Sistemas y Circuitos - UC3M 1/slides/Tema1.pdf · • Circuitos Eléctricos, −James W. Nilsson,...

Tema 1. Señales

Sistemas y Circuitos 1

© Francisco J. González, UC3M 2012 1

Sistemas y Circuitos

1Sistemas y Circuitos

2© Francisco J. González, UC3M 2009

Material didáctico

Bibliografía básica• Señales y Sistemas

− Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, S.Hamid Nawab,

− 2ª edición (1998) Prentice Hall; ISBN: 9789701701164

• Circuitos Eléctricos, − James W. Nilsson, Susan A. Riedel, − 7ª edición (2005) Prentice Hall; ISBN:

978-84-205-4458-8

http://www.tsc.uc3m.es/docencia/SyCAula global

Tema 1. Señales



1.1 Señales...

Señales: funciones con las que representamos variaciones (en el tiempo) de…• magnitudes físicas

− voltaje, intensidad, fuerza, temperatura, posición..., o de

• datos.Fenómenos físicos

r (t )

Datos

Contienen información

IBEX 35x[n]

n

r(t)

tmet

ros



Sistema

Modelado matemático

Vi(t)

Vo(t) =T Vi(t){ }

y(t)=T x(t){ })(tx { }( )T x t

… Sistemas y Circuitos

Conocimientos de circuitos:• Porque son los elementos

materiales que soportan una comunicación.

• Porque permiten modelar un sistema (genérico, amplia utilización en otras disciplinas).

Vi(t)

Vo(t)

( )oV t

Vi(t)


Tema 1. Señales



1.2 Clasificación de señales

Por la naturaleza de la variable independiente• Definidas en tiempo continuo

− Notación: x(t)

− Ejemplos: Voltaje senoidal

: ( )x

t x t→→

x(t) es una función de variable realx(t)

t

)46(x)9834232,64(x




Por la naturaleza de la variable independiente• Definidas en tiempo discreto

− Notación: x[n]

: [ ]x

n x n→→

x[n] es una función de variable discreta

]0[x

]1[x

]2[x

x[n]

n

No existe x 12

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥


Tema 1. Señales




Por la naturaleza de la variable independiente• Definidas en tiempo discreto

− Indicadores económicos: IBEX 35

Predicción: [ ] [ ] [ ] [ ]( )ˆ 1 , 1 , 2 ,x n F x n x n x n+ = − −

n

80218113

8032

n-1

7857

n+1 día




Por la naturaleza de la función• Reales

x(t) = e−0.99t sin(10t), t ≥ 0

x[n]=α n

0 1 2 n-1-2

1

αα2

αα2

x[n]0 ≤α ≤1

0

1

2 n-1

-2

1

α

α2

α

α2

x[n] −1≤α ≤ 0

r(t)


Tema 1. Señales




Por la naturaleza de la función• Complejas

− Conjugado{ } { }[ ] Re [ ] Im [ ]x n x n j x n= +

{ } ( )*1Re [ ] [ ] [ ]2

x n x n x n= +

{ } ( )*1Im [ ] [ ] [ ]2

x n x n x nj

= −

{ }( ) { }( )2 2[ ] Re [ ] Im [ ]x n x n x n= +

{ }{ }

1 Im [ ]arg( [ ]) tan

Re [ ]x n

x nx n

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Re •{}

Im •{}x[n]

ω0n

ω0(n+1)x[n+1]

{ } { }*[ ] Re [ ] Im [ ]x n x n j x n= −



1.3 Operaciones Básicas con señales

Suma

Multiplicación

Derivación (diferenciado)

Integración (suma)


x1(t) + x2(t)

x1[n]× x2[n]

y(t) =

dx(t)dt y[n] = x[n]− x[n −1]

y(t) =

−∞

t

∫ x(τ )dτ y[n] =k =−∞

n

∑ x[k]

Tema 1. Señales



1.3 Operaciones básicas con señales




Transformaciones (lineales) de la variable independiente• Reflexión (abatimiento) en t = 0

• Escalado

− Operación reversible en tiempo continuo

0T1 T2

x(t)

t 0 -T1-T2

x(−t)

t

0T1 T2

)(tx

t

0

)(atx

t

aT2

aT1

a >1⇒ compresi—n

0

)(atx

tT2

aT1

a

a <1⇒ expansi—n


Tema 1. Señales




Transformaciones (lineales) de la variable independiente

− Ejemplo: Reflexión (abatimiento) en t = 0





− Escalado temporal Ejemplo: Dado x(t), encontrar y(t) = x(2t).


