Smith Chart 1

Profesor: Fco. Gerardo Peña Lecona.

Profesor: Fco. Gerardo Peña Lecona.

La Carta de Smith La Carta de Smith

Se aplica a líneas de transmisión c/s pérdidas.

Considere el coeficiente de reflexión en la carga L, para una línea cualquiera:

irj

LL

LL je

ZZ

ZZL

0

0

Como L 1

La C.S. consiste en la gráfica de la impedancia o admitancia normalizada en el plano definido por .

Todos los valores de L están circunscritos al círculo unitario ( radio=1).

Todos los valores de L están circunscritos al círculo unitario ( radio=1).


Para un punto cualquiera de la línea de transmisión, ubicado a una distancia d de la carga:

djdL

dLd

Leee 222 Definiendo la impedancia normalizada en este punto se tiene:

dL

dL

d

d

e

e

Z

Zz

2

2

0 1

1

1

1

Para el caso d=0 ( Z = ZL)

jxrZ

jXR

Z

Zz LL

L

LL

00 1

1


O bien:

irL

LL j

Z

Z

1

1

Combinando estas dos últimas ecuaciones se obtiene:

22

22

1

1

ir

irr

22

2

1

2

ir

ix

Arreglando estas dos últimas ecuaciones, se tiene:

22

2

1

1

1

rr

rir

(*)

22

2 111

xxir(**)

Ecuación que representa una familia de círculos que decriben el lugar geométrico de resistencia constante.


RadioCentro

i

r

Obs: A lo largo del eje real de , r varia desde 0 .


(*)

r1

1

r

r

1

Grafica de círculos

de resistenciaconstante

en el planocomplejo

paradistintos

radios


i

r

r =1r =0.5r =2 r =0

(*)

Círculounitario

Considerando ahora la segunda ecuación (**):

22

2

1

1

1

rr

rir

22

2 111

xxir

(*)

(**)

Ecuación que representa una familia de círculos que decriben el lugar geométrico de reactancia constante.

Radio


Centro

x

1,1

r

i


(**)

x

1

x

1,1

Grafic

a de círc

ulos

de rea

ctancia

consta

nte

Obs: Con - < x <


La superposición de estas dos familias de círculos da origen a

La superposición de estas dos familias de círculos da origen a

La Carta de SmithLa Carta de Smith


i

r

r =1r =0.5

r =2 r =0

x

1,1

Resistencias (conductancias)

constantes

Hacia el Generador

Hacia la Carga

Circuitoabierto(Z=)

CortoCircuito(Z=0 )

Círculo unitario

(r=1/g=1)

Reactancias (suceptancias)

constantes

Círculo r=0


Adaptación de impedancias.

Cuando una línea de Transmisión es terminada en una impedancia distinta de su impedancia característica:

Se originan reflexiones que se traducen en ondas estacionarias indeseadas.

En el caso general de posible desadaptación, se considera:

ZG Z0 y ZL Z0. Es necesario ubicar elementos adaptadores de impedancia en ambos extremos de la línea.


Mallade

Adapt.

Mallade

Adapt.

ZG

ZLVG

Z0 ,

ZG Z0

ZL Z0

donde:

ZG Z0 Z0 ZLZ*

G Z0 Z0Z*

L


Elementos de Adaptación de impedancias.

Diversos son los dispositivos que pueden conformar las mallas de adaptación de impedancia, por ejemplo:

- Transformador /4

- Stubs

- Mallas , T y L

Secciones de líneas

Elementos concentrados

Obs: Cada uno de estos elementos se utiliza según la aplicación y el tipo de desadaptación.

Obs: Cada uno de estos elementos se utiliza según la aplicación y el tipo de desadaptación.


TransformadorTransformador /4./4. TransformadorTransformador /4./4.

Se utiliza principalmente si ZL es resistiva pura.

Consiste en un trozo de cable coaxial (línea de Tx.) de longitud /4, localizada a una distancia d de la carga.

