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Sistemas Vibratorios de un Grado de Libertad Sujetos a Vibraci´ on Libre Amortiguada. Jos´ e Mar´ ıa Rico Mart´ ınez Departamento de Ingenier´ ıa Mec´ anica Facultad de Ingenier´ ıa Mec´ anica El´ ectrica y Electr´ onica Universidad de Guanajuato Salamanca, Gto. 38730, M´ exico email: [email protected] 1 Introducci´ on En estas notas se presentan los fundamentos te´ oricos de los sistemas vibra- torios de un grado de libertad sujetos a vibraci´ on libre amortiguada. El objetivo de estas notases su empleo como un auxiliar did´actico en loscursos de vibraciones mec´anicas. 2 Sistemas Vibratorios Discretos y Continuos, Grados de Libertad de un Sistema Vibra- torio. Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibraci´ on libre amortiguada, vea figura 1. Este modelo incluye adem´ as de una masa y un elemento el´ astico, que almacenan energ´ ıa, un amortiguador que disipa energ´ ıa. De manera que este modelo predice que un sistema vibratorio su- jeto a vibraci´ on libre amortiguada, eventualemente regresa a su posici´ on de equilibrio, un fen´ omeno que se observa en la realidad, de manera que los resultados que predice este modelo, son mas realistas que en el caso de un sistema vibratorio sujeto a vibraci´ on libre no amortiguada. 1

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Sistemas Vibratorios de un Grado de LibertadSujetos a Vibracion Libre Amortiguada.

Jose Marıa Rico MartınezDepartamento de Ingenierıa Mecanica

Facultad de Ingenierıa Mecanica Electrica y ElectronicaUniversidad de Guanajuato

Salamanca, Gto. 38730, Mexicoemail: [email protected]

1 Introduccion

En estas notas se presentan los fundamentos teoricos de los sistemas vibra-torios de un grado de libertad sujetos a vibracion libre amortiguada. Elobjetivo de estas notas es su empleo como un auxiliar didactico en los cursosde vibraciones mecanicas.

2 Sistemas Vibratorios Discretos y Continuos,

Grados de Libertad de un Sistema Vibra-

torio.

Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibracionlibre amortiguada, vea figura 1. Este modelo incluye ademas de una masay un elemento elastico, que almacenan energıa, un amortiguador que disipaenergıa. De manera que este modelo predice que un sistema vibratorio su-jeto a vibracion libre amortiguada, eventualemente regresa a su posicion deequilibrio, un fenomeno que se observa en la realidad, de manera que losresultados que predice este modelo, son mas realistas que en el caso de unsistema vibratorio sujeto a vibracion libre no amortiguada.

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Figure 1: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Amortiguado.

Las suposiciones de este modelo son:

1. La masa del sistema es constante y totalmente rıgida, se denomina M .

2. El resorte es lineal y de masa despreciable, por lo tanto es posibledescribir el resorte mediante una unica constante, denominada la con-stante del resorte, k. De manera que la relacion entre la fuerza y ladeformacion del resorte esta dada por

F = k δ, (1)

donde F es la fuerza del resorte y δ es la deformacion del resorte.

3. El amortiguamiento presente en el sistema es de masa despreciable,totalmente rıgido, y lineal, por lo tanto es posible describir el amor-tiguador mediante una unica constante, denominada la constante delamortiguador c. De manera que la relacion entre la fuerza y la diferen-cia de velocidad entre las terminales del amortiguador esta dada por

F = c v, (2)

donde F es la fuerza del amortiguador y v es la velocidad entre lasterminales del amortiguador.1

1Un amortiguador satisface estos requisitos cuando el flujo entre las superficies delamortiguador es laminar o viscoso, esto ocurre para valores del numero de Reynoldsmenores a 2000.

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4. El movimiento de la masa es translacion rectilınea.

A fın de lograr que la traslacion de la masa sea rectilınea, es frecuente queel sistema emplee guıas, en cuyo caso debe suponerse que las guıas estancompletamente libres de friccion o bien, en este caso, la friccion es lineal ysu efecto esta ya incluido en el coeficiente c considerado en el punto 3.

