HOMENAJE AL PROFESOR SIXTO RIOS TRABAJOS DE ESTADISTICA Y DE INVESTIGACION OPERATIVA Vol. 36, N~m. 3, 1985, pp. 165 a 176

S O B R E A D M I S I B I L I D A D Y C A S I A D M I S I B I L I D A D

J a v i e r G i r 6 n y L i n a M a r t i n e z

Departamento de Estadistica. Facultad de Ciencias. Universidad de Mdlaga. Campus de Teatinos s/n. 29071 Mdlaga.

La idea de casi-admisibilidad, esto es, admisibilidad salvo conjuntos de medida nula, se extiende a situaciones m~is generales que las hasta ahora consideradas. Se estudia el problema de su existencia y la relacidn con una subclase de las reglas de Bayes; en particular su relacidn con la regla de Cromwell. La idea de soporte de una distribuci6n se extiende a esta nueva situaci6n y se relaciona con el concepto ckisico de soporte y otros conceptos como el de regularidad.

Palabras Clave: Admisibilidad; Casi-admisibilidad; Regla de Cromwell; Soporte.

Clasificacidn AMS (1980): Primaria, 62C15; Secundaria, 62[210.

On admissibility and almost-admissibility

The notion of almost-admissibility, i.e., admissibility up to sets of zero measure, is extended to more general situations than those hitherto considered. The problem of existence of almost-admissible rules and the relation to a subclass of Bayes rules is dealt with in the paper; in particular, we stress its connection with Cromwell's Rule. The idea of support of a probability distribution is extended as well, and its relation to the classic concept of support and the new concept of regularity is also discussed.

Key words: Admissibility; Almost-admissibility; Cromwell's rules; Support.

AMS Classification (1980): Primary, 62C 15; Secondary, 62C10.

1. I N T R O D U C C I O N

La re lac i6n que exis te entre las reglas de dec is i6n admis ib l e s y las reglas de

Bayes c o r r e s p o n d i e n t e s a un p r o b l e m a de dec i s i6n es tadfs t ico depende , en gran

medida, de los e lementos del p rob lema de decisi6n, en part icular, de la estructura del

e spac io pa ram6 t r i co f~ (finito, e spac io topo l6g ico , e spac io ined ib le , etc.) y del

c o m p o r t a m i e n t o de la funci6n de r i e sgo (con t inu idad , c o n v e x i d a d respec to del

parfimctxo 0 ~ ~ , ctc).

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Si P = (f~, D, R) es un problema de decisi6n y designamos por B§ la clase de las reglas de Bayes respecto de distribuciones de probabilidad cuyo soporte sea todo ~ , por B(P) la clase de todas las reglas de Bayes y por A(P) la clase de las reglas de decisi6n admisibles, el resultado global

B+(P) c A(P) c B+(P) c B(P)

donde - - representa la adherencia respecto de una topologia adecuada en D, s61amente es v~ilido bajo ciertas condiciones (v6ase, p.e., Blackwell and Girshick (1954) para el caso finito y Gir6n (1975) para el caso m~.s general).

Alguna de las inclusiones es v~ilida en condiciones m~is generales. Asf si f2 es un

espacio topol6gico que admite distribuciones de probabilidad cuyo soporte sea todo el espacio f2, la funci6n de riesgo es continua en 0 para todo d ~ D y el riesgo de Bayes existe yes finito, entonces B§ c A(P) (Blyth (1951)).

Este resultado no exige condici6n alguna de convexidad de la funci6n de riesgo ni del con junto de riesgo.

Condiciones bajo las cuales la funci6n de riesgo es continua pueden verse en Ferguson (1967), Berger (1980) y Rfos (1981). Estas no incluyen, sin embargo, a casos que se presentan con frencuencia en la pr~.ctica cuando o bien la funci6n de p6rdida es discontinua o bien el espacio muestral depende del epacio param6trico.