Z0 ZL

dZT

/4

zt


Si ZL es carga resistiva pura:

Se utiliza un Transformador de /4 entre Z0 y ZL:

i) d = 0 LT ZZZ 0ii)

Si ZL es carga compleja:

Se utiliza un Transformador de /4 a una distancia

d (dada por la C.S.) y

tT ZZZ 0 ; tt zZZ 0

Obs: Normalmente, para cargas complejas se emplean los elementos restantes.

Obs: Normalmente, para cargas complejas se emplean los elementos restantes.


Stub Simple.Stub Simple. Stub Simple.Stub Simple.

Consiste en ubicar un elemento de línea de Tx. en algún punto P de la línea, a cierta distancia d de la carga, como muestra la siguiente figura:

ZLZ0

d

P

Elemento de línea

de transmisión


Este elemento (sección) debe proveer una reactancia (suceptancia) tal que anule la reactancia (suceptancia) vista en dicho punto P.

Estas secciones pueden ser terminadas en c.c. o c.a.

La conexión es como sigue:

Z0ZL

P

Pd

yLyd

l

ys

y11


Dado que la conexión del stub es paralelo, se trabaja con admitancias.

El stub debe ubicarse a una distancia d de la carga, donde:

jbyd 1 esto es:

De esta forma el valor de la suceptancia que marca el stub, para producir la adaptación en P- P debe ser

jbys

dyj

djy

Y

Yy

L

Ldd

tg1

tg

0

(*)


Así, entonces en P- P

O bien

El valor de , lo determina la longitud l del stub según:

jbys

111 y

011 YY 011 YY 011 ZZ 011 ZZ

ljySCs cot ljy

OCs tg (**)


Procedimiento de adaptación usando C.S.Procedimiento de adaptación usando C.S.

Dado que resolver las ecuaciones anteriores (*) y (**) resulta complicado, se utiliza un método expedito y rápido empleando la Carta de Smith.

1° La impedancia de carga se lleva a admitancia y se ubica en la C.S.

ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento

0Z

Zz L

L L

L zy

1

yL

Admitancia normalizada


2° Se traza el círculo de la ROEV constante para yL.


centro


yL

ROEV cte


3° Se va desde yL en el círculo de ROEV, en dirección al

generador hasta interceptar con g=1.



ROEV cte


Círculo unitario

(r=1/g=1)

A

ByL




4° Se obtiene la distancia d, desde yL hasta el punto A.

3° Se va desde yL el círculo de ROEV, en dirección al



Círculo unitario

(r=1/g=1)

A

ByL

d


3° Se va desde yL el círculo de ROEV, en dirección al




5° Del punto A se leeyd = gd+jbd ; gd=1

El stub entonces deberá sustraer la suceptancia jbd, al conectarse en paralelo en dicho punto.

Debe proveer una suceptancia de

valor -jbd

4° Se obtiene la distancia d, desde yL hasta el punto A.


A

B

yd= gd+jbd

yL

A

jbd



6° Se grafica ys = -jbd


A

yd= gd+jbd

yL BB

ys = -jbd

A

jbd




7° La intersección de ys con el círculo r =0 da el puntoD .


A

B

yd= gd+jbd

yL

Círculo r=0

B

ys = -jbd D




7° La intersección de ys con el círculo r =0 dá el punto P´.

8° La determinación del largo del stub ls, dependerá si este es

un stub en c-c o c-a. Suponiendo que es del primer tipo, entonces su largo, en términos de será el arco desde ZL=0, hasta el puntoP´. (en este caso se ha supuesto así).

Por ejemplo: Si el stub termina en un corto circuito

se debe venir desde ZS = 0.

Por ejemplo: Si el stub termina en un corto circuito

se debe venir desde ZS = 0.


A

B

yd= gd+jbd

yL

Círculo r=0

B

ys = -jbd D

ZS =0

lS


El diseño del stub se enfrenta como una línea de transmisión cualquiera terminada en un c.c. o c.a.

