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SISTEMAS

LINEARES Aulas 01 a 04

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário EQUAÇÕES LINEARES ................................................. 1

Exemplo 1 ..................................................................................................................................................... 1

Exemplo 2 ..................................................................................................................................................... 1

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 1

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR ........................................................................................................... 1

Exemplo 3 ..................................................................................................................................................... 1


SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ............................. 1

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ..................................................................................... 1


2.1. Verifique se a terna ordenada 1; 2; 3 é uma solução do sistema linear

6

2 3 9

2 0

x y z

x y z

x y z

. .................... 2

Exemplo 1 ..................................................................................................................................................... 2

Exemplo 2 ..................................................................................................................................................... 2

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA ................................................................................................................... 2

REPRESENTAÇÃO MATRICIAL ........................................................................................................................ 2


ESCALONAMENTO ..................................................... 3

SISTEMA ESCALONADO ................................................................................................................................. 3

Diz-se que um sistema está escalonado se o número de coeficientes igual a zero antes do primeiro coeficiente não

nulo aumenta a cada equação. ...................................................................................................................... 3

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL............................................................................................................................ 3

ESCALONAMENTO......................................................................................................................................... 3


CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA ................................................................................................................... 4


PROBLEMAS ............................................................... 4

PROBLEMAS .................................................................................................................................................. 4

REGRA DE CRAMER .................................................... 5


DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR .......................... 5


QUESTÕES EXTRAS ........................................................................................................................................ 6

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

AULA 01 EQUAÇÕES LINEARES

Denomina-se equação linear nas incógnitas

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 toda equação do tipo

𝑎1 ⋅ 𝑥1 + 𝑎2 ⋅ 𝑥2 + … + 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 = 𝑏,

em que 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são denominados coeficientes

reais e 𝑏 ∈ ℝ é denominado termo independente.

Exemplo 1

As equações a seguir são exemplos de

equações lineares

• 1 2 32 5 7 3x x x

• 1 2 3 4 1x x x x

• 2 3 4 2x y z w

• 0p q r

Obs.1: Quando o termo independente de equação é

nulo, a mesma é dita equação homogênea.

Exemplo 2

As equações a seguir não são exemplos de

equações lineares

• 1 2 35 1x x x

• 21 2 1x x

• 2

3 2x zy

Obs.2: Usualmente denotamos as variáveis com as

letras 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, … .

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Verifique em cada caso a seguir se a equação

apresentada é linear.

a) 2 5 3 2x y z

b) 3 2x y z

c) 3 2x y

d) 2 5 0m n

e) 2 3

0z wx y

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Uma sequência de números reais (𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) é

uma solução da equação linear

𝑎1 ⋅ 𝑥1 + 𝑎2 ⋅ 𝑥2 + … + 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 = 𝑏,

se, e somente se,

𝑎1 ⋅ 𝛼1 + 𝑎2 ⋅ 𝛼2 + … + 𝑎𝑛 ⋅ 𝛼𝑛 = 𝑏,.

Exemplo 3

A terna ordenada 2, 1, 1 é solução da equação

2 3 8x y z , pois 2 2 1 3 1 8 .

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.2. Dada a equação linear 2 3 5x y verifique se os

pares ordenados a seguir são soluções

a) 1, 1

b) 4, 1

c) 2, 1

1.3. Determine 𝑚 ∈ ℝ de forma que o par ordenando

1,m m seja solução da equação 3 2 5x y .

1.4. Determine uma solução geral da equação 𝑥 +

3𝑦 = 2 em função de um parâmetro real 𝛼 ∈ ℝ.

1.5. Se um estudante tem em seu cofre muitas

moedas de 10 e de 25 centavos, de quantas maneiras

distintas pode pagar seu lanche que custou R$ 2,65

com essas moedas.

AULA 02 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Um conjunto de duas ou mais equações lineares é

denominado sistema de equações lineares.

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

S a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES

LINEARES Uma sequência de números reais (𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) é

uma solução de um sistema linear se, e somente se,

EQUAÇÃO

HOMOGÊNEA

TAREFA 1 – No capítulo “Equações lineares”, fazer

PSA 1 e 2.


ela é uma solução de todas as equações desse

sistema.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.1. Verifique se a terna ordenada 1; 2; 3 é uma

solução do sistema linear

6

2 3 9

2 0

x y z

x y z

x y z

.

