EN RUTASUBURBANO

El siguiente esquema muestra parte del sistema de transpor-te de una ciudad de Zedlan-dia, con 3 líneas de ferrocarril.

El precio del billete se calcula en función del número de estaciones que se recorren. Cada estación que se recorre cuesta 1 zed.

El tiempo que se tarda en ir de una estación a la siguiente es de aproximadamente 4 minutos.

En los trasbordos de una línea a otra se tarda unos 5 minutos.

Marca en el esquema el mejor trayecto en término de dinero y tiempo e indica el precio que debe pagar y el tiempo aproximado.

1. Hazlo para Desde aquí a Hasta aquí, De X a Y, de E a F.

2. ¿Cuál es el número máximo de estaciones que pueden visitarse sin pasar dos ve-ces por la misma?

3. Si la distancia media entre estaciones es de 1,2 km, ¿cuál es la velocidad media del tren?

¿AUTOVÍA O AUTOPISTA?De Madrid a Guadalajara hay unos 60 km. Se anuncian retenciones en la autovía y se es-tima una velocidad media de 30 km/h (con-sumo “ciudad”). En la autopista, que cuesta 6 euros, puedo ir a 120 km/h. El litro de gasoil está a 0,97 euros. ¿Qué opción me sale más barata?

(Realiza los cálculos para un coche A y un coche B)

Consumo (L/100 km)

Versión A Versión B

a 90 km/h 6,7 6,2

a 120 km/h 8,5 7,9

ciudad 10,3 10,9

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VACACIONESEste problema trata de cómo organizar el mejor itinerario para unas vacaciones. Las figuras muestran un mapa del área y las distancias entre las ciudades.

1. Calcula la distancia más corta por carretera entre Nuben y Kado.

2. Calcula el gasto del viaje si las carreteras son comarcales (90 km/h) y se lleva un coche versión A.

3. Supón ahora que los tramos punteados son autopistas (120 km/h, 1 euro cada 25 km).

4. Calcula la distancia más corta, la más rápida, la más económica.

5. Diseña la ruta más corta para, saliendo de Megal, volver a Megal habiendo visi -tado todos las ciudades

DOS AVIONES

Las siguientes gráficas describen a dos aviones ligeros, A y B

La primera gráfica muestra que el avión B es más caro que el A.

1. ¿Qué más indica?

2. ¿Son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones?

«El avión más viejo es más barato»

«El avión más rápido es más pequeño»

«El avión más grande es más viejo»

2

«El avión más barato transporta menos pasajeros»

3. Copia las gráficas siguientes. En cada gráfica marca dos puntos que representen a A y a B.

CARRERAS DE COCHES

¿Cómo crees que varía la velocidad de un coche cuando está dando la segunda vuelta en cada uno de los tres circuitos dibujados abajo? (S es el punto de salida)

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1. Explica tus respuestas claramente, por escrito y mediante una gráfica que relacione la velocidad con la distancia recorrida.

2. Dibuja dos circuitos y propón a tu compañero que elabore el gráfico.

3. Dibuja dos gráficos y propón a tu compañero que diseñe el circuito.

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EL GLOBO

El globo asciende y medimos la tura que alcanza y la distancia del globo al hori-zonte.

Sin marcar los puntos exactamente, dibuja una gráfica aproximada que describa la relación entre la altura del globo y la distancia al horizonte.

¿Qué distancia al horizonte piensas que habría a una altura de 75 m? ¿Y a 900 m?

Si la distancia al horizonte fuera de 50 km, ¿a qué altura estimas que se encontraría el globo?

¿Qué tipo de curva crees que podría ser?

Intenta escribir la ecuación (Ayúdate de Excel).

EL VIAJE

Alturadel globo

(ro)

Distanciahasta el

horizonte (km)

5 8

10 1120 1630 2040 2350 25

100 33500 80

1.000 112

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El mapa y la gráfica de arriba describen un viaje en coche de Nottingham a Crawley por carreteras comarcales.