De esta forma, la admitancia resultante, despues de ubicar el stub, en el punto P- P es:

Línea adaptada Línea

adaptada

Por tanto,

111 y


Stub Doble.Stub Doble. Stub Doble.Stub Doble.

A veces la adaptación con un único stub es complicada, debido a que no siempre es posible tener acceso al punto en que este debe ser colocado.

La solución a este problema es utilizar dos stub en paralelos, separados a una distancia x fija,como muestra la figura:

ZLZ0 Stub 1Stub 2

x

Obs: x generalmente es /8, 3(/8) o 5(/8).

Obs: x generalmente es /8, 3(/8) o 5(/8).


ZLZ0

Stub 1Stub 2

n(/8)

El stub más cercano a la carga, ubicado a una distancia d1 prefijada, es utilizado para ajustar la susceptancia de manera de “caer” en el círculo unitario g=1, desplazado algún múltiplo de /8 (hacia la carga).

d1


De esta forma, cuando se coloque el segundo stub, a una distancia n/8 del primero, la admitancia normalizada en este punto tendrá una conductancia unitaria. Este segundo stub sustraerá la susceptancia que hay en dicho punto.

Stub 1: permite estar en cualquier punto de círculo unitario.

Stub 1: permite estar en cualquier punto de círculo unitario.

Stub 2: permite llegar a colocarnos en el centro de la C.S.

Stub 2: permite llegar a colocarnos en el centro de la C.S.

Se tendrá resuelto el problema.



ZLZ0

S1S2

n(/8)

d1

Esquema general de conexión:

yLyd1l1

yS1

y11

yd2l2

yS2

y22



1° Se debe identificar yL y trazar el círculo de ROEV

constante.

Determinación de Stub 1

ROEV cte


yL




constante.2° Dibujar el círculo g=1, desplazado n/8 en dirección de la carga.

Obs: En el ejemplo 3/8.

Determinación de Stub 1

ROEV cte


yL

2/8

Círculo unitariodesplazado en

3/8

Círculo unitario

(r=1/g=1)/8

3/8




constante.2° Dibujar el cículo g=1, desplazado n/8 en dirección de la carga.


3° Ir desde yL a través de ROEV constante, en sentido

del generador, una distancia d1 conocida.

Stub 1

ROEV cte


yL


3/8

d1

A




constante.2° Dibujar el cículo g=1, desplazado n/8 en dirección de la carga.


3° Ir desde yL a través de ROEV constante, en sentido

del generador, una distancia d1 conocida.

4° Se obtieneyd1= gd1+ jbd1

Y se dibuja gd1 en la C.S.

Stub 1

ROEV cte

yL


3/8

d1

yd1= gd1+jbd1

gd1

A



5° A partir de yd1 , moverse hacia el generador a través

de gd1 hasta interceptar el círculo unitario desplazado.

ROEV cte

yL


3/8

d1

yd1= gd1 + jbd1

gd1





yy11= gd1- jb11

6° De esta forma se obtiene

y11’= gd1 -jb11’

ROEV cte

yL

d1

yd1= gd1+ jbd1

gd1

y11= gd1+jb11y11= gd1 - jb11

y11’= gd1 - jb11’





y

6° De esta forma se obtiene

y11’= gd1 - jb11’

7° Luego, se obtiene yS1 despejando:

y11= gd1- jb11

y11 = yd1+yS1 yS1 = y11 - yd1

yS1 = gd1-jb11 - gd1-jbd1

yS1 = -j (b11+bd1)yS1 = - jbS1 bS1



8° Se grafica yS1 en la C. S.

ROEV cte

yL

d1

gd1

B

yS1 = - jbS1

yd1= gd1+ jbd1

y11’= gd1 - jb11’

y11= gd1 -jb11




9° Se traza una recta desde el centro hasta el punto en

que yS1 intercepta el círculo r = 0, obteniéndose así el

punto D.

ROEV cte

yL

d1

gd1

B

yS1 = jbS1

y11= gd1 jb11

yd1= gd1 jbd1

y11’= gd1 jb11’ D






punto D.

