SistemasSistemas de Colas de Colas

Prof. Ing. Ricardo Cano Surez

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Las colasLas colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana:En un bancoEn un restaurante de comidas rpidasLas mquinas de la planta en espera de ser reparadasAl matricular en la universidad

Las colasEn general, a nadie le gusta esperarCuando la paciencia llega a su lmite, la gente se va a otro lugarSin embargo, un servicio muy rpido tendra un costo muy elevadoEs necesario encontrar un balance adecuado

Teora de colasUna cola es una lnea de esperaLa teora de colas es un conjunto de modelos matemticos que describen sistemas de lneas de espera particularesEl objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada

Teora de colasExisten muchos sistemas de colas distintosAlgunos modelos son muy especialesOtros se ajustan a modelos ms generalesSe estudiarn ahora algunos modelos comunesOtros se pueden tratar a travs de la simulacin

Sistemas de colas: modelo bsicoUn sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales:La colaLa instalacin del servicioLos clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio.

Sistemas de colas: modelo bsicoLos clientes o llegadas pueden ser:PersonasAutomvilesMquinas que requieren reparacinDocumentosEntre muchos otros tipos de artculos

Sistemas de colas: modelo bsicoSi cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicioSi no, se une a la colaEs importante sealar que la cola no incluye a quien est recibiendo el servicio

Sistemas de colas: modelo bsicoLas llegadas van a la instalacin del servicio de acuerdo con la disciplina de la colaGeneralmente sta es primero en llegar, primero en ser servidoPero pueden haber otras reglas o colas con prioridades

Sistemas de colas: modelo bsicoLlegadasSistema de colasColaInstalacin del servicioDisciplinade la colaSalidas

Estructuras tpicas de sistemas de colas: una lnea, un servidorLlegadasSistema de colasColaServidorSalidas

Estructuras tpicas de sistemas de colas:una lnea, mltiples servidoresLlegadasSistema de colasColaServidorSalidasServidorServidorSalidasSalidas

Estructuras tpicas de sistemas de colas: varias lneas, mltiples servidoresLlegadasSistema de colasColaServidorSalidasServidorServidorSalidasSalidasColaCola

Estructuras tpicas de sistemas de colas: una lnea, servidores secuencialesLlegadasSistema de colasColaServidorSalidasColaServidor

Costos de un sistema de colasCosto de espera: Es el costo para el cliente al esperarRepresenta el costo de oportunidad del tiempo perdidoUn sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad

Costos de un sistema de colasCosto de servicio: Es el costo de operacin del servicio brindadoEs ms fcil de estimarEl objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mnimo

Sistemas de colas: Las llegadasEl tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadasEl tiempo entre llegadas tiende a ser muy variableEl nmero esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas ()

Sistemas de colas: Las llegadasEl tiempo esperado entre llegadas es 1/Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es = 20 clientes por horaEntonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos

Sistemas de colas: Las llegadasAdems es necesario estimar la distribucin de probabilidad de los tiempos entre llegadasGeneralmente se supone una distribucin exponencialEsto depende del comportamiento de las llegadas

Sistemas de colas:Las llegadas - Distribucin exponencialLa forma algebraica de la distribucin exponencial es: ????

Donde t representa una cantidad expresada en unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)


Sistemas de colas:Las llegadas - Distribucin exponencial

Sistemas de colas:Las llegadas - Distribucin exponencialLa distribucin exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeosEn general, se considera que las llegadas son aleatoriasLa ltima llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente

Sistemas de colas:Las llegadas - Distribucin de PoissonEs una distribucin discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrn de las llegadas a un sistema de colasPara tasas medias de llegadas pequeas es asimtrica y se hace ms simtrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas

Sistemas de colas:Las llegadas - Distribucin de PoissonSu forma algebraica es:

Donde:P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo : tasa media de llegadase = 2,7182818

Sistemas de colas:Las llegadas - Distribucin de PoissonLlegadas por unidad de tiempo0P

Sistemas de colas: La colaEl nmero de clientes en la cola es el nmero de clientes que esperan el servicioEl nmero de clientes en el sistema es el nmero de clientes que esperan en la cola ms el nmero de clientes que actualmente reciben el servicio

Sistemas de colas: La colaLa capacidad de la cola es el nmero mximo de clientes que pueden estar en la colaGeneralmente se supone que la cola es infinitaAunque tambin la cola puede ser finita

Sistemas de colas: La colaLa disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los miembros de la cola para comenzar el servicioLa ms comn es PEPS: primero en llegar, primero en servicioPuede darse: seleccin aleatoria, prioridades, UEPS, entre otras.