Exemplo 1

O sistema de equações {𝑥 − 𝑦 = −3𝑥 − 𝑦 = 5

não

admite solução real, visto que é impossível que a

subtração de dois números reais seja igual a −3 e 5 ao

mesmo tempo.

Exemplo 2

O sistema de equações {𝑥 − 𝑦 = 0

2𝑥 − 2𝑦 = 0 admite

infinitas soluções, como por exemplo (0; 0) e (1; 1).

Obs.3: Quando os termos independentes 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛

forem iguais a zero, o sistema linear denomina-se

sistema linear homogêneo. Todo sistema homogêneo

admite a solução trivial (0; 0; … ; 0).

Obs.4: Não necessariamente um sistema admite

solução única. Ele pode não ter solução ou ter infinitas

soluções.

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA Podemos classificar um sistema, quanto as suas

soluções, dentre as seguintes categorias.

• Sistema Possível e Determinado (SPD): uma única

solução.

• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): terá

infinitas soluções.

• Sistema Impossível (SI): não tem solução, ou seja,

seu conjunto solução será vazio.

REPRESENTAÇÃO MATRICIAL A cada sistema linear podemos associar três matrizes

que resumem o sistema: a matriz dos coeficientes, a

matriz das incógnitas e a matriz dos termos

independentes.

No sistema 𝑆 a seguir temos associado a ele a matriz

dos coeficientes 𝐴, das incógnitas 𝑋 e dos termos

independentes 𝐵.

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

S a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

,

1

2

3

n

x

x

X x

x

e

1

2

3

m

b

b

B b

b

Observe que assim o sistema S pode ser escrito como

uma operação entre essas matrizes, ou seja, A X B .

11 12 13 1 1 1

21 22 23 2 2 2

31 32 33 3 3 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn n m

a a a a x b

a a a a x b

a a a a x b

a a a a x b

Exemplo 1

Considere o sistema linear

2 3 5 3

2 2

2 1

x y z

x y z

y z

,

podemos escrevê-lo da forma a seguir.

2 3 5 3

1 2 1 2

0 1 2 1

x

y

z

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.2. Reescreva os sistemas lineares a seguir utilizando

suas matrizes associadas.

a)

3 5

7 5 6

0

x y z

x y z

x y z

MATRIZ DOS

TERMOS

INDEPENDENTES

MATRIZ DOS

COEFICIENTES

MATRIZ DAS

INCÓGNITAS


b)

2 2 1

3

3 2

x y z

x z

y z

c)

1

7 2

1

x z

x y

y z

AULA 03

ESCALONAMENTO

SISTEMA ESCALONADO Diz-se que um sistema está escalonado se o número

de coeficientes igual a zero antes do primeiro

coeficiente não nulo aumenta a cada equação.

Exemplo 1

Os sistemas lineares a seguir são exemplos de

sistemas lineares escalonados

•

2 3 5 3

2 2

2 1

x y z

y z

z

,

•

5 0

2 3 1

2 5

x y z w

y z w

z w

• 2 3

2

x y z w

z w

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL

3.1. Resolva, em ℝ, o sistema

2 3 5 3

2 2

2 1

x y z

y z

z

.

ESCALONAMENTO

Escalonar um sistema é fazer combinações lineares

com suas equações até obter um sistema equivalente

na forma escalonada.

PASSO A PASSO

1. Utilizando a primeira equação faça

combinações lineares com as equações

seguintes de modo a zerar o coeficiente da

primeira incógnita de todas elas.

2. Do novo sistema utilizando a segunda

equação faça combinação linear com as

demais equações de modo a zerar o

coeficiente da segunda incógnita de todas

elas.

3. Repita o processo para cada equação até

obter um sistema escalonado.

Exemplo 2

Vamos escalonar o sistema linear a seguir

3 2 1 (I)

2 3 (II)

3 2 5 (III)

x y z

x y z

x y z

1º: Com a 1ª equação vamos zerar os coeficientes de x

nas equações seguintes. Para isso faça o seguinte:

•

2 6 4 2

2 (I) (II) 2 3

5 3 1

x y z

x y z

y z

•

3 9 6 3

3 (I) (III) 3 2 5

8 8 8

1

x y z

x y z

y z

y z

3 2 1 (I)

5 3 1 (II)

1 (III)

x y z

y z

y z

2º: Com a 2ª equação vamos zerar os coeficientes de y

na equação seguinte. Para isso faça o seguinte:

•

5 3 1

(II) 5 (III) 5 5 5

2 6

3

y z

y z

z

z

Obtendo assim o sistema na forma escalonada.

