Sistemas formales de Post

Roberto Moriyón

Sistemas Formales de Post

• Los introdujo Emile Post en la década de 1920 para estudiar propiedades de las funciones computables

• Se utilizan como formalismo básico de la Lógica Formal

Sistemas formales: Reglas

• Reglas de producción– <patrones-cond> <cadena-concl>

• Ejemplo (sistema MIU) // x,y(M+I+U)*

- xI xIU - Mx Mxx- xIIIy xUy - xUUUy xy

• Producción: Lo escribiremos usando – Ejemplo: MI MIUIUIUIU

(MI MIU MIUIU MIUIUIUIU)

Sistemas formales:Aplicación de reglas

• AplRegla(u, v, c) = Aplica(Encaje(u, c), v)

• Ejemplo sencillo:– xIIIy xUy, MIIII MUI, MIU

• Otro ejemplo:– xIIIx AxxxB, UUIIIUU AUUUUUUB

Aplicación de reglas: Ejercicio

• [APLICA] Construir cuatro programas que implementen las funciones encaje, aplica, aplRegla y anteriores, y otro que a partir de una sucesión de especificaciones de aplicación de la forma Ai Bi comprueba que mediante ellas se consigue la producción (sus tres argumentos deben ser la especificación y las cadenas y )

Sistemas formales: Axiomas

• Los axiomas son cadenas de partida para las cadenas producidas por el sistema

• Ejemplo: MI• Se puede generar MU a partir del sistema

anterior?

Sistemas formales: Axiomas

• Los axiomas son cadenas de partida para las cadenas producidas por el sistema

• Ejemplo: MI– MU no es producido por el sistema anterior– Todas las cadenas producidas por el sistema

anterior tienen un número de Ies que no es múltiplo de 3

• Ejercicio: Caracterizar las cadenas producidas por el sistema anterior

Sistemas formales:Axiomas, II

• Los axiomas pueden ser conjuntos infinitos si están definidos mediante patrones u otros sistemas formales

• Ejemplo: El conjunto infinito de axiomas xx se puede generar a partir de las reglas– xx 0x0x xx 1x1x

y de los axiomas– 00 11

Sistemas formales: Ejemplos

• Dada una gramática hay un sistema formal que genera el mismo lenguaje

Ejemplo: S ::= aSb | bSa | SS

xSy xaSby, xSy xbSay, xSy xSSy• Generación a partir de símbolos iguales:

– En una gramática dos símbolos terminales iguales pueden generar subpalabras distintas

– En un sistema formal dos variables de patrón iguales dan lugar subpalabras iguales

Sistemas formales: Ejemplos, II

• Suma (x, y, z -*)– Regla: x+y=z x+y-=z-– Axiomas: x+=x

• Multiplicación (x, y, z -*)– Regla: x*y=z x*y-=zx– Axiomas: x*=

Sistemas formales

• Las cadenas aceptadas por el sistema son las producidas por sus reglas que tienen determinados símbolos (alfabeto final)

• Por lo tanto, en un sistema formal hay que decir qué cadenas pueden sustituir a las variables y cuál es el alfabeto final

• Ejemplo: Números compuestos (números que no son primos):

Sistemas formales: Ejemplo III

• Números compuestos (x, y, z -*)– Reglas:

Las de la Multiplicación

x--*y--=z Cz– Axiomas: Los de la Multiplicación– Alfabeto final: {C, -}

Sistemas formales: Reglas con cabecera múltiple

Ejemplo:• I uvabuv

I cuvdxabx, cxd exe

I euve

Sistemas formales: Ejemplos, V

• No divide (x, y -+)– Regla: xNDy xNDxy– Axiomas: xyNDx– Alfabeto final: {ND, -}

• Sin divisores menores no triviales (x, z -+)– Reglas:

Las de No divide--NDz zSDM---zSDMx , xNDz zSDMx-

– Axiomas: Los de No divide– Alfabeto final: {S, D, M, -} // Excluido el caso xSDM--

Sistemas formales: Ejemplos VI

• Ejemplo: 5 no tiene divisores menores que 4--ND- (A1)--ND--- (R1)--ND----- (R1)-----SDM--- (R2) [4]---ND-- (A1)---ND----- (R1) [6]-----SDM---- ([4], [6], R3)