La importancia del teorema de Blyth est~i precisamente en el hecho de que es un criterio de f~icil comprobaci6n aunque, como contrapartida, supone fuertes exigencias en la estructura de f~ (espacio topol6gico, y de la funci6n de riesgo (continuidad en 0).

Una noci6n menos restrictiva que la de admisibilidad es la de casi- admisibilidad, que ha sido considera en la literatura por Karlin (1958), Katz (1961), Farrel (1964), Ferguson (1967) y Zacks (1970) entre otros, en relaci6n con ciertos problemas de estimaci6n bajo p6rdida/cuadrfitica, cuando el espacio muestral depende del espacio param6trico, y que, esencialmente equivale a la admisibilidad

salvo conjuntos de medida nula.

En este artfculo nos limitaremos a estudiar generalizaciones de la inclusi6n B§ c A(P) dejando de lado el problema de cu~indo las decisiones casi-admisibles son Bayes. En la secci6n 2 analizaremos el concepto de casi-admisibilidad en un

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contexto general, dando condiciones suficientes para su existencia, y lo relacionamos con la regla de Cromwell. En la secci6n 3 presentamos resultados que relacionan los conceptos de casi-admisibilidad y regla de Cromwell generalizada con los conceptos correspondientes al caso de espacios topol6gicos.

2. CASI-ADMISIBILIDAD. EXISTENCIA Y RELACION CON LA REGLA DE CROMWELL.

Sea (f2, D, R) un problema de decisidn en el que (f2, B) es un espacio inedible y R(0, d) es la funci6n de riesgo que supondremos acotada y B-inedible en 0 para todo

d e D .

Sea g una medida cr-finita definida sobre (f2, B), de modo que los conjuntos de B g-nulos son irrelevantes al problema de decisi6n que estamos considerando.

La introducci6n de I-t en la formulacidn del problema de decisi6n conduce inmediatamente a las dos definiciones siguientes, la primera de las cuales generaliza el concepto de admisibilidad y la segunda contempla el aspecto Bayesiano del pmblema de decisidn.

Definici6n 2.1. d o e D es una regla de decisi6n casi-admisible para el problema ([-2, D, R) si de ser R(0,d) < R(0,do) para todo 0 e f2 y para d e D se deduce que

R(O,d) = R(O,do) c.p.d.(bt).

Obs6rvese que el concepto de casi-admisibilidad depende de la medida g; no obstante, cuando no haya peligro de confusi6n, omitiremos de la definicion la referencia a dicha medida. Ademfis, est~i claro que si d o es admisible, entonces es casi-admisible cualquiera que sea la medida g.

La segunda definicidn restringe el espacio de las posibles distribuciones a priori F definidas sobre (f~, B) a aquellas que asignan probabilidad 0 a los con juntos g-nulos de B, lo cual parece razonable suponer desde un punto de vista puramente

Bayesiano.

Definici6n 2.2 . F(Ia) = { P e F tales que P << 1 a }.

El teorema de Radon-Nikodym nos ascgura la existcncia de las corres- pondientes la-densidades, de modo que los elementos de l'(~.t) vicnen caracteterizados

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por el subconjunto de Ll(f2, B, It) definido por

f2*(it) = { p ~ Lt; ~ p ( 0 ) d It(0) = 1; p(0) > 0 c.p.d.(It) }.

Por filtimo conviene destacar de F (o de F(it)) un, subconjunto importante que es el de las distribuciones de probabilidad que satisfacen la llamada regla de Cromwell (Lindley (1982), Gir6n et. al. (1982)). En general, una distribuci6n de probabilidad satisface la regla de Cromwell si y solamente si tiene los mismos conjuntos nulos que It, o 1o que es equivalente

Definici6n 2.3. Una distribuci6n a priori P sobre (f2, B) satisface la regla de Cromwell si es mutuamente absolutamente continua respecto de It.

Esta definici6n m~s abstracta que la dada por Martinez, Caro y Gir6n (1985) pues no hace referencia a la idea de soporte, se ve fficilmente que es equivalente a la dada por estos autores y, por tanto, la clase de las distribuciones a priori que satisfacen la regla de Cromwell queda caracterizada por el subconjunto de t2*(it) definido por

f2*+(p.) = { p e f2*(it); p(0) > 0 c.p.d.(it) }.

