Nació el 31 Marzo 1596 en La Haya (hoy Descartes),Turena, Francia.Descartes fue educado en el colegio Jesuitade La Flèche en Anjou. Entró a la escuelaa la edad de ocho años, justo pocos mesesdespués de la apertura de la escuela en enero

de 1604. Estudió allí hasta el 1612, estudiandolos clásicos, lógica y la filosofía tradicionalAristotélica. También aprendió matemáticas a partir de los librosde Clavius.

Mientras se encontraba en la escuela su salud era mala y se le otorgó permiso para quedarse en cama hasta las 11 de la mañana, una costumbre que conservó hasta el año de su muerte.La escuela le hizo comprender a Descartes lo poco que sabía, elúnico tema que era satisfactorio para él eran las matemáticas.

Esta idea se convirtió en la base de su manera de pensar y fue la forma para la base de todos sus trabajos. Descartes pasó tiempo en París, aparentemente manteniéndoseensimismado, después estudió en la Universidad de Poitiers.Obtuvo un título en leyes en Poitiers en 1616 y después se enlistó

en la escuela militar en Breda. En 1618 comenzó a estudiarmatemáticas y mecánica con el científico holandés Isaac Beeckman,

y comenzó a buscar una ciencia unificada de la naturaleza.

Ya cansado de sus viajes, Descartes en 1628 decidió establecerse fijo.Pensó mucho al respecto para escoger un país de acuerdo con sumanera de ser y escogió Holanda. Fue una buena decisión de la queparece ser que nunca se arrepintió durante los siguientes veinte años

En Holanda, Descartes tenía un número de amigos científicos y contactos continuos con Mersenne. Su amistad con Beeckmancontinuaba y también tenía contacto con Mydorge, Hortensius, Huygens y Frans van Schooten (el mayor) “Si no conoces quienes son, busca sus biografías, es interesante”

Descartes fue presionado por sus amigos a publicar sus ideas y aunqueestaba obstinado en no publicar Le Monde, escribió un tratado sobreciencia bajo el título Discours de la méthode pour bien conduire sa

raison et chercher la vérité dans les sciences. (conocido simplemente como Discurso del método). Tres apéndices de este trabajo fueron LaDioptrique, Les Météores, y La Géométrie. El tratado fue publicado en Leiden en 1637.

El contenido de esta obra es extenso y variado, pero recordemosque es ante todo una autobiografía que tiene ante todo un fin

pedagógico, es la historia de Descartes la que se ha configurado enesta obra es necesario aclarar que las satisfacciones que se puedantener gracias a su lectura son personales y ligadas a la interioridady a esa sensación que existe cuando nosotros mismos sabemos que

hemos llegado a comprender algo.La Dióptrica es un trabajo sobre óptica . Sin embargo su enfoque a través de la experimentación fue una contribución muy importante.Descartes se había dado cuenta de que existían muchas ciencias,pero no todas ellas son verdaderas ni tampoco útiles, tal como lohabían hecho los matemáticos de su tiempo quienes según él "se hansujetado tanto a ciertas reglas y a ciertas cifras que han hecho deella un arte confuso y oscuro, que confunde al espíritu, en lugar de

una ciencia que lo cultive."Por eso él creyó que debía existir un método que sin ser demasiado extenso en sus pasos permitiera lograr el conocimiento verdadero,ya que si un método o una fórmula es muy larga, en la práctica

resultara difícil de aplicar y bastante confusa.Les Météores es un trabajo sobre meteorología y es importante por ser el primer trabajo que intenta llevar el estudio del tiempo sobreuna base científica. Sin embargo muchas de las pretensiones deDescartes están no solo equivocadas sino que podía verse fácilmente

que estaban mal si hubiese realizado algunos experimentos sencillos.Por ejemplo, Roger Bacon demostró el error en la creencia comúnde que el agua que había sido hervida se congela más rápidamente.

La Géométrie es por mucho, la parte más importante de este trabajo.Se resume la importancia de este trabajo en cuatro puntos:

*Realiza el primer paso hacia una teoría de las invariables, que enpasos posteriores des-relativiza el sistema de referencia y quita lasarbitrariedades.