Sistemas formales: Ejemplos VII

• Primo (x, y -+)– Reglas:

Las de Sin divisores menoreszSDMz Pz

– Axiomas:Los de Sin divisores menoresP--

– Alfabeto final: {P, -}

Reglas con patrones como consecuentes

• Ejemplo:

xx xy• La variable de patrón y puede ser cualquier

cadena compatible con las restricciones impuestas por el sistema

• Los axiomas se pueden escribir como reglas sin antecedente (axioma)

• No es lo mismo que una regla con antecedente vacío (𝜆consecuente)

Sistemas formales:Definición final

• Conjunto de reglas de la forma – Consecuente: Patrón, (V)*– Antecedente: Cero, uno o más patrones

separados por comas

• Conjunto de restricciones sobre las variables de patrones: cada variable tiene asociado un sistema formal

• Alfabeto final f

Capacidad expresiva de los sistemas formales

• Los sistemas formales permiten expresar su propia capacidad de producción:Si a un sistema formal le añadimos el axioma

xxy, por regla suya de la forma AB, la regla

xA xBsiendo x una variable nueva, el sistema formal resultante es capaz de computar formalmente cuándo una cadena de caracteres se puede producir a partir de otra.

Capacidad expresiva de los sistemas formales: Ejemplo

• Se puede demostrar formalmente que en el sistema MIU

MI MIUIUIUIU,

pues en este caso las reglas para son- zxI zxIU - zMx zMxx

- zxIIIy zxUy - zxUUUy zxy

por lo que el sistema ampliado genera

MIMIUIUIUIU

Sistema formal universal

• Se puede definir un sistema formal universal, capaz de emular cualquier otro sistema formal, mediante una sola regla:

X, XY Y

En este sistema los axiomas están formados por los del sistema formal que se pretende emular más sus reglas, escritas en la forma XY.

Sistema formal universal, II

• Por ejemplo, para emular el sistema MIU mediante el sistema formal universal se utilizan los siguientes axiomas:– xIxIU– MxMxx– xIIIyxUy– xUUUyxy– MI

• Un sistema formal puede incluir la regla de emulación universal además de otras, así como reglas que permiten construir reglas nuevas en base a otras cadenas de caracteres.

Sistemas formales:Potencia computacional

• Las reglas de producción de sistemas formales permiten definir los mismos lenguajes que las gramáticas generales (todos los recursivamente enumerables)

• En muchos casos permiten hacerlo de manera mucho más sencilla

• Los lenguajes aceptados por sistemas formales son aceptados por máquinas de Turing (y viceversa)

Sistemas formales: Consideraciones informales

• Los lenguajes producidos por sistemas formales se pueden representar de manera informal como conjuntos ramificados, al estilo de un árbol, en el que las ramas hijas surgen de las antecesoras al aplicar las reglas

• El complementario del lenguaje producido por un sistema formal no tiene por qué ser producido por otro sistema formal (ejemplo: lenguaje asociado al problema de la parada)

Interpretación de un lenguaje formal

• En todos los ejemplos que hemos visto (salvo el primero) las palabras producidas por un sistema formal se pueden interpretar como afirmaciones.– Ejemplos: suma, multiplicación, composición,

no divide, sin divisores menores, primo, produce

• La interpretación nos indica el significado de las “frases” escritas en el lenguaje producido por el sistema.

Dominio de una interpretación de un lenguaje formal

• A menudo una interpretación asigna obje-tos de un conjunto a partes de la palabra de partida (ejemplo: en todos los sistemas que hemos visto aparecen números, excepto en el sistema extendido a partir de otro, en el que aparecen cadenas producidas), y afirmaciones acerca de esos objetos a las palabras completas.

• El conjunto de objetos asociado a una interpretación se llama el dominio de la misma.

Certeza de afirmaciones bajo una interpretación.

• Dada una interpretación de un sistema formal, se dice que una palabra producida por el sistema es cierta bajo ella si lo es su interpretación.

• Las palabras producidas por un sistema no son ciertas o falsas intrínsicamente, pues son simples cadenas de caracteres, sino dependiendo de su interpretación.

