SISTEMAS DINÁMICOS CAPITULO 3: MODELOS DE SISTEMAS FISICOS .

Ing. Gerardo Becerra B. M.Sc.

Modelos de sistemas físicos

1. Preparar y ejecutar el plan de acción para formular y resolver un modelo. (CDIO 2.1.1.4)

2. Obtener modelos conceptuales y cualitativos de diversos sistemas físicos. (CDIO 2.1.2.2)

3. Establecer las conexiones entre los fenómenos físicos y el modelo. (CDIO 2.1.2.3)

4. Usar modelos cuantitativos y soluciones. (CDIO 2.1.2.4)

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Modelos de sistemas físicos

5. Generalizar suposiciones para simplificar ambientes y sistemas complejos (CDIO 2.1.2.1)

6. Discutir una aproximación desde varias disciplinas para asegurar que el sistema se entienda desde todas las perspectivas relevantes. (CDIO 2.3.1.2)

7. Establecer prioridades dentro de las metas generales (CDIO 2.1.1.3)

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Contenido

Clase 10.

1. Desarrollar el modelo de un motor DC 2. Obtener la función de transferencia a partir de

datos de manuales. 3. Seleccionar un motor y una caja de engranajes para

control de posición.

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Motor DC1

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Motor casero Applet

Motor DC2

• Un conductor que porta una corriente de intensidad I en presencia de un campo magnético de intensidad B experimenta una fuerza F dada por la ley de Lorentz:

𝑓 = 𝐼𝐿 𝐷𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎 𝑎

𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎

𝑥 𝐵 𝐷𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜

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Motor DC2

• Si el alambre forma una espira, durante su recorrido a través del campo magnético la corriente cambiará de sentido y la dirección de la fuerza sobre el conductor también lo hará:

La espira gira

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Motor DC2

El momento sobre el rotor 𝑇𝑒𝑚 es función de 𝑭𝒆𝒙𝑹, la dirección es normal al plano formado por los vectores R y F y como las magnitudes de R y F son aproximadamente constantes, la magnitud del producto es función de sen θ

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Motor DC2

• Cuando el rotor arranca el ángulo es de 90° y el torque es máximo, a medida que el rotor va girando el ángulo va disminuyendo hasta llegar a 0°, cuando ya no hay torque y sigue hasta - 90° : el torque cambia de sentido,

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Motor DC

• Para obtener un torque de un solo sentido y aproximadamente constante se pueden hacer dos modificaciones:

• Conmutación: cambiar la dirección de la corriente cada media vuelta, de esta manera el torque siempre tiene el mismo sentido, aunque su magnitud sigue siendo variable.

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Motor DC

• Múltiples bobinas: arrolladas con diferentes ángulos de arranque de tal forma que el torque total es la suma de las diferentes formas de onda desplazadas: la resultante tiene una mayor componente promedio y un menor rizado.

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Motor DC2

• Por medio del arreglo conmutador / escobillas es posible convertir una corriente directa ia entregada por una fuente directa, en una corriente alterna ir para la excitación de la bobina del rotor o armadura.

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Motor DC2

• La alimentación del rotor es directa, ea - ia , la conmutación hace que la corriente a través de la bobina, ir , y el voltaje sobre ella er sean alternos y en función del ángulo de posición de la bobina

• El torque es del mismo sentido, pero cambia de magnitud.

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Motor DC2

• Para armaduras con múltiples bobinas la forma de onda del torque se aproxima a un valor constante con un rizado o “ripple”.

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Motor DC

• En motores pequeños el campo es generado por un imán permanente.

• En los demás motores es producido por una corriente de campo, que produce un flujo:

∅ = 𝐾𝑓𝑖𝑓

• Relación lineal para valores de if que no produzcan la saturación del núcleo.

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Motor DC2

• La densidad de flujo Bf varia en función del ángulo de rotación de la bobina θ.

• Bf se asume positiva bajo el polo ‘S’ y negativa bajo el polo ‘N’ y existe una zona de transición.

