Sólidos 3-Dimensionalcontent.njctl.org/courses/common-core-math-espanol/... · 2014-11-10 ·...

Geometría 3-D

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Tabla de Contenidos

Área de la Superficie · Prismas · Pirámides · Cilindros

· Prismas y Cilindros Volumen

· Pirámides, Conos y Esferas

Redes

Haga clic en el tema para ir a esa sección

Más Práctica/Revisión · Esferas

Sólidos 3-Dimensional

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Volver a la Tabla de Contenido

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El siguiente enlace te llevará a un sitio con figuras y redes interactivas en 3-D.

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Poliedro Una figura 3-D cuyos rostros son todos polígonos

Poliedro No Poliedro

Clasifica las figuras en el lado adecuado.

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Sólidos 3-Dimensional Características y categorías de sólidos en 3-D:

Prismas 1. Tiene dos bases que son polígonos congruentes y paralelas entre sí 2. Lados son rectangulares (paralelogramos) 3. Nombrado por la forma de su base

Pirámides 1. Tienen una base de polígono con un vértice opuesto a este 2. Caras son triangulares 3. Nombrado por la forma de su base

haga clic en para revelar


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http://www.learner.org/interactives/geometry/3d_prisms.html

Sólidos 3-Dimensional Características y categorías de sólidos en 3-D:

Cilindros 1. Tiene dos bases circulares congruentes, que son paralelas entre sí 2. Lados son curvos

Conos 1. Tiene una base circular con un vértice opuesto a este 2. Lados son curvos



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Palabras de Vocabulario de sólidos en 3-D:

Poliedro Una figura 3-D cuyos rostros son todos polígonos (Prismas y Pirámides)

Cara Superficie plana de un Poliedro

Arista Segmento de línea formado donde dos caras se encuentran

Vértice (Vértices) Punto en el que tres o más caras/aristas se encuentran

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Ordena los datos. Si fallas, la cifra será enviada de vuelta.

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1 Nombra la figura.

A Prisma Rectangular

B

C Prisma Hexagonal

D Pirámide Rectangular

E Cilindro

F Cono

Pirámide Triangular

Jale Jale

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2 Nombra la figura

A Pirámide RectangularB Prisma Triangular C Prisma Octogonal D Pirámide CircularE Cilindro F Cono

Jale Jale

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3 Nombra la figura

A Pirámide RectangularB Pirámide Triangular C Prisma Triangular D Pirámide Hexagonal

E Cilindro F Cono

Jale Jale

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4 Nombra la figura

A Prisma Rectangular B Prisma Triangular C Prisma CuadradoD Pirámide Rectangular

E Cilindro F Cono

Jale Jale

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5 Nombra la figura

A Prisma Rectangular B Pirámide Triangular C Prisma Circular D Pirámide CircularE Cilindro F Cono

Jale Jale

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Para cada figura, encuentra el número de caras, vértices y aristas. ¿Se puede encontrar una relación entre el número de caras, vértices y aristas en las figuras de 3 dimensiones?

Nombre Caras Vértices Aristas

Cubo 6 8 12

Prisma Rectangular 6 8 12

Prisma Triangular 5 6 9

Pirámide Triangular 4 4 6

Pirámide Cuadrada 5 5 8

PirámidePentagonal 6 6 10

Prisma Octagonal 10 16 24

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La Fórmula de Euler

F + V - 2 = E

El número de aristas es 2 menos que la suma de las caras y los vértices.


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6 ¿Cuántas caras tiene un prisma pentagonal?

Jale Jale

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7 ¿Cuántas aristas tiene una pirámide rectangular?

Jale Jale

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8 ¿Cuántos vértices tiene un prisma triangular?

Jale Jale

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Redes


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Redes Las redes son dibujos de dos dimensiones que representan la superficie de figuras tridimensionales.

Hay más de una forma de dibujar una red para un cubo, sin embargo no todas las redes se pueden plegar en un cubo ...

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Corta arreglos de 6 cuadrados en papel cuadriculado.

¿Cuántos arreglos diferentes se pueden plegar en un cubo?

Sugerencia: Acabas de ver un arreglo que funciona y uno que no lo hace.

vea la página siguiente para obtener respuestas ...

