FormatoPapers

MAPAS DE KARNAUGH DE CINCO Y SEIS VARIABLES.

Alay Romero Adrian Alejandro

E-mail: adrian_alay07@hotmail.comBarreno Barreno Mauricio Daniel

E-mail: mdbarreno@espe.edu.ecIngeniera Mecatrnica, Sexto Nivel Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-Extensin Latacunga Mrquez de Maenza S/N Latacunga Ecuador.

10 de diciembre del 2014RESUMEN: Este presente trabajo trata sobre la simplificacin de funciones de salida con cinco y seis variables de entrada mediante el mtodo de mapas de Karnaugh. En donde abordaremos la generacin y utilizacin de este estilo de simplificacin paso a paso, y se utilizan algunos ejemplos para poder visualizar y comprender su uso. PALABRAS CLAVE Adyacencia: Caracterstica de las celdas en un mapa de Karnaugh en el que slo se cambia una variable de una celda a otra inmediata a ella por cualquiera de sus cuatro lados. (Floyd, 2006) Binario: Que tiene dos valores o estados; describe un sistema de numeracin en base dos y utiliza el 1 y el 0 como dgitos. (Floyd, 2006)Celda: Una zona de un mapa de Karnaugh que representa una nica combinacin de variables en forma de producto. (Floyd, 2006)Mapa de Karnaugh: Disposicin de celdas que representa las combinaciones de literales en una expresin booleana y que se utiliza para la simplificacin sistemtica de la expresin. (Floyd, 2006)Suma de productos: Expresin booleana que consiste simplemente en sumar trminos que contienen productos. (Floyd, 2006)Condiciones Indiferentes o Valores No Importa:

En ocasiones, se tienen cdigos de un nmero de bits pero no hay valor para algunas combinaciones. En este caso a las celdas cuyas combinaciones no se consideran, se les coloca un valor No importa, que se describe con X. En el momento de hacer los grupos, se puede considerar estos valores como 1 o 0, a conveniencia de la solucin del mapa. (Flores, 2010)

1 INTRODUCCIN En este presente paper trata sobre las simplificaciones de funciones de salida de un circuito lgico expresado en suma de productos o productos de sumas con la peculiaridad de cinco y seis variables de entrada mediante mapa de Karnaugh. Y adicionalmente tambin se implementarn ejemplos que contengan las condiciones no importa.2 MAPA DE KARNAUGH DE CINCO VARIABLES. Un mapa de Karnaugh de cinco variables A, B, C, D, E puede crearse utilizando dos mapas de cuatro variables. Cada mapa contiene 16 celdas con todas las posibles combinaciones de las variables. Un mapa es para A=0, mientras que el otro es para A=1. (Floyd, 2006)

Ilustracin 1 Mapas de Karnaugh de 5 variables. (Floyd, 2006)2.1 ADYACENCIA DE CELDAS:

La mejor manera de visualizar la adyacencia de celdas entre los dos mapas de 16 celdas consiste en imaginar que el mapa A=0 est colocado encima del mapa A=1. Cada celda del mapa A=0 es adyacente con la celda que est justo debajo en el mapa A=1. (Floyd, 2006)

Ilustracin 2 Agrupacin de 1s en celdas adyacentes de un mapa de Karnaugh de 5 variables. (Floyd, 2006)Los 1s de las celdas en gris ms claro forman un grupo de 8 bits (Entre los mapas A=0 y A=1). Los 1s de las celdas marcadas con un degradado de grises forman un grupo de 4 bits (Entre los mapas A=0 y A=1). Los 1s de las celdas de la esquina inferior izquierda constituyen un grupo de 4 bits slo en el mapa A=0. El 1 de la celda gris oscuro del mapa A=1 se agrupa con el 1 de la celda gris ms claro de la parte inferior derecha del mapa A=0 para formar un grupo de 2 bits. (Floyd, 2006)2.2 DETERMINACIN DE LA EXPRESIN BOOLEANA:La expresin booleana suma de productos original que est dibujada en el mapa de Karnaugh de la ilustracin 2 contiene diecisiete trminos de cinco variables ya que existen diecisiete 1s en el mapa. La expresin simplificada se obtiene a partir del mapa de la manera siguiente: (Floyd, 2006) El trmino para el grupo de ocho 1s marcado en gris claro es . (Floyd, 2006) El trmino para el grupo de cuatro 1s marcado en gris degradado es . (Floyd, 2006) El trmino para el grupo de cuatro 1s de la esquina inferior izquierda del mapa A=0 es . (Floyd, 2006) El trmino para la celda gris ms oscuro agrupada con la celda en gris ms claro es . (Floyd, 2006)Combinando estos trminos en la expresin suma de productos simplificada tenemos: (Floyd, 2006)

Ilustracin 3 Funcin simplificada. (Floyd, 2006)2.3 EJEMPLOS:2.3.1 EJEMPLO 1Utilizar un mapa de Karnaugh para minimizar la siguiente expresin suma de productos de 5 variables: (Floyd, 2006)

Ilustracin 4 Funcin propuesta. (Floyd, 2006)Desarrollo:

Convirtiendo en su forma binaria tenemos:

X=00000+00100+001100+01000+00001+01101+ 01111+10000+10001+11101+11111+10111Estos datos representamos en mapas de Karnaugh:

Ilustracin 5 Representacin en mapas de Karnaugh. (Floyd, 2006)Y por ltimos obtenemos la funcin simplificada:X= 2.3.2 EJEMPLO 2

Del mapa de cinco variables que se muestra en la figura y que contiene algunos terminos no importa obtngase una simplificacion para los 1s.