Desde el punto de vista t6cnico es conveniente identificar las reglas de decisi6n d c D con los elementos R(0,d) del espacio L~(f~, B, It), 1o que conduce a la definici6n siguiente, an~loga a la usual.

Definici6n 2.4. El con junto de riesgo del problema (f~, D, R) es el subconjunto S de L~(f2, B, It) definido por

S = { h e Loo; existe d �9 D tal que h(0) = R(0,d) c.p.d.(it) }.

Si en Lot(f2, B, It) se define la relaci6n de orden natural >d por

h >d g s i y s o I o s i h(0)<g(0) c.p.d.(p-),

es evidente su relaci6n con la noci6n de casi-admisibilidad: Una regla de decisi6n para el problema (f2, D, R) es casi-admisible si y solo si es un elemento maximal

de (D, >d).

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Definicidn 2.5. E1 conjunto de L definido por

K o= { h ~ L ~ ; h ( 0 ) < 0 c.p.d.(g)}.

se denomina cono de dominancia.

Resulta claro de la filtima definicidn que h ->d g si y solo si h - g e K 0 y que K 0

es un cono convexo y cerrado de L,,~.

De la definici6n 2.1 se deduce que el conjunto de las reglas de decisi6n

casi-admisibles del problema de decisi6n P son los elementos maximales de (D, >d),

y lOS representaremos por A~t(P ). Con el fin de evitar duplicaciones en la notaci6n

designaremos tambi6n por A~t(P) los elementos maximales del conjuntos de riesgo S

asociado a P respecto de la relaci6n de orden paracial dada por el cono K 0.

Si h e S, representaremos por S h = S c~ (K 0 + h) y lo denominaremos la

K o- secci6n de Sen h, o simplemente la secci6n de S en h.

Teorema 2.1. Una condici6n suficiente para que A~t(P) sea no vacfo es que S tenga

al menos una seccidn compacta no vacfa.

Demostraci6n. Sea h e S tal que S h sea compacta. Consideremos el conjunto S h

con el preorden inducido por K 0. Si demostramos que toda cadena de (S h, >d)

admite una cota superior, una simple aplicaci6n del lema de Zorn demostrarfa que

existe un elemento maximal en (Sh, >a)" Adem~is, como todo elemento maximal de

(Sh, ->d) 1o es de (S, ->d) como es f~icil de comprobar, tendrfamos que A~(P) ~e ~.

Sea C una cadena de (S h, -->d)" Todo elemento f e ~g �9 c Sg es una cota superior

de la cadena, y ademfis tal elemento existe puesto que la f ami l i a {Sg}g ~ C es una

familia de subconjuntos compactos no vacfos de S h (por ser K 0 cerrado) con la

propiedad de la interseccidaa finita.

N6tese queen la demostraci6n s61amente se ha utilizado la hip6tesis de que K 0

es un cono convexo y cerrado, por 1o que la demostraci6n sigue siendo v~ilida para los

pre6rdenes generados por dicha clase de conos. (V6ase, p.e., Borwein (1983) para

una demostraci6n general de este resultado).

Defin.ici6n 2.6. AI conjunto de reglas de decisi6n que son Bayes respecto de las

distribuciones a prio,i de F(g) (F+(l.t) ) las representaremos por Brt(P ) (B~t+(P) ).

1 7 0

Si P ~ F(l.t ) y designamos por Hp= {h ~ L,,o; .[h dP < 0}, Hp es un semiespacio cerrado de Loo y por Io tanto un cono convexo y cerrado. Los elementos maximales de D, o bien de S, respecto del preorden (en este easo completo) dado por el cono Hp son precisamente las reglas de Bayes del problema P respcto de la distribuci6n a priori P.

Particularizando el teorema anterior al caso Bayesiano, tenemos una condici6n suficiente para la existencia de las clases B~t (P) o B~t+(P).

