SIS

TE

MA

S D

E E

CU

AC

IÓN

S L

INE

AIS

escultura de George W. Hart

SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS

=+++===

++

++

++

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

b

b

xa

xa

xaxa

xaxa

xa

xa

332211

2

1

2

1

323222

313212

121

111

....

Chámase sistema de m ecuacións lineais con n incógnitas a un conxunto de igualdades da forma

onde x1 x2 x3 ....xn son as incógnitas, os números reais aij os coeficientes das incógnitas e os números bi son os termos independentes.Diremos que n números reais s1 s2 s3 ....sn son unha solución do sistema se cumpren todas as ecuacións do sistema.

Sistemas deecuacions lineais

Incompatible

Compatible

Non ten solución

Con solución Indeterminado

Solución única

Infinitas solucións

Tipos de sistemas

Determinado

Expresión matricial dun sistemaMATRIZ DE COEFICIENTES MATRIZ AMPLIADA

mmnmm

n

baaa

baaa

21

111211

O sistema anterior pódese escribir en forma matricial como A·X = B, sendo A a matriz de coeficientes, X a matriz columnas de incógnitas e B a matriz columna dos termos independentes.

=+++===

++

++

++

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

b

b

xa

xa

xaxa

xaxa

xa

xa

332211

2

1

2

1

323222

313212

121

111

....

=

mb

b

b

B

.....

.....2

1

=

nx

x

x

X....

2

1

=

mnmm

n

aaa

aaa

A

.........

........................

........................

.........................

.........

21

11211

TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

Rango(A) ≠Rango(A’)Sistema incompatible.(non ten solución)

Rango(A)=Rango (A’) = nº de incógnitas Sistema compatible determinado.

Rango(A)=Rango (A’)< nº de incógnitas Sistema compatible indeterminado.

REGRA DE CRAMER Chámase sistema de Cramer a un sistema de n

ecuacións lineais con n incógnitas e no que o rango de A sexa n.

Un sistema de Cramer é compatible.

O valor de cada incógnita obtense mediante a regra de Cramer:

O valor de xi é igual ao cociente do determinante da matriz que resulta ao substituír en A a columna i pola columna dos termos independentes, partido polo determinante da matriz de coeficientes.

Exemplo 1

O sistema é compatible determinado. Resolvémolo pola regra de Cramer

EXEMPLO 2

sigue→

Exemplo 2 continuación

Exemplo 3

=++=−−

=++

5

32

23

zymx

zyx

zmyx

−−=11

211

31

m

m

A

−−=

511

3211

231

*

m

m

A

42223231 22 ++−=−++−+−= mmmmmA

2104220 2 =−=⇒=++−⇒= mmmmA

..... continuación .....

Cando m ≠ -1 e m≠ 2 entón ran(A)=tan(A*)=·3= nº incógnitas SCD.

Resolvemos por Cramer

422

2613115

213

32

2 ++−+−=

−−

=mm

m

A

m

x422

261315

231

321

2 ++−+−=

−

=mm

m

A

my

2

3

422

63351

311

21

2

2

−=++−

−−=

−

=mm

mm

A

m

m

z

Exemplo 3 continuación

−−−

−=

111

211

311

A

−−−

−=

5111

3211

2311

*A

Cando m = −1:

rg(A) = 2

rg(

A*) = 3

O sistema é incompatible

−−=112

211

321

A

−−=

5112

3211

2321

*A

Cando m =2

rg(A) = 2 =rg(A*)

Compatible indeterminado

3

8 ,

3

51

tx

ty

+=+−=⇒

+=−−=+

=tyx

tyxtz

23

322,