Tema 1. Señales





− Escalado temporal Ejemplo: Dado x(t), encuentra z(t) = x(t/2).





− Escalado temporal: Dada y(t), encuentra w(t) = y(3t); v(t) = y(t/3).


Tema 1. Señales




Transformaciones (lineales) de la variable independiente• Escalado (tiempo discreto)

− Importante: ¡Operación no reversible!

0

[ ]x n

n

0

[ ] [2 ]y n x n=

n

1 compresióna > ⇒

1 expansióna < ⇒

2

[2] [4]y x=

0

, múltiplo de k[ ]

0, en otro caso

nx ny n k

⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎨⎪⎩

n

2

2

[2] [1]y x=

1

1-1




Transformaciones de la variable independiente• Escalado (tiempo discreto)

− Diezmado

− Interpolación

0

y[n]= x[2n]

n

1 compresióna > ⇒2

y[2]= x[4]

1 expansióna < ⇒0 n2

y[2]= x[1]

1

0

[ ]x n

n2

1-1

0

[ ]x n

n2

1-1

↓2

↑2


Tema 1. Señales



α3


Transformaciones (lineales) de la variable independiente• Desplazamiento

0T1 T2

x(t)

t 0

x(t − t0)

tt0 +T2t0t0 +T1

t0 > 0

0 1 2 n-1-2

1

αα2

αα2

][nx

0 1 2 n-1-2

1

αα2

αα2

x[n+3]

-3-4-5

t0 < 0





− Desplazamiento: Dada x(t), encuentra » x(t-t0) » x(t+t0)

Regla: Haz t - t0=0 ⇒ desplazar el origen de x(t) hasta t0.Regla: Haz t + t0=0 ⇒ desplazar el origen de x(t) hasta -t0.


Tema 1. Señales




Combinaciones de escalado y desplazamiento:• Ejemplo: Encuentra x(2t+1) donde x(t) es:

− Método I: x(at+b) Desplazamiento: v(t)=x(t+b) Escalado: y(t) =v(at)= x(at+b).




Combinaciones de escalado y desplazamiento:• Ejemplo: Encuentra x(2t+1) donde x(t) es:

− Método II:Escalado: w(t) = x(a t) Desplazamiento: y(t)=w(t+b/a) = x(a (t + b/a))= x(at + b):


Tema 1. Señales




Ejercicios

• Encontrar−

−

−

0 1 2 t

)(tx

x(t +1)

x(1− t)

x 1−

32

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1



1.4 Propiedades de las señales

Simetría• Par

• Impar

Parte (im)par de una señal

x(t) = x(−t)

0 1 2 n-1-2

1

αα2

x[n]= x[−n]

x(t) = −x(−t)⇒ x(0) = 0

x[n]= −x[−n]

( )1( ) ( ) ( )2parx t x t x t= + −

( )1( ) ( ) ( )2imparx t x t x t= − −

x(t) = xpar (t)+ ximpar (t)

0 t

)(tx

αα2


Tema 1. Señales






Tema 1. Señales



Periodicidad

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


tTtxtxT ∀+=>∃ ),()(,0{ }0, :1,2,3,... , [ ] [ ],N N x n x n N n+∃ > ∈ = + ∀

2( ) cos3

x t tπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2( ) ( ) cos cos ( )3 32 2 cos 2 cos 2 33 3 3

x t x t T t t T

Tt t k T

π π

π π π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

¿ 0, ( ) ( ), ?T x t x t T t∃ > = + ∀t




Periodicidad

• Si x(t) es periódica de periodo T, también lo es de periodo 2T, 3T,

• Periodo fundamental: − Menor valor de T (ó N) para el que se cumple que x(t)=x(t+T) (ó

x[n]=x[n+N]).