*El álgebra hace posible reconocer los problemas típicos en geometríay juntar problemas que en una presentación geométrica pareceríanno estar relacionados en nada.

*El álgebra lleva a la geometría los principios más naturales de divisióny el método de jerarquía más natural.

*No solo pueden resolverse preguntas de geometría y de resolucionesde forma rápida y totalmente desde el álgebra paralela, sino que sin

ella no podrían ser resueltos.

Algunas ideas en su La Géométrie pueden haber sido de algún trabajoanterior de Oresme, pero en el trabajo de Oresme no existe

evidencia de enlazar el álgebra y la geometría.

INTERESANTE: En 1644, el año que se publicaron sus Meditaciones, Descartes visitó Francia. Regresó nuevamente en 1647, cuando conoció a Pascal y discutió con él que un vacío no podía existir. En 1649 la Reina Cristina de Suecia convenció a Descartes que fueraa Estocolmo. Sin embargo la Reina deseaba dibujar tangentes a las5 a.m. y Descartes rompió el hábito de toda su vida de levantarse alas 11 en punto. Después de pocos meses en ese clima frío del norte,caminando hacia el palacio a las 5 en punto cada mañana, murió deneumonía el 11 Febrero 1650.

Sin lugar a dudas, puede afirmarse que muy pocos aspectoso ramas de las matemáticas pueden asignarse al trabajo de un único

individuo. La Geometría Analítica de Descartes no fue la excepción a esto., es decir, no fue un producto exclusivo de sus investigaciones,sino más bien, la síntesis de varias tendencias matemáticas

convergentes en los siglos XVI y XVII. Entre los autores quecontribuyeron a las tendencias citadas pueden contarse Apolonio,

Oresme, Vieta y muchos otros matemáticos. Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este método.Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría

Analítica", apéndice al "Discurso del Método", de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fer-mat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyamya en el siglo XI utilizara un método muy pare-

cido para determinar ciertas intersecciones entrecurvas, es imposible que alguno de los citados

matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.

Resulta de particular interés, por su magnitud e importancia,el trabajo de Apolonio (262 – 190 a. de C.), Las Cónicas1,en el que ya se advierten, respecto al uso de coordenadas,

muchos aspectos tan similares a los acercamientos modernos,tanto que, en algunas ocasiones, es juzgado como unageometría analítica que se anticipó a aquella de Descartes y

Fermat por 1800 años, en la que se identifican formas retóricasde las ecuaciones de las curvas establecidas por Apolonio comorelaciones entre las abscisas y las ordenadas. Las abscisas y lasordenadas de la época eran aplicaciones de líneas de referenciaen general, y de un diámetro y una tangente en sus extremosen particular, lo que no hace diferencias esenciales con unmarco coordenado rectangular, o más generalmente, oblicuo.En este sistema de referencia, las distancias medidas a lo largodel diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, ylos segmentos paralelos a la tangente e intersecados entre el

eje y la curva son las ordenadas.

El paso final en la preparación para las nuevas matemáticasinfinitesimales, y aquel que tuvo más posibilidades para lainvestigación, fue el desarrollo de la geometría por René Descartes(1596 - 1650) y Pierre de Fermat (1601 - 1665). La Geometría deDescartes fue publicada en 1637 como uno de tres apéndices de su

Discurso del Método.En el mismo año, Fermat envió a suscorresponsales en París su Introducción a los Lugares Planos y Sólidos.Estos dos ensayos establecieron los fundamentos para la geometríaanalítica. Sin embargo, aunque el trabajo de Fermat fue más

sistemático en algunos aspectos, no fue publicado de hecho sinohasta 1679, después de su muerte, y por esta razón hoy hablamosde la geometría cartesiana en lugar de la geometría fermatiana.

Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conocea este método) es que permite representar figuras geométricasmediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa unafunción. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuacionespolinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y elresto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: lacircunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ). Esto convertía todala Geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entrepolinomios de grados 1 y 2. Desde un punto de vista formal (aunqueellos aun lo sabían), los geómetras de esta época han encontrado

una relación fundamental entre la estructura lógica que usaban losgeómetras griegos (el plano, la regla, el compás...) y la estructuraalgebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2del Anillo de polinomios , resultando que ambas estructuras son

equivalentes.