Corolario 2.1. Una condici6n suficiente para que la clase B~t(P) (B~t+(P) ) sea no vacia es que S admita una Hp-secci6n no vacfa para algfn P ~ F(~) ( F+(I.t ) ).

Consideremos el siguiente ejemplo tornado de De Groot (1970). Sea f2= {01,02,...}; D= {d0,dl,d2,...}; y R(0, d) dada por la matriz siguiente

d 0

d 1

d 2

01 0 z 0 3

1/2 I/2 1/2

0 1 1

0 0 1

�9 �9 �9

y sea I.t la medida contadora sobre P(f2). Obs6rvese en este ejemplo que las nociones de admisibilidad y casi-admisibilidad coinciden; asf como que F(!a) (F+(~)) coincide con el conjunto de todas las distribuciones a priori (que satisfacen la regla de Cromwell)�9 (V6ase la secci6n 3).

El conjunto de riesgo S admite una secci6n K0-compacta Sdo por 1o que A~(P) es no vacfa y esta formada exclusivamente por la decisi6n {do}. Sin embargo S no admite ninguna secci6n Hp-compacta para ninguna distribuci6n a priori P ~ F(p.). Adem~is es fficil comprobar que B~t(P) = B~(P) =

Aunque se consideren decisiones aleatorizadas, el resultado siguc sicndo vSlido, + i es decir B~t(P' ) = B~t (P) = ~ y Ara(P')= {do} dondc P' es el problcm,l de dccisi6n

resultante de considerar la alcatorizaci6n en I).

171

El resultado siguiente nos proporciona, en primer lugar, otra demostraci6n del teorema de existencia de reglas de decisi6n casi-admisibles y, en segundo lugar, una relaci6n entre las estrategias de Bayes respecto de distribuciones a priori que satisfacen la regla de Cromwell dentro de nuestro contexto y las reglas de decisi6n casi-admisibles.

Teorema 2.2. Para todo problema de decisi6n P se verifica que B~'(I ') c A~t(I' ). A d e m ~ si el conjunto de riesgo asociado a P es compacto, entonces B~(P) ~ ~.

Demostracidn. Supongamos que h 0 e B~+(P). Entonces se tiene que

.[h odP-<.[gdP paratoda g e S yparaalgfin PeF*(I t ) .

Si h no fuese admisible existirfa un go e S tal que ho(0) _> go(0) c.p.d.(g) y ho(0 ) > go(0) para todo 0 e A tal que It(A) > 0. De aquf y de la desigualdad anterior

se deduce que .[ (h o- go) dP= 0, y como ho(0 ) _> go(0) c.p.d.(P), por tener P y It los mismos subconjuntos nulos, se deduce que h o = go c.p.d.(la). Esta contradicci6n demuestra la primera parte del teorema.

Si S es compacto, por ser .[ (.) dP un funcional continuo, se alcanza el fnfimo en

algfin punto go ~ S y, por tanto Bg+(P) ~: ~.

Corolario 2.1. Si S admite una K0-secci6n compacta, S h, entonces AN(P ) es no

vacfo.

Demostraci6n. Consideremos el problema de decisi6n cuyo con junto de riesgo sea la secci6n S h. Por el teorema anterior A~t(Sh) es no vacfa y como ademfis toda regla

casi-admisible de S h lo es de S, A~t(P) es no vacio.

Obs6rvese que de la demostraci6n anterior no se deduce que si S admite una K0-secci6n compacta B+(P) es no vacio (v6ase el ejemplo anterior). Resultados referentes a la relacidn entre A~t(P ) y puntos extremos de S pueden verse en Borwein

(1983).

Por filtimo sefialamos queen la demostracidn del teorema se supone tzicitamente la existencia de al menos una P e F+(it). La existencia de distribuciones de probabilidad que satisfacen la regla de Cronwell queda garantizada pot el teorema 2.2 de Martinez, Caro y Gir6n (1985).