1. Marca en el mapa los puntos que te parece se corresponden con las letras de la gráfica.

2. Describe cada parte del viaje, haciendo uso de la gráfica y del mapa. Describe y explica qué ocurre entre los puntos que llevan nombre de letra.

3. Haz una gráfica qué muestre cómo varía la velocidad del coche durante el viaje.

4. Calcula la velocidad media del viaje.

5. Calcula el gasto en combustible si el vehículo es versión A.

YENDO A LA ESCUELA

Miren, Mikel, Susana, Pablo, Pau y Pedro van a la escuela por la misma carretera comarcal todas las mañanas.

Pedro va en el coche de su padre, Miren en bicicleta y Susana andando. Los otros dos van cada día de una forma. El mapa anterior muestra dónde vive cada uno.

La siguiente gráfica describe el viaje a la escuela de cada uno el lunes pasado.

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1. Marca cada punto de la gráfica con el nombre de persona a la que representa.

2. ¿Cómo viajaron Pablo y Mikel ese día?

El padre de Pedro puede conducir a 40 km/h en los tramos rectos de la carretera, pero tiene que frenar en las curvas.

3. Dibuja una gráfica en los ejes que aparecen a continuación para mostrar cómo varía la velocidad del coche a lo largo de su recorrido.

EL INFORME SOBRE EL TRÁFICO

Se realizó un informe para estudiar el volumen del tráfico que circula por una carretera concreta. Los resultados se publicaron mediante la gráfica que muestra el número de coches que usa la carretera en cada momento durante un domingo y un lunes típicos de junio.

1. Explica la forma del gráfico.

2. Compara la gráfica del domingo con la del lunes. ¿Hay algo que resulte sorprendente?

3. ¿Dónde crees que podría estar situada esta carretera? Da un ejemplo de una carretera que conozcas, que pueda dar una gráfica como ésta.

EL VIAJE POR AUTOPISTA

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La gráfica anterior muestra cómo varía la gasolina que hay que el depósito de mi coche durante un viaje por una autopista.

Escribe un párrafo para explicar la forma de la gráfica. En particular, responde a las siguientes cuestiones:

1. ¿Cuánta gasolina tenía en el depósito después de 240 km?

2. En mi depósito caben unos 40 litros. ¿Cuándo estaba lleno más de media depósito?

3. ¿En cuántas gasolineras paré?

4. ¿En qué gasolinera eché más gasolina? ¿Por qué lo sabes?

5. Sí no hubiera parado en ninguna parte, ¿dónde me habría quedado sin gasolína?

6. Si sólo hubiera parado una vez, ¿dónde habría ocurrido? 7. ¿Cuánta gasolina usé para las primeros 200 km?

8. ¿Cuánta gasolina usé para todo el viaje?

9. ¿Cuántos litros consume mi coche cada 100 km en esta autopista?

Después de 520 km, abandono la autopista y conduzco $0 km por carreteras comarcales y luego 20 km por ciudad, donde tengo que estar parando y arrancando. En las carreteras comarcales mi coche consume 9 litros por 100 km y en ciudad 12,5 litros por 100 km.

10. Estudia a cuál de las dos versiones de la tabla adjunta se parece más mi coche.

11. Calcula el dinero que he gastado en el viaje si el precio del combustible es de 0,97 euros el litro.

12. Haz una gráfica que muestre el resto de mi viaje.

PRUDENCIA EN RUTAPrudencia tiene un problema. Todos los días, al ir cami-

Consumo (L/100 km)

