Sobre los procesos lineales de nacimiento y muerte subcríticosen un entorno aleatorio

J.  Math.  Biol.  75 (2017) 85– 108http://dx.doi.org/10.1007/s00285-016-1079-0 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01414042

Nicolas Bacaer

Instituto de Investigación para el Desarrollo Les Cordeliers, París, Francia

nicolas.bacaer@ird.fr

resumen

Obtenemos una fórmula explícita para la tasa de extinción de los procesos lineales subcríticos de nacimiento y muerte en un entornoaleatorio. Esta fórmula se ilustra calculando numéricamente el valor propio de la parte real más grande para la matriz truncada de laecuación maestra. La función generadora del vector propio asociado verifica un sistema singular de ecuaciones diferenciales de tipoFuchs. Se presta especial atención al caso de dos entornos, lo que conduce a una ecuación diferencial de Riemann.

1 Introducción Supongamos que el entorno oscila entre un número finito K de estados (K ≥ 2) siguiendo una cadena homogénea de tiempocontinuo de Markov. siQ = (Qi,j) la matriz cuya transposición es el generador infinitesimal de esta cadena: así Qi,j ≥ 0 por todo i ≠ j

y ∑iQi,j = 0 por todo j. Supongamos que la matrizQirreductible. Hay un solo vector u = (ui) tal que Qu = 0 y ∑i ui = 1 (Sericola,2013, p. 152).

nota nEl número de individuos en una población que evoluciona en este entorno aleatorio. En el ambientei (1 ≤ i ≤ K),supongamos que tenemos un proceso lineal de nacimiento y muerte de parámetros nai para nacimientos y n bi por los muertos, con ai > 0 y bi > 0. En otras palabras, cada individuo tiene un intervalo de tiempo infinitesimaldt una probabilidad ai dt dar a luz a unnuevo individuo y una probabilidad bi dt para morir

Supongamos que en ese momento t = 0 hay n0 individuos (n0 ≥ 1) y que el medio ambiente es i0. sipn,i(t) la probabilidad de tener n individuos en el medio ambiente i a tiempo t. Entonces tenemospn,i(0) = 1 si (n, i) = (n0, i0) y pn,i(0) = 0de otro modo. Laecuación principal es

para n ≥ 0 y 1 ≤ i ≤ K; el término enpn−1,i está ausente por n = 0. Siguiendo (Lotka, 1939), posemos

R0 =∑K

i=1 ai ui

∑Ki=1 bi ui

.

Siempre asumiremos que R0 < 1: es casi seguro que la población está saliendo (Cogburn y Torrez, 1981; Bacaër y Ed-Darraz, 2014).Es el régimen subcrítico. cuandot → +∞, se tiene p0,i(t) → ui y pn,i(t) → 0 por todo n ≥ 1 y todo i. Además, la tasa de extinción

existe y no depende de n ≥ 1 o de i(Collet et al., 2013, sección 4.5). Tampoco depende de la condición inicial(n0, i0). El problema esdeterminar explícitamente esta tasa.

Apuntamos R(⋅)La parte real de un número complejo. Para cualquier matrizM , apuntamos σ(M) su espectro y s(M) = max{R(λ); λ ∈ σ(M)}Su límite espectral. Cuando la matrizM tiene coeficientes no diagonales que son positivos o cero,que siempre será el caso a continuación, se sigue del teorema de Perron y Frobenius que s(M) también es un valor propio de M .Apuntamos A la matriz diagonal diag[a1, … , aK]. Apuntamos B = diag[b1, … , bK]. Finalmente, notamos la diferenciaD = A − B = diag[d1, … , dK].

En la sección 2, usamos un resultado de (D'Souza y Hambly, 1997) sobre procesos de ramificación en un entorno aleatorio paramostrar que

dpn,i

dt= ai(n − 1)pn−1,i + bi(n + 1)pn+1,i − (ai + bi)n pn,i +∑

j

Qi,jpn,j (1)

ω1 = limt→+∞

1

tlog pn,i(t) (2)

ω1 = Λdef= min

0≤α≤1s(Q + αD) . (3)

También estudiamos las variaciones de la función. α ↦ λ1(α) = s(Q + αD) y su derivada λ′1(α), lo que lleva a distinguir tres casos:

aquel donde m = maxi(ai − bi) ≤ 0 ;aquel donde m > 0 y λ′

1(1) ≤ 0 ;aquel donde m > 0 y λ′

1(1) > 0.

En los dos primeros casos, el mínimo Λ de λ1(α) en el intervalo [0, 1] se alcanza en α = 1, de modo que la fórmula (3) muestra que ω1 = s(Q + D).

En la sección 3, observamos que el límite espectral μN de la matriz truncada al rango Nde la ecuación maestra forma una secuenciacreciente. Luego calculamos numéricamenteμN en una serie de ejemplos Observamos en particular la lentitud, sin duda logarítmica,con la queμN converge a ω1 en el tercer caso mencionado anteriormente.

En la sección 4, estamos interesados en los otros valores propios y los vectores propios asociados, para los cuales obtenemosresultados muy parciales. Primero transformamos el problema del valor propio

en un sistema diferencial singular del tipo Fuchs (Methée, 1959)

para la función de generador

Mostramos que si el vector propio (πn,i) disminuye geométricamente con respecto a n, entonces el valor propio ω es necesariamenteigual al valor propio de una matriz Q + νD con ν completo ≥ 0. Cuandom < 0 y ω = s(Q + νD), en realidad construimos solucionesanalíticas del sistema (5) cerca de x = 1. Notamos que la ecuación característica del sistema fucsiano, obtenida al buscar solucionesque se comporten como (1 − x)α en las proximidades de x = 1es

dicho de otro modo, ω es un valor propio de la matriz Q + αD. En el tercer caso, aquel donde la funciónλ1(α) alcanza su mínimo Λ enα∗ dentro del intervalo ]0, 1[, mostramos que si ω = s(Q + αD) y si el desarrollo de Gi(x) en las proximidades de x = 1 contiene untérmino logarítmico, por lo que necesariamente α = α∗ y entonces ω = Λ. Además, en la teoría de Fuchs, los términos logarítmicosaparecen cuando la ecuación característica (7), y en particular la ramaω = s(Q + αD)desconocido αTiene una doble raíz. Debido a laconvexidad de la función.α ↦ s(Q + αD), esto solo sucede para ω = Λ.

En la sección 5, estudiamos el comportamiento asintótico directamente, es decir, para n grande, del vector propio límite π = (πn,i)asociado con ω1. La sección 6 hace la conexión cuandoK = 2con una ecuación diferencial de Riemann. En la sección 7, estamosinteresados en la cadena de Markov incluida, esta última en el marco del trabajo de (Dekking, 1988) y (Geiger et al., 2003), entre otros.Observamos que el umbral entre los regímenes débil y fuertemente subcrítico no es el mismo que aquel dondeΛ deja de valer s(Q + D).