0, ( ) ( ),T x t x t T t∃ > = + ∀

{ }0, :1,2,3,... , [ ] [ ],N N x n x n N n+∃ > ∈ = + ∀

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tT 2T−T

( ) ( ) ( 2 )x t x t T x t T= + = + =


Tema 1. Señales




Periodicidad exponenciales complejas• Tiempo continuo

{ }•Re

{ }•Im

)(tx

t0Ω

( ) ( )( )00 0( ) cos sinj tx t e t j tΩ= = Ω + Ω


( )0cos tΩ

( )0sin tΩ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

00.5

11.5

22.5

3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

{ }•Re

{ }•Im



Periodicidad exponenciales complejas• Tiempo continuo

{ }•Re

{ }•Im

)(tx

t0Ω

( ) ( )( )00 0( ) cos sinj tx t e t j tΩ= = Ω + Ω

( )00 0 0 0Si ( ) ( ) 1j t Tj t j t j T j Tx t x t T e e e e eΩ +Ω Ω Ω Ω= + ⇒ = = ⇒ =

0

2 210

Ω=⇒==Ω ππ Tee jTj


( )0cos tΩ

( )0sin tΩ

Tema 1. Señales



Periodicidad exponenciales complejas• Tiempo discreto


( ) ( )00 0[ ] cos sinj nx n e n j nω ω ω= = +

{ }Re •

{ }Im •

ω0 =

2π16

0=n1=n

2=n3=n

15=n14=n

2cos16

nπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

N

N = 16

{ }Re [ ]x n







{ }•Re

{ }•Im

42

0πω =

0=n

1=n

2=n

3=n

4=n N

{ } 2Re [ ] cos4

x n nπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Tema 1. Señales





( )00

0 0 0

0 2

Para que [ ] [ ] 1

j n Nj n

j n j n j N

j N j k

x n x n N e ee e ee e

ωω

ω ω ω

ω π

+= + ⇒ =

⇒ =

⇒ = =

{ }•Re

{ }•Im

][nx

n0ω

0[ ] j nx n e ω=

0

2kN

ωπ

⇒ = ∈

Problema : N ∈

)1(0 +nω

]1[ +nx

Ejemplos

?¿ ,periódica? ¿es 8 Nenjπ

?¿ ,periódica? ¿es 83

Nenj





Tema 1. Señales



1.5 Caracterización de señales

Valor medio• Media parcial

x(t)

t0 ,T=

1T

x(t)dtt0 −

T2

t0 +T2∫ x[n]

n0 ,2N+1=

12N +1n=n0 −N

n0 +N

∑ x[n]

0 t

x(t)

t0 t0 +T2

t0 −T2

Intervalo de integración




Valor medio• Media total

• Señales periódicas: se considerará la media parcial restringida a un periodo.− Ejemplo: x[n]=x[n+N]

x(t) = lim

T →∞1T

x(t)dtt0 −

T2

t0 +T2∫

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪x[n] = lim

N →∞1

2N +1n=n0 −N

n0 +N

∑ x[n]⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

x[n]

n0 ,N=

1N n=n0

n0 +N−1

∑ x[n]

0 1 2 n-1-2

1α

α2α

α2

3 4 5

α1

x[n]= x[n+5]

Intervalo de suma36Sistemas y Circuitos

Tema 1. Señales




Valor medio




Potencia media de una señal• Señales aperiódicas

• Señales periódicas de periodo T (ó N)

Energía media de una señal

PX =

limT →∞

1T

x(t)2dt

t0 −T2

t0 +T2∫

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪PX =

limN →∞

12N +1n=n0 −N

n0 +N

∑ x[n]2⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

PX =

1T

x(t)2dt

t0 −T2

t0 +T2∫ PX =

1N n=n0

n0 +N−1

∑ x[n]2

EX = x(t)

2dt

−∞

∞

∫ EX =n=−∞

∞

∑ x[n]2


Tema 1. Señales




Señales definidas en energía:• Son aquellas para las que

Señales definidas en potencia• Son aquellas para las que

− Señales periódicas

PX =

limT →∞

1T

x(t)2dt

t0 −T2

t0 +T2∫

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪<∞

EX = x(t)

2dt

−∞

∞

∫ < ∞ EX =n=−∞

∞

∑ x[n]2<∞

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

PX =

1T

x(t)2dt

t0 −T2

t0 +T2∫ <∞




Potencia, energía

Tema 1. Señales



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Valor eficaz (valor cuadrático medio)

• Señales sinusoidales

xEFF = xRMS =

1T

x(t)2dt

t0 −T2

t0 +T2∫ xEFF =

1N n=n0

n0 +N−1

∑ x[n]2

x(t) =Vp cos(ωt) =Vp cos

2πT

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x(t)⎡⎣ ⎤⎦

2=Vp

2 cos2(ωt) =Vp

2

21+ cos(2ωt)( )

xEFF =

1T

x(t)2dt

0

T

∫ =Vp

21T

1+ cos4πT

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟dt

0

T

∫ =Vp

2

x(t)

x(t)⎡⎣ ⎤⎦2

xEFF



Potencia media en circuitos

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000 p(t)