Redes - Patrones Planos Actividad 1

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haga clic para mostrar los patrones del cubo plano

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Corta un arreglo de papel cuadriculado para crear un prisma rectangular que no es un cubo.

Ahora haz otro patrón plano del mismo prisma rectangular.

Trata cada patrón al plegarlo en una caja.

¿Cuáles son las dimensiones de cada cara de tu prisma rectangular?

Redes - Patrones Planos Actividad 2

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Las redes de prismas tendrán caras rectangulares y dos bases por las cuales se nombra la figura.

Observa que los dos triángulos son opuestos el uno del otro (Bases).

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9 Nombra este poliedro.

A Prisma Hexagonal

B Pirámide Pentagonal

C Prisma Pentagonal

D Prisma Rectangular

Jale Jale

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10 Nombra el poliedro.

A Prisma Hexagonal

B Pirámide Hexagonal

C Prisma Triangular

D Pirámide Triangular

Jale Jale

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11 Nombra la figura.

A Prisma Triangular

B Pirámide Triangular

C Prisma Rectangular

D Pirámide Rectanglular

Jale Jale

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A Cono Circular

B Cono Rectangular

C Cilindro

D Pirámide Circular

Jale Jale

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A Prisma Triangular

B Pirámide Triangular

C Prisma Pentagonal

D Prisma Cuadrado

Jale Jale

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Volumen


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Volumen

Volumen

- La cantidad de espacio ocupado por una figura 3-D - El número de unidades cúbicas necesarias para LLENAR una figura 3-D (capas)

Etiqueta

Unidades3 o unidades cúbicas



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Actividad de Volumen

Toma cubos de unidad y crea un prisma rectangular con dimensiones de 4 x 2 x 1.

¿Qué sucede con el volumen si se agrega otra capa y se hace 4 x 2 x 2?

¿Qué sucede con el volumen si se agrega otra capa y se hace 4 x 2 x 3?

Jale Jale

Nota para el profesor

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Volumen de Prismas y Cilindros


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Volumen

Volumen de Prismas y Cilindros:

Área de la Base x Altura

Fórmulas del Área:

Rectángulo = lw o bh

Triángulo = Bh o 2 Círculo = r2

haga clic para revelar

(Bh)




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Encuentra el volumen.

5 m

8 m

2 m

Res

pues

ta

Res

pues

ta

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Encuentra el volumen. R

espu

esta

R

espu

esta

10 m

9 m

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14 Encuentra el volumen.

7 plg 1 5

1 plg 1 2

4 plg

Res

pues

ta

Res

pues

ta

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15 Encuentra el volumen de un prisma rectangular con una longitud de 2 cm, un ancho de 3,3 cm y 5,1 cm de altura.

Res

pues

ta

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16 ¿Cuál es una longitud, anchura y altura posible para un prisma rectangular cuyo volumen es = 18 cm3?

A 1 x 2 x 18

B 6 x 3 x 3

C 2 x 3 x 3

D 3 x 3 x 3

Jale Jale

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21 pies

42 pies

50 pies 47 pies R

espu

esta

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18 Un refrigerador en forma de caja mide 12 por 10 por 7 sobre el exterior. Los seis lados del refrigerador son 1 unidad de espesor. ¿Cuál es el volumen interior del refrigerador en unidades cúbicas?

SUGERENCIA: Es posible que desees hacer un dibujo

Res

pues

ta

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6 m

10 m

Res

pues

ta

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20 ¿Cuál vidrio circular tiene más agua?

A Vidrio A con un diámetro de 7,5 cm y una alturade 12 cm

B Vidrio B con un radio de 4 cm y una altura de 11,5 cm

Res

pues

ta

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21 ¿Cuál es el volumen del cilindro más grande que se puede colocar en un cubo que mide 10 pies en una arista?

Res

pues

ta

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22 Un jardín circular tiene un diámetro de 20 pies y está rodeado por un borde de concreto que tiene una anchura de tres pies y una profundidad de 6 pulgadas. ¿Cuál es el volumen de concreto en el camino? Usa 3,14 para π

Res

pues

ta

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Volumen de Pirámides, Conos y Esferas


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Demostración comparando el volumen de Conos y Esferas con el

volumen de Cilindros

click para ir al sitio web

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Volumen de un Cono

(Área de base x altura) 3

(Área de base x altura) 1 3

haga clic en para revelar Un cono es 1/3 del volumen de un cilindro con el mismo área de base (B) Y altura (h).