10° Desde punto D, moviéndose hacia la carga hasta la

terminación del stub, se obtiene el largo del stub 1 (l1),.

Por ejemplo: Si el stub1 termina en un corto circuito

se debe ir hasta ZS1 = 0.

Por ejemplo: Si el stub1 termina en un corto circuito

se debe ir hasta ZS1 = 0.

ROEV cte

yL

d1

gd1

B

yS1 = jbS1 D

y11= gd1 jb11

yd1= gd1 jbd1

y11’= gd1 jb11’

l1



1° Se regresa el círculo unitario a su origen y se

identifica y11 .

Stub 2

yL y11

yS1 = jbS1




identifica y11.

Stub 2

2° Dibujar la ROEV constante para y11.

yL y11

ROEV cte para

y11

y11y11




identifica y11.

Stub 2


3° Moverse desde y11 hacia el generador por la ROEV

constante, hasta interceptar el círculo unitario, obteniéndose

yd2= 1+ jbd2

ROEV cte para

y11

yL y11

yd2= 1+ jbd2




identifica y11.

Stub 2


3° Moverse desde y11 hacia el generador por la ROEV

constante, hasta interceptar el círculo unitario, obteniéndose

yd2= 1+ jbd2

4° Luego, se obtiene yS2 despejando: y22 = yd2+yS2 =1



yS2 = y22 - yd2

yS2 = 1 - 1-jbd2

yS2 = - j bd2

yS2 = - jbd2

5° Se grafica yS2 en la C.S.

yL y11

yd2= 1+ jbd2

jbd2

yS2= -jbd2



yS2 = y22 - yd2

yS2 = 1 - 1-jbd2

yS2 = - j bd2

yS2 = -jbd2

5° Se grafica yS2 en la C.S.



punto H.

yL y11

yd2= 1+ jbd2

jbd2

yS2= -jbd2H



7° Desde H, moviéndose hacia la carga hasta la

terminación del stub, se obtiene el largo del stub 2 (l2).

Por ejemplo: Si el stub2 termina en un circuito abierto

se debe ir hasta ZS2 = .

Por ejemplo: Si el stub2 termina en un circuito abierto

se debe ir hasta ZS2 = .

yL y11

yd2= 1+jbd2

jbd2

yS2= -jbd2H

ZS2 =

l2


Malla L.Malla L. Malla L.Malla L.

Pasabajos:

Pasa altos:

Obs: El Q de estas mallas es determinado por la relación Z0 y RL.



Es el caso más simple y se trabaja superponiendo la carta de impedancia y de admitancia simultáneamente.

Su procedimiento de adaptación depende de la forma (serial/paralelo) en que el elemento se conecta a la carga.

Conexión serie.Conexión serie.Conexión serie.Conexión serie.

-jx2

jx1

ZL LLLL xjrz

Z

Z

0


Al agregar un elemento en serie a ZL, implica

Trabajar con la carta de impedancia

Desplazarse por el círculo de resistencia cte rL.

Como el elemento siguiente se conecta en paralelo, y sabiendo que su efecto sólo será sobre la susceptancia

Es necesario situarse antes sobre el círculo de conductancia g =1.

Se debe dibujar simultáneamente g =1 y r =1.


Conexión paralela.Conexión paralela.Conexión paralela.Conexión paralela.

-jx1

jx2

ZL

Se procede en forma análoga al caso anterior, excepto que :

Ahora se agrega primero un elemento en paralelo.

El primer desplazamiento es sobre el círculo de g = cte., hasta interceptar el círculo g = 1


Malla T.Malla T. Malla T.Malla T.

Esta malla impone como primer elemento uno en serie lo que implica desplazarse por un círculo r = cte.

Como existen dos elementos más a agregar, se dan infinitas posibilidades de adaptación.

Un parámetro que restringe el nº de soluciones es el Q de la malla.


Malla Malla .. Malla Malla ..

Obs: Las mallas T y permiten controlar el Q.

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