3 2 1

5 3 1

3

x y z

y z

z

Uma vez na forma escalonada fica fácil determinar a

solução do sistema, basta substituir as soluções

obtidas nas equações da última para a primeira.

Assim, no exemplo acima podemos determinar a

seguinte solução.


PSA 3 e 4.


3 5 3 3 1 2

3 e y=2 3 2 2 3 1 1

1, 2, 3

z y y

z x x

S

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.2. Escalone e resolva os sistemas lineares a seguir

a)

2 1

3 5 2 4

3 3 1

x y z

x y z

x y z

b)

2 1

3 2 1

3 1

x y z

x y z

x y z

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA Podemos classificar o sistema entre SPD, SPI e SI no

meio de escalonamento:

• Sistema Possível e Determinado pode ser

identificado quando for obtido uma solução única

ao fim do processo.

• Sistema Possível e Indeterminado pode ser

identificado quando uma vez escrito na forma

escalonada o número de equações for menor que

o número de incógnitas.

• Sistema Impossível pode ser identificado quando

no processo de escalonamento do sistema

acontecer algum absurdo (do tipo 0 = 2).

Obs.1: As incógnitas que não iniciam nenhumas das

equações de um sistema linear escalonado são

chamadas de variáveis independentes e são a elas que

atribuímos valores para resolver um sistema possível

indeterminado.

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.3. Escalone, classifique e resolva os sistemas

lineares a seguir.

a)

2 1

2 1

2 3 4

x y z

x y z

x y z

b)

2 1

2 1

2 7 5 2

x y z

x y z

x y z

c)

2 3 2

2 3 1

3 8 5

x y z

x y z

x y z

d)

AULA 04

PROBLEMAS

PROBLEMAS 4.1. Uma loja de doces vende brigadeiro, bombom e trufa.

Sabe-se que um brigadeiro custa 𝑅$2,00, um bombom

𝑅$4,00 e uma trufa 𝑅$3,00. Um cliente comprou 100

doces, gastando 𝑅$280 reais. Se o total de brigadeiros

comprados é igual a soma das quantidades dos outros dois

doces. então o número de trufas compradas foi

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E)30

4.2. De quantas maneiras pode-se comprar selos de 3

reais e de 5 reais de modo que se gaste 50 reais.

4.3. Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram

pagos 31 escudos por cavalo e 20 por boi e sabe-se

que todos os bois custaram 7 escudos a mais do que

todos os cavalos. Determine quantos cavalos e

quantos bois foram comprados, sabendo que o

número de bois está entre 30 e 45.

Resolução de um sistema possível indeterminado

Considere o sistema 5

2 1

x y z

y z

, observe que ele

está na sua forma escalonada e que o número de

equações é menor que o número de incógnitas, assim

esse sistema é possível e indeterminado (SPI).

Observe que para cada valor de 𝑧 que escolhermos

encontraremos um único valor de 𝑥 e 𝑦 que resolve o

sistema. Assim vamos escolher um valor arbitrário

para 𝑧, por exemplo, tomemos z , com 𝛼 ∈ ℝ.

Assim, o sistema ficará da seguinte forma:

5

1 2

x y

y

Se substituirmos o valor de y na primeira equação

teremos o seguinte

1 2 5 4x x

Temos assim os valores de x, y e z em função de um

valor escolhido. Podemos então escrever a

solução geral desse sistema na forma.

𝑆 = {(4 − 𝛼, 1 + 2𝛼, 𝛼); 𝛼 ∈ ℝ}


PSA 5 a 10.


AULA 05

REGRA DE CRAMER A regra de Cramer utiliza o cálculo de determinantes

para determinar as incógnitas de um sistema linear.

PASSO A PASSO

1. Calcule o determinante, D , da matriz dos

coeficientes do sistema.

2. Na matriz dos coeficientes, substitua a

coluna dos coeficientes de x pela coluna dos

termos independentes e calcule o seu

determinante, xD .