Versión A Versión B

a 90 km/h 6,7 6,2

a 120 km/h 8,5 7,9

ciudad 10,3 10,9

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nando hacia la escuela, se tropieza con Paco Pelma.Paco: ¡Qué hay, nena! ¿Quieres que te acompañe a la escuela?Prudencia: ¡No! ¡Y haz el favor de dejarme en paz!Prudencia: Ya sé lo que voy a hacer. Cada día iré por distinto camino. Así Paco no sabrá dónde encontrarme.Este plano muestra todas las calles que enlazan la casa de Prudencia con la escuela. En la ruta que se ve, Prudencia siempre marcha hacia el sur o el este.He aquí a Prudencia yendo por otro camino. Como es lógico, la chica no quiere alejarse de la escuela. Pero, vamos a ver, ¿cuántos caminos puede seguir?Prudencia: Me gustaría saber de cuántas formas puedo ir de casa a la es-cuela. Bueno... Hmm... No va a ser fácil... ¡Ajá! ¡Ya lo tengo! No es nada di-fícil. ¿Cuál fue la feliz idea de Prudencia?¿Y si el entramado es un rectángulo de 7x9 y Prudencia debe ir de un vértice al opuesto?Si no se te ha ocurrido una idea AJÁ! deberás acudir a la combinatoria.

" Abre la página siguiente y resuelve en tu cuaderno los ejercicios que se plantean.

http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/combinatoria_jjce/combinatoria_2.htm#pr

EL POLÍGONO INDUSTRIALUn pequeño polígono industrial consta de tres naves, que forman un triángulo.Calcula la superficie del polígono (el triángulo) si el dibujo está hecho a escala 1:15.000.El surtidor de gasolinaSe va a colocar en el polígono un surtidor de gasolina y se pretende que esté a la misma distancia de cada nave. ¿Dónde se habrá de colocar?El puesto de socorroTambién se quiere instalar un puesto de socorro que cumpla la siguiente condición: debe distar lo mismo del río, de la vía del tren y de la carretera.¿Dónde se habrá de colocar?

""! Abre el archivo en geogebra tanteouno.zip. Intenta elaborar un archivo como ése. Moviendo el punto en cada

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triángulo intenta encontrar la ubicación de la gasolinera y del puesto de socorro."! Abre la hoja de cálculo triangulos.xls y, desplazando el vértice móvil, estudia qué puntos interesantes del triángulo dan solución a los dos problemas anteriores.""! Abre los archivos en geogebra cirin.zip y barorto.zip. Intenta elaborar un archivo como ése. Revisa tus soluciones.

El almacénSe quiere ahora construir un almacén de suministro para tres naves de forma que la suma de distancias del almacén a cada una de las naves sea mínima.A) Imagina que las naves están colocadas como en la figura (cada unidad es 1 km) y que el almacén debe estar en la carretera (línea punteada).Calcula, con lápiz y papel las coordenadas del almacén.

""! Abre el archivo en geogebra tanteodos.zip. Intenta elaborar un archivo como ése. Moviendo el punto intenta encontrar la ubicación del almacén."! Abre la hoja de cálculo almacen.xls y, aplicando Solver, intenta resolver el problema.

Ahora el triángulo no es isósceles y no hay ninguna restricción para el almacén: puede estar en cualquier punto del polígono.

""! Abre el archivo en geogebra tanteotres.zip. Intenta elaborar un archivo como ése. Moviendo el punto intenta encontrar la ubicación del almacén."! Abre la hoja de cálculo almacen.xls y, aplicando Solver, intenta resolver el problema.

El polígono creceImagina ahora que el polígono crece y ya hay cuatro naves.Intenta dar respuesta a las mismas cuestiones planteadas para el polígono triangular. Si no

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encuentras las soluciones exactas (quizá algunas no existan) intenta dar con las más aproximadas.Comparad al final todas las soluciones obtenidas y quedaos con las mejores.

Tomás, el sidreroTomás quiere abrir una sidrería en la casa vieja de sus padres que dista 6 km del río. Debe deci-dir dónde plantará los manzanos. Como todo el terreno es suyo, puede escoger el lugar. Piensa que estaría bien que cada man-zano estuviera a la misma distan-cia del río que de la casa (debe regar los manzanos y debe trans-portar las manzanas a casa).El primer manzano lo planta don-de marca la figura. 1. En papel cuadriculado, con re-gla, escuadra, cartabón y compás, diseña dónde debería plantar 20 manzanos cumpliendo la exigencia previa de Tomás.

"! Abre el archivo en geogebra sidreria.zip.

