Sistema de primer orden.Grafique el sistema de control de nivel de lquido de la siguiente figura con su analoga en elctrico:

Donde la fuente representa la entrada de agua o la alimentacin de caudal, el control del flotador lo representa la resistencia y el tanque el capacitor. Y al comparar sus ecuaciones se aprecia que son sistemas anlogos por lo cual resultan con la misma funcin de transferencia para lo cual sus grficos con entrada rampa y escaln quedaran de la siguiente manera:

Fig. 1. Sistema de Primer orden con entrada escaln.

Fig. 2. Sistema de Primer orden con entrada rampa.

Sistema de segundo orden.Considerando el siguiente esquema:

Donde la longitud del muelle en reposo es d = 2m, K representa la constante de elasticidad del resorte, cuyo valor es de 1 N/m, la constante de rozamiento, cuyo valor es de 1 Kg/s y M la masa que tiene un valor de 1Kg.Consideramos como variable de entrada del sistema la posicin del extremo libre de resorte x0 (t), como salida y1 la posicin x1 de la masa M, y como salida y2 la distancia entre el punto x1 el x0.Obtenga las funciones de transferencia Y1(s) / X0(s) e Y2(s)/X0(s), simule en SIMULINK. Las siguientes situaciones:

a) El punto se desplaza con una velocidad constante x0=1 m/s. b) El punto se desplaza instantneamente de x0=0 a x0=1.c) Dibuje los polos y ceros de la funcin de transferencia Y1(s)/X0(s), analice mediante el lugar de las races el efecto la constante k sobre los polos de dicha funcin de transferencia.

Solucin.

Ecuacin del movimiento de la masa:

Para la salida Y1:

La funcin de transferencia nos queda de la siguiente manera:

Para el caso de la salida Y2.

La funcin de transferencia quedara:

a) La situacin en la que el punto x0 se mueve con una velocidad constante x0=1 se simula suponiendo que la entrada es una seal rampa de valor 1. Representando las funciones de transferencia en simulink queda el siguiente diagrama de bloques:

Observe cmo la condicin inicial para la posicin de la masa y la longitud del muelle se ha modelado mediante la suma, a la salida de los bloques de las funciones de transferencia, de un valor constante e igual a 2. Con este diagrama obtenemos la siguiente grficas:

Fig. 2.9 a) Fig. 2.9 b)

En la figura 2.9-a), la lnea amarilla (ms clara) representa el desplazamiento del extremo libre del muelle (x0) cuya velocidad se mantiene constante, la lnea morada (ms oscura) representa el movimiento de la masa (x1). Puede observarse cmo, al principio, la masa comienza desplazndose ms lentamente que el extremo libre del muelle, hasta que la fuerza que ha ejercido el muelle sobre ella es suficientemente grande como para acelerarla y que alcance la velocidad de x0 . En la figura 2.9-b) se representa la evolucin de la salida y2. Se observa cmo la longitud del muelle aumenta hasta alcanzar un valor mximo. Finalmente, tras un pequeo tiempo transitorio la longitud del muelle se estabiliza, coincidiendo con el momento en que la masa alcanza la misma velocidad que el extremo libre del muelle.

b) Para simular la situacin propuesta en este apartado se sustituye la seal rampa por una seal escaln, Las grficas obtenidas son las representadas en la figura 2.10. En la figura 2.10-a), la lnea amarilla (ms clara) representa el desplazamiento instantneo del extremo libre del muelle, la lnea morada (ms oscura) representa el movimiento de la masa. Ntese cmo ste se desplaza ms lentamente hasta que se estabiliza su posicin tras una pequea oscilacin. Por otra parte, En la figura 2.10-b) se representa la evolucin de la salida y2; se ilustra claramente cmo la longitud del muelle disminuye bruscamente. Por ltimo, tras un pequeo tiempo transitorio el muelle alcanza su longitud inicial.

La funcin de transferencia puede re escribirse de la forma:

Y su diagrama de bloques corresponde al siguiente:

Parmetros de una seal sub-amortiguada.

Es conveniente definir una serie de conceptos que permiten cuantificar caractersticas de la respuesta transitoria de un sistema. Estos conceptos se aplican a sistemas de cualquier orden, aunque se ver que existen relaciones entre dichas especificaciones y los parmetros de un sistema estndar de segundo orden.Estos parmetros son: el tiempo de retardo tr, de subida tr de pico tp y de asentamiento ts, as como la sobre oscilacin mxima Mp. En la figura 4 se muestra cada uno de ellos.

Figura 4. Especificaciones de la respuesta transitoria

El tiempo de retardo tr, se define como el tiempo necesario para que la respuesta del sistema alcance el valor del 50 % del valor de rgimen permanente. Esta especificacin cobra sentido cuando se quiere evaluar el tiempo muerto en la respuesta de un sistema.

El tiempo de subida (tr ) informa sobre la rapidez de la respuesta, y se define como el tiempo necesario para recorrer por primera vez un determinado intervalo medido como porcentaje del valor de rgimen permanente. Este intervalo puede ser del 0 % al 100 %, del 5 % al 95 % o del 10 % al 90 %. Para respuestas con sobre-oscilacin se suele preferir la primera definicin. Para respuestas sin ellas, se suele proporcionar la tercera.

El tiempo de pico tp es el tiempo en que la respuesta alcanza el primer mximo relativo.

La sobre-oscilacin mxima Mp es el valor de la respuesta en ese momento.

El tiempo de asentamiento ts es el tiempo a partir del cual la respuesta se mantiene dentro de un porcentaje alrededor de la posicin de rgimen permanente. Se puede definir para porcentajes del 2 % o del 5 %.

Para el caso de sistemas estndar de segundo grado, todos estos parmetros se obtienen a partir de la anterior respuesta del sistema a un escaln unitario.

El tiempo de retardo se puede hallar a partir de la respuesta, aunque no se har por su menor importancia en sistemas sin tiempo muerto.