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http://www.learner.org/courses/learningmath/measurement/session8/part_b/cylinders.html

V = 2/3 (Volumen del Cilindro)

r2 h( )2/3 V=o

V = 4/3 r3

Volumen de una Esfera

haga clic en para revelar Una esfera es 2/3 del volumen de un cilindro con el mismo área de base (B) Y altura (h).

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¿Cuánto helado puede aguantar un de cono de galleta Friendly si tiene un diámetro de 6 plg y su altura es de 10 plg?

(Sólo helado dentro del Cono. No por encima) Volumen y masa utilizada para controlar las porciones. $$$

Jale

Ja

le

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4 plg

9 plg

Res

pues

ta

Slide 54 / 139

24 Encuentra el volumen

5 cm 8 cm

Res

pues

ta

Slide 55 / 139

Si el radio de una esfera es de 5,5 cm, ¿cuál es su volumen?

V = 4/3 r3

V = 4/3(3,14)(5,5)3

V = 696,6 cm3

π

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25 ¿Cuál es el volumen de una esfera con un radio de 8 pies?

Res

pues

ta

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26 ¿Cuál es el volumen de una esfera con un diámetro de 4,25 plg?

Res

pues

ta

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Volumen de una Pirámide

(Área de base x altura) 3

(Área de base x altura) 1 3

haga clic en para revelar Una pirámide es 1/3 del volumen de un prisma con el mismo área de base (B) y altura (h).

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Las pirámides son nombradas por la forma de su base..

El volumen de una pirámide es 1/3 del volumen de un prisma con el mismo área de base (B) y altura (h).

V = Bh 13

=5 m

longitud del la

do = 4 m

V = Bh 13

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27 Encuentra el volumen de una pirámide triangular con aristas de la base de 8 plg, altura de la base de 4 y una altura de pirámide de 10 plg.

8 plg

10 plg

4 plg

Res

pues

ta

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8 cm

7 cm

15,3 cm

Res

pues

ta

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Área de la Superficie


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Área de la Superficie de Prismas


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La suma de las áreas de todas superficies exteriores de una figura 3-D.

Para encontrar la superficie, debes encontrar el área de cada superficie de la figura y luego añadirlos juntos.

6 plg

3 plg 8 plg

¿Qué tipo de figura se representa?

¿Cuántas superficies hay?

¿Cómo se encuentra el área de cada superficie?

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6 plg

3 plg 8 plg

Abajo Arriba Izquierda Derecha Frente Atrás Suma 3 6 8 24 x 8 x 3 x 6 24 24 24 18 18 48 48 18 18 48 +48 180 plg2

3 plg 8 plg

6 plg

8 plg

6 plg

3 plg

6 plg

3 plg8 plg

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Disposición de los cubos de unidad

Busque todas las maneras posibles en las cuales 24 cubos de unidad se pueden arreglar en un prisma rectangular. Dé a cada arreglo dimensiones y la superficie. También haga un dibujo.

Longitud Ancho Altura Volumen Área de Superficie Dibujo

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Jale Jale

de seis acuerdos

¿Cuál disposición de 24 cubos tiene la menor superficie?

¿Cuál tiene la mayor?

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Disposición de los cubos de unidad

Busque todas las maneras posibles en las cuales 64 cubos de unidad se pueden arreglar en un prisma rectangular. Dé a cada arreglo dimensiones y la superficie. También haga un dibujo.

Longitud Ancho Altura Volumen Área de Superficie Dibujo

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Jale Jale

de 7 acuerdos

¿Cuál disposición de 64 cubos tiene la menor superficie?

¿Cuál tiene la mayor?

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29 ¿Cuál disposición de 27 cubos tiene la menor superficie?

A 1 x 1 x 27

B 3 x 3 x 3

C 9 x 3 x 1

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A 2 x 2 x 3

B 4 x 3 x 1

C 2 x 6 x 1

D 1 x 1 x 12

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31 ¿Cuál disposición de 25 cubos tiene la mayor superficie?