A fın de obtener la ecuacion del movimiento del sistema, se parte deposicion de equilibrio estatico del sistema. En esta posicion, la deformacionestatica del resorte esta dada por2

δest =M g

k(3)

Para obtener la ecuacion de movimiento del sistema. Suponga que a partirde la posicion de equilibrio del sistema, el sistema se separa de su posicion deequilibrio una distancia y(t) comprimiendo el resorte y se le da una velocidaddada por y(t) en la direccion positiva. Entonces, aplicando la segunda ley deNewton, se tiene que3

ΣFy = Md2 y(t)

d t2− M g + k (δest − y(t)) − c

d y(t)

d t= M

d2 y(t)

d t2,

o

−M g + k δest − k y(t) − cd y(t)

d t= M

d2 y(t)

d t2.

Por lo tanto, sustituyendo la ecuacion (3) que determina la deformacionestatica del resorte, se obtiene la ecuacion de movimiento del sistema vibra-torio

Md2y

dt2+ c

dy

dt+ ky = 0. (4)

Donde, M es la masa del sistema, k es la constante del resorte, c es laconstante del amortiguador, y es la variable que representa el movimiento dela partıcula y t es el tiempo.

Nuevamente, se propone como solucion la funcion

y(t) = C eλ t

2Es importante senalar que el amortiguador no responde a la deformacion si no a lavelocidad; de manera que en la posicion de equilibrio estatico la fuerza del amortiguadores nula.

3Ademas se supondra que y(t) < δest, de manera que el resorte esta sujeto a tension.

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De manera que su primera y segunda derivada estan dadas por

d y(t)

d t=

d C eλ t

d t= C λ eλ t,

d2 y(t)

d t2=

d C λ eλ t

d t= C λ2 eλ t

Sustituyendo estos resultados en la ecuacion (4) se tiene que

MC λ2 eλ t + cC λ eλ t + kC eλ t ≡ 0 ∀ t ≥ 0.

Rearreglando la ecuacion se llega a

C eλ t(M λ2 + c λ + k

)≡ 0 ∀ t ≥ 0.

Es posible considerar tres posibles casos

1. C = 0, este caso es matematicamente posible, pero su significado fısicoconduce a que la solucion de la ecuacion esta dada por

y(t) = Ceλ t = 0 eλ t ≡ 0 ∀t ≥ 0.

Este resultado indica que el sistema continua en reposo, una solucionperfectamente factible pero que no es interesante.

2. eλ t ≡ 0 ∀t ≥ 0, esta solucion es matematicamente imposible puespara t = 0, se tiene que

y(0) = eλ 0 = e0 = 1 �= 0.

3. La ultima opcion, es la importante y se obtiene la ecuacion carac-terıstica del sistema, dada por

M λ2 + c λ + k = 0 (5)

La solucion de la ecuacion caracterıtica del sistema, (5), conduce a lassoluciones de λ dadas por

λ =−c ±√

c2 − 4 M k

2 M= − c

2 M±√(

c

2 M

)2

− k

M. (6)

Ası pues, las dos soluciones de la ecuacion diferencial estan dadas por

y1(t) = C1 e−c

2 Mte

√( c

2 M )2− k

Mt

y y2(t) = C2 e−c

2 Mte

−√

( c2 M )

2− kM

t

(7)

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Es posible decir que las soluciones dadas por la ecuacion (7) permitendeterminar la solucion general del sistema, sin embargo, es conveniente dis-tinguir tres casos particulares.

1. Sistemas Sobreamortiguados. En este primer caso

c2 − 4 M k > 0,

por lo tanto la raiz cuadrada es real

√(c

2 M

)2

− k

M∈ �,

ademasc

2 M>

√(c

2 M

)2

− k

M.

Resumiendo, en este caso las dos soluciones son negativas

0 > λ1 = − c

2 M+

√(c

2 M

)2

− k

M> − c

2 M−√(

c

2 M

)2

− k

M= λ2,

(8)y 0 > λ1 > λ2. La solucion general de la ecuacion de movimiento delsistema vibratorio amortiguado, es en este caso,

yG(t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t. (9)

Puede probarse que el sistema no vibra, de manera mas especıfica, siel sistema se excita con cualquiera de las siguientes dos condicionesiniciales:

(a) Para t = 0, y(0) = y0, y(0) = 0.

(b) Para t = 0, y(0) = 0, y(0) = y0.

El sistema nunca regresa a la posicion de equilibrio.