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Motor DC2

• En el conductor que se mueve en presencia del campo magnético del estator se induce una fuerza electro motriz o fem que también cambia de sentido.

• El arreglo conmutador / escobilla también ‘rectifica’ al voltaje inducido

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Motor DC2

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Motor DC

• Un rotor de radio r, con n conductores cada uno de longitud l, colocados bajo un flujo uniforme Bf y dispuestos en cuatro bobinas, la corriente de armadura se divide en dos circuitos paralelos, el torque es:

• Para un motor de imán permanente

2)( a

fem

iBnlrT

a

f

em inlrB

T2

)(

atem iKT 2

)( f

t

nlrBK

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Motor DC

• El momento producido es función lineal de la corriente ia

• El estator experimenta un torque igual pero de sentido contrario y por ello el motor se debe fijar a un soporte estático.

• La constante Kt se denomina la “constante de momento del motor” y es dada en las hojas de especificación del fabricante.

• En el sistema SI tiene unidades de [Nm/A] y en el sistema US [oz·in/A].

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Motor DC

• Para una velocidad ωm (rad/s) el voltaje inducido total se puede calcular multiplicando la fem inducida por conductor por n/2, número de conductores en serie en cada circuito paralelo:

𝑒𝑚 =𝑛𝑙𝑟𝐵𝑓

2𝜔𝑚 𝑒𝑚 = 𝐾𝑒𝜔𝑚

• El voltaje es proporcional a la velocidad y cambia de signo cuando cambia el sentido de giro.

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Motor DC

• Ke es la “Constante de voltaje del motor” [V/rad/s].

• En el sistema SI las constantes de torque Kt y de voltaje Ke son iguales:

2

)( f

ET

nlrBKK

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Motor DC3

• KVL para el circuito de armadura

• En el estado estable

m

a

aaaa edt

diLRie

meaaa WKRIE

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Motor DC

• El torque Tm desarrollado por el motor se divide en dos componentes básicas:

• Tl : Momento de la carga externa

• To : Perdidas internas del motor

o

T

L

T

A

A

oLm

TK

TK

i

i

TTT

11

K

)(

T

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Motor DC

• La forma más común de representar las características de un motor es por medio de la familia de curvas de velocidad, corriente, potencia y eficiencia vs torque.

• Las gráficas se construyen definiendo los 2 puntos extremos: Condición de no carga (No Load) y condición atorado (Stall) y trazando una línea recta.

O

TE

aL

TE

a

E

a

E

aaam T

KK

RT

KK

R

K

E

K

RIE

O

TE

a

E

aL

TE

am T

KK

R

K

ET

KK

R

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Motor DC4

El corte sobre el eje Y corresponde a la velocidad sin carga externa TL = 0:

La proyección en el eje Y’ corresponde al caso ideal del motor sin perdidas de torque (To = 0), velocidad sin carga teórica

o

TE

a

E

aNL T

KK

R

K

E

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Motor DC

• La velocidad del motor decrece cuando aumenta el torque de carga y aumenta con el voltaje aplicado.

• La pendiente de la curva velocidad-torque.

• Indica la capacidad de potencia del motor: a menor pendiente menos sensible es la velocidad del motor a las variaciones de carga.

L

m

TE

a

TKK

Rm

Nm

rpso

mNm

rpm

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Motor DC4

• La curva de Corriente - Torque es independiente del voltaje aplicado y se traza entre la corriente sin carga INL y la corriente con el motor atorado (IStall)

T

NLK

TI 0

T

stall

WASK

T

Ra

EaII

M

0

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Motor DC

• Los motores DC desarrollan el más alto momento cuando arrancan y consumen la mayor corriente.

• La curva de potencia mecánica vs torque se construye de las graficas de velocidad-torque: la potencia es igual al área del rectángulo bajo la línea ω -T.

• Para un voltaje nominal dado esta área es máxima para una velocidad igual a (ωNL/2) y un momento igual a (Tstall/2).