A 1 x 1 x 25

B 1 x 5 x 5

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A 4 x 12 x 1

B 2 x 2 x 12

C 1 x 1 x 48

D 3 x 8 x 2

E 1 x 2 x 24

F 4 x 3 x 4

G 1 x 8 x 6

H 4 x 2 x 6

I 3 x 16 x 1

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Encuentra la superficie de una caja rectangular de zapatos que tiene una longitud de 12 pulgadas, un ancho de 6 pulgadas y una altura de 5 pulgadas.

Arriba/Abajo Frente/Atrás Izquierda / Derecha Área de la superficie 12 12 6 144 x 6 x 5 x 5 120 72 60 30 + 60 x 2 x 2 x 2 324 plg2 144 120 60

5 plg

6 plg

12 plg

haga clic en para revelar haga clic en para revelar haga clic en para revelar haga clic en para revelar

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3 m5 m

7 m

Nombra la figura. Encuentra la superficie de la figura.

Jale Jale

Slide 76 / 139

33 ¿Cuántas caras tiene la figura?

2 m4 m

6 mJale Jale

Slide 77 / 139

34 ¿Cuántos problemas de área debes completar al encontrar la superficie?

2 m4 m

6 m Jale Jale

Slide 78 / 139

35 ¿Cuál es el área de la cara de arriba o abajo?

2 m4 m

6 mJale Jale

Slide 79 / 139

36 ¿Cuál es el área de la cara izquierda o la derecha?

2 m4 m

6 m Jale Jale

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37 ¿Cuál es el área de la cara de frente o atrás?

2 m4 m

6 m Jale Jale

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38 ¿Cuál es la superficie de la figura?

2 m4 m

6 m Jale Jale

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Encuentra el área de la superficie. 1. Dibuja y etiqueta todas las caras 2. Encuentra las dimensiones correctas para cada cara 3. Calcula el área de cada cara 4. Encuentra la suma de todas las caras 5. Etiqueta tu respuesta

5 yd

6 yd

4 yd

9 yd

5 yd ir a ver los pasos

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Triángulos Rectángulo Inferior 4 9 x 6 x 6 24 / 2 = 12 54 x 2 24

Área de Superficie Total 24 54+ 90 168 m2

5 yd

6 yd

4 yd 9 yd

5 yd

9 yd

5 yd

5 yd

6 yd

4 yd

Rectángulos de Izquierda/Derecha (Del mismo tamaño desde isósceles) 5 x 9 45 x 2 90

9 yd

5 yd

5 yd

6 yd

4 yd

Haga clic en la caja de

revelar los pasos.

Haga clic en la caja de revelar los pasos.


revelar los pasos.


revelar los pasos.

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Encuentra el área de la superficie. 1. Dibuja y etiqueta todas las caras 2. Encuentra las dimensiones correctas para cada cara 3. Calcula el área de cada cara 4. Encuentra la suma de todas las caras 5. Etiqueta tu respuesta

9 cm

6 cm 11 cm

9 cm

9 cm

ir a ver los pasos

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Triángulos Rectángulos 9 (Los tres son del mismo tamaño ya que son equiláteros) X6 54 / 2 = 27 9 x 2 x 11 54 99 x 3 297

Área de la superficie 297+ 54 351 cm2

9 cm

6 cm 11 cm

9 cm

9 cm

9 cm

6 cm 11 cm

9 cm

9 cm

Haga clic en la caja de revelar los pasos.


revelar los pasos.

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39 Encuentra el área de la superficie de la forma siguiente.

21 pies

42 pies

50 pies

47 pies

1. Dibuja y etiqueta todas las caras 2. Encuentra las dimensiones correctas para cada cara 3. Calcula el área de cada cara 4. Encuentra la suma de todas las caras 5. Etiqueta tu respuesta

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7 cm 3 cm

4 cm

15 cm

6 cm

5 cm

Encuentra el área de la superficie.