2. Sistemas Crıticamente Amortiguados. En este segundo caso

c2 − 4 M k = 0,

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por lo tanto, la raiz cuadrada desaparece; es decir:

(c

2 M

)2

− k

M= 0.

El valor de amortiguamiento que satisface esta condicion, se denominaamortiguamiento crıtico, se denota por cc, y esta dado por

c2c − 4 M k = 0 o cc = 2

√M k = 2 M

√k

M= 2 M ωn, (10)

donde ωn es la frecuencia natural del sistema no amortiguado aso-ciado; es decir la frecuencia natural de un sistema vibratorio de ungrado de libertad de las mismas caracterısticas excepto que no tieneamortiguamiento alguno.

Resumiendo, en este caso las dos raices de la ecuacion caracterısticason iguales

λ1 = λ2 = − c

2 M= − c

ccωn, (11)

donde ccc

se denomina la relacion del amortiguamiento. Cuandolas dos raices son iguales, las dos soluciones no pueden ser linealmenteindependientes. De la teorıa de las ecuaciones diferenciales lineales,se sabe que dos soluciones linealmente independientes de la ecuaciondiferencial son

y1(t) = e−ccc

ωnt y y2(t) = t e−ccc

ωnt (12)

Puede probarse que ambas funciones son, realmente, soluciones de laecuacion diferencial (4), por lo tanto, la solucion general de la ecuacionde movimiento del sistema vibratorio amortiguado, esta dado por

yG(t) = C1 e−ccc

ωnt + C2 t e−c

ccωnt. (13)

Puede probarse que el sistema no vibra, de manera mas especıfica, siel sistema se excita con cualquiera de las siguientes dos condicionesiniciales:

(a) Para t = 0, y(0) = y0, y(0) = 0.

(b) Para t = 0, y(0) = 0, y(0) = y0.

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El sistema regresa a la posicion de equilibrio cuando t → ∞.

3. Sistemas Subamortiguados. En este tercer y ultimo caso4

c2 − 4 M k ≤ 0,

por lo tanto la raiz cuadrada es imaginaria√(c

2 M

)2

− k

M∈ �,

y puede reescribirse como

√(c

2 M

)2

− k

M=

√√√√−1

[k

M−(

c

2 M

)2]

= i

√ω2

n −(

c

ccωn

)2

= i ωn

√1 −

(c

cc

)2

,

donde ωn es la frecuencia natural del sistema no amortiguado asoci-ado; es decir la frecuencia natural de un sistema vibratorio de un gradode libertad de las mismas caracterısticas excepto que no tiene amor-tiguamiento alguno y c

ccse denomina la relacion de amortiguamiento.

Por lo tanto, las dos raices de la ecuacion caracterıstica son

λ1 = − c

cc

ωn + i ωn

√1 −

(c

cc

)2

λ2 = − c

cc

ωn − i ωn

√1 −

(c

cc

)2

y las dos soluciones de la ecuacion diferencial, estan dadas por

y1(t) = e

[− c

ccωn+i ωn

√1−( c

cc)2

]t

= e−ccc

ωn tei ωn

√1−( c

cc)2t

y2(t) = e

[− c

ccωn−i ωn

√1−( c

cc)2

]t

= e−ccc

ωn te−i ωn

√1−( c

cc)2t

Estas soluciones son matematicamente correctas, excepto que es de-seable que la solucion de una ecuacion diferencial real sea una solucion

4Es importante senalar que, despues de definir el amortiguamiento crıtico como seindica en la ecuacion (10), estos tres posibles casos pueden caracterizarse en terminosde la relacion de amortiguameinto c

cc, como: Sobreamortiguados c

cc> 1, crıticamente

amortiguados ccc

= 1 y subamortiguados ccc

< 1.

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real. De hecho, de la teorıa de las ecuaciones diferenciales lineales,se sabe que la solucion general de una ecuacion diferencial lineal desegundo orden constituye un espacio vectorial de dimension 2 en el es-pacio vectorial de funciones reales continuamente diferenciables. Demanera que si se encuentran dos funciones reales, que sean:

(a) Soluciones de la ecuacion diferencial dada por la ecuacion (4),digamos yr1(t) y yr2(t),

(b) Que las funciones sean linealmente independiente.