Ilustracin 6 Mapas de Karnaugh del enunciado.Desarrollo:

Ilustracin 7 Agrupacin del mapa de Karnaugh.

De donde:

G1 = G2 = G3 = G4 = Y por ltimo tenemos la funcin simplificada:

3 MAPA DE KARNAUGH DE SEIS VARIABLES. A medida que el nmero de variables en la expresin lgica se incrementa a ms de cuatro, la utilizacin de los mapas K para el reconocimiento de patrones comienza a disminuir. (Pamler & Perlman, 1995)Para elaborar el mapa de Karnaugh de seis variables tendremos 26= 64 combinaciones.Un enfoque ideal para los mapas de seis variables es crear cuatro mapas de cuatro variables, de la siguiente manera:

Ilustracin 8 Representacin en mapas de Karnaugh de seis variables. (Pacheco, s.f.) 3.1 FORMACIN DE LOS GRUPOS PARA EL MAPA DE SEIS VARIABLES:

Para obtener los grupos de debe proceder de la misma forma de los casos donde se tiene 2, 3, 4, o 5 variables, ya que la metodologa no cambia.

Pero ahora una casilla, adems de ser adyacente en forma horizontal o vertical, es adyacente a la casilla que ocupa la misma posicin en el cuadrado cercano horizontal y en el cuadrado cercano vertical. (Pacheco, s.f.) En la siguiente ilustracin en el siguiente mapa se forman los siguientes cinco grupos:

Ilustracin 9 Ejemplo de un mapa de Karnaugh con cinco grupos. (Algebra de Boole y Simplificacin Lgica, n.d.)3.2 EJEMPLOS:3.2.1 EJEMPLO 3Obtenga una funcin mnima como suma de productos para el siguiente mapa de Karnaugh:

(Pamler & Perlman, 1995)Desarrollo:Pasamos los datos al mapa de Karnaugh:

Ilustracin 10 Representacin en mapas de Karnaugh del ejemplo 3.

Formamos los grupos que se puedan, para eso nos ayudamos con los trminos no importa.

Ilustracin 11 Formacin de grupos en el mapa de Karnaugh del ejemplo 3.

Ponemos lo que corresponde a cada grupo:

Quedando la funcin simplificada de la siguiente manera:

3.2.1 EJEMPLO 4

Obtenga la funcin como producto de sumas para el siguiente mapa de Karnaugh:

Desarrollo:Pasamos los datos al mapa de Karnaugh:

Ilustracin 12 Representacin en mapas de Karnaugh del ejemplo 4.

Formamos los grupos con los ceros,tomano en cuenta las condiciones para el producto de sumas, y tambin nos ayudamos con los trminos no importa.

Ilustracin 13 Formacin de grupos en el mapa de Karnaugh del ejemplo 4.

Ponemos lo que corresponde a cada grupo:

Quedando la funcin expresada como producto de sumas de la siguiente manera:

CONCLUSIONES: En los mapas de Karnaugh de seis variables, una casilla es adyacente en forma vertical, horizontal, es adyacente a la casilla que ocupa la misma posicin en el cuadrado cercano horizontal y en el cuadrado cercano vertical La forma de hacer los grupos en los mapas de Karnaugh de cinco y de seis variables es la misma que el de dos, tres o cuatro variables, lo nico diferente es la complejidad debido a las adyacencias y al mayor nmero de combinaciones.

Las condiciones no importa son de mucha utilidad al momento de formar los grupos, puesto que pueden tomar cualquier valor y las podemos usar de la mejor manera.

Los mapas de Karnaugh de cinco variables no son ms que una extensin ms de un mapa de cuatro variables en donde se ubican en total dos mapas de cuatro por cuatro, tomando en cuenta algunas condiciones de A=0 y A=1 respectivamente.

Los mapas de Karnaugh en general cumplen una funcin la cual es que permite reducir una funcin en suma de productos o productos de sumas. Al formar los grupos, si los grupos contienen la mayor nmero posible de 1s o 0s la funcin se reducir ms que hacer grupos de 2 o 1 variable.

RECOMENDACIONES: El nmero de 1s o de 0s en los grupos que podemos formar en los mapas de Karnaugh deben ser obligatoriamente potencia de dos.

Tener bien definido las adyacencias para cada caso y as poder realizar correctamente las agrupaciones en los mapas de Karnaugh.

Utilizar los 1s de una agrupacin siempre y cuando me permita hacer otra agrupacin con 1s sobrantes. REFERENCIAS:Algebra de Boole y Simplificacin Lgica. (s.f.). Obtenido de UPB Seccional Bucaramanga: http://clrueda.docentes.upbbga.edu.co/web_digitales/Tema_2/mapa%20K_VIII.html

Floyd, T. L. (2006). Fundamentos de sistemas digitales. Madrid: PEARSON EDUCACION S.A.

Pacheco, S. (s.f.). Geosistemas Informaticos . Obtenido de Diseo Digital: http://www.kumbaya.name/ci1210/LECCION%207%20MEtodos%20de%20simplificacion%20de%20expresiones%20booleanas/Mapas%20de%20Karnaugh.htmPamler, J., & Perlman, D. (1995). Introduccin a los Sistemas Digitales. Mxico: Litogrfica Ingramex.Flores, H. (2010). Diseo Lgico: Fundamentos de Electrnica Digital. Colombia: Ediciones de la U.

.

.