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Trapezoides 10 + 6 16 x 4 64 / 2 = 32 x 2 64

Rectángulo Inferior 6 x 15 90

Rectángulo Superior 10 x 15 150

Rectángulos de lado 5 x 15 75 x 2 150

Área de la superficie 64 90 150 + 150 454 cm2

7 cm 3 cm

4 cm

15 cm

6 cm

5 cm






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40 Encuentra el área de la superficie de la siguiente figura.

8 cm 6 cm

10 cm

9 cm

Jale

Ja

le

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41 Encuentra el área de la superficie de la siguiente figura

10 cm 2 cm

6 cm

10 cm

6 cm Jale

Ja

le

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Área de la Superficie de las Pirámides


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Área de la superficie de las pirámides

¿Qué es una pirámide?

Poliedro con una base y caras triangulares que se encuentran en un vértice

¿Cómo se encuentra la superficie?

Suma de las áreas de todas las superficies de la figura 3-D haga clic en para revelar


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8 cm

8 cm

17,5 cm


ir a ver los pasos

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Rectángulode Abajo 8 x 7 56

TriángulosAdelante/Atrás

Triángulos Izquierda/Derecha

Área de la superficie 56 140 + 140 336 cm 2

8 cm

8 cm

17,5 cm

8 cm

17,5 cm

8 cm

8 cm

17,5 cm

8 cm

A = 1/2bh 2A = 1/2(8)(17,5) 2A = 140

••

A = 1/2bh 2A = 1/2(8)(17,5) 2A = 140

••

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Encuentra el área de la superficie de una pirámide cuadrada con una arista de la base de 4 pulgadas y la altura del triángulo de 3 pulgadas.

4 plg

3 plg Base 4x 4 16

Triángulos Área de la superficie 16+ 2440 plg2


haga clic en para revelar haga clic en para revelar

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A = 1/2bhA = 1/2(4)(3,5)A = 7


Asegúrate de mirar a la base para ver si es un triángulo equilátero o triángulo isósceles (haciendo todos o dos de los triángulos laterales equivalente!).

Base Triángulos (Todos iguales)

Área de la superficie 7+ 3643 plg2

4 plg4 plg

4 plg

6 plg

3,5 plg



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42 ¿Cuál tiene un mayor área de superficie, una pirámide de base cuadrada con una arista de base de 8 plg y una altura de 4 plg o un cubo con una arista de 5 plg?

A Pirámide Cuadrada

B Cubo Jale

Ja

le

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43 Encuentra el área de superficie de una pirámide triangular, con aristas de la base de 8 plg, altura de la base de 4 plg y una altura inclinada de 10 plg.

8 plg8 plg

8 plg

10 plg

6,9 plg

Jale

Ja

le

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44 Encuentra el área de la superficie.

9 m9 m

12 m

11 m

6,7 m

Jale

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Área de la Superficie de Cilindros


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¿Cómo se encuentra la superficie de un cilindro?

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Ten en cuenta la longitud del rectángulo es en realidad la circunferencia de la base circular.

Pasos 1. Encuentra el área de las 2 bases circulares. 2. Encuentra el área de la superficie curva (en realidad, un rectángulo). 3. Añade las dos áreas. 4. Etiqueta tu respuesta.

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ALTURA

Radio

Radio

Lado curvo = circunferencia de la base circular

ALTURA

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Área de los círculos = 2 ( r2) Área de la superficie curva = Circunferencia Altura d Altura

2 r2 + dh

2 r2+ 2 rh -O-

ALTURA

Radio

Radio

Lado curvo = circunferencia de la base circular

ALTURA

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Encuentra la superficie de un cilindro cuya altura es de 14 pulgadas y cuya base tiene un diámetro de 16 pulgadas.

14 plg

16 plg Área de los círculos = 2 ( r2) = 2 ( 82) = 2 (64 ) = 128 = 401,92 plg2

Área de la Superficie Curva = Circunferencia Altura = d Altura = (16)(14) = 224 = 703,36 plg2

Área de Superficie = 401,92 + 703,36 = 1105,28 plg2

Slide 106 / 139

45 Encuentra la superficie de un cilindro cuya altura es 8 pulgadas y cuya base tiene un diámetro de 6 pulgadas.

Jale

Ja

le

Slide 107 / 139

46 Encuentra la superficie de un cilindro cuya altura es de 14 pulgadas y cuya base tiene un diámetro de 16 pulgadas.

Jale

Ja

le

Superficie = 401,92 + 703,36 = 1105,28 plg2

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47 ¿Cuánto material se necesita para hacer una lata de jugo de cilíndrica que es de 15 cm de alto y tiene un diámetro de 10 cm?