Para situar mejor nuestro problema en relación con algún otro trabajo, observamos que el sistema (1) es un "proceso de cuasi parto ymuerte no homogénea"; ver por ejemplo (Sericola, 2013, p. 350) o (Latouche y Ramaswami, 1999, capítulo 12), que discuten ladistribución estacionaria pero no la tasa de convergencia hacia ella. Además, en un entorno constante conai = a y bi = b > a por todo i, se tiene D = (a − b)Idonde Ies la matriz de identidad; Entoncess(Q + αD) = α(a − b) y la fórmula (3) da ω1 = a − b, que esbien conocido ya sea por cálculo directo (Hillion, 1986, capítulo V), o como un caso particular de los resultados de Karlin y McGregorsobre los procesos de nacimiento y muerte que no son necesariamente lineales (Collet et al., 2013, sección 5.9.2). También observamosque las generalizaciones de estos últimos resultados a los procesos de nacimiento y muerte cercanos (Clayton, 2010) solo se refieren acasos en los que el "espectro" es real, lo que generalmente no es el caso en nuestro modelo. Finalmente, el modelo (1) interviene comola linealización de ciertos modelos de población no lineales, y en particular los modelos epidémicos (Bacaër, 2016).

2 La fórmula para la tasa de extinción

2.1 Tiempo de discretización del entorno y paso al límite.

La transposición de una matriz. M (o un vector) se anota M T. siδ > 0Un pequeño paso de tiempo. Desacreditemos las fluctuacionesdel medio ambiente a tiempo. La matrizP = eQTδes la matriz de una cadena de Markov en tiempo discreto. Tenga en cuenta quePi,j> 0por todo i y j desde la matriz QEs irreducible. El medio ambiente permanece bloqueado en el estado.i por un paso de tiempo δ luegosalta al estado j con una probabilidad Pi,j. En intervalo de tiempo de longitudδ, siempre suponemos que la población sigue un procesolineal de nacimiento y muerte de parámetros n ai y n bi si el ambiente está en el estado i. Por lo tanto, un individuo genera en promediomi = e(ai−bi)δlos individuos; tenga en cuenta que 0 < mi < +∞. Por lo tanto, estamos en el contexto de un proceso de ramificaciónen un entorno de Markov. si(ξ0, ξ1, … , ξk−1) es una continuación de k ambientes cruzados, posamos θk = mξ0mξ1 … mξk−1 . Paraα ∈ Rpreguntemos

ω πn,i = ai(n − 1)πn−1,i + bi(n + 1)πn+1,i − (ai + bi)n πn,i +∑j

Qi,jπn,j , (4)

ω Gi(x) + (1 − x)(aix − bi)G′i(x) = ∑

j

Qi,jGj(x) (5)

Gi(x) = ∑n≥0

πn,i xn . (6)

det(Q + αD − ωI) = 0 ; (7)

donde E(⋅)denota esperanza. siZk tamaño de la población después k sin tiempo de poda δ. así P(Zk > 0)es la probabilidad de que lapoblación no se extinga. El corolario 1.8 de (D'Souza y Hambly, 1997) muestra que

si 1 = (1, … , 1) y Σ(α) la matriz dada por Σi,j(α) =Pi,jmαj . Dicho de otro modo,Σ(α) = P diag[mα

1 , … ,mαK]. En nuestro caso, la

expectativa del producto.θαk = mαξ0mα

ξ1…mα

ξk−1 se calcula explícitamente:

si ρ(Σ(α)) el radio espectral de la matriz positiva Σ(α). De (8) y (10) se desprende que Φ(α) = log ρ(Σ(α)). También es una funciónanalítica deα sobre R ya que ρ(Σ(α)) es un valor propio simple de la matriz positiva Σ(α). El límite (9) es por lo tanto igual amin{ρ(Σ(α)); 0 ≤ α ≤ 1}. La tasa de extinciónω en tiempo continuo es por lo tanto

ω =1

δlog min

0≤α≤1ρ(Σ(α)) = min

0≤α≤1log([ρ(Σ(α))]1/δ

).

Tomemos en particular δ = 1/h con h ≥ 1que es un entero Entonces [ρ(Σ(α))]1/δ= ρ(Σ(α)h). oro

Σ(α)h =[eQT/h eαD/h]h

⟶h→∞

eQT+αD

según la fórmula de Lie. Siendo el radio espectral una función continua, tenemos

ρ(Σ(α)h) ⟶h→∞

ρ(eQT+αD) = es(QT+αD) .

como s(QT + αD) = s(Q + αD), concluimos que

ω⟶δ→0

  min0≤α≤1

s(Q + αD) .

Finalmente, la proposición 4.12 de (Collet et al., 2013) asegura la igualdad de las tasas de extinción definidas con (2) o con laprobabilidad de no extinción como en el lado izquierdo de la ecuación (9). Así encontramos la fórmula para la tasa de extinción entiempo continuo.

2.2 Estudio de la función. α ↦ s(Q + αD)

Preguntemos ahora

Proposición 1 . sim ≤ 0, entonces Λ = λ1(1). sim > 0 y λ′1(1) ≤ 0, entonces también tenemos Λ = λ1(1). sim > 0 y λ′

1(1) > 0,entonces hay un único α∗ ∈]0, 1[ tal que Λ = λ1(α∗).

Demostración . siv = (vi) es un vector, notamos: v ≥ 0 si vi ≥ 0 por todo i ; v > 0 si v ≥ 0 y v ≠ 0 ; v ≫ 0 si vi > 0 por todo i.Utilizamos anotaciones idénticas para las matrices.

Volvamos al razonamiento de la sección 9 de (Bacaër, 2016) pero con R0 < 1 y no R0 > 1. Como la matrizQ es irreducible y lamatriz D diagonal, la matriz Q + αD también es irreducible para todo α. así λ1(α) es un valor propio simple de la matriz Q + αD. siw1(α) ≫ 0 el único vector propio real de la matriz Q + αD asociado con el valor propio λ1(α) tal que ⟨1T,w1(α)⟩ = 1donde 1 = (1, … , 1) y ⟨⋅, ⋅⟩denota el producto escalar habitual de vectores reales. Sabemos queλ1(α) es también un valor propio simple dela matriz transpuesta QT + αD. notav1(α) ≫ 0 el único vector propio real correspondiente de modo que ⟨v1(α),w1(α)⟩ = 1. Por elteorema de perturbación de valor propio simple, sabemos que la funciónλ1(α) es diferenciable y que

Especialmente para α = 0, se tiene λ1(0) = s(Q) = 0, w1(0) = u, v1(0) =1T y λ′

1(0) = ⟨1T,Du⟩ = ∑Ki=1(ai − bi)ui < 0 ya que

R0 < 1.

si m ≤ 0, la funcion α ↦ λ1(α) está disminuyendo desde D ≤ 0. Ahora considere el caso dondem > 0. Recordemos queλ′1(0) < 0

. La funcionα ↦ λ1(α)es convexo (Cohen, 1981). Entoncesα ↦ λ′1(α)Es una función creciente. Además, cuandoα → +∞, se tiene

λ1(α) ∼ αm → +∞. La funcionα ↦ λ1(α)en este caso es estrictamente convexo ya que no es afín (Nussbaum, 1986). Entonces hayun únicoα∗ > 0 tal que λ′

1(α∗) = 0.