R

+

−

v(t)

( )( ) v ti tR

=

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

i(t)

v(t)

p(t) = v(t)i(t) =

v2(t)R

[W]

222

2 2 2

( ) cos ( )

(1 cos(2 ))2 2

PR T T

P P EFFT

Vv tP dt t dtR R

V V Vt dtR R R

ω

ω

= =

= + = =

∫ ∫

∫

PR

v(t) =Vp cos(ωt) [V]


Tema 1. Señales



1.6 Señales Básicas

Tiempo discreto• Impulso unitario

− Propiedades

1, 0[ ]

0, 0n

nn

δ=⎧

= ⎨ ≠⎩ 0 1 2 n-1-2

1][nδ

x[n]δ[n] =

x[0],n = 00,n ≠ 0

= x[0]⎧⎨⎪

⎩⎪δ[n]

0

][nx

n2

1-1 0 1 2 n-1-2

1][nδ

0

][][ nnx δ

n21-1=

[ ] [ ] Señal parn nδ δ= − ⇒

[ ] 1n

nδ∞

=−∞

=∑




Tiempo discreto• Impulso unitario desplazado

− Propiedad

⎩⎨⎧

≠=

=−knkn

kn,0,1

][δk k+1 k+2 nk-1

1][ kn −δ

][][,0],[

][][ knkxkn

knkxknnx −

⎩⎨⎧

=≠=

=− δδ

0

][nx

n2

1-1 0 1 2 n-1-2

1]3[ −nδ

0

]3[]3[ −nx δ

n21-1=

0

]3[x

3 3


Tema 1. Señales




Tiempo discreto• Impulso unitario desplazado

− Propiedad: Cualquier señal definida sobre tiempo discreto puede representarse como una suma de impulsos escalados y desplazados

0 x[2]δ[n − 2]

n2

1-1 3

0 x[1]δ[n −1]n21-1 3

0 x[0]δ[n]n21-1 3

=0

x[n]

n2

1-1 3

x[n] =

k=−∞

∞

∑ x[k]δ[n − k]

45



Tiempo discreto• Escalón unitario

− Relación con el impulso unitario u[n] =

1,n ≥ 00,n < 0

⎧⎨⎪

⎩⎪0 1 2 n-1-2

1u[n]

[ ]0

[ ] [ ] [ ]k k

u n u k n k n kδ δ∞ ∞

=−∞ =

= − = −∑ ∑

0[ ] [ ] 0 [ ]

n

k l

n k lu n n k k l n l

k lδ δ

∞

= =−∞

− == − = = → = =

= ∞→ = −∞∑ ∑

[ ] [ ] [ 1]n u n u nδ = − −


Tema 1. Señales



Escalón unitario

l=−∞

n

∑ δ[l] = 0 1 2 l-1-2

1δ[l]

-∞

Intervalo de suma móvil

k=0

∞

∑ δ[n − k] =0 1 2 k-1-2

Intervalo de suma fijo

-3


1

δ[n − k],n > 0 δ[n − k],n < 0

= u[n]

n<0

l=−∞

n

∑ δ[l] = 0

n>0

l=−∞

n

∑ δ[l] = 1

= u[n]

47



Escalón unitario δ[n]= u[n]−u[n−1]

0 1 2 n-1-2

1 u[n]

−u[n −1]-1

0 1 2 n-1-2

δ[n]u[n] = u[n −1]+ δ[n] =

k=−∞

n−1

∑ δ[k]+ δ[n]


