26/05/08 Por Maximo Torrez 1

Sistemas Lineales

Lugar de Raíces

Lugar de Raíces

• Introducción• El método• Ejemplos

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Lugar de Raíces

• Introducción– La posibilidad de observar la ubicación de los polos en

el plano de Laplace, permite dar una interpretación sobre el comportamiento del sistema, y tendencias según variaciones de parámetros manipulables a voluntad o no dentro del sistema.

– El lugar de las raíces es un conjunto de líneas simétricas respecto al eje real que nacen en los polos en lazo abierto y acaban en los ceros en lazo abierto

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Lugar de Raíces

• Introducción

– Sea el sistema de segundo grado•

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Lugar de Raíces

• El método– Un sistema realimentado

– FT en lazo cerrado

– Ec característica– FT es función compleja

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Lugar de Raíces

• El método– Ec. Característica

– De tal manera se puede pensar

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Lugar de Raíces

• El método1. Polos y ceros en lazo

abierto

• En cuando a los puntos de salida, son los polos del sistema cuando K = 0

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Lugar de Raíces

• El método1. Polos y ceros en lazo

abierto

• Los puntos de llegada del lugar de las raíces se obtienen cuando K = ∞ y coinciden con los ceros en lazo abierto

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Lugar de Raíces

• El método1. Asíntotas

• Si el número de polos no coincide con el número de ceros, aparecen en el lugar de las raíces tantas asíntotas como diferencia entre polos y ceros. Es decir, el número de asíntotas es n menos m. Todas las asíntotas se cortan en un único punto del eje real y ángulo , que se calcula de la forma

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Lugar de Raíces

• El método1. Puntos de ruptura

• En un punto del lugar de las raíces se pueden juntar varios polos del sistema. Se juntan siguiendo una dirección y se separan siguiendo otra diferente. Son los llamados puntos de ruptura y se buscan entre las raíces de la ecuación

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Lugar de Raíces

• El método1. Puntos de corte con el eje imaginario

1. Se emplea el criterio de Routh - Hurwitz. • Primero se encuentra la ganancia crítica del sistema, si

existe. • Posteriormente se sustituye este valor en la tabla del

método de Routh-Hurwitz. Se anulará una de las filas de la tabla y, con la fila inmediatamente superior, se construye el polinomio auxiliar en s, cuyas raíces son los puntos de corte con el eje imaginario

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Lugar de Raíces

• El método1. Ángulos de salida y llegada– Para ello se aplica la condición del argumento

en un punto q muy próximo al polo o cero objeto de estudio

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• Ejemplos

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