UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATOFACULTA DE INGENIERIA EN SISTEMAS ELECTRONICA E INDUSTRIALINFORME DE SISTEMAS DE CONTROLINTEGRANTES: Juan Carlos Prez Javier Chiliquinga Daro Pillajo Miguel RobalinoTEMA: Sistemas de Segundo OrdenINTRODUCCIONEn comparacin con la sencillez de un sistema de primer orden, un sistema de segundo orden tiene una amplia variedad de respuestas que deben ser analizadas y descritas.Mientras que la variacin de un parmetro de un sistema de primer orden simplemente cambia la velocidad de la respuesta, cambios en los parmetros de un sistema de segundo orden pueden modificar la forma de la respuesta. Por ejemplo, un sistema de segundo orden pueden mostrar caractersticas muy semejantes a las de un sistema de primer orden, o bien, dependiente de los valores de los componentes, mostrar oscilaciones amortiguadas o puras para su respuesta transitoria.OBJETIVOSOBEJTIVO GENERAL Investigar hacer de los sistemas de segundo orden para determinar los diferentes respuestas transitorias que genera dicho sistema OBJETIVOS ESPECIFICOS Determinar los distintos casos presentan un sistema de segundo orden de acuerdo a el valor que tengan sus polos Determinar las constantes que forman estas respuestas transitorias de segundo orden Investigar cual es la aplicacin que se le da a este estudio en el control de procesos automticosMARCO TEORICOA continuacin definimos dos especificaciones fsicamente significativas para los sistemas de segundo orden. Se pueden usar estas cantidades para describir las caractersticas de la respuesta transitoria de segundo orden, igual que las constantes de tiempo describen la respuesta de un sistema de primer orden. Las dos cantidades se llaman frecuencia natural y factor de amortiguamiento relativo.FRECUENCIA NATURAL, nLa frecuencia natural de un sistema de segundo orden es la frecuencia de oscilacin del sistema sin amortiguamiento. Por ejemplo, la frecuencia de oscilacin de un circuito RLC en serie con la resistencia en cortocircuito sera la frecuencia naturalFACTOR DE AMORTIGUAMIENTO, Podemos definir el factor de amortiguamiento como:

Sistema General de Segundo Orden

Figura 1Funcion de transferenciaEn el caso general, tiene dos polos finitos y ningn cero. El trmino del numerador es simplemente una escala o factor multiplicador de entrada que puede tomar cualquier valor sin afectar la forma de los resultados deducidos. Al asignar los valores apropiados a los parmetros a y b, podemos demostrar todas las posibles respuestas transitorias de segundo orden. La respuesta de escaln unitario que se puede hallar usando C(s)= R(s)G(s), donde R(s) = 1/s, seguido por una expresin en fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace.El sistema general de segundo orden que se muestra en la figura 1, se puede transformar para mostrar las cantidades de y n. Considerando el sistema general

Sin amortiguamiento los polos estaran sobre el eje j, y la respuesta seria una senoide no amortiguada. Para que los polos sean puramente imaginarios, a = 0, por lo tanto

Por definicin la frecuencia natural n es la frecuencia de oscilacin de este sistema. Como los polos de este sistema estn sobre en eje j en ,

Por tanto,

Si,

Nuestra funcin de transferencia general de segundo orden se ve finalmente de la siguiente forma:

Al despejar los polos (s1, s2) de la ecuacin de transferencia se obtendr:

De esta ecuacin veremos que los diversos casos de respuesta de segundo orden son una funcin de , el cual determina la naturaleza de la respuesta transitoria, a continuacin resumiremos los distintos casos de para

Figura 2 Respuesta Transitoria de acuerdo al factor de amortiguamientoA continuacin explicamos cada respuesta y mostramos la forma en que podemos usar los polos, para determinar la naturaleza de la respuesta, sin pasar por el procedimiento de expansin en fracciones parciales seguida por la transformada inversa de Laplace.

Figura 3 Respuesta Transitoria de acuerdo a los PolosTener en cuenta que: C(s)= R(s)G(s)Respuesta Sobreamortiguada, figura 3(a)Para esta respuesta,

Esta funcin tiene un polo en el origen que viene de la entrada de escaln unitario y dos polos reales que vienen del sistema. El polo de entrada en el origen genera la respuesta forzada constante; cada uno de los dos polos del sistema sobre el eje real genera una respuesta natural exponencial, cuya frecuencia exponencial es igual a la posicin del polo. Por consecuencia, inicialmente podra haberse escrito la salida como:

Esta respuesta, que se muestra en la figura 3(a), se llama Sobreamortiguada. Vemos que los polos nos dicen la forma de la respuesta sin calcular la transformada inversa de Laplace.Respuesta Subamortiguada, figura 3(b)Para esta respuesta,

Esta funcin tiene un polo en el origen que viene de la entrada de escaln unitario y de polos complejos que vienen del sistema. Primero vamos a comparar la posicin del polo con la funcin de tiempo y luego, la posicin del polo con la grfica de la figura 3(b), los polos que generan la respuesta libre estn en , al comparar estos valores con c(t) en la misma figura, vemos que la parte real del polo es igual a la frecuencia de decaimiento exponencial de la amplitud senoidal, mientras que la parte imaginaria del polo es igual a la frecuencia de oscilacin senoidal.