Entonces la solucion general de la ecuacion (4), yG(t), estara dada poruna combinacion lineal de las dos soluciones, es decir

yG(t) = C1 yr1(t) + C2 yr2(t).

La pista para encontrar estas soluciones reales esta dada por la identi-dad de Euler, que indica que

e+i ωn

√1−( c

cc)2t

= Cos(ωn

√1 − (c/cc)

2)

t + i Sen(ωn

√1 − (c/cc)

2)

t

e−i ωn

√1−( c

cc)2t

= Cos(ωn

√1 − (c/cc)

2)

t − i Sen(ωn

√1 − (c/cc)

2)

t

Por lo tanto, dos candidatos naturales de las soluciones reales de laecuacion (4) son

yr1(t) = e−ccc

ωn t Cos(ωn

√1 − (c/cc)

2)

t

y

yr2(t) = e−ccc

ωn t Sen(ωn

√1 − (c/cc)

2)

t,

es facil probar que ambas funciones candidatas son soluciones de laecuacion diferencial, de manera que la solucion general de la ecuacion(4) esta dada por

yG(t) = e−ccc

ωn t[A Cos

(ωn

√1 − (c/cc)

2)

t + B Sen(ωn

√1 − (c/cc)

2)

t]

(14)donde A y B son constantes arbitrarias.

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Este caso, el de sistemas vibratorios subamortiguados es el mas comunen la practica y se estudia mas a profundidad a continuacion. El segundotermino, que esta dentro de parentesis, en el lado derecho de la ecuacion (14)representa una vibracion periodica y armonica cuya frecuencia natural, q,esta dada por

q = ωn

√1 −

(c

cc

)2

(15)

Sin embargo, el primer termino del lado derecho de la ecuacion (14), cono-cido como decaimiento exponencial, impide que la vibracion dada por laecuacion (14) sea periodica. De modo que, de manera estricta, no es posi-ble determinar la amplitud y frecuencia de esta vibracion aperiodica. Noobstante, en la siguiente discusion se emplearan los terminos amplitud yfrecuencia natural de manera relajada, para evitar explicaciones demasiadolargas. La respuesta del sistema consiste, pues, en una vibracion armonicade “frecuencia” q, cuya “amplitud” disminuye exponencialmente. De maneraque la la solucion general de la ecuacion (4) esta dada por

yG(t) = e−ccc

ωn t [A Cosq t + B Senq t] (16)

donde A y B son constantes arbitrarias. Mas aun, si el sistema tiene muypoco amortiguamiento, c

cc< 0.2, se tiene que

q = ωn

√1 −

(c

cc

)2

= ωn

√1 − 0.22 = 0.9797 ωn.

De manera que si es sistema tiene muy poco amortiguamiento, la diferenciaentre la “frecuencia” natural de la vibracion libre amortiguada q y la frecuen-cia natural del sistema no amortiguado asociado, ωn es tan pequena quepuede despreciarse. Esta relacion puede apreciarse en la Figura 2, que mues-tra la grafica de la funcion

q

ωn=

√1 −

(c

cc

)2

2.1 Determinacion experimental de la constante de a-

mortiguamiento de un sistema vibratorio de ungrado de libertad amortiguado.

Uno de los problemas practicos que este analisis permite resolver es la de-terminacion experimental de la constante de amortiguamiento de un sistema

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Figure 2: Grafica de la Relacion qωn

Versus ccc

.

vibratorio de un grado de libertad, a partir de los resultados experimentales.Para tal fın, suponga que las condiciones iniciales a las que se sujeta el sistemavibratorio amortiguado son

Para t = 0, y(0) = y0, y y(0) = 0.