172

3. RELACION CON OTROS CONCEPTOS.

El concepto de soporte de una distribuci6n se asocia, generalmente, con las propiedades topol6gicas de f~; este concepto, empero, puede generalizarse al caso de espacios de medida (~ , B, It), donde It es una medida g-finita, de modo que se conserven casi todas las propiedades que cabe esperar de la idea de soporte de una distribuci6n.

Definici6n 3.1. Si P ~ F(it), se dice que S ~ B es un soporte de It si existe una versi6n de la It-densidad de B, p(0), tal que S = { 0; p(0) > 0 ).

La idea bfisica de queen el soporte de una distribuci6n P se "concentra" toda la

probabilidad viene recogida en el siguiente resultado, cuya demostraci6n es elemental.

Lema 3.1. Si S es un soporte de P, entonces P(S)=I, P(A)= P(A n S) para todo A ~ B. S es uni6n numerable de subconjuntos de B de I.t-medida finita. Adem~, si h es P-integrable, entonces Sta h dP --- S s h dP.

E1 principal problema que presenta la definici6n anterior es la falta de unicidad del soporte, que depende de la versi6n de la densidad elegida. 'El lema siguiente demuestra, sin embargo, que todos los soportes de P pertenecen a la misma clase de equivalencia.

Lema 3.2. Si S y R son dos soportes de P, entonces It(S zx R)= 0. Recfprocamente, si S es un soporte de P y R es tal que It(S A R)= 0, entonces R es un soporte de P.

Demostraci6n. Sean p y p' dos versiones de la densidad de P tales que S = { 0, p(0) > 0 } y R= { 0, p'(0) > 0}. E1 teorema de Radon Nikodym nos asegura que It{0;p(0) ~p'(0)}= 0. Por otro lado

S ~ R c = { 0 ; p ( 0 ) > 0 y p ' ( 0 ) = 0 } c {0; p(0)~i f (0)} S c n R = { 0 ; p ( 0 ) = 0 y p ' ( 0 ) > 0 } c {0; p(0)~p ' (0)}

de donde

~(R ,~ S) = It(S n R r + ~(S c n R)= 0 + O= O.

173

Para el recfproco supongamos que S es un soporte de P y que g(S zx R)-- 0. Sea,

p.e., S = { 0; p0(0) > 0 }. Si definimos

p(0)= Po(0) en S n R p(0)= p'(0) en S c n R p(0)= 0'~ en R e n S c

p(0)= 0 en R c n S

siendo p'(0) cualquier funci6n medible estrictamente positiva, est~i claro que

R= {0; p(0) > 0}. $61o queda por demostrar que p(0) es una versidn de la densidad de

P, es decir, que g{0; Po(0) e p(0)}= 0. De la definicidn de p se deduce que

It{0; po(0) :x p(0) = g(R n S c) + I.t(R c n S) = I.t(S A R)= 0.

Como la relaci6n g(A ~ B)= 0 establece una relaci6n de equivalencia en B, el

resultado del lema anterior garantiza que todos los soportes de una misma P e F(g)

pertenecen a la misma clase de equivalencia de modo que si en B se considera el

conjunto cociente, el soporte de P es finico.

E1 Iema siguiente caracteriza la regla de Cromwell en t6rminos del sorporte.

Lema 3.3. P ~ F(g) satisface la regla de Cromwell si y solo si ~1 es el soporte de P.

Demostraci6n. Si P = g, hay que demostrar que existe una versi6n de la densidad

p tal que p(0) > 0 c.p.d.(g). En efecto, si existiese un A e B con g(A) > 0 tal

que p(0) = 0 si 0 e A, tendrfamos que por un lado P(A)= "[A p(0) dla(0)= 0 y pot otro lado, por ser P -- g, que P(A) > 0; contradicci6n que demuestra la parte "si".

Para la parte "solo si" basta demostrar que si P(A) = 0, entonces g(A)= 0. Por

ser f2 el soporte de P existe una versidn de su densidad, digamos p, tal que p(0)>0

para todo 0 ~ fL Como P(A)= ~AP(0) dg(0) y p(0) > 0 en A, de aqu[ se concluye

que g(A) = 0.