3. O valor da incógnita 𝒙 será dado por xDx

D .

4. Repita o processo para cada incógnita do

sistema.

Exemplo 1

Vamos determinar a solução , ,x y z do sistema

3 2 1

2 3

3 2 5

x y z

x y z

x y z

1º: Vamos calcular o determinante, D, da matriz dos

coeficientes.

1 3 2

2 1 1 2 9 4 6 12 1 16

3 1 2

D

2º: Calcule , ,x y zD D D

1 3 2

3 1 1 2 15 6 10 18 1 16

5 1 2xD

1 1 2

2 3 1 6 3 20 18 4 5 32

3 5 2yD

1 3 1

2 1 3 5 27 2 3 30 3 48

3 1 5zD

2º: Calcule , ,x y z

161

16xD

xD

322

16

yDy

D

483

16zD

zD

Portanto, 1, 2, 3S

Obs.1: Só será possível resolver um sistema utilizando

a regra de Cramer se o determinante da matriz dos

coeficientes for diferente de zero, e nesse caso o

sistema será possível e determinado.

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 5.1. Resolva, utilizando a regra de Cramer, os sistemas

lineares a seguir.

a) 2 3 1

3 4 1

x y

x y

b)

2 3 9

3 4 3 5

5 10 5 5

x y z

x y z

x y z

5.2. Uma distribuidora de lanches vende suco, misto-

quente e hambúrguer. Sabe-se que o preço de um

suco é R$ 1,00, um misto quente R$ 2,00 e um

hambúrguer é R$ 4,00. Uma lanchonete comprou 60

desses três produtos da distribuidora, gastando R$

170,00. Se o total de sucos comprados é igual à

diferença entre a quantidade de hambúrgueres e

mistos-quentes comprados, nessa ordem, então o

número de mistos-quentes comprados foi igual a

A) 5. B) 10. C)20. D)30. E)50.

AULA 06

DISCUSSÃO DE UM

SISTEMA LINEAR Discutir um sistema em função de um parâmetro real

k é dizer para quais valores de k o sistema será

possível e determinado (SPD), possível e

indeterminado (SPI) e impossível (SI).

PASSO A PASSO

1. Calcule o determinante, D , da matriz dos

coeficientes do sistema.

2. Quando 0D temos que o sistema será

possível e determinado.

3. Quando 0D temos que o sistema será

possível e indeterminado ou impossível.


4. Escalone o sistema após substituir o valor do

parâmetro que zera o determinante para

decidir se o sistema será SPI ou SI.

Exemplo 1

Vamos discutir o sistema a seguir em função do

parâmetro real k

3 1

2 3

x y

x ky

1º: Vamos calcular o determinante, D, da matriz dos

coeficientes.

1 36

2D k

k

2º: Verifique para quais valores de k temos 0D .

0 6 0 6D k k

Ou seja,

• 6k SPD

• 6 ou k SPI SI

3º: Para o caso 6k decida se o sistema é SPI ou SI,

utilizando o escalonamento.

3 1

22 6 3

3 1

0 1

x yI II

x y

x y

Logo o sistema é impossível para 6k .

Assim, 6

6

k SPD

k SI

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Discuta, em função do parâmetro real k, os

sistemas lineares a seguir.

a) 2 3 1

3 2

x y

x ky

b)

3 2

4 3 3

2 13 3

x y z

x y z

x y kz

c)

4

2 3

2 3 1 1

x y z

x ky z

x y k z

6.2. Discuta, em função dos parâmetros reais m e n, o

sistema linear a seguir.

2 3x y

x my n

6.3. Determine o valor do parâmetro real k de modo

que o sistema linear homogêneo a seguir admita

apenas a solução trivial.

2 3 0

2 0

0

x y z

x y z

x y kz

EXTRA

QUESTÕES EXTRAS 1. Em um restaurante, há 16 mesas e 62 fregueses,

todos sentados. Algumas mesas estão ocupadas por

cinco fregueses e as demais, por dois fregueses.

Sendo x o número de mesas ocupadas por cinco

fregueses e y o número de mesas ocupadas por dois

fregueses determine x y .

2. Classifique e determine o conjunto-solução,

emℝ × ℝ, do sistema

2 4

33 6

2

x y

xy

, nas incógnitas x

e y.