Entonces hay tres casos:

Φ(α) = limk→∞

1

klogE(θαk ) , (8)

limk→∞

P(Zk > 0)1/k = exp( inf0≤α≤1

Φ(α)) . (9)

E(θαk ) = (0  …  0 mαi0  0  …  0) (Σ(α))

k−11

T. (10)

λ1(α) = s(Q + αD), Λ = min0≤α≤1

λ1(α), m = max1≤i≤K

(ai − bi) = maxi

di . (11)

λ′1(α) = ⟨v1(α),Dw1(α)⟩ . (12)

si m ≤ 0, entonces Λ = λ1(1).si m > 0 y λ′

1(1) ≤ 0, entonces α∗ ≥ 1 y α ↦ λ1(α) disminuye durante el intervalo [0, 1]así que todavía tenemos Λ = λ1(1).si m > 0 y λ′

1(1) > 0, entonces α∗ ∈]0, 1[ y Λ = λ1(α∗).

2.3 El caso de dos ambientes

Supongamos que K = 2. dejarQi,i = −qi para i = 1, 2, de manera que

Q = ( ), u1 =q2

q1 + q2, u2 =

q1

q1 + q2.

La ecuación característica det(Q + αD − ωI) = 0 escrituras

ω2 − (−q1 + αd1 − q2 + αd2)ω + (−q1 + αd1)(−q2 + αd2) − q1q2 = 0 .

Esta relación entre ω y α describe una hipérbola en el avión (ω,α). También se puede escribir

De más, λ1(α) = s(Q + αD) es tal que

2λ1(α) = −q1 − q2 + α(d1 + d2) +√[α(d1 − d2) + q2 − q1]2 + 4q1q2

y

2λ′1(1) = d1 + d2 +

(d1 − d2)(d1 − d2 + q2 − q1)

√(d1 − d2 + q2 − q1)2 + 4q1q2

.

si m ≤ 0o si m > 0 y λ′1(1) ≤ 0, se tiene Λ = λ1(1). sim > 0 y λ′

1(1) > 0, debemos tener d1d2 < 0. Supongamos en este caso, porejemplo, qued1 > 0 y d2 < 0. Al cancelar el discriminante de (13), encontramos después de un pequeño cálculo que

Nota que Λ = 0 y α∗ = 0 cuando q1d2 + q2d1 = 0es decir cuando R0 = 1.

3 La matriz truncada

dejar p = (p0,1, … , p0,K, … , pn,1, … , pn,K, …)T. La ecuación maestra está escrita dpdt = Mpdonde MEs una matriz infinita.

Cortemos la matrizM y preguntemos

M(N)= = ( )

con S = A + B. siμN = s(U (N)).

Proposición 2 . Para todosN ≥ 1, se tiene μN < μN+1 < 0. La continuación(μN) por lo tanto tiene un límite cuando N → +∞, asaber ω1.

Demostración . Una matriz de Metzler es una matriz de la cual todos los coeficientes fuera de la diagonal son≥ 0. La matrizU (N) esuna matriz de Metzler irreducible ya que Q es irreducible ai > 0 y bi > 0 por todo i. Por lo tanto, podemos utilizar los corolarios delteorema de Perron y Frobenius sobre el límite espectral de las matrices de Metzler; ver por ejemplo (Nkague Nkamba, 2012, Teorema30). sie = (1, … , 1)T. Entonces

(U (N))Te = (−b1, … , −bK, 0, … , 0, −Na1, … , −NaK) < 0 = 0 ⋅ e.

como e ≫ 0deducimos que s((U (N))T) < 0. oros(U (N)) = s((U (N))T). EntoncesμN = s(U (N)) < 0.

El terminal espectral μN de la matriz U (N) es un valor propio y hay un vector propio W(N)≫ 0 asociada. asíU (N)W

(N)= μN W(N).

VectorW(N) consta de N bloques de tamaño K : W(N)= (W(N)1 , … ,W(N)

N ). Considera el vectorW = (W(N), 0) cuyo 0 también es

−q1 q2

q1 −q2

α2 − α( ω + q1

d1+

ω + q2

d2) +

(ω + q1)(ω + q2) − q1q2

d1d2= 0. (13)

Λ = −(√−q1d2 − √q2d1)

2

d1 − d2, α∗ =

12[ Λ + q1

d1+

Λ + q2

d2]. (14)

⎛⎜⎝Q B 0 0 ⋯ 00 Q − S 2B 0 ⋯ 00 A Q − 2S 3B 00 0 2A Q − 3S 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋱0 0 0 0 Q − NS

⎞⎟⎠ Q ∗

0 U(N)

grande K. Entonces

U(N+1)

W = = .

como NAW(N)N ≫ 0, vemos que U (N+1)

W > μNW. comoW > 0deducimos que μN+1 > μN .

Como valores numéricos, tomemos

Entonces u1 = u2 = 0,5. Vamos a variara1por ejemplo entre 2 y 5; este límite superior corresponde aR0 = 1. Para pequeños valores deN , típicamente hasta N =103, podemos usar software como Scilab para determinar el espectro completo de la matriz U (N). De locontrario, podemos determinar el valor propio más pequeño de−U (N)y el vector propio correspondiente por el método iterativo de lapotencia aplicada a la matriz inversa. Se aprovecha la estructura de bloques tridiagonales para la inversión en cada iteración (Artalejoet al., 2013). Con este algoritmo, podemos ir tan lejos comoN =106 sin demasiados problemas

La figura 1 muestra según a1 el terminal espectral μN de la matriz U (N) para Nfijo pero grande; el algoritmo iterativo se detienecuando dos estimaciones consecutivas deμN difieren menos de 10−4. La figura también se muestra en líneas de puntos y de acuerdocona1 el número Λ dado por la fórmula (3), que es λ1(1) cuando λ′

1(1) ≤ 0 y que viene dada por la fórmula (14) cuando λ′1(1) > 0.

Notamos queλ′1(1) < 0 cuando a1 < a∗

1 y λ′1(1) > 0 cuando a1 > a∗

1, con a∗1 ≃ 3,2829. El acuerdo entreΛ y el límite de (μN ) parece

probable Sin embargo, la convergencia es extremadamente lenta, quizás logarítmica, cuandoR0 se acerca a 1, especialmente cuando a1 > a∗

1.