Tema 1. Señales



1.6 Señales BásicasExponenciales complejas• Responden a la fórmula genérica

• Casos particulares−

x[n] = Aα n

,A α ∈

0 ≤ α ≤ 1 −1 ≤ α ≤ 0




Exponenciales complejas• Casos particulares

−

01, jA e ωα= = ∈


{ }Re •

{ }Im •

0216πω =

0=n1=n

2=n3=n

15=n14=n

2cos16

nπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

N

N = 16

{ }Re [ ]x n


Tema 1. Señales



1.6 Señales BásicasExponenciales complejas• Casos particulares

−

01, jA e ωα= = ∈28 2 2[ ] cos sin

8 8j n

x n e n j nπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Re •{}

{ }Im •

ω0 =

2π8

0=n

1=n2=n

3=n

7=n

6=n

cos2π8

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8=n N

{ }Re [ ]x n




−


{ }•Re

{ }•Im

42

0πω =

0=n

1=n

2=n

3=n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

42cos π

4=n N

01, jA e ωα= = ∈24 2 2[ ] cos sin

4 4j n

x n e n j nπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠{ }][Re nx


Tema 1. Señales




−


{ }•Re

{ }•Im

πω =0

0=n1=n

( )cos nπ

2=n N

01, jA e ωα= = ∈

( ) ( ) ( )[ ] cos sin 1 nj nx n e n j nπ π π= = + = −




−


{ }•Re

{ }•Im

45

0πω =

0=n

1=n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

45cos π2=n

3=n

4=n

5=n

6=n

7=n

N

01, jA e ωα= = ∈54 5 5[ ] cos sin

4 4j n

x n e n j nπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠{ }][Re nx


Tema 1. Señales




−


{ }•Re

{ }•Im

πω 20 =

0=n

( )nπ2cos

πω 40 =

00 =ω

N1=n

01, jA e ωα= = ∈

( ) ( )2[ ] cos 2 sin 2 1j nx n e n j nπ π π= = + =





−

C∈== 0,1 ωα jeA( ) ( )0

0 0[ ] cos sinj nx n e n j nω ω ω= = +

( ) 0 00

1cos2

j n j nn e eω ωω −⎡ ⎤= +⎣ ⎦

( ) 0 00

1sin2

j n j nn e ej

ω ωω −⎡ ⎤= −⎣ ⎦

{ } *1Re [ ] [ ] [ ]2

x n x n x n⎡ ⎤= +⎣ ⎦

{ } *1Im [ ] [ ] [ ]2

x n x n x nj⎡ ⎤= −⎣ ⎦

Relaciones útiles


Tema 1. Señales




Tiempo continuo• Exponenciales complejas

− Representación de las constantes a y C

( ) , donde atx t Ce C,a= ∈⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω+=

=

0jaeCC j

σ

φ

{ }•Re

{ }•ImCa

σ

0Ω

φ

C

1



1.6 Señales BásicasExponenciales complejas• Casos particulares

− Representación fasorial

− Es una señal periódica

atCetx =)(

{ }•Re

{ }•Im

)(tx

t0Ω

0 y (imaginario puro)C a j∈ = Ω

( ) ( )( )00 0( ) cos sinj tx t Ce C t j tΩ= = Ω + Ω

( )00 0 0 0Si ( ) ( ) 1j t Tj t j t j T j Tx t x t T e e e e eΩ +Ω Ω Ω Ω= + ⇒ = = ⇒ =

0

2 210

Ω=⇒==Ω ππ Tee jTj


Tema 1. Señales




Exponenciales complejas

• Periodicidad. Comparación con tiempo discreto( ) ( )( )0

0 0( ) cos sinj tx t Ce C t j tΩ= = Ω + Ω

( )00

0 0 0

0 2

Para que [ ] [ ] 1

j n Nj n

j n j n j N

j N j k

x n x n N e ee e ee e

ωω

ω ω ω

ω π

+= + ⇒ =

⇒ =

⇒ = =

{ }•Re

{ }•Im

][nx

n0ω

njCenx 0][ ω=

0

2kN

ωπ

⇒ = ∈

Problema : N ∈

)1(0 +nω

]1[ +nx

Ejemplos

8 ¿es periódica?, ¿ ?j n

e Nπ

38 ¿es periódica?, ¿ ?nj

e N59Sistemas y Circuitos


1.6 Señales BásicasExponenciales complejas

− Periodicidad.

?¿ ,periódica? ¿es 8 Nenjπ

?¿ ,periódica? ¿es 83

Nenj

{ }•Im

80πω =

0=n1=n

2=n3=n

15=n14=n

0 18 162 2 16

Nπω

π π= = ∈ ⇒ =

{ }•Re

{ }•Im

0=n

1=n

{ }•Re16=n

17=n

18=n

03 38

2 2 16ωπ π π= = ∉


Tema 1. Señales




Escalón unitario

• Pulso rectangular

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

=

>

=

0,0

0,21

0,1

)(

t

t

t

tu

0 t

1)(tu 1

)(tuε

2ε

2ε

−

21

0 t

0→ε

⎪⎩

⎪⎨⎧ <=Π

resto ,021,1)( tt

t

)(tΠ

21

21

− 0 t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π

Tt

2T

2T

− 0

11

T

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π

22TtuTtu

Tt




Impulso unitario: • Señal par centrada en t=0 y de duración infinitesimal• Función generalizada: se caracteriza por los efectos que