Derivando la ecuacion (16), respecto al tiempo, se tiene que

yG(t) = e−ccc

ωn t [−A q Senq t + B q Cosq t]− c

cc

ωne− c

ccωn t [A Cosq t + B Senq t]

(17)Sustituyendo las condiciones iniciales, se tiene que

y0 = e−ccc

ωn 0 [A Cosq 0 + B Senq 0] = A,

0 = e−ccc

ωn 0 [−A q Senq 0 + B q Cosq 0] − c

ccωne

− ccc

ωn 0 [A Cosq 0 + B Senq 0]

= B q − c

ccωn A,

por lo tanto

A = y0 0 = B ωn

√1 −

(c

cc

)2

− c

ccωn A

y finalmente, se tiene que

A = y0, y B =ccc

y0√1 −

(ccc

)2(18)

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Asi pues, la solucion particular del sistema esta dada, en forma algebraica,por

yP (t) =y0√

1 −(

ccc

)2e−

ccc

ωn t

⎡⎣√

1 −(

c

cc

)2

Cosq t +c

ccSenq t

⎤⎦ , (19)

y, en forma polar, por

yP (t) =y0√

1 −(

ccc

)2e−

ccc

ωn t Sen (q t + φ) , donde Tan φ =

√1 −

(ccc

)2

ccc

.

(20)Ademas, se tiene que

Cos φ =c

cc

Sen φ =

√1 −

(c

cc

)2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Tiempo, segundos

Des

plaz

amie

nto,

u.l.

Respuesta de un Sistema Subamortiguado

Figure 3: Vibracion Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado deLibertad Subamortiguado.

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Un ejemplo de la respuesta de un sistema subamortiguado a estas condi-ciones iniciales, se muestra en la figura 9.

Suponga que, de alguna manera, se obtiene un registro de la respuesta deun sistema subamortiguado como el mostrado en la figura 9. En particular,suponga que se conocen los valores de los maximos de la respuesta del sistema.Los tiempos para los cuales se obtienen los maximos se determinan derivando,respecto al tiempo, la solucion particular , vea ecuacion (20), e igualando laderivada a 0, de modo que

0 =y0√

1 −(

ccc

)2e−

ccc

ωn t q Cos (q t + φ) − y0√1 −

(ccc

)2

c

cc

ωn e−ccc

ωn t Sen (q t + φ)

0 =y0√

1 −(

ccc

)2e−

ccc

ωn t

⎡⎣ωn

√1 −

(c

cc

)2

Cos (q t + φ) − c

ccωn Sen (q t + φ)

⎤⎦

0 = − y0√1 −

(ccc

)2ωn e−

ccc

ωn t

⎡⎣−

√1 −

(c

cc

)2

Cos (q t + φ) +c

ccSen (q t + φ)

⎤⎦

0 = − y0√1 −

(ccc

)2ωn e−

ccc

ωn t [−Sen φ Cos (q t + φ) + Cos φ Sen (q t + φ)]

0 = −y0 ωn e−ccc

ωn t√1 −

(ccc

)2Sen [(q t + φ) − φ] = −y0 ωn e−

ccc

ωn t√1 −

(ccc

)2Sen q t

Los puntos crıticos de la funcion se presentan cuando:

1. Cuandoe−

ccc

ωn t = 0.

Esta condition se presenta cuando t → ∞, pero este resultado implicaque y(t) = 0 y simplemente indica que la vibracion desaparece paracuando t tiende al infinito y no es de interes.

2. Cuando

Sen q t = 0 es decir, para t =n π

q, n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .

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Mas aun, puede probarse que para n = 0, 2, 4, . . ., la vibracion presenta unmaximo, mientras que para n = 1, 3, 5, . . . la vibracion presenta un mınimo.En el resto de esta seccion se emplearan los valores maximos.5

Determinando los valores maximos, para t = 0, se tiene que

yP (0) =y0√

1 −(

ccc

)2e−

ccc

ωn 0 Sen (q 0 + φ) =y0√

1 −(

ccc

)2Sen φ

yP (0) =y0√

1 −(

ccc

)2

√1 −

(c

cc

)2

= y0.

La validez de este resultado se verifica en la Figura 9.Para t = 2 n π

q, donde n es un numero natural arbitrario, se tiene que

yn ≡ yP

(2 n π

q

)=

y0 e−ccc

ωn2 n π

q√1 −

(ccc

)2Sen

(q

2 n π

q+ φ

)

=y0 e

− 2 n π ccc√

1−( ccc )

2

√1 −

(ccc

)2Sen φ = y0 e

− 2 n π ccc√

1−( ccc )

2

Para el maximo, es decir para t = 2 (n+m) πq

, se tiene que

yn+m ≡ yP

(2 (n + m) π

q

)=

y0 e−ccc

ωn2 (n+1) π

q√1 −

(ccc

)2Sen

(q

2 (n + 1) π

q+ φ

)

=y0 e

− 2 (n+m) π ccc√

1−( ccc )

2

√1 −

(ccc

)2Sen φ = y0 e

− 2 (n+1) π ccc√

1−( ccc )

2

= y0 e

− 2 n π ccc√

1−( ccc )

2

e

− 2 m π ccc√

1−( ccc )

2

= yn e

− 2 m π ccc√

1−( ccc )

2

5Un analisis semejante puede llevarse a cabo empleando los valores mınimos o mez-clando los valores maximos con los valores mınimos.