Jale

Ja

le

Slide 109 / 139

48 Encuentra la superficie de un cilindro con una altura de 14 pulgadas y un radio de la base de 8 pulgadas.

Jale

Ja

le

Slide 110 / 139

49 Un tanque de alimentación cilíndrico en una granja tiene que ser pintado. El tanque tiene un diámetro de 7,5 pies y una altura de 11 pies Un galón de pintura cubre 325 pies cuadrados. ¿Tienes suficiente pintura? Explica.

Sí

NO

Jale

Ja

le

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Área de la Superficie de Esferas

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Una esfera es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia del punto central.

Como un círculo, una esfera tiene un radio y un diámetro.

Verás que como un círculo, la fórmula de la superficie de una esfera también incluye pi.

Radio

Área de la superficie de una esfera


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Superficie = 4 r2

Superficie = 4 (12742/2)2

Superficie = 4 (6371)2

Superficie = 509.805.891 km2

Si el diámetro de la Tierra es de 12.742 kilometros, ¿cuál es su superficie?

12,742 km

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Superficie = 4 r2

Superficie = 4 (2,7/2)2

Superficie = 4 (1,35)2

Superficie = 22,8906 plg2

Intenta esto:

Encuentra la superficie de una pelota de tenis, cuyo diámetro es 2,7 pulgadas.

2,7 plg


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50 Encuentra la superficie de una pelota de béisbol con un diámetro 3,8 pulgadas.

Jale

Ja

le

Slide 116 / 139

51 ¿Cuánto cuero se necesita para hacer una pelota de baloncesto con un radio de 4,7 pulgadas?

Jale

Ja

le

Slide 117 / 139

52 ¿Cuánta goma se necesita para hacer 6 pelotas de raqueta con un diámetro de 5,7 pulgadas?

Jale

Ja

le

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Más Práctica/Revisión


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15 mm

8 mm

22 mm

Slide 120 / 139

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54 Encuentra el volumen de una pirámide rectangular con una longitud de base de 2,7 metros y una anchura de base de 1,3 metros, y una altura de la pirámide de 2,4 metros.

SUGERENCIA: Dibujar un diagrama te ayudará

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55 Encuentra el volumen de una pirámide de base cuadrada con arista de la base de 4 pulgadas y altura de la pirámide de 3 pulgadas.

Slide 122 / 139


9 m9 m

12 m

11 m

6 m

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14 pies

21 pies

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8 plg

6,9 plg

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4 pies

7 pies

8 pies

9 pies

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60 Un cono de 20 cm en diámetro y 14 cm de alto se utilizó para llenar una maceta cúbica, de 25 cm por arista, con tierra. ¿Cuántos conos-enteros de tierra se necesitan para llenar la maceta?

20 cm

14 cm

25 cm

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61 Encuentra el área de la superficie del cilindro.

Radio = 6 cm y Altura = 7 cm

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11 cm

11 cm

12 cm

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7 plg

8 plg

9 plg

9 plg

2 plg

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7 plg

8 plg

9 plg

9 plg

2 plg

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65 Una caja de almacenaje rectangular es de 12 plg de ancho, 15 plg de largo y 9 plg de alto. ¿Cuántas pulgadas cuadradas de papel de color se necesitan para cubrir la superficie de la caja?

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66 Encuentra el área de la superficie de una pirámide de base cuadrada con una longitud de base de 4 pulgadas y altura inclinada de 5 pulgadas.

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Nombra una figura 3-D que no es un poliedro.

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Define los siguientes términos:


Volumen

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Nombra una figura 3-D que tiene 6 caras rectangulares.

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40 m

70 m

80 m

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68 Un profesor hizo dos pares de dados de espuma para uso en juegos de matemáticas. Cada cubo mide 10 plg en cada lado. ¿Cuántas pulgadas cuadradas de tela fueron necesarias para cubrir los dos cubos?

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