Figura 1. Línea punteada: Λ dado por la fórmula (3) en función de a1. Líneas continuas con puntos: μN para N =103, 104,105 y 106 (de abajo hacia arriba).

4 vectores propios y otros valores propios

Ahora estamos interesados en el límite cuando N → ∞ del vector propio asociado con μN así como a los otros valores propios yvectores. En este sentido, solo obtendremos resultados muy parciales.

4.1 Un sistema fucsiano

nota K = {1, 2, … , K}, N = {0, 1, 2, …}, C el conjunto de números complejos y ′ la derivada con respecto a la variable x.

Proposición 3 . siω ∈ C y (πn,i) ∈CN×K marque (4) y si las series generadoras (6) tienen un radio de convergencia ≥ R, entonces el Gi(x) son la solución del sistema (5) para x ∈ C, |x| < R y 1 ≤ i ≤ K.

Demostración . Tenga en cuenta queG′i(x) = ∑n≥1 n πn,i xn−1 para |x| < R. Como en el caso clásico con ambiente constante

(Hillion, 1986), multiplicamos (4) porxn y resumimos todo n ≥ 0, que da

ω Gi(x) = ai x2 G′i(x) + bi G′

i(x) − (ai + bi)x G′i(x) +∑

j

Qi,jGj(x).

⎛⎜⎝ ⋮U

(N) 0(N + 1)B

⋯ 0 NA Q − (N + 1)S

⎞⎟⎠⎛⎜⎝W(N)

0

⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ μN W(N)

NAW(N)N

⎞⎟⎠q1 = q2 = 1, a2 = 1, b1 = b2 = 3 . (15)

Esto es equivalente a (5).

Notas.

Notamos que (5) es un problema de valor propio para un sistema diferencial singular. Este sistema es del tipo Fuchs siai ≠ bi portodo i(Methée, 1959). El sistema es único enx = 1 y en x = bi/ai para 1 ≤ i ≤ K. Tenga en cuenta quebi/ai < 1 si ai > bi.También podemos escribir el sistema en el formulario

Un ejemplo de una ecuación diferencial escalar de tipo Fuchs de orden 2 apareció en el estudio de los procesos cuadráticos denacimiento y muerte en un entorno constante (Picard, 1965).

4.2 Valores propios posibles cuando el radio de convergencia es > 1

Proposición 4 . siω ∈ C y π = (πn,i) ∈CN×K comprobar (4) con π ≠ 0, si las series generadoras (6) tienen un radio de convergenciaestrictamente mayor que 1, entonces hay un número entero ν ≥ 0 tal que ω ya sea un valor propio de la matriz Q + νD.

Demostración . Razonemos por lo absurdo. Supongamos que para todoν ≥ 0, ω no es un valor propio de Q + νD. Las funcionesGi(x) son analíticos en un disco |x| < R con R > 1. Hacemos licitaciónxhacia 1 en (5). Lo entendemos

ω Gi(1) = ∑j

Qi,j Gj(1) .

oro ω no es un valor propio de Q. Entonces Gi(1) = 0 por todo i.

Dejar ser un número entero ν ≥ 1. Por inducción, supongamos que hemos demostrado queG(ν−1)i (1) = 0. Derivamosν ecuación de

tiempos (5) con respecto a x y aplicamos la fórmula de Leibniz al producto de (1 − x)(aix − bi) y G′i(x). Lo entendemos

ω G(ν)i (x) +

ν

∑k=0

(ν

k)[(1 − x)(aix − bi)](k)G

(ν−k+1)i (x) = ∑

j

Qi,j G(ν)j (x) ,

donde (νk)denota el coeficiente del binomio. Como el polinomio(1 − x)(aix − bi) es de grado 2 en x, solo términos con 0 ≤ k ≤ 2 son

distintos de cero en la suma de la izquierda:

Hacemos licitación x hacia 1 y encontramos con la hipótesis de recurrencia que

ωG(ν)i (1) − ν(ai − bi)G

(ν)i (1) = ∑

j

Qi,jG(ν)j (1) .

oro ω no es un valor propio de la matriz Q + νD. EntoncesG(ν)i (1) = 0 por todo i.

Entonces, hemos demostrado que G(ν)i (1) = 0 por todo i y para todos ν ≥ 0. Desde la funciónGi(x) es analítico, tenemos

Gi(x) = 0 en las proximidades de x = 1, e incluso Gi(x) = 0 todo el disco |x| < Rsegún el principio de extensión analítica. Entoncesπn,i = G

(n)i (0)/n! = 0 por todo n ≥ 0 y 1 ≤ i ≤ K. Esto contradice la hipótesis.π ≠ 0.

Notas.

Los autovalores de las matrices Q + νDno son necesariamente todos reales, de modo que el sistema (5) no es ni la teoría deWeyl y Kodaira (Dieudonné, 2003), ni el estudio de (Clayton, 2010) sobre ciertos procesos de nacimiento cercano y muerte. Sinembargo, estos valores propios son todos reales cuandoK = 2 porque entonces el valor propio s(Q + νD) es muy real el otrovalor propio es, por lo tanto, también real.En los alrededores de x = 1, el sistema (16) se puede escribir

G′i(x) =

1

ai − bi[ 1

x − 1+∑

n≥0

(x − 1)n

( bi

ai− 1)n+1

][ωGi(x) −∑j

Qi,jGj(x)].

si G(x) el vector (Gi(x)). El sistema es por lo tanto de la formaG′(x) = Ω(x)G(x) con Ω(x) =Ω−1

x−1 + ∑∞n=0 Ωn(x − 1)n y

Ω−1 = D−1(ωI − Q). Si el radio de convergencia de la serieGi(x) es > 1, entonces Gi(x) es analítico en un barrio de x = 1.Entonces, el sistema anterior tiene una solución analítica en un vecindario dex = 1. Según (Gantmacher, 1966, p. 155), existe unnúmero enteroν ≥ 0 tal que ν ya sea un valor propio de Ω−1. Entonces hay un vectorw ≠ 0 tal que D−1(ωI − Q)w = νw.Entoncesωw = (Q + νD)w y ω es un valor propio de Q + νD. Esto es lo que se demostró principalmente en la Proposición 4.

G′i(x) =

1

ai − bi

[ 1

x − 1−

1

x − bi

ai

][ωGi(x) −∑j

Qi,jGj(x)]. (16)

ω Gi(ν)(x) + (1 − x)(aix − bi)G

(ν+1)i (x)

+ ν[ai(1 − 2x) + bi]G(ν)i (x) − aiν(ν − 1)G

(ν−1)i (x) = ∑

j

Qi,j G(ν)j (x) .

