

La ecuacin anterior escrita para las n partculas del sistema ser:

==

=

=

==

=+n

iii

n

iii

n

i

n

ijj

t

t

ij

n

i

t

t

i vmvmdtfdtF1

11

2

contrario.sentido dey igualesson

pares,en aparecen internasfuerzas las porque 0,

1 11)()(

2

1

2

1

rr

43421

rr

Por lo tanto, la ecuacin anterior queda descrita del siguiente modo:

43421

r

43421

rr

rrantesdespus

2

1 11

12

1)()(

p

n

iii

p

n

iii

n

i

t

t

i vmvmdtF ===

= (18)

Siendo los trminos del segundo miembro la cantidad de movimiento del sistema de partculas en los instantes t2 (despus) y t1 (antes), y el primer miembro es el impulso recibido por el sistema entre dichos instantes. As entonces, al emplear la relacin (5), la ecuacin (18) se expresar del siguiente modo:

( ) ( )[ ]1CM2CM1

2

1

vvMdtFn

i

t

t

irrr

==

(19)

Principio de Conservacin de la Cantidad de Movimiento de un Sistema de Partculas

Si en un sistema de partculas no actuasen fuerzas externas, entonces 01

2

1

==

n

i

t

t

idtFr

. Luego, la

frmula anterior se reduce a la siguiente expresin:

( ) ( )antesCMdespusCM vMvM

rr= (20) : antesdespus pp

rr= (21)

Es decir, la cantidad de movimiento del sistema se conserva entre los instantes t1 y t2. En otras palabras: La velocidad del centro de masa no se altera.

Asimismo, en base a la frase anterior: CMvr

= constante. Luego:

( ) ( )

antesCMdespusCM vvrr

=

( ) ( )dt

rddt

rdantesCMdespusCM

rr

= ( ) ( )antesCMdespusCM rr rr = (22) En otras palabras: La posicin relativa del centro de masa no se altera. APLICACIN

EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM Lima, 18 de mayo del 2015