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Por lo tanto

yn

yn+m= e

− 2 m π ccc√

1−( ccc )

2

oyn+m

yn= e

2 m π ccc√

1−( ccc )

2

(21)

En particular, se tiene que si m = 1, entonces

yn

yn+1= e

− 2 π ccc√

1−( ccc )

2

oyn+1

yn= e

2 π ccc√

1−( ccc )

2

(22)

Esta es una caracterıstica de los sistemas vibratorios con amortiguamientolineal, la relacion de “amplitudes” consecutivas, es siempre constante. Dela ecuacion (21), se deducira una ecuacion para determinar la relacion deamortiguamiento.

ln

∣∣∣∣∣ yn

yn+1

∣∣∣∣∣ =2 π c

cc√1 −

(ccc

)2

Manipulando algebraicamente el resultado anterior, se tiene que

[1 −

(c

cc

)2] [

ln

∣∣∣∣∣ yn

yn+m

∣∣∣∣∣]2

=(2 m π

c

cc

)2

(ln

∣∣∣∣∣ yn

yn+m

∣∣∣∣∣)2

=[

c

cc

]2 ⎡⎣4 m2π2 +

(ln

∣∣∣∣∣ yn

yn+m

∣∣∣∣∣)2⎤⎦

[c

cc

]2=

(ln∣∣∣ yn

yn+m

∣∣∣)2

4 m2 π2 +(ln∣∣∣ yn

yn+m

∣∣∣)2 =1

1 +

⎡⎣ 2 m π

ln

∣∣∣ ynyn+m

∣∣∣⎤⎦

2

o, finalmentec

cc=

1√√√√√1 +

⎡⎣ 2 m π

ln

∣∣∣ ynyn+m

∣∣∣⎤⎦

2(23)

La ecuacion (23) proporciona la solucion exacta de la relacion de amor-tiguamiento cuando se conocen las “amplitudes” maximas yn y yn+m. Escurioso que esta ecuacion (23) no aparezca en muchos de los libros de vibra-ciones mecanicas pero si en los libros de sistemas de control automatico. La

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razon es que los libros de vibraciones mecanicas emplean, frecuentemente,una aproximacion de la ecuacion (21), si la relacion de amortiguamiento delsistema vibratorio es pequena, digamos c

cc≤ 0.2, entonces, se tiene que

√1 −

(c

cc

)2

≈ 1.0

y la ecuacion (21) puede aproximarse como

yn

yn+m

= e−2 m π ccc o

yn+m

yn

= e2 m π ccc (24)

donde el termino δ ≡ 2 m π ccc

se denomina decaimiento exponencial, deesta ecuacion (24) se deduce que

c

cc=

ln∣∣∣yn+m

yn

∣∣∣2 m π

(25)

Esta ecuacion (25) es mas sencilla que la ecuacion (23) y puede usarsepara determinar la relacion de amortiguamiento, despues de probar que estees suficientemente pequeno.

3 Simulacion de sistemas vibratorios de un

grado de libertad sujetos a vibracion libre

amortiguada

En esta seccion se mostrara que el comportamiento de un sistema vibratoriode un grado de libertad amortiguado sujeto a vibracion libre puede simularsede manera muy simple empleando Simulink c©. Sin embargo, para propositosde simulacion, conviene escribir la ecuacion de movimiento del sistema, (4)como

d2y

dt2= − c

M

dy

dt− k

My.

Es bien conocido que existen tres diferentes casos de sistemas amortigua-dos:

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3.0.1 Sistemas Sobreamortiguados

El archivo libamorsob.mdl, cuya caratula se muestra en la figura 4, simulael comportamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto avibracion libre amortiguada, cuya ecuacion de movimento esta dada por

d2y

dt2+ 20

dy

dt+ 25y = 0,

junto con las condiciones iniciales

Para t = 0, y(0) = 5, ydy

dt(0) = 0.

