YURENA RODRUGUEZCI:19.344.612

ESTRUCTURA DISCRETA SAIA

CONJUNTO:Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales

llamaremos elementos.

Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al

conjunto que contiene todos los elementos a considerar.

Ejemplo:

Consideremos el conjunto formado por todos los números

naturales menores que 6. En este caso podemos escribir el

conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de

referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado

por todos los números naturales.

Determinación de conjuntos:Por extensión: Por compresión:

Se encuentran entre llaves,

los elementos del conjunto, el

orden en que se enumeran no

importa.

Ejemplo:

A= {a,e,i,o,u}

B= {1,2,3,8}

Se expresa el conjunto como el dominio de verdad de una función proposicional que tiene como dominio un conjunto universal.

Así (U, P(x)) Es una función proposicional entonces:

A= {X€U/P(x)}

Subconjuntos: Sean A y B conjuntos diremos que A es subconjunto de B y

escribiremos A B, si todo elemento de A es también un elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como:

A B ↔ ( x)(x€A x€B)

Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es:

1. Reflexiva: A A, para todo conjunto A.

2. Antisimétrica: A B y B A entonces A = B.

3. Transitiva: A B y B C entonces A C.

Conjunto de potencia

Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o conjunto partes de A como ᶗ(A) = { X / X A}, es decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Características del Conjunto Potencia La principal característica de este conjunto es que es un

conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.

Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de ᶗ (A), ya que si A tiene n elementos, entonces ᶗ(A) tiene 2n elementos.

Conjunto de potencia: Representación Tabular del Conjunto Producto

Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el siguiente ejemplo. EjemploSi A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXB SoluciónAxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}Igualdad de conjuntos:Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales.

Igualdad de conjuntos:Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales.

El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales.

Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego,

A = B ↔ A B y B A

Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces,

A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}

Unión e intersección de conjuntos:Sean A y B dos conjuntos:

la unión de A y B es el conjunto.

A U B={x€U/x€A y x€B}

La intersección A y B es el conjunto:

AB= {x€U/x€A y x€B}

Tiene 3 teoremas

Idempotentes

Conmutativa

Asociativa

Ejemplo:

Si A={a,b,c} y B={b,c,d,e}, entonces:

A U B= {a,b,c,d,e} y A B={b,c}

Otro ejemplo seria:

Dos conjuntos A y B son disjuntos si y solo si AB=0

Los conjunto A={1,2,3} y B={4,5,8} son disjuntos.

Diferencia y complemento Sean A,B,C tres conjuntos,

luego se cumple que:

(AUB) - C = (A - C) U (B - C)

(A I B) - C = (A - C) I (B - C)

(AD B) - C = (A - C) D (B - C)

A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)

(B - C) I A = (B I A) - (C I A)

Sea B un conjunto. Se define el Complementode B como el conjunto.

C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es decir, el complemento de B son los elementos que le faltan a B para llegar a ser igual a U.

Así podemos decir xÎC(B) Û xÏ B.

Diferencia y complemento Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7}

entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10}

Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:

A - B = AI C(B)

C(C(A)) = A

AUC(A) = U

AI C(A) = f

C(U) = f

C(f ) = U

AÌ B Û C(B) Ì C(A)

Ejemplo: Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.

Solución

C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que:

C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}

Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}

Algebra de conjuntos. Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra

de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación.

Leyes de intepotentes

Leyes asociativas

Leyes conmutativas

Leyes distributivas

Leyes de identidad

Leyes de dominación

Leyes de completacion

Leyes de Morgan

PRODUCTO CARTECIANO

Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}

Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8}

entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}

mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}

Nótese que Ax B ¹ Bx A

Opertaciones generalizado Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos

{A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto.

Ejemplo

Sea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar por extensión cada miembro de la familia.

Solución

La familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita.Sinembargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales . Algunos de los miembros de la familia son:

Operaciones generalizadasAhora definamos la unión e intersección de una familia

indizada de conjuntos:

Definición

Sea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define:

La unión de esta familia como el conjunto

La intersección de esta familia como el conjunto

ParticipaciónSea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:

Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.

Ejemplo

Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

Cardinalidad Diremos que un conjunto A

es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito.

Ejemplo: El conjunto {a,b,c,d,e} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos.

Definición: Sea A un conjunto finito. Se dice que:

i. El cardinal de A es 0 si A =f. El cardinal de A es n y lo

denotaremos por #A = n si A tiene n elementos.

Ejemplo: Si A = {0,1,2,5,4,7} entonces #A = 6

Teorema: Sean A yB dos conjuntos finitos, luego:

i. B - A) = #B - #(AI B) ii. #(AUB) = #A + #B - #(AI

B)

Cardinalidad La cardinalidad se basa de algunos teorema Estos

teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría de cardinalidad de conjuntos.

Fin