3. João entrou em uma lanchonete e pediu três

hambúrgueres, um suco de laranja e duas cocadas,

gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas

pediram oito hambúrgueres, três sucos de laranja e

cinco cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo que o

preço de um hambúrguer, mais o de um suco de

laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00,

determine o preço, em reais, de um hambúrguer.

4. Determine o valor real de m para que o sistema

0

2 3 0

4 0

x y z

x y z

x my z

seja SPI.

5. Em um processo seletivo contendo 40 questões objetivas, para cada resposta correta ganha-se 4

TAREFA 4 – Do capítulo "Sistemas lineares -

discussão" fazer PSA 1 a 6, 10 e 12.


pontos e, para cada resposta errada, perde-se 2 pontos. Se um candidato respondeu todas as questões e obteve 100 pontos, quantas questões ele acertou?

6. Classifique e determine o conjunto-solução do

sistema {𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5

𝑦 − 𝑧 = 62𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 10

.

7. Julgue os itens

Na confecção de ursos, coelhos e elefantes de pelúcia, uma indústria utiliza três tipos de materiais: tecido, espuma e plástico. A quantidade de material usado na fabricação de cada um desses brinquedos está indicada na tabela acima, onde 𝑝 ∈ ℝ+

∗ . Nessa indústria, um funcionário, para produzir 𝑥 ursos, 𝑦 coelhos e 𝑧 elefantes de pelúcia em um dia de trabalho, utiliza 3 kg de plástico; 4,4 kg de tecido e 5,2 kg de espuma. 1. Se 𝑝 = 100, então o referido funcionário produziu mais ursos do que elefantes em um dia de trabalho. 2. Para qualquer valor de 𝑝 ∈ ℝ+

∗ o número de ursos, elefantes e coelhos produzidos pelo referido funcionário será único e possível de determinar.

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) linear b) linear c) linear d) não linear e) não

linear

1.2. a) é solução b) é solução c) não é solução

1.3. 𝑚 =2

5

1.4. 𝑆 = {(2 − 3𝛼; 𝛼); 𝛼 ∈ ℝ

1.5. 4 maneiras distintas

2.1. É solução

2.2. a) (1 3 −17 5 1

−1 1 −1) (

𝑥𝑦𝑧

) = (560

)

b) (2 1 −21 0 10 3 −1

) (𝑥𝑦𝑧

) = (1

−32

)

c) (1 0 −17 1 00 1 −1

) (𝑥𝑦𝑧

) = (−121

)

3.1. 𝑆 = {(17

8;

5

4;

1

2)}

3.2. a) 𝑆 = {(4; 2; 1)} b) 𝑆 = {−1; 0; 2}

3.3. a) SPD 𝑆 = {(0; 1; 1)}b) SPI 𝑆 = {(1 − 𝛼; 𝛼; 𝛼)}

c) SI 𝑆 = ∅

4.1. C

4.2. 𝑆 = {(7; 5); (4; 10); (1; 15)}

4.3. Bois: 36 cavalos: 23

5.1. a) 𝑆 = {(−7; 5)} b) 𝑆 = {(3; 1; 0)}

5.2. C

6.1. a) {𝑘 =

9

2⇒ 𝑆𝐼

𝑘 ≠9

2⇒ 𝑆𝑃𝐷

b) {𝑘 = 6 ⇒ 𝑆𝑃𝐼𝑘 ≠ 6 ⇒ 𝑆𝑃𝐷

c) {𝑘 = −2 ⇒ 𝑆𝑃𝐼𝑘 ≠ −2 ⇒ 𝑆𝑃𝐷

6.2. {𝑚 ≠ −2 ⇒ 𝑆𝑃𝐷

𝑚 = 2 𝑒 𝑛 = −3 ⇒ 𝑆𝑃𝐼𝑚 = 2 𝑒 𝑛 ≠ −3 ⇒ 𝑆𝐼

6.3 𝑘 ≠ 0

QUESTÕES EXTRAS 1. 60

2. SPI 𝑆 = (4 + 2𝛼; 𝛼)} ; 𝛼 ∈ ℝ

3. R$ 4

4. 𝑚 = 2

5. 30

6. SPI 𝑆 = {(−1 + 𝛼; 6 + 𝛼; 𝛼)}𝛼 ∈ ℝ

7. EC

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