Ejemplo. Tome los valores numéricos (15) con a1 = 2,5. En este caso, tenemosm < 0. Para N = 1000, los primeros veinte valorespropios de la matriz M(N) son más o menos dados por la siguiente tabla:

Ahora los valores propios de Q son 0 y −2los de Q + D están −1 y −3,5los de Q + 2D están −1,6972244 y −5,3027756los de Q + 3D están −2,2877855 y −7,2122145los de Q + 4D están −2,8377223 y −9,1622777etc. Se encuentran en la tabla de arriba. Ensuma, parecería que los valores propios deM(N) converger cuando N → +∞ hacia los valores propios de las matrices Q + νD para ν = 0, 1, 2 … El terminal espectral μN converge a s(Q + D). Recuerda que aquis(Q + D) = Λ ya que m < 0.

4.3 El caso donde ai < bi por todo i

suponer m < 0. Busquemos formalmente una solución cercax = 1 del sistema (5) de la forma

Obtenemos

ω

∞

∑n=0

cn,i(1 − x)n − (aix − bi)∞

∑n=0

n cn,i(1 − x)n = ∑j

Qi,j

∞

∑n=0

cn,j(1 − x)n.

Teniendo en cuenta que aix − bi = ai − bi − ai(1 − x), identificamos los términos en (1 − x)n y obtenemos

[ω − (ai − bi)n]cn,i + ai(n − 1)cn−1,i = ∑j

Qi,jcn,j

por todo n ≥ 0, los términos en cn−1,i estar ausente cuando n = 0. Al posarcn = (cn,1, … , cn,K), por lo tanto, vemos que (17) es unasolución de (5) si

Se obtiene un primer tipo de solución eligiendo ω entre los valores propios de Q y c0un vector propio correspondiente. La relación(18) permite calcularcn para n ≥ 1, siempre que la matriz Q + nD − ωI Es siempre invertible.

Se obtiene un segundo tipo de solución eligiendo c0 = c1 = ⋯ = cν−1 = 0 con ν ≥ 1, ω un valor propio de Q + νD y cνun vectorpropio asociado. Entonces calculamoscn para n ≥ ν + 1 con la ecuación (18), siempre que la matriz Q + nD − ωI Es siempreinvertible.

Tomemos en particular ω = s(Q + νD) con ν ≥ 0que es todo comoai < bi por todo i, se tiene D < 0. De más,Q + νDEsirreducible. Entonces para todon > ν, se tiene s(Q + nD) < s(Q + νD) = ω. Entoncess(Q + nD − ωI) < 0, la matriz Q + nD − ωI es una matriz de Metzler invertible y (Q + nD − ωI)−1 ≪ 0. Se tienecn = [Q + nD − ωI]−1(n − 1)Acn−1 por todo n ≥ 1. cuandon → +∞, notamos que [Q + nD − ωI]−1(n − 1)A → D−1A Entonces cn,i/cn−1,i → ai/(ai − bi). La serie (17) esconvergente para|1 − x| < | bi

ai− 1|. La serie (17) para1 ≤ i ≤ K todos convergen para |1 − x| < mini | bi

ai− 1|.

4.4 Un radio de convergencia igual a 1

En los dos números anteriores, estábamos hablando de los valores propios de las matrices. Q + νD para ν completo ≥ 0. Sinembargo (Bacaër y Ed-Darraz, 2014) ya han destacado un ejemplo dondeR0 < 1 pero donde el valor propio s(Q + D) de la matriz Q + D es estrictamente positivo: solo toma q1 = q2 = 1, a1 = 2,7, a2 = 0,8, b1 = b2 = 2 (tenga en cuenta que a1 > b1). Nuestroproblema inicial no puede tener un valor propio positivo. Concluimos en particular que la serie generadoraGi(x) no siempre tienen unradio de convergencia > 1. La siguiente proposición vincula el comportamiento deGi(x) cerca de x = 1 con el parámetro α.

Proposición 5 . siω ∈ C y π = (πn,i) ∈CN×K comprobar (4) con π ≠ 0, si la serie generadora (6) tiene un radio de convergenciaigual a 1, si hay un número real α > 0un entero J ≥ 0 y funciones gi,j(x) análisis en un disco centrado en x = 1 tales como Gi(x) = (1 − x)α ∑J

j=0[log(1 − x)]jgi,j(x) durante un intervalo (1 − ε, 1) con ε > 0, si el vector (gi,J(1)) no es cero, entonces ω es

un valor propio de la matriz Q + αD.

Demostración . Se tiene

0 −1 −1,6972244 −2 −2,2877855−2,8377223 −3,3689563 −3,5 −3,8902278 −4,4056104−4,9172375 −5,3027756 −5,426328 −5,933627 −6,4396149−6,9446154 −7,2122145 −7,448851 −7,9524836 −8,4556214.

∞

∑n=0

cn,i(1 − x)n . (17)

[Q − ωI]c0 = 0 , [Q + nD − ωI]cn = (n − 1)Acn−1 , n ≥ 1. (18)

G′i(x) =(1 − x)α

J

∑j=0

[log(1 − x)]jg′

i,j(x)

+ (1 − x)α−1J

∑j=0

{−α[log(1 − x)]j− j[log(1 − x)]j−1}gi,j(x) .

oro Gi(x) verifique la ecuación (5) para |x| < 1. Dividiendo por(1 − x)α[log(1 − x)]J , encontramos que

Al hacer licitación x hacia 1, obtenemos

ωgi,J(1) − α(ai − bi)gi,J(1) = ∑j

Qi,jgj,J(1) .

Entonces ω es un valor propio de la matriz Q + αD.

Nota. La forma de la funciónGi(x) en la Proposición 5, que combina la función de potencia y un polinomio logarítmico, es lo que sepuede esperar de una solución de un sistema Fuchs en la vecindad de una singularidad (Gantmacher, 1966, p. 159).

4.5 El caso donde m > 0 y λ′1(1) > 0

Proposición 6 . Supongamos quem > 0 y que λ′1(1) > 0. siα∗ ∈]0, 1[ tal que Λ = λ1(α∗). siα > 0 y ω = s(Q + αD). siω y

π = (πn,i) ∈CN×K marque (4), si la serie generadora asociada Gi(x) tener un radio de convergencia igual a 1 y si el Gi(x) se puedeescribir en un intervalo (1 − ε, 1) con ε > 0 bajo la forma

Gi(x) =J

∑j=0

∞

∑n=0

gi,j,n[log(1 − x)]j(1 − x)n+α

con J ≥ 1 y un vector (gi,J,0)1≤i≤K que no es cero, entonces α = α∗ y ω = Λ.

Demostración . En efecto,

G′i(x) = −

J

∑j=0

∞

∑n=0

gi,j,n[j + (n + α) log(1 − x)][log(1 − x)]j−1(1 − x)n+α−1 .