Isaac Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relaciónentre la tangente a una curva y el área que encierra entre dospuntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow

antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposicióndel Cálculo Infinitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y

la Geometría es así estrechísima desde incluso los orígenes de aquél.Las ideas geométricas no sólo fueron la base de los instrumentosiniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida s

u inspiración.En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría queda

supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Físicapor medio de la resolución de Ecuaciones Diferenciales. Se estudia enespecial la interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales

(tanto de la solución en sí como problemas asociados a ellas, como puede ser el de las curvas ortogonales).

Gauss devuelve el carácter geométrico que impregna parte del análisis matemático, fundamentalmente con dos contribuciones:el nacimiento del análisis complejo y de la geometría diferencial.

A los siete años, tras serios esfuerzos de su madre para convenceral padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una vieja escuela,la Katherinen Volkschule, dirigida por J.G Büttner, donde compartiráaula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el únicoargumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de

la época.A los nueve años Gauss asiste a su primera clase de Aritmética.

Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible:calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminarde proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número ensu pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando:

“Ligget se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5.050. La respuesta correcta.Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo dela suma de los términos de una progresión aritmética. Se habíadado cuenta de que la suma de la primera y la última cifra daba

el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc.,es decir: 1+ 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 101

Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá multiplicando 101 . 50 = 5.050 “Ligget se!”

Büttner tenía un ayudante, un joven estudiante de 17 años,Martin Bartels, que se encargaba de las clases de escriturade los más pequeños. Pero, por suerte para Gauss y para la ciencia

, Bartels era una amante de las matemáticas, y un buen matemático,que acabó obteniendo una cátedra en la universidad de Kazan en

la que dio clases de 1808 a 1820 teniendo como alumno aLobachevski. A pesar de la diferencia de edad, Gauss tenía 10 años,

juntos se iniciaron en los caminos de las matemáticas.

La principal contribución de Gaussa la geometría es la creación de lageometría diferencial, retomando

las ideas que sobre las relaciones entre el análisis matemático y lageometría había hasta entonces y

desarrollándolas ampliamente.

Partiendo de la base de que la geometría estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la noción fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definición de geodésica, demuestra que si consideramos que una geodésica es una curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino máscorto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie es unsegmento de geodésica), concepto totalmente análogo sobre la

superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que lostriángulos formados por las geodésicas miden más de la medida de

dos ángulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto,esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides.

Estas consideraciones llevaron aGauss a considerar la posibilidadde crear geometrías no euclídeas, pero aunque a esas alturas ya erael matemático más prestigioso de Europa, consideró que la mentali-

dad de la época no estabapreparada para un resultado de

tal magnitud, y nunca publicó esosresultados. Sólo vieron la luz cuandoBolyai publicó su geometría no euclí-

dea, y comprobó que la comunidadcientífica general aceptaba el resultado.

La primera persona que realmente entendió el problema de las paralelas fue Gauss. Empezó a trabajar sobre el quinto postulado en1792 cuando tenía apenas 15 años de edad, intentando primerodemostrar el postulado de las paralelas a partir de los otros cuatro.Sin embargo para 1817 Gauss estaba convencido de que el quinto

postulado era independiente de los otros cuatro postulados. Empezó a deducir las consecuencias de una geometría en la que más de una línea puede dibujarse que pase por un punto dado y que sean paralelas a una recta dada. Tal vez lo más sorprendente de todo esque Gauss nunca publicó este trabajo sino que lo mantuvo en secreto.En esa época el pensamiento estaba dominado por Kant, quien

afirmó que la geometría euclidiana es la inevitable necesidad depensamiento y a Gauss le disgustaba la controversia.

Gauss discutió la teoría de las paralelas con su amigo, el matemáticoFarkas Bolyai quien hizo varias demostraciones falsas del postuladode las paralelas. Farkas Bolyai le enseñó matemáticas a su hijo, JánosBolyai pero, a pesar de haber pedido a su hijo que no perdiera unasola hora en ese problema del quinto postulado, János Bolyai sí

trabajó en el problema.