Sistemas de colas: El servicioEl servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores mltiplesEl tiempo de servicio vara de cliente a clienteEl tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ()

Sistemas de colas: El servicioEl tiempo esperado de servicio equivale a 1/Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por horaEntonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos

Sistemas de colas: El servicioEs necesario seleccionar una distribucin de probabilidad para los tiempos de servicioHay dos distribuciones que representaran puntos extremos:La distribucin exponencial (=media)Tiempos de servicio constantes (=0)

Sistemas de colas: El servicioUna distribucin intermedia es la distribucin ErlangEsta distribucin posee un parmetro de forma k que determina su desviacin estndar:


Sistemas de colas: El servicioSi k = 1, entonces la distribucin Erlang es igual a la exponencial (=media)Si k = , entonces la distribucin Erlang es igual a la distribucin degenerada con tiempos constantes (=0)La forma de la distribucin Erlang vara de acuerdo con k

Sistemas de colas: El servicioMediaTiempo0P(t)k = k = 1k = 2k = 8

Sistemas de colas: Distribucin Erlang

DistribucinDesviacin estndarConstante0Erlang, k = 1mediaErlang, k = 2Erlang, k = 41/2 mediaErlang, k = 8Erlang, k = 161/4 mediaErlang, cualquier k

Sistemas de colas:Etiquetas para distintos modelosNotacin de Kendall: A/B/cA: Distribucin de tiempos entre llegadasB: Distribucin de tiempos de servicioM: distribucin exponencialD: distribucin degeneradaEk: distribucin Erlangc: Nmero de servidores

Estado del sistema de colasEn principio el sistema est en un estado inicialSe supone que el sistema de colas llega a una condicin de estado estable (nivel normal de operacin)Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.)Lo que interesa es el estado estable

Desempeo del sistema de colasPara evaluar el desempeo se busca conocer dos factores principales:El nmero de clientes que esperan en la colaEl tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema

Medidas del desempeodel sistema de colasNmero esperado de clientes en la cola LqNmero esperado de clientes en el sistema LsTiempo esperado de espera en la cola WqTiempo esperado de espera en el sistema Ws

Medidas del desempeo del sistema de colas: frmulas generales

Medidas del desempeodel sistema de colas: EjemploSuponga una estacin de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por horaSe tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por horaSe sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola

Medidas del desempeodel sistema de colas: EjemploLa tasa media de llegadas es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minutoLa tasa media de servicio es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto

Medidas del desempeodel sistema de colas: Ejemplo

Medidas del desempeodel sistema de colas: EjercicioSuponga un restaurant de comidas rpidas al cual llegan en promedio 100 clientes por horaSe tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por horaSe sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la colaCalcule las medidas de desempeo del sistema

Probabilidades como medidas del desempeoBeneficios:Permiten evaluar escenariosPermite establecer metasNotacin:Pn : probabilidad de tener n clientes en el sistemaP(Ws t) : probabilidad de que un cliente no espere en el sistema ms de t horas

Factor de utilizacin del sistemaDada la tasa media de llegadas y la tasa media de servicio , se define el factor de utilizacin del sistema . Generalmente se requiere que < 1Su frmula, con un servidor y con s servidores, respectivamente, es:


Factor de utilizacin del sistema - EjemploCon base en los datos del ejemplo anterior, = 0.75, = 1El factor de utilizacin del sistema si se mantuviera un servidor es = / = 0.75/1 = 0.75 = 75%Con dos servidores (s = 2): = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

Modelos de una cola y un servidorM/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponencialesM/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribucin general de tiempos de servicioM/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribucin degenerada de tiempos de servicioM/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribucin Erlang de tiempos de servicio

Modelo M/M/1

Modelo M/M/1: ejemploUn lavacarro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por horaObtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modelo M/M/1Adems la probabilidad de tener O clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de ms de 3 clientes y la probabilidad de esperar ms de 30 min. en la cola y en el sistema

Modelo M/M/1: ejemplo

Modelo M/M/1: ejercicioA un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutosObtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modelo M/M/1Adems la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de ms de 4 clientes y la probabilidad de esperar ms de 10 min. en la cola

Modelo M/G/1

Modelo M/G/1: ejemploUn lavacarro puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, = 2 min.Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modelo M/G/1Adems la probabilidad de tener O clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

Modelo M/G/1: ejemplo

Modelo M/G/1: ejercicioA un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga = 5 minObtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modelo M/G/1Adems la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

Modelo M/D/1

Modelo M/D/1: ejemploUn lavacarro puede atender un auto cada 5 min.La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modelo M/D/1

Modelo M/D/1: ejemplo

Modelo M/D/1: ejercicioA un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modelo M/D/1

Modelo M/Ek/1

Modelo M/Ek/1: ejemploUn lavacarro puede atender un auto cada 5 min.La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Suponga k= 2Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelo M/Ek/1: ejemplo

Modelo M/Ek/1: ejercicioA un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4Obtenga las medidas de desempeo de acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el cuadro ejemplo lavacar

ModeloLsWsLqWqM/M/1M/G/1M/D/1M/Ek/1


Modelos de varios servidoresM/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponencialesM/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribucin degenerada de tiempos de servicioM/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribucin Erlang de tiempos de servicio

M/M/s, una lnea de espera

Anlisis econmico de lneas de esperaCostosTasa de servicioTasa ptimade servicioCosto de esperaCosto del servicioCosto total

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