Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.

Sean:

X= n: de barriles comprados de crudo ligero.

Y= n: de barriles comprados de crudo pesado.

La tabla de producción de cada producto con arreglo al tipo de crudo es:

G C T

Ligero 0,3 0,2 0,3

Pesado 0,3 0,4 0,2

La función objetivo que hay que minimizar es:

f(x, y)=35x+30y

Las restricciones:

Y la zona de soluciones factibles:

Los vértices son:

A(0, 3000000)

B intersección de r,s:

C(4000000, 0)

Y, en ellos la función objetivo presenta los valores:

Siendo la solución de mínimo coste la compra de 3000000 de barriles de crudo ligero y ninguno de crudo pesado para un coste de 90000000

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada

anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una

camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres

camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la

oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para

maximizar la ganancia?

1 Elección de las incógnitas.

x = nº de lotes de A

y = nº de lotes de B

2 Función objetivo

f(x, y) = 30x + 50y

3 Restricciones

A B Mínimo

Camisas 1 3 200

Pantalones 1 1 100

x + 3y ≤ 200

x + y ≤ 100

x ≥ 20

y ≥ 10

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 € Máximo

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €.

Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata,

vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de

oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada

uno de los metales.

Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo.

Solución:

Llamamos x al número de joyas del tipo A e y al número de joyas del tipo B.

Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

La función que nos da los ingresos es z = 40x 50y = 10(4x 5y).

Debemos hacer máxima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 10(4x 5y) = 0

4x 5y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(4x 5y).

es decir, en (300, 300).

Por tanto, ha de fabricar 300 joyas del tipo A y 300 del tipo B para obtener el máximo

beneficio. Los ingresos en este caso serían z = 40 300 50 300 = 27 000 euros.

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0

7505,1

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yx

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