Gauss, después de leer las 24 páginas, describió a János Bolyai en estas palabras al escribirle a un amigo: Veo a este joven geómetra Bolyaicomo un genio de primer orden. Sin embargo en cierto sentido Bolyaisolamente supuso que la nueva geometría era posible. Después

siguió las consecuencias de manera no muy diferente a la de aquellosque habían elegido suponer que el quinto postulado era falso y

buscaban una contradicción.

¡ !No queda disminuido el trabajo de Bolyai porque Lobachevskypublicara una obra sobre geometría no-euclidiana en 1829.Ni Bolyai ni Gauss sabía del trabajo de Lobachevsky,

principalmente porque fue publicada nada más en ruso en elMensajero de Kazan, una publicación universitaria local.El intento de Lobachevsky para llegar a un audiencia más

amplia había fallado cuando su artículo fue rechazado por Ostrogradski.

De hecho, a Lobachevsky no le fue mejor que a Bolyai para atraer el reconocimiento público de su trascendental obra.Publicó Investigaciones geométricas sobre la teoría de las

paralelas en 1840, la cual, en sus 61 páginas, da la narración más clara del trabajo de Lobachevsky. La publicación de un recuento en francés en el Diario de Crelle en 1837 llevó su trabajo sobre geometría no-euclidiana a una gran audienciapero la comunidad matemática no estaba lista para aceptar

ideas tan revolucionarias.

Por otra parte, Riemann, quien escribió su disertación doctoral bajo lasupervisión de Gauss, dio una conferencia inaugural el 10 de junio

de 1854 en la cual reformuló por completo el concepto de geometría a la cuál el vio como un espacio con suficiente estructuraadicional como para poder medir cosas como la longitud. Esta

plática no fue publicada sino hasta 1868 dos años después de la muerte de Riemann, pero tendría una profunda influencia en el desarrollo de gran cantidad de geometrías distintas.

Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su época,cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al mismo tiempopero de manera independiente, las aplicaron al espacio físico para

crear la Teoría de la Relatividad.

El nuevo modo de Riemann de estudiarla Geometría considera que cualquier

modelo de espacio (ya sea el plano, elespacio tridimensional, o cualquiera otro)puede ser estudiado como una variedaddiferenciable, y que al introducir en ellauna métrica se está determinando lageometría que gobierna ese objeto.

Por ejemplo, el plano no es, por sí solo, euclidiano ni no euclidiano, sino queintroduciendo la métrica euclídea escuando en el plano verifica el V postulado

de Euclides. Si en lugar de considerar esa métrica se introduce en elplano otra métrica, como la de Lobatchevsky, deja de verificarse el mismo postulado.

Klein es la otra gran pieza clave de la Geometría en el siglo XIX. En 1871 descubrió que la geometría euclidianay las no euclidianas pueden considerarsecomo casos particulares de la geometríade una superficie proyectiva con una

sección cónica adjunta. Esto implicaba dos cosas: la primera es que la geometría euclidiana y las no euclidianas podíanconsiderarse como casos particulares de la geometría proyectiva(o mejor dicho, de la geometría de una superficie en un espacioproyectivo). La segunda, que la geometría euclidiana es consistente(es decir, no puede llevar a contradicciones) si y sólo si lo son lasgeometrías no euclidianas.

Con esto se da fin a la controversia de si las geometrías no euclidianas tienen sentido o no, aunque el asunto coleará aun unos años ante el escepticismo de quienes considerarán erróneo el argumento de Klein.

Klein mostró que hay tres tipos básicos de geometría. En la del tipode la de Bolyai-Lobachevsky, las rectas tiene dos puntos infinitamen-

te distantes. En la geometría esférica del tipo de Riemann, las rectasno tienen puntos infinitamente distantes (o más precisamente dosimaginarios). La geometría euclidiana es un caso límite entre las dosen el cual para cada línea hay dos puntos infinitamente distantes

que son coincidentes.

REFERENCIAS

Wikipedia. [página web en línea] .Disponible:http:/www.wikipedia.com/

Platea. [página web en línea]. Disponible:http:/www.platea.pntic.mec.es/

Historia de las matemáticas [página web en línea]. Disponible:http:/www.astroseti.org/

Slides Share. [página web en línea].Disponible:http/www.slideshare.net/

Conceptos Matemáticos[página web en línea]. Disponible:http:/mathematicsdictionary.com/