produce sobre otras funciones • Propiedades

− Sea continua en t=0

)(tδ

)(tx

t0

)0(x

baxdtttxb

a

<<=∫ 0 ),0()()( δ 1)()0()()( =⇒= ∫∫∞

∞−

∞

∞−

dttxdtttx δδ

a b

Área unidad

)(tx


Tema 1. Señales




Impulso unitario: • Visualización

− Señal par centrada en t=0 y de duración infinitesimal− Área unidad

)(tδ

t0

)(tεδ1)( =∫

∞

∞−

dttδ

2ε

−2ε

ε1

ε ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π=εε

δεtt 1)(

∞=⇒=→

)0()(lim)(0

δδδ εεtt

0

)(tδ

t

1

0→ε




Impulso unitario: • Propiedades

− Sea continua en t=t0

− Atención:

)(tδ

)(tx

0 0( ) ( ) ( )x t d x tτ δ τ τ∞

−∞− =∫

t0

)(tx

0t

0

0 0

( ) ( )( ) ( )

x t t tx t t t

δδ

−−

)()()()()( 0000 txtttxtttx ≠−=− δδ


Tema 1. Señales





− Sea continua

Las señales continuas se pueden expresar como una “combinación lineal” de funciones desplazadas

» Analogía con tiempo discreto

)(tδ

)(tx

t0

)(τx

][][][ knkxnxk

−=∑∞

−∞=

δ

)()()( txdtx =−∫∞

∞−

ττδτ

Variable integración

Variable independiente

∑∫ ⇔ discreto tiempocontinuo tiempo

τ

)( τδ −t

)(tδ




Impulso unitario: • Propiedades: Relación con el escalón unitario u(t)

)(tδ

σσδσσδσ dtdtutu )()()()(0

−=−= ∫∫∞∞

∞−

=−∫∞

σσδ dt )(0

0 t σ

1

0),( >− tt σδ0),( <− tt σδ

Intervalo de integración fijo

t

1

( ) ( ) ( )x t d x tσ δ σ σ∞

−∞− =∫

00, ( ) 0t t dδ σ σ

∞< − =∫

00, ( ) 1t t dδ σ σ

∞> − =∫

( )u t

⎫⎪⎪ =⎬⎪⎪⎭


Tema 1. Señales




Impulso unitario: • Propiedades: Relación con el escalón unitario u(t)

)(tδ

=∫∞−

ττδ dt

)(

0 τ

1Intervalo de integración móvil

t

( ) ( ) ττδττδ

τστστσ

τσ

σσδ ddt

ddt

dtt

t

)()(00 ∫∫∫ ∞−

∞−∞

=−=

−∞=→∞==→=

−==−

=−

)(τδ

∞−

cambio de variable

t

0, ( ) 0t

t dδ τ τ−∞

< =∫( )u t

⎫⎪⎪ =⎬⎪⎪⎭

0, ( ) 1t

t dδ τ τ−∞

> =∫67




Relación con el escalón unitario u(t)

)(tδ

dttdut

dttdu

dt

ddtud

t

t )()()()(

)()( =⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⇒=∫

∫ ∞−

∞−

δττδ

ττδ

1)(tuε

2ε

2ε

−

21

0 t dtd •

t0

)(tεδ

2ε

−2ε

ε1

ε

∫∞−

t

dx ττ )()(tδ )(tu

integrador

derivador


Tema 1. Señales




Impulso unitario: Relación con el escalón unitario

∫∞−

t

dx ττ )()(tδ )(tu

integrador

dtd •

derivador)(tδ)(tu

0 t

1)(tu

0

)(tδ

t

1

0

)(tδ1

t

1)(tu

t

t2T

2T− 0

1T

1−

)(tx

0 t

1

2−2T

−

2T

T

1

)()( txdt

tdx ′=

0 t

1

1−2T

−

2T

)(tx

t2T

2T

− 0

1∫∞−

t

dx ττ )(

69



Tema 1. Señales




Sistemas y Circuitos - UC3M 1/slides/Tema1.pdf · • Circuitos Eléctricos, −James W. Nilsson,...

Documents

Transcript of Sistemas y Circuitos - UC3M 1/slides/Tema1.pdf · • Circuitos Eléctricos, −James W. Nilsson,...