Ademas, se supone que las unidades son consistentes y corresponden a unsistema de unidades, digamos el Sistema Internacional.

Figure 4: Simulacion de un Sistema Vibratorio de un Grado de LibertadSobreamortiguado.

Por lo tanto

ωn =

√k

M=

√25

1= 5

rad.

seg.

De aquı que

cc = 2Mωn = (2)(1)(5) = 10kgm.

seg.

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Obviamente, el sistema es sobreamortiguado, pues

c

cc=

20kgm.seg.

10kgm.seg.

= 2.

Puede mostrarse que el sistema no vibra.El archivo libamorsob.mdl permite verificar el comportamiento de un

sistema vibratorio sobreamortiguado y la solucion particular. En particular,la figura 5 muestra la vibracion del sistema vibratorio de un grado de libertadsobreamortiguado.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tiempo, segundos

Des

plaz

amie

nto,

u.l.

Respuesta de un Sistema Sobreamortiguado

Figure 5: Vibracion Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado deLibertad Sobreamortiguado.

3.0.2 Sistemas Crıticamente Amortiguados

El archivo libamorcri.mdl cuya caratula se muestra en la figura 6, simulael comportamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto avibracion libre amortiguada, cuya ecuacion de movimento esta dada por

d2y

dt2+ 10

dy

dt+ 25y = 0,

junto con las condiciones iniciales

Para t = 0, y(0) = 5, ydy

dt(0) = 0.

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Ademas, se supone que las unidades son consistentes y corresponden a unsistema de unidades, digamos el Sistema Internacional.

Figure 6: Simulacion de un Sistema Vibratorio de un Grado de LibertadCrıticamente Amortiguado.

Por lo tanto

ωn =

√k

M=

√25

1= 5

rad.

seg.

De aquı que

cc = 2Mωn = (2)(1)(5) = 10kgm.

seg.

Obviamente, el sistema esta crıticamente amortiguado, pues

c

cc

=10kgm.

seg.

10kgm.seg.

= 1.

Puede mostrarse que el sistema no vibra.El archivo libamorcri.mdl permite verificar el comportamiento de un

sistema vibratorio crıticamente amortiguado y la solucion particular. Enparticular, la figura 7 muestra la vibracion del sistema vibratorio de un gradode libertad sobreamortiguado.

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tiempo, segundos

Des

plaz

amie

nto,

u.l.

Respuesta de un Sistema Criticamente Amortiguado

Figure 7: Vibracion Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado deLibertad Sobreamortiguado.

3.0.3 Sistemas Subamortiguados

El archivo libamorsub.mdl cuya caratula se muestra en la figura 8, simulael comportamiento de un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto avibracion libre amortiguada, cuya ecuacion de movimento esta dada por

d2y

dt2+ 1

dy

dt+ 25y = 0,

junto con las condiciones iniciales

Para t = 0, y(0) = 5, ydy

dt(0) = 0.

Ademas, se supone que las unidades son consistentes y corresponden a unsistema de unidades, digamos el Sistema Internacional.

Por lo tanto

ωn =

√k

M=

√25

1= 5

rad.

seg.

De aquı que

cc = 2Mωn = (2)(1)(5) = 10kgm.

seg.

Obviamente, el sistema es subamortiguado, pues

c

cc=

1kgm.seg.

10kgm.seg.

= 0.1

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Figure 8: Simulacion de un Sistema Vibratorio de un Grado de LibertadSubamortiguado.

Puede mostrarse que el sistema vibra. Mas aun, los resultados del archivolibamorsub.mdl permiten verificar la relacion de amortiguamiento, a partirde la medicion de las amplitudes consecutivas del registro de la vibracion.

El archivo libamorsub.mdl permite verificar el comportamiento de unsistema vibratorio subamortiguado y la solucion particular. En particular, lafigura 9 muestra la vibracion del sistema vibratorio de un grado de libertadsubamortiguado.

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Tiempo, segundos

Des

plaz

amie

nto,

u.l.

Respuesta de un Sistema Subamortiguado

Figure 9: Vibracion Resultante de un Sistema Vibratorio de un Grado deLibertad Subamortiguado.

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