Recordemos que aix − bi = ai − bi − ai(1 − x). comoGi(x) es una solución de (5) en el disco |x| < 1, se tiene

Términos en (1 − x)α[log(1 − x)]J y los de (1 − x)α[log(1 − x)]J−1 cada uno debe cancelar:

si γj el vector (gi,j,0)1≤i≤K. Entonces tenemos

(Q + αD − ωI)γJ = 0 , (Q + αD − ωI)γJ−1 + JDγJ = 0 .

como ω = s(Q + αD) y γJ ≠ 0, la primera ecuación muestra que γJ es un vector propio de la matriz Q + αD asociado con el valorpropio s(Q + αD). Con las anotaciones de la sección 2.2, deducimos que hay una constanteκ ≠ 0 tal que γJ = κ w1(α). Además,vemos que la segunda ecuación toma la forma

ω

J

∑j=0

[log(1 − x)]j−Jgi,j(x) + (1 − x)(aix − bi)

J

∑j=0

[log(1 − x)]j−Jg′

i,j(x)

+ (aix − bi)J

∑j=0

{−α[log(1 − x)]j−J− j[log(1 − x)]j−1−J}gi,j(x)

= ∑j

Qi,j

J

∑h=0

[log(1 − x)]h−Jgj,h(x) .

ω

J

∑j=0

∞

∑n=0

gi,j,n[log(1 − x)]j(1 − x)n+α

− (ai − bi)J

∑j=0

∞

∑n=0

gi,j,n[j + (n + α) log(1 − x)][log(1 − x)]j−1

(1 − x)n+α

+ ai

J

∑j=0

∞

∑n=0

gi,j,n[j + (n + α) log(1 − x)][log(1 − x)]j−1

(1 − x)n+α+1

=K

∑k=1

Qi,k

J

∑j=0

∞

∑n=0

gk,j,n[log(1 − x)]j(1 − x)n+α .

ωgi,J,0 − α(ai − bi)gi,J,0 = ∑k

Qi,k gk,J,0 ,

ωgi,J−1,0 − (ai − bi)[Jgi,J,0 + αgi,J−1,0] = ∑k

Qi,kgk,J−1,0 .

[Q + αD − λ1(α)I]γJ−1 + Jκ Dw1(α) = 0 . (19)

La matriz [Q + αD − λ1(α)I] tiene un núcleo unidimensional liderado por w1(α). Aún con las anotaciones de la sección 2.2, la matriztranspuesta[QT + αD − λ1(α)I] tiene un núcleo unidimensional liderado por v1(α). Al hacer el producto punto de (19) conv1(α),vemos que ⟨v1(α), Dw1(α)⟩ = 0. Esto es equivalente de acuerdo con (12) aλ′

1(α) = 0. comom > 0 y λ′1(1) > 0, esto implica que

α = α∗. Entoncesω = Λ.

5 Comportamiento asintótico de vectores propios

5.1 El caso donde m < 0

Ahora estudiemos el comportamiento para n grande de un vector limpio (πn,i) asociado con el valor propio ω1. Probemosdirectamente una solución de (4) tal que, paran → +∞,

πn,i = Πn( ki

nβ+

hi

nβ+1+ ⋯).

Para n genial, tenemos (n + 1)−δ = n−δ(1 + 1/n)−δ ≃ n−δ(1 − δ/n) ≃ n−δ − δ n−δ−1 y (n − 1)−δ ≃ n−δ + δ n−δ−1. Entonces

para ngrande. Vemos que los términos de ordenΠn/nβ−1 en (4) dar

0 = −(ai + bi)ki + bi ki Π + ai ki/Π .

así (Π − 1)(bi − ai/Π)ki = 0 por todo i. sia1/b1 = maxi ai/bi, se toma Π = a1/b1, k1 ≠ 0 y ki = 0 si i ≠ 1. dejarqi = −Qi,i.Términos de ordenΠn/nβ en (4) son

por lo tanto, ω1 k1 = (b1 − a1)(β − 1)k1 − q1 k1 y 0 = (a1 − b1)(bi/b1 − ai/a1)hi + Qi,1k1 si i ≠ 1. Deducimos que

Alternativamente, podríamos haber estudiado el sistema (5) en las proximidades de x = b1/a1 : esto habría sugerido que G1(x) ∼ (x − b1/a1)(ω1+q1)/(b1−a1). Recuerde que para el valor propioω1, podemos elegir el vector propio asociado para que πn,i > 0para n ≥ 1; el punto singular de toda la serieGi(x) más cercano a 0 en el plano complejo está por lo tanto en el eje x > 0según unteorema de Pringsheim (Queffélec y Zuily, 2013, p. 54). Según (Flajolet y Sedgewick, 2009), entonces tendríamosπn,1 ∼ (a1/b1)n/n1+(ω1+q1)/(b1−a1) para n → +∞, dentro de una constante multiplicativa. Esto es lo que encontramos.

Ejemplo numérico Volvamos a nuestro ejemplo numérico (15) cona1 = 2,5. La Figura 2 muestra el comportamiento asintótico delvector propio asociado con el valor propio.μN de la matriz M(N) para N = 1000. Aqui tenemosΛ = −1. Entonces tenemosβ = 1 y k1/h2 = 0,3. La figura parece confirmar los resultados asintóticos obtenidos, ya que el efecto de borde cercano an = N .

n πn,i ≃ Πn( ki

nβ−1+

hi

nβ+ ⋯),

(n ± 1)πn±1,i ≃ Πn±1( ki

nβ−1±

(1 − β)ki

nβ+

hi

nβ+ ⋯),

ω1 ki = (biΠ + ai/Π − ai − bi)hi + (ai/Π − biΠ)(β − 1)ki +∑j

Qi,jkj . (20)

β = 1 +ω1 + q1

b1 − a1, hi =

Qi,1

(b1 − a1)(bi/b1 − ai/a1)k1 si i ≠ 1. (21)

Figura 2. El caso donde a1 = 2,5. Nosotros rastreamosnβ(b/a1)nπn,1 (línea continua) y nβ+1(b/a1)nπn,2 k1/h2 (línea depuntos) dependiendo de n. Usamos la matriz truncada M(N) con N = 1000.

5.2 Casos donde m > 0

Sospechamos que πn,i ≃ ki/nβ o que πn,i ≃ ki(logn)/nβ. En ambos casos, los términos dominantes en (4) dan

Dicho de otro modo, ω es un valor propio de la matriz Q + (β − 1)D. De hecho, si estamos buscando una solución de la formaπn,i ≃ ki/nβ, somos como en (20) con Π = 1. En cuanto al caso donde

πn,i ≃ (logn)[ ki

nβ+

hi

nβ+1+ ⋯],

vemos que

que nuevamente conduce a la ecuación (22). Esto sugiere queβ = 1 + α∗ si λ′1(1) > 1 y β = 2 si λ′

1(1) ≤ 0. En ambos casos, el radiode convergencia deGi(x) sería igual a 1.