Pasamos ahora a examinar brevemente la relaci6n de nuestro concepto de

soporte con el usual en el caso de que ~ sea un espacio m6trico separable.

Definici6n 3.2. Si g es una medida definida sobre un espacio mdtrico y separable

( fL B), se denomia soporte de g, y 1o representaremos por sop(g), al menor

conjunto cerrado S tal que /a(S c) = 0. En particular si P es una medida de

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probabilidad, sop(P) es el menor conjunto cerrado de probabilidad 1.

Teorema 3.1. Bajo las hip6tesis del teorema anterior el soporte de IX siempre existe, es tinico y adem~is 0 �9 sop(IX) si y solo si It(U) > 0 para todo abierto U que contenga a 0.

La demostraci6n es anS.loga a la de Parthasarathy (th. 2.1, p. 27) (1967). Como hemos indicado, el soporte de una medida t.I. segdn la definici6n 3.2 lo representaremos por sop(ix) para distinguirlo del de la definici6n 3.1 que s61o es v~.lido para distribuciones de probabilidad, y hace referencia a una medida fija I-t en (~ , B).

La relaci6n entre continuidad absoluta y la nueva definici6n de soporte viene dada por el teorema que sigue.

Teorema32 Si a9 << IX, entonces sop(ag) c sop(ix).

Demostraci6n. Si 0 e sop(a9), entonces para todo abierto U que contiene a 0 se verifica que "o(U) '> 0 y esto implica, por la hip6tesis, que IX(U) > 0, es decir,

0 �9 sop(Ix).

Corolario 3.1. Si a9 = IX, entonces sop(ix) = sop(ag).

Corolario 3,?. Si P satisface la regla de Cromwell y si sop(ix)= ~ , entonces sop(P) = ~ .

No est,'t claro, al menos sin suponer hip6tesis adicionales, que el recfproco del corolario 3.2 sea cierto, es decir que el que P << IX y sop(P) = sop(IX) = ~2, implique n la continuidad absoluta de IX respecto de P.

Otro concepto fntimamente relacionado con la regla de Cromwell, introducido por Florens et al. (1983) es el de medidade probabilidad regular.

Definici6n 33. Sea {P0(x); 0 �9 f2 } una familia de medidas de probabilidad definidas en ( •, A) y dominada por una medida G-finita ag(x). Una distribuci6n de

probabilidad en (f2, B) se dice que es regular (p-regular) para la familia

{ Po(x); 0 � 9 } si de ser

"~xf(x) dPo(x) -- 0 c.s.(P) con f(x) �9 L~(Z, A, ag),

175

se deduce que "fx f(x) dP0(x ) = 0 para todo 0 e f2 ( ~z f(x) dP0(x ) = 0 c.p.d.(It)).

Teorema 3.3 Si una distribuci6n a priori P e F(It) satisface la regla de Cromwell, entonces P es It-regular.

Demostraci6n. Evidente de la definici6n.

Teorema 3.4 Si f2 es un espacio m6trico y separable, J'z f(x) dP0(x ) es una funci6n continua de 0 para todo f(x) e L~( Z, A, v) y si sop(P) = D, entonces P es regular.

Demostraci6n. Supongamos que f(x) es tal "Ix f(x) dP0(x ) = 0 c.s.(P). Si la integral anterior no fuese id6nticamente nula, existirfa un abierto U tal que para todo 0 e f2, "~z f(x) dP0(x ) ~ 0. Como sop(P) = f2, se tendrfa que P(U) > 0 y esto contradiria la hip6tesis de que ~z f(x) dP0(x) = 0 c.s.(P).

Hemos visto que la admisibilidad implica la casi-admisibilidad cualquiera que sea It. Pero el recfproco no es cierto en general. Bajo ciertas hip6tesis se tiene sin embargo que la casi-admisibilidad implica la admisibilidad.

