Sistemas Lineales
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Sistemas LinealesSistemas Lineales
http://www.fiec.espol.edu.ec
IntroducciónIntroducción
En la naturaleza existen muchos En la naturaleza existen muchos tipos de sistemas que desearíamos tipos de sistemas que desearíamos analizaranalizar
Afortunadamente la mayoría de esos Afortunadamente la mayoría de esos sistemas caen dentro de una sistemas caen dentro de una clasificaciónclasificación
Esa clasificación es la de sistemas Esa clasificación es la de sistemas lineales lineales
IntroducciónIntroducción
Los sistemas lineales se rigen por un Los sistemas lineales se rigen por un conjunto de propiedades que facilitan conjunto de propiedades que facilitan su estudio y análisissu estudio y análisis
Los sistemas no lineales son mucho Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizarmás difíciles de analizar
Es importante saber cuando un Es importante saber cuando un sistema se clasifica como sistema sistema se clasifica como sistema lineallineal
Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad
Los requerimientos para que una Los requerimientos para que una sistema sea lineal son:sistema sea lineal son:• HomogeneidadHomogeneidad• AditividadAditividad• Invariabilidad en el tiempoInvariabilidad en el tiempo
Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad
HomogeneidadHomogeneidad• Decimos que un sistema es homogéneo Decimos que un sistema es homogéneo
cuando un cambio en la amplitud de la cuando un cambio en la amplitud de la señal de entrada produce una variación señal de entrada produce una variación proporcional en la señal de salidaproporcional en la señal de salida
• Si una señal de entrada x[n] produce Si una señal de entrada x[n] produce una señal de salida y[n], una señal de una señal de salida y[n], una señal de entrada kx[n] dara lugar a una señal entrada kx[n] dara lugar a una señal ky[n]ky[n]
Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad
Si
Entonces
Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad
Ejemplo: una resistencia es un Ejemplo: una resistencia es un sistema homogéneo con respecto a sistema homogéneo con respecto a la corrientela corriente• Señal de entrada: voltaje aplicadoSeñal de entrada: voltaje aplicado• Señal de salida: intensidad de corrienteSeñal de salida: intensidad de corriente
Si duplicamos el voltaje entonces Si duplicamos el voltaje entonces duplicamos también la corrienteduplicamos también la corriente
No es homogéneo con respecto a la No es homogéneo con respecto a la potenciapotencia
Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad
AditividadAditividad• Un sistema es aditivo cuando la señal a Un sistema es aditivo cuando la señal a
la salida es igual a la suma de las la salida es igual a la suma de las salidas generadas por las diferentes salidas generadas por las diferentes señales de entradaseñales de entrada
• Si xSi x11[n] produce y[n] produce y11[n] y x[n] y x22[n] produce [n] produce yy22[n] entonces x[n] entonces x11[n]+x[n]+x22[n] produce y[n] produce y11[n][n]+y+y22[n][n]
Requerimientos de LinealidadRequerimientos de LinealidadSi
y
Entonces
Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad
Ejemplo:Ejemplo:• El teléfono es aditivo, porque si dos El teléfono es aditivo, porque si dos
personas hablan, del otro extremo se personas hablan, del otro extremo se puede distinguir las dos voces por puede distinguir las dos voces por separadoseparado
• No es aditiva la radio, porque al mezclar No es aditiva la radio, porque al mezclar la portadora con la señal que queremos la portadora con la señal que queremos transmitir, se funden de tal manera que transmitir, se funden de tal manera que queda solamente una señalqueda solamente una señal
Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad
Invariabilidad en el tiempoInvariabilidad en el tiempo• Significa que mover la señal de entrada Significa que mover la señal de entrada
en el tiempo produce un movimiento en el tiempo produce un movimiento idéntico en la señal de salidaidéntico en la señal de salida
• Si x[n] produce y[n] entonces Si x[n] produce y[n] entonces x[n + t] produce y[n + t]x[n + t] produce y[n + t]
Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad
Si
Entonces
Requerimientos de LinealidadRequerimientos de Linealidad
Ejemplo:Ejemplo:• Si decimos “hola” en el telefono, la otra Si decimos “hola” en el telefono, la otra
persona siempre escuchara “hola”, sin persona siempre escuchara “hola”, sin importar a que hora del día lo digaimportar a que hora del día lo diga
Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad
Matemáticamente para probar que Matemáticamente para probar que un sistema es lineal debemos un sistema es lineal debemos asegurarnos de que:asegurarnos de que:• Es homogéneoEs homogéneo• Es aditivoEs aditivo• Es invariable en el tiempoEs invariable en el tiempo
Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad
Pero en la práctica, es muy difícil Pero en la práctica, es muy difícil probar en un sistema del cual no probar en un sistema del cual no conocemos el funcionamientoconocemos el funcionamiento
Por eso usamos otras pruebasPor eso usamos otras pruebas• Linealidad estáticaLinealidad estática• Fidelidad sinusoidalFidelidad sinusoidal
Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad
Linealidad EstáticaLinealidad Estática• La linealidad estática solo significa que La linealidad estática solo significa que
la señal de salida no es más que la señal la señal de salida no es más que la señal de entrada multiplicada por una de entrada multiplicada por una constanteconstante
• Graficamos para varios valores de Graficamos para varios valores de entrada los valores que obtenemos a la entrada los valores que obtenemos a la salidasalida
• Ese gráfico debe ser una líneaEse gráfico debe ser una línea
Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad
Linealidad EstáticaLinealidad Estática
Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad
Linealidad EstáticaLinealidad Estática
Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad
Fidelidad sinusoidalFidelidad sinusoidal• Si la entrada de un sistema lineal es una Si la entrada de un sistema lineal es una
onda sinusoidal, la salida será también onda sinusoidal, la salida será también una onda sinusoidal con la misma una onda sinusoidal con la misma frecuenciafrecuencia
• Pueden diferir en amplitud y fasePueden diferir en amplitud y fase• Solo es válido para señales sinusoidalesSolo es válido para señales sinusoidales
Pruebas de LinealidadPruebas de Linealidad
Fidelidad sinusoidalFidelidad sinusoidal
SistemaLineal
Propiedades EspecialesPropiedades Especiales
La Linealidad es ConmutativaLa Linealidad es Conmutativa• Si colocamos dos sistemas en cascada, Si colocamos dos sistemas en cascada,
si los dos sistemas son lineales, el si los dos sistemas son lineales, el sistema total será también linealsistema total será también lineal
• Podemos intercambiar el orden de los Podemos intercambiar el orden de los sistemas sin que esto afecte al sistema sistemas sin que esto afecte al sistema totaltotal
Propiedades EspecialesPropiedades Especiales
Si
Entonces
Propiedades EspecialesPropiedades Especiales
De tal manera un sistema continuará De tal manera un sistema continuará siendo lineal si todos sus siendo lineal si todos sus componentes son lineales y las componentes son lineales y las operaciones realizadas entre ellos operaciones realizadas entre ellos son solamente de adiciónson solamente de adición
No importa que tan complejo sea el No importa que tan complejo sea el sistema ni cuantas entradas o salidas sistema ni cuantas entradas o salidas tengatenga
Propiedades EspecialesPropiedades Especiales
Propiedades EspecialesPropiedades Especiales
La multiplicación puede ser lineal o La multiplicación puede ser lineal o no, dependiendo que multipliquemosno, dependiendo que multipliquemos
Señal * constante = linealSeñal * constante = lineal Señal * Señal = no linealSeñal * Señal = no lineal
Lineal No Lineal
¿Qué veremos hoy?¿Qué veremos hoy?
IntroducciónIntroducción Requerimientos para la LinealidadRequerimientos para la Linealidad Pruebas Prácticas de LinealidadPruebas Prácticas de Linealidad Propiedades EspecialesPropiedades Especiales SuperposiciónSuperposición DecomposiciónDecomposición
SuperposiciónSuperposición
En un sistema lineal la única manera En un sistema lineal la única manera de combinar señales es escalandolas de combinar señales es escalandolas (multiplicar las señales por (multiplicar las señales por constantes) y después sumándolasconstantes) y después sumándolas
El proceso de combinar señales a El proceso de combinar señales a través del escalado y la suma se través del escalado y la suma se conoce como conoce como SíntesisSíntesis
SuperposiciónSuperposición
La La DescomposiciónDescomposición es la operación es la operación inversainversa
Una señal se puede dividir en dos o Una señal se puede dividir en dos o mas componentes que la formanmas componentes que la forman
Es más complejo que la síntesis Es más complejo que la síntesis porque hay muchas maneras de porque hay muchas maneras de descomponer señalesdescomponer señales
SuperposiciónSuperposición
+
+
Síntesis
Decomp.