6 Regrese al caso particular donde K = 2

Podemos considerar la ecuación diferencial de segundo orden satisfecha por G1(x) en lugar del sistema diferencial de primer ordenpara G1(x) y G2(x). Obtenemos

Dividiendo por (1 − x)2(a1x − b1)(a2x − b2) y al descomponer en elementos racionales la fracción racional en factor de dG1

dx ,obtenemos

Supongamos que los números b1/a1, b2/a2y 1 son todos distintos. Reconocemos una ecuación diferencial de la forma

es decir, una ecuación diferencial de Riemann (Roseau, 1997, p. 229) con tres puntos singulares x0 = 1, x1 = b1/a1 y x2 = b2/a2,cuyos expositores de Fuchs son respectivamente

(k0, k′0) = (α+,α−), (k1, k′

1) = (0, −ω + q1

d1), (k2, k′

2) = (0, 1 −ω + q2

d2),

con α+ y α−soluciones de (13). El conjunto de soluciones, por lo tanto, se puede escribir con la notación de Riemann

ωki = (β − 1)(ai − bi)ki +∑j

Qi,jkj . (22)

(n ± 1)πn±1,i ≃ (logn ±1

n)[ ki

(n ± 1)β−1+

hi

(n ± 1)β] + ⋯

≃ (logn)[ ki

nβ−1+

hi ± (1 − β)ki

nβ] + ⋯ ,

(1 − x)2(a1x − b1)(a2x − b2)d2G1

dx2

+ (1 − x){[ω + q1 + a1(1 − 2x) + b1](a2x − b2) + (ω + q2)(a1x − b1)} dG1

dx

+ [(ω + q1)(ω + q2) − q1q2]G1 = 0 .

0 =d2G1

dx2+ [

1 − ω+q1

a1−b1− ω+q2

a2−b2

x − 1+

1 + ω+q1

a1−b1

x − b1

a1

+

ω+q2

a2−b2

x − b2

a2

] dG1

dx

+ [ (ω + q1)(ω + q2) − q1q2

(a1 − b1)(a2 − b2)

(1 − b1

a1)(1 − b2

a2)

x − 1] G1

(x − 1)(x − b1

a1)(x − b2

a2)

.

d2G1

dx2+ [

1 − k0 − k′0

x − x0+

1 − k1 − k′1

x − x1+

1 − k2 − k′2

x − x2] dG1

dx

+ [k0k

′0(x0 − x1)(x0 − x2)

x − x0+

k1k′1(x1 − x2)(x1 − x0)

x − x1

+k2k

′2(x2 − x1)(x2 − x0)

x − x2] G1

(x − x0)(x − x1)(x − x2)= 0,

G1(x) = P .

Según (Roseau, 1997, p. 229), se puede escribir

G1(x) =( x − 1

x − b1

a1

)α+

P .

dejar

A = α+, B = α+ −ω + q1

d1, C = 1 + α+ − α−.

Volvemos al caso de la ecuación diferencial hipergeométrica planteando

y =x − 1

x − b1

a1

 

b2

a2− b1

a1

b2

a2− 1

,

lo que se traduce en igualdad (y, 0; ∞, 1) = (x, 1; b1/a1, b2/a2)entre relaciones anarmónicas. así

G1(x) =( x − 1

x − b1

a1

)α+

P .

Recuerde que la función hipergeométrica se define para |z| < 1 por

F(α,β; γ; z) = ∑n≥0

(α)n(β)n(γ)n

zn

n!

con la notación (α)n = α(α + 1) … (α + n − 1). cuandox está cerca de 1, la variable y está cerca de 0. De acuerdo con la teoría de laecuación hipergeométrica diferencial, hay constantes κ1 y κ2 tal como

siempre y cuando C ≠ 1, es decir α− ≠ α+. Soluciones con expositorα+ en x = 1 corresponde a κ2 = 0 :

El caso m < 0. Supongamos, por ejemplo, quea2/b2 < a1/b1 < 1. Tienes que tomarα+ = 1 para la función propia asociada con elvalor propio ω1 = s(Q + D)y κ1 de manera que G1(0) = 1. Entonces α− = ω1+q1

d1+ ω1+q2

d2− 1de (13). dejar

ξ =

b2

a2− 2 b1

a1+ b1b2

a1a2

2 b2

a2− b1

a1− 1

,

cual es el valor de x para la cual y = −1. Se tiene1 < ξ < b1/a1. Mientras tanto0 < x < ξ, notamos que la variable y disminuye en ( a1

b1

b2

a2− 1)/( b2

a2− 1), que está entre 0 y 1, hasta −1. Mientras tantoξ < x < b1/a1, la expresión (23) debe reemplazarse por

cual es la expresión (18) de §182 de (Jordan, 1896), en la cual el argumento yy−1 crece por 1

2 en 1.

Volvamos a nuestro ejemplo numérico (15) con a1 = 2,5. La Figura 3 muestra las funciones generadorasG1(x) y G2(x) construidocon el vector propio asociado con el valor propio μN de la matriz M(N) donde N = 4000, con estandarización G1(0) = 1. Utilizamos

⎧⎪⎨⎪⎩ 1 b1

a1

b2

a2

α+ 0 0 x

α− − ω+q1

d11 − ω+q2

d2

⎫⎪⎬⎪⎭⎧⎪⎨⎪⎩ 1 b1

a1

b2

a2

0 α+ 0 x

α− − α+ α+ − ω+q1

d11 − ω+q2

d2

⎫⎪⎬⎪⎭⎧⎪⎨⎪⎩ 0 ∞ 10 A 0 y

1 − C B C−A− B

⎫⎪⎬⎪⎭G1(x) =( x − 1

x − b1

a1

)α+

[κ1F(A,B; C; y)

+ κ2 y1−C F(A− C+ 1,B− C+ 1; 2 − C; y)],

G1(x) = κ1(x − 1

x − b1

a1

)α+

F(A,B; C; y). (23)

G1(x) = κ1(x − 1

x − b1

a1

)α+

(1 − y)−A F(A, C− B; C;y

y − 1)

= κ1(x − 1

x − b2

a2

 

b2

a2− 1

b1

a1− 1)

α+

F(A, C− B; C;y

y − 1), (24)

el método de Horner para evaluar las series generadoras. Los comparamos con las fórmulas (23) y (24). Aqui tenemosξ ≃ 1,105. Seeligió el factor de normalización multiplicativo para que las funciones obtenidas por los dos métodos sean superponibles.

Figura 3. El caso a1 = 2,5. Generando funcionesG1(x) (línea continua) y G2(x) (línea de puntos) se trazan de acuerdocon x y calculado usando la matriz M(N) con N = 4000. Las fórmulas (23) y (24) paraG1(x) están representados porpequeños círculos y cuadrados.