Teorema 35 . Si ~ es un espacio m6trico y separable, la funci6n de riesgo R(0,d)

es continua en 0 para todo d s D y sop(It)= D, entonces si d* es casi-admisible (It), d* es admisible.

Demostraci6n. Si d* no fuese admisible, existirfa una dotal que para todo 0 e D

R(0, do) _< R(0, d*) y para al menos un 0o, R(0o, do) < R(0o, d*). Por ser R(0,d) continua en 0, existir~i un abierto U que contiene a 00 tal que R(0, do) < R(0, d*) para todo 0 s U; y como sop(It) = f~ , It(U) > 0 y p o r l o tanto d* no serfa casi-admisible.

Corolario 3.3. Si se verfican las condiciones del teorema 3.5 y P e F(it) satisface la regla de Cromwell, entonces si d* es Bayes respecto de P, d* es admisible.

El teorema 3.5 y su corolario siguen siendo vfilidos aunque la funci6n de riesgo

no sea acotada, supuesta la existencia del riesgo de Bayes.

Como ejemplo de aplicaci6n del teorema 3.5 considercmos el problema de estimar la media de una distribuci6n normal univariante X ~ N(0,1) y sea !.(0, a) una funci6n no decreciente de [ 0 - a[. Se demuestra (v6ase Ferguson ( 1967), p. 185, ej. 13) que la media muestral es casi-admisible. Si suponemos quc 1.(0. a) es acotada y

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continua, teniendo en cuenta que el soporte de la medida de Lebesgue es R, una

simple aplicaci6n del teorema 3.5 demuestra que X es admisible.

R E F E R E N C I A S

BERGER, J.O. (1980). "Statistical Decision Theory: Foundations, Concepts and Methods". Springer Verlag. New York.

BLACKWELL, D. AND GIRSHICK, M.A. (1954)."Theory o f Games and Statistical Decisions". Wiley. New York.

BLYTH, C.R. (1951). "On minimax statistical decision procedures and their admissibility". Ann. Math. Statist. 22, 22-42.

BORWEIN, J.M. (1983). "On the existence of Pareto efficient points". Math. Oper. Research. 8, 64-73.

DE GROOT, M.H. (1970). "Optimal Statistical Decisions". Mc. Graw-Hill. New York.

FARREL, R.H. (1964). "Estimators of a location parameter in the absolutely continuous case". Ann. Math Statist. 35, 949-998.

FERGUSON, T.S. (1967). "Mathematical Statistics: A Decision Theoretic Approach" Academic Press. New York.

FLORENS, J.P., MOUCHART, M. AND ROLIN, J.M. (1983). "Eleknents o f Bayesian Statistics". (To appear)

GIRON, F.J. (1975-77). "Caracterizaci6n axiom~ltica de la regla de Bayes y la probabilidad subjetiva". Real Acad. Cienc. LXXI, 19, 19-101. Madrid.

GIRON, F.J., IMLAHI, L. AND RIOS, M.J. (1982). "Sur la loi de Cromwell de Lindley". Inst. Univ. Paris. XXVII, fasc. 2, 37-60.

KARLIN, S. (1958). "Adimissibility for estimation with quadratic loss". Ann. Math. Statist., 29, 406-436.

KATZ, M.W. (1961). "Admissible and minimax estimates of parameters in truncated spaces". Ann. Math. Statist,. 32, 136-I42.

LINDLEY, D.V. (1982). "The Bayesian approach to statistics". In Some Recent Advances in Statistics. J.T. Oliveira, Ed. Academic Press. London.

MARTINEZ, M.L., CARO, E. y GIRON, F.J. (1985). "Una nota sobre la regla de Cromwell". Actas X Jor. Mat. Hispano-Lusas, 234-243.

PARTHASARATHY, K.R. (1967). "Probability Measures on Metric Spaces". Academic Press. New York.

RIOS, M.J. (1981,). "Problemas de decisi6n con informaci6n parcial a priori". Tesis doctoral. Universidad Complutense. Madrid.

ZACKS, S. (1971). "The Theory o f Statistical Inference". Wiley. New York.