Interpretación y certeza: Ejemplo

• Consideramos el sistema formal siguiente:– Axioma:

01<0– Reglas:

x<yx1<y1

x<yx1<y

Interpretación y certeza: Ejemplo, II

• Bajo la interpretación de que cada palabra representa una desigualdad (mediante la relación “menor”) entre números naturales, que forman el dominio, ni el axioma ni ninguna de las palabras producidas son ciertos.

• La misma interpretación con “mayor” en vez de “menor”, hace que el axioma y todas las palabras producidas sean ciertos.

Consistencia, modelos

• Dado un sistema formal, es fundamental disponer de una interpretación en la que los axiomas y todas las palabras producidas sean ciertos. En ese caso se dice que la interpretación es un modelo del sistema.

Ejemplo: Postulados de Euclides

• Más adelante veremos que se puede definir un sistema formal que genera afirmaciones geométricas. En ese sistema los axiomas son los postulados de Euclides.

• El sistema formal de Euclides produce teoremas como la existencia de un punto común a las tres alturas de un triángulo y todas las propiedades de la Geometría plana habitualmente conocidas.

Interpretación habitual de los postulados de Euclides (adaptados)• El dominio habitual de la geometría euclídea plana

son los puntos, segmentos, rectas, semirrectas, circunferencias, ángulos y congruencias del plano. En el modelo habitual los postulados se interpretan como sigue:1. Dados dos puntos hay un único segmento que los une.2. Todo segmento está contenido en una recta única.3. Dados dos puntos hay una circunferencia única con

centro en el primero y que pasa por el segundo.4. Dos ángulos rectos son congruentes.5. Dados un punto y una recta hay otra recta única que

pasa por el punto y no corta a la recta inicial.

Interpretación: Ejemplo, II

• Durante siglos los geómetras intentaron demostrar que el último axioma es consecuencia de los anteriores.

• En el siglo XVIII, G. Saccheri intentó demostrarlo viendo que a partir de su negación y de los axiomas previos se llega a una contradicción. Desarrolló una geometría nueva, sin darse cuenta de ello, y finalmente decidió que sus conclusiones eran contradictorias con la idea de recta.

Interpretación: Ejemplo, III

• En el siglo XIX J. Bolyai y N. Lobachevski descubrieron que por ese procedimiento se definían geometrías nuevas de interés. Con ello se descubrió la Geometría Hiperbólica.

• A partir de un estudio sistemático de las geometrías posibles se descubrió también la Geometría Elíptica.

Validez de los postulados de Euclides en la Geometría Hiperbólica

• En el sistema formal asociado a los postulados de Euclides, el quinto postulado no es cierto bajo la interpretación de la Geometría Hiperbólica, pero sí lo es bajo la de la Geometría Euclídea.

• El espacio hiperbólico es un modelo de un sistema formal basado en los cuatro primeros postulados de Euclides y en la negación del quinto.

Geometría elíptica

• El espacio elíptico se puede representar con un dominio cuyos puntos son las direcciones del espacio tridimensional.

• Las rectas del espacio elíptico corresponden a las direcciones de un plano.

• El espacio elíptico es otro modelo del sistema formado por los cuatro primeros postulados de Euclides, pero no satisface el quinto postulado.

• Lo anterior demuestra que a veces puede haber más de un modelo, y eligiendo un axioma más se puede eliminar alguno de ellos.

Ejercicios obligatorios

Construir sistemas formales que produzcan los siguientes lenguajes:

• [FM3] Multiplicación por 3 en base 2 (ejemplo: T101=1111).

• [FM] Multiplicaciones en base 2 (ejemplo: 101*101=11001)

• [F0] x>y, donde y es 0 si x tiene algún 0 y 1 en caso contrario (ejemplo: 101>0; 111>1).

• [FS] x.y.z>u, donde y es un símbolo y u es el resultado de sustituir sus apariciones en x por z (ejemplo: 01101.1.11>01111011).

Ejercicios optativos

Construir sistemas formales que produzcan los siguientes lenguajes:

• [F1] x.y, donde y está formada por los unos de x. • [FS] x.y, donde y es la palabra simétrica de x

(estudiar el problema con distintos alfabetos).• [FD] xRy=z, donde x e y son números representados

por guiones y z es el resto de la división de x por y.• [FMCD] xMyDz, donde x e y son números

representados por guiones, y z es el máximo común divisor de x e y.

• [FF] xFy, donde x e y son números represen-tados por guiones e y es el factorial de x.