Figura 4 Respuesta TransitoriaComparemos ahora la posicin del polo con la grfica. A figura 4 muestra una respuesta general, senoidal amortiguada, para un sistema de segundo orden. La respuesta en frecuencia est formada por una amplitud que decae exponencialmente, generada por la parte real del polo del sistema por una onda senoidal producida por la parte imaginaria del polo del sistema. La constante de tiempo del decaimiento exponencial es igual al recproco de la parte real del polo del sistema. El valor de la parte imaginaria es la frecuencia real de la senoide como se describe en la figura 4. La frecuencia senoidal recibe el nombre de frecuencia natural amortiguada de oscilacin. Finalmente la respuesta en estado estable (escaln unitario) fue generada por el polo de entrada situado en el origen. Al tipo de respuesta que se ilustra en la figura 4 se llama respuesta Subamortiguada, que se aproxima a un valor en estado estable por medio de una respuesta transitoria que es una oscilacin amortiguada.Respuesta no amortiguada, figura 3(c)Para esta respuesta,

Esta funcin tiene un polo en el origen que proviene de la entrada de escaln unitario y dos polos imaginarios que vienen del sistema. El polo de entrada en el origen genera la respuesta forzada constante, y los dos polos del sistema sobre el eje imaginario en j3 generan una respuesta libre senoidal, cuya frecuencia es igual a la posicin de los polos imaginarios. Por tanto, la salida se puede estimar como donde:

Este tipo de respuesta mostrado en la figura 3(c), se llama no amortiguada. Ntese que la ausencia de una parte real en el par de polos corresponde a una exponencial que no decae. Matemticamente el exponencial es .Respuesta crticamente amortiguada, figura 3(d)Para esta respuesta,

Esta funcin tiene un polo en el origen que viene de la entrada de escaln unitario y polos reales mltiples que provienen del sistema. El polo de entrada en el origen genera la respuesta constante, y los polos sobre el eje real en -3 generan la respuesta libre formada por un exponencial y un exponencial multiplicado por el tiempo, donde la frecuencia exponencial es igual a la posicin de los polos reales, la salida se puede calcular como:

A continuacin resumiremos nuestras observaciones.Respuesta no amortiguadaPolos: Dos imaginarios en Respuesta libre: Senoide no amortiguada con frecuencia de radianes igual a imaginaria de los polos, o sea:

Respuesta SubamortiguadaPolos: Dos complejos en jRespuesta Libre: Senoide amortiguada con una envolvente exponencial, cuya constante de tiempo es igual al recproco de la parte real del polo. La frecuencia en radianes de la senoide, la frecuencia amortiguada de oscilacin, es igual a la parte imaginaria de los polos, o sea

Respuesta Crticamente AmortiguadaPolos: Dos reales en Respuesta Libre: Un trmino es un exponencial cuya constante de tiempo es igual al reciproco de la posicin del polo. Otro trmino es el producto del tiempo, t, y un exponencial con constante de tiempo igual al recproco de la posicin del polo, o sea

Respuesta SobreamortiguadaPolos: Dos complejos en 1, 2Respuesta libre: Dos exponenciales con constantes de tiempo iguales al recproco de las posiciones de polo, o sea

EJERCICIOSSISTEMA SOBREAMORTIGUADOPara el sistema definido por , obtenga su diagrama de polos y ceros, as como la respuesta al escaln unitario.El sistema G(s) tiene un par de polos reales

La respuesta al escaln se obtiene

Al aplicar descomposicin en fracciones parciales

La respuesta al escaln unitario del sistema de 2do grado

SISTEMA SUBAMORTIGUADOPara el sistema definido a continuacin, obtenga su diagrama de polos y ceros, as como la respuesta al escaln unitario.

El sistema tiene un par de polos complejos: p1,2 = -1 2j. La respuesta al escaln se obtiene

Al aplicar descomposicin en fracciones parciales

Por lo tanto, la respuesta al escaln unitario del sistema de segundo grado

CONCLUSIONES Existen diferentes tipos de respuestas transitorias como son la sobreamortiguada, la subamortiguada, no amortiguada, crticamente amortiguada son importantes para determinar el modelo matemtico de nuestro proceso. Determinamos que las respuesta transitorias dependen de los polos que se generen en la funcin de transferencia pueden existir polos imaginarios, reales o complejos y dependiendo de ellos se forman los diferentes casos. La principal aplicacin de acuerdo a la respuesta transitoria que se genere por la funcin de transferencia de nuestro sistema es la estabilidad y de acuerdo a ello podremos aplicar los diferentes controles proporcional integral o derivativoBIBLIOGRAFIA Sistemas de Control para ingeniera, Norman S. Nice, 3ra edicin, Mxico, 2004