SuperposiciónSuperposición Superposición es la estrategia con que Superposición es la estrategia con que
podemos analizar sistemas y señalespodemos analizar sistemas y señales Si una señal de entrada x[n], que produce Si una señal de entrada x[n], que produce
una señal de salida y[n] la una señal de salida y[n] la descomponemos en señales más simples descomponemos en señales más simples xx00[n], x[n], x11[n], x[n], x22[n],...[n],...
Y hacemos pasar cada una de estas Y hacemos pasar cada una de estas componentes por el sistema obteniendo componentes por el sistema obteniendo yy00[n], y[n], y11[n], y[n], y22[n],...[n],...
Sintetizando estas señales obtenemos y[n]Sintetizando estas señales obtenemos y[n]
SuperposiciónSuperposición
SistemaLineal
SuperposiciónSuperposición
SuperposiciónSuperposición
La señal de salida obtenida La señal de salida obtenida sintetizando las componentes es sintetizando las componentes es igual a la obtenida pasando la señal igual a la obtenida pasando la señal de entrada original por el sistemade entrada original por el sistema
En vez de tratar de comprender En vez de tratar de comprender como se comporta el sistema para como se comporta el sistema para señales complicadas, las dividimos señales complicadas, las dividimos en señales sencillas y sumamos sus en señales sencillas y sumamos sus respuestasrespuestas
¿Qué veremos hoy?¿Qué veremos hoy?
IntroducciónIntroducción Requerimientos para la LinealidadRequerimientos para la Linealidad Pruebas Prácticas de LinealidadPruebas Prácticas de Linealidad Propiedades EspecialesPropiedades Especiales SuperposiciónSuperposición DecomposiciónDecomposición
DecomposiciónDecomposición
Ha varios métodos para realizar la Ha varios métodos para realizar la descomposicióndescomposición• En impulsosEn impulsos• En pasosEn pasos• Par/ImparPar/Impar• EntrelazadaEntrelazada• FourierFourier
DecomposiciónDecomposición
En impulsos:En impulsos:• Divide la señal de N muestras en igual Divide la señal de N muestras en igual
número de señales, cada una con una número de señales, cada una con una muestra diferentemuestra diferente
• Es examinar la señal una muestra por Es examinar la señal una muestra por vezvez
• Si sabemos como el sistema responde a Si sabemos como el sistema responde a un impulso, podemos calcular como un impulso, podemos calcular como responde para cualquier señalresponde para cualquier señal
DecomposiciónDecomposición
DecomposiciónDecomposición
En pasos:En pasos:• Muy parecida a la por impulsos, pero Muy parecida a la por impulsos, pero
descomponemos la señal en funciones descomponemos la señal en funciones escaleraescalera
• Estas funciones escaleras tiene un valor Estas funciones escaleras tiene un valor de cambio de x[k] - x[k-1]de cambio de x[k] - x[k-1]
• Sirve para describir como cambia una Sirve para describir como cambia una señalseñal
DecomposiciónDecomposición
DescomposiciónDescomposición
Par/ImparPar/Impar• Dividimos una señal en sus muestras en Dividimos una señal en sus muestras en
dos componentes, una con simetría dos componentes, una con simetría impar y otra con simetría parimpar y otra con simetría par
2
][][][
nNxnxnxP
2
][][][
nNxnxnxI
DescomposiciónDescomposición
DescomposiciónDescomposición
EntrelazadaEntrelazada• Aquí simplemente dividimos la señal en Aquí simplemente dividimos la señal en
dos componentes, uno con las muestras dos componentes, uno con las muestras pares y otro con las imparespares y otro con las impares
• Puede parecer sencillo pero es el Puede parecer sencillo pero es el fundamente del cálculo de la FFTfundamente del cálculo de la FFT
• Cada componente tendra N/2 muestrasCada componente tendra N/2 muestras
DescomposiciónDescomposición
DescomposiciónDescomposición
FourierFourier• Una señal de N muestras puede ser Una señal de N muestras puede ser
descompuesta en N+2 señales, la mitad descompuesta en N+2 señales, la mitad cosenos y la mitad senos.cosenos y la mitad senos.
• La componente n completa n ciclos en N La componente n completa n ciclos en N muestrasmuestras
• Es la base para la transformada de Es la base para la transformada de FourierFourier
• Muy importante por la fidelidad sinusoidalMuy importante por la fidelidad sinusoidal
DescomposiciónDescomposición