El caso m > 0 y λ′1(1) ≤ 0. Supongamos, por ejemplo, quea1/b1 > 1 > a2/b2. Tenemos ahora0 < b1/a1 < ξ < 1. La expresión

(23) ya no es apropiada porquey diverge en x = b1/a1 < 1. Mientras tanto0 < x < ξ, vemos que y−1 disminuye en un número en elintervalo ]0, 1[ hasta −1. Tomamos en este intervalo la expresión (32) de §182 de (Jordan, 1896),

con α+ = 1, ω1 = s(Q + D) y κ1 de manera que G1(0) = 1. Sin embargo, durante el intervaloξ < x < 1, tomamos la expresión (34)del mismo §182 de (Jordan, 1896), en el que el argumento (1 − y)−1 crece por 1

2 a 1:

Volvamos a nuestro ejemplo numérico (15) con a1 = 3,2. La Figura 4 muestra las fórmulas (25) y (26). Parecen coincidir bien con lafunción generadora construida con el vector propio asociado con el valor propioμN de la matriz truncada M(N). Aqui tenemosξ ≃ 0,97.

G1(x) = κ1(x − 1

x − b1

a1

)α+

y−A F(A,A+ 1 − C;A+ 1 − B; y−1)

= κ1(b2

a2− 1

b2

a2− b1

a1

)α+

F(A,A+ 1 − C;A+ 1 − B; y−1), (25)

G1(x) = κ1(x − 1

x − b1

a1

)α+

y−A(1 − 1/y)−A F(A, C− B;A+ 1 − B; (1 − y)−1)

= κ1(x − 1

x − b2

a2

 

b2

a2− 1

1 − b1

a1

)α+

F(A, C− B;A+ 1 − B; (1 − y)−1). (26)

Figura 4. El caso donde a1 = 3,2. Comparación de las fórmulas (25) [círculos pequeños] y (26) [cuadrados pequeños] paraG1(x) con la función generadora del vector propio asociado con el valor propio μN de la matriz truncada M(N) (líneacontinua) con N =104.

El caso m > 0 y λ′1(1) > 0. Es posible que las expresiones (25) y (26) ya no sean válidas, incluso cuando se tomanα+ = α− = α∗y

que deberían reemplazarse por expresiones que contengan un término logarítmico. si a1 = 3,5, se tiene Λ = −0,2 y α∗ = 0,6según lasfórmulas (14). No logramos obtener una cifra sugerente en este caso.

7 cadena de Markov incluida

Recuerde que para un proceso de conexión Zn (n = 0, 1, …) subcrítico en un entorno aleatorio con entornos independientesdistribuidos idénticamente, tenemos

donde f(x)denota la función generadora (Dekking, 1988; Geiger et al., 2003). siμel mínimo en el lado derecho de (27). Sabemos másprecisamente que en el caso "débilmente subcrítico" dondeE(f ′(1) log f ′(1)) > 0, se tiene P(Zn > 0) ∼ c n−3/2μn cuando n → ∞por una constante c > 0. En el caso "altamente subcrítico" dondeE(f ′(1) log f ′(1)) < 0, se tiene μ = E(f ′(1)) y P(Zn > 0) ∼ c μn

cuando n → ∞ por una constante c > 0. Recuerde que el proceso es subcrítico cuandoE(log f ′(1)) < 0.

Volvamos a nuestro continuo proceso de nacimiento y muerte. Nos limitamos a simplificar el caso particular de dos entornos:K = 2.dejar

ϕi,t(x) =bi(1 − x)e(ai−bi)t + aix − bi

ai(1 − x)e(ai−bi)t + aix − bi.

si ai ≠ bi, de hecho, es la función generadora del número de individuos después de un tiempo t a partir de un individuo en el momento0 en el entorno i(Hillion, 1986). En todo caso,ϕ′

i,t(1) = e(ai−bi)t = edi t. A partir del entorno 1, el entorno cambia al estado 2 después deun tiempot1, luego vuelve al estado 1 después de un tiempo t2. Las densidades de probabilidad asociadas sonq1e

−q1t1 y q2e−q2t2 . Luego

considere la cadena de Markov incluida Zn (n = 0, 1, …) mirando solo el cambio entre el tiempo 0 y tiempo t1 + t2; vamos a llamarlouna generación La función generadora esf(x) = ϕ2,t2(ϕ1,t1(x)). En particular,f ′(1) = ed1t1+d2t2 . Este proceso de ramificación essubcrítico. De hecho, tenemos

ya que R0 < 1. El proceso de conexión es altamente subcrítico cuando

En este caso, tenemos

limn→∞

[P(Zn > 0)]1/n= min0≤α≤1

E(f ′(1)α) , (27)

E(log f ′(1)) = ∫∞

0

∫∞

0

q1e−q1t1q2e

−q2t2 [d1t1 + d2t2]dt1 dt2 =d1

q1+

d2

q2< 0

E(f ′(1) log f ′(1)) = ∫∞

0∫

∞

0q1e

−q1t1q2e−q2t2ed1t1ed2t2 [d1t1 + d2t2]dt1 dt2

=q1q2

(q1 − d1)(q2 − d2)[ d1

q1 − d1+

d2

q2 − d2] < 0 . (28)

μ = E(f ′(1)) = ∫∞

0∫

∞

0q1e

−q1t1q2e−q2t2ed1t1ed2t2dt1 dt2 =

q1q2

(q1 − d1)(q2 − d2).

Tenga en cuenta que si d1 < 0 y d2 < 0, entonces el proceso es fuertemente subcrítico. En el caso débilmente subcrítico, tenemos

y un pequeño cálculo muestra que

μ = −4

q1

d1

q2

d2

( q1

d1− q2

d2)

2.

Tenga en cuenta que este número es < 1 si y solo si R0 < 1.

Para nuestro ejemplo numérico, la fórmula (28) muestra que la cadena de Markov incluida es fuertemente subcrítica cuando a1 < 3,4. Curiosamente, este umbral difiere del que separa los casosΛ = s(Q + D) y Λ = s(Q + α∗D) con 0 < α∗ < 1para elproceso lineal de nacimiento y muerte. Este último umbral fue≃ 3,2829 de la Sección 3. Sin embargo, la velocidad a la que la cadenade Markov incluida converge hacia la extinción tiene poco que ver con la velocidad a la que el proceso de tiempo continuo hace lomismo.

8 Conclusión

Quedan muchos puntos por aclarar sobre el comportamiento de los valores propios y los vectores propios. Entre las posiblesgeneralizaciones, uno puede pensar que si los coeficientesai, bi y Qi,j son funciones T -periódico de tiempo t, entonces ω1 será igual a min{f(Q(⋅) + αD(⋅));  0 ≤ α ≤ 1}donde f(⋅) designa el exponente de Floquet dominante y reemplaza el límite espectral.

gracias

Agradecemos a Vincent Bansaye, Anne Duval y Bruno Sericola por sus comentarios y sugerencias.

referencias

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