• La curva es una parábola cuyo máximo valor depende del cuadrado del voltaje aplicado.

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Motor DC5

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Motor DC

• El balance de la conversión electromecánica es:

• Para torque en mN-m y velocidad angular en rpm la potencia mecánica es:

calormecel PPP

2

AAmmAA IRTIV

mmmec TwP

30000

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Motor DC

• La eficiencia del motor

• Para un voltaje nominal aplicado, aumenta cuando ωm aumenta (Tm disminuye)

AA

MM

EL

mec

IE

T

P

P

AA

MM

IE

TW

30000

mmNenTrpmenW MM y

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Motor DC

• La máxima eficiencia es función del voltaje nominal aplicado:

• La eficiencia máxima ocurre aproximadamente en Tstall/7 y no coincide con el momento para potencia máxima (Tstall/2); por lo tanto se debe escoger entre operación a potencia mecánica máxima o eficiencia máxima.

2

1

S

NL

I

I

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Motor DC4

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Máquinas ideales y Transductores

• Motor eléctrico:

• Ecuación como motor:

• Ecuación como tacómetro:

(E1 )-Voltaje (F1)-Corriente

CorrienteTorque

iGM

MAQUINA IDEAL

(E2 )-Torque (M) (F2)-Velocidad Angular (ω)

VelocidadVoltaje

Ge

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Ejemplo 164

El manual de “Maxon DC Motor” en la página # 49, edición Abril 2006, para el motor “A-Max 22 - Code 110162” suministra la siguiente información:

..\..\..\Material_referencia\Motores\Maxon_Motor_Amax22_Spec.pdf

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Ejemplo 164

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Ejemplo 164

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Rango de operación4

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Ejemplo 174,6

maxon gear

Un motor va a manejar una carga inercial de J = 130000 g-cm2. El torque producido por la fricción es constante e igual a 300 mNm.

La carga se debe desplazar periódicamente según el perfil de velocidad dado.

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Ejemplo 174,6

• Seleccionar un juego de engranajes.

• Escoger un motor Maxon compatible.

• La fuente de alimentación disponible entrega 24V DC y una corriente máxima de 5 A. Especificar un amplificador lineal del catálogo Maxon™.

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Velocidad y posición3

a

L

a

m

aa

m

m

m

t

a

E

a

a

a

iy

T

e

J

Li

J

B

J

K

L

K

L

R

i

10

10

01

am

TBma

m

m

a

a

L

mam

a

am

TBma

m

m

a

a

a

am

T

LJ

KKBRs

J

B

L

Rs

sJ

sLJ

R

LJ

KKBRs

J

B

L

Rs

sELJ

K

sw

2

2

)(1

)(

)(

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Posición3

A

TEMA

m

m

A

A

L

mA

AA

Am

T

LJ

KKBRs

J

B

L

Rss

sTJ

s

L

RsE

LJ

K

s

ss

2

)()()(

)(

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Ejemplo 18

• Plantear el modelo de variables de estado y la función de transferencia de un motor DC controlado por armadura

)s(E/)s( A

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Referencias

1. Ali Keyhani Direct Current (DC) Machines - Part I. Lecture 7 - EE743. OSU

2. MOHAN Ned. Electric Drives: An Integrative Approach. Minneapolis: Mnpere. 2003.

3. CLOSE Charles, FREDERICK Dean and NEWELL Jonathan. Modeling and Analysis of Dynamic Systems. 3rd Edition. John Wiley & Sons. 2002.

4. Maxon Motor. Key Information on Maxon DC motor and Maxon EC motor. Edition April 2005.

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Referencias

5. Maxon. Maxon Gear Technical data. www.maxonmotor.com.

6. Faulhaber. Technical Information. 3rd 2011-2012 7. Franklin G.F; Powell J.D. and Emani naeni A. Feedback

Control of Dynamic Systems. 4th Edition. Upper Saddle River, NJ. 2006.

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