2. Explica cómo se ha realizado esa construcción y por qué los puntos de corte de la retícula rectas-circunferencias cumplen la condición de Tomás.3. ¿Qué forma tienen los puntos de intersección?

"! Abre el archivo en geogebra sidreriados.zip. Mueve los puntos que se indican.

4. Escribe una definición de parábola como lugar geométrico de puntos que cumplen una condición.5. ¿Cómo influye en la forma de la parábola la distancia entre el FOCO(casa) y la directriz (río)?

"! Abre los archivos en geogebra parabola_constr.zip, parabola_ecuacion.zip, parabola_ecuacion2.zip, foco_parabola.zip. Manipúlalos y contesta a las preguntas que se plantean en el documento de Word parabola.doc.

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La propiedad que se pone de manifiesto en el archivo foco_parabola.zip acerca del Foco de una parábola: donde convergen los rayos reflejados es la responsable del buen funcionamiento de las antenas parabólicas, los fa-ros (de los coches, de los faros), los hornos solares (parabólicos), etc.

LA RUTA DEL AGUA

En una isla de forma elíptica (¿qué es una elipse?) se quiere construir unas tuberías que unan las dos casetas de bombeo pasando necesariamente por un punto del lago para la toma de agua.

1. Investiga cuál sería el punto idóneo de la toma de agua para que la lon-gitud total de la tubería fuera mínima.

"! Abre el

archivo en geogebra elipse_constr.zip, manipúlalo y contesta ahora a la pregunta.

2. Define elipse como lugar geométrico de puntos que cumplen una condición.

"! Abre los archivos en geogebra elipse_ecuacion.zip, elipse_ecuacion2.zip, elipse_excentr.zip, elipse_rebote.zip manipúlalos y contesta a las cuestiones que se plantean en el documento Word elipse.doc.

" Hace 23 siglos que los griegos (bueno, alguno de ellos) ya se había entretenido en seccionar de todas formas posibles un cono, obteniendo así una clasificación cerrada y perfecta. Si el ángulo de corte no llegaba a valer lo que el de la generatriz (faltaba inclinación, elipsis), ese óvalo que aparecía era una

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elipse. Si se llegaba a igualar tal ángulo (se comparaban los ángulos de corte y el de la generatriz), la curva se abría: era una parábola. Si se exageraba en el ángulo de corte, se obtenía una hipérbola (hipérbole=exageración). Había un tipo de elipses, las circunferencias, que siempre estuvieron de moda, ya fuera por razones prácticas, estéticas o religiosas. Las parábolas gustaban mucho a los militares y a cualquier otro individuo amante de lo arrojadizo. Las hipérbolas y elipses no pasaron, de momento, de mera entelequia más o menos platónica. Hubieron de pasar 20 siglos para que el místico y genial Kepler rescatara del frío y oscuro olvido a esa especie de circunferencia imperfecta: la elipse. Hasta entonces sin saberlo: todo el personal viajando ignorante según aquella curva olvidada o desconocida. Y así cogió fama aquella forma, que nació con pocas posibilidades de triunfar. Luego algunos se hicieron fabricar mesas de billar con ese contorno (por ejemplo. Lewis Carroll, matemático, escritor, amante y creador de deliciosas alicias, a veces semidesnudas en frente del objetivo de su cámara fotográfica, a veces a través del espejo) y otros jugaron con el bote imprevisto de un artilugio hijo de la elipse, el balón de rugby, un paraboloide de revolución. Hubo sádicos que construyeron plazas de toros con altas barreras de espejo, y, colocando en uno de sus focos al enemigo, atado y tembloroso, hicieron arder en el otro una tea precisa y asesina. Alguien contó lo que llevó en chamuscarse el reo: 37 segundos.

Apolonio de Perga (262-190 a.C.). Le llamaban "el Gran Geómetra" y lo sabía todo sobre las cónicas. For-ma parte del trío de matemáticos de la Edad de Oro de la cultura griega. Parece que toda la evidencia apunta a Apolonio como el verdadero fundador de la astronomía matemática griega.

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