SOBRE SISTEMAS DE POLINOMIOS ORTOGONALES DEFINIDOS...

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS

SOBRE SISTEMAS DE POLINOMIOS ORTOGONALESDEFINIDOS POR LA ECUACIÓN DE TIPO

HIPERGEOMÉTRICO

Presentada por Martha Liliana Hernández Galeano para optar por el grado de matemático

Dirigido por:Luis Oriol Mora Valvuena

Índice general

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Preliminares 3

1.1. Álgebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3. Espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1. Propiedades de los Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2. Función analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3. Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.4. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Teoría de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.1. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2. Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.3. La integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.4. Funciones Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Funciones Especiales 19

2.1. Función Gamma y Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1. Función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2. La ecuación en diferencias Γ(z + 1) = zΓ(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.3. Función Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.4. Función factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Función Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1. Convergencia de la función hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2. Ecuación diferencial hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Teoría general de polinomios ortogonales 25

i

ii ÍNDICE GENERAL

4. Desarrollo 29

5. Conclusiones 32

Introducción

Este trabajo se fundamenta en el artículo �Systems of orthogonal polynomials de�ned by hiper-geometric type equations with applications to quantum mechanics� en el que se pretende mostraruna visión uni�cada de los sistemas de polinomios ortogonales de�nidos por un tipo de ecuacióndenominada hipergeométrica, además de analizar la función especial asociada.

El estudio de las funciones especiales permite el entendimiento de diferentes áreas de la matemática,por ende, el presente trabajo desarrolla el fundamento matemático necesario para la comprensiónde dicho artículo y la formalización de algunos conceptos fundamentales.

La primera parte del trabajo recopila, de forma sucinta, las de�niciones y teoremas fundamen-tales en la construcción de la teoría general de polinomios ortogonales. Se inicia estudiando losconceptos esenciales del álgebra lineal tales como espacio vectorial, transformaciones lineales yteoremas referentes al producto interno de un espacio; logrando con ésto una base formal en laconstrucción de la teoría; ahora bien, en el transcurso del trabajo se notará que gran parte de lasfunciones que se encontraran corresponden a soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales, por talrazón se estudia también la forma general de la solución de ecuaciones diferenciales de primer ysegundo grado, y se enuncia el teorema de existencia y unicidad de la solución.

Los conceptos provistos por la variable compleja, principalmente los relacionados con singulari-dades en las funciones, permiten un análisis más concreto de ciertos problemas, por ende estostemas también son abordados; por último se trata la teoría de la medida, teoremas referentes afunciones integrables y medibles en el espacio real.

Los capítulos siguientes hacen uso de los conocimientos desarrollados en la primera parte; la segundaparte titulada funciones especiales se centra en las de�niciones y teoremas referentes a la funcióngamma, que permiten identi�car y conceptualizar la función hipergeométrica, base del artículo�Systems of orthogonal polynomials de�ned by hipergeometric type equations with applications toquantum mechanics�.

La tercera parte desarrolla la teoría general de polinomios ortogonales, poniendo en evidencia larelación entre polinomios ortogonales y funciones especiales. El teorema de Favard y su recíproco, el

1

2 ÍNDICE GENERAL

teorema de los ceros entre otros, fundamentales en la teoría de polinomios ortogonales son tambiénabordados; se muestra de esta manera el formalismo concreto que cumplen ciertas funciones y lasconsecuencias matemáticas que esto conlleva.

Capítulo 1

Preliminares

En este capítulo se introducen algunos conceptos necesarios para el desarrollo de los temassobre teoría general de polinomios ortogonales y funciones especiales. Se realiza una síntesis dealgunos temas como álgebra lineal, ecuaciones diferenciales ordinarias, variable compleja y teoríade la medida; tomadas de [1], [2], [3], [5], [6], [7] y [8].

Se hará uso de la notación R para referirse a los números reales, C los números complejos.

1.1. Álgebra Lineal

1.1.1. Espacio Vectorial

De�nición 1.1. Un espacio vectorial sobre un campo K consta de un conjunto V en el que estánde�nidas dos operaciones tal que para cualquier par de elementos x y y en V exista un elementoúnico x+ y en V , y para cada elemento a en K y cada elemento x en V exista un elemento únicoax en V , de manera que se cumplan las siguientes condiciones:

1. Para todo x, y ∈ V ; x+ y = y + x.

2. Para todo x, y, z ∈ V ; (x+ y) + z = x+ (y + z).

3. Existe un elemento 0 denominado la identidad aditiva tal que para todo x ∈ V , x+ 0 = x.

4. Para cada elemento x ∈ V , existe un elemento y ∈ V tal que x+ y = 0.

5. Para cada elemento x en V , 1x = x.

6. Para cada par de elementos a, b ∈ K y cada elemento x ∈ V , (ab)x = a(bx).

7. Para cada elemento a en K y cada pare de elementos x, y ∈ V , a(x+ y) = ax+ ay.

8. Para cada par de elementos a, b ∈ K y x ∈ V , (a+ b)x = ax+ bx.

3

4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

Los elementos x+y y ax se denominan, respectivamente, suma de x y y y el producto de a y x.

A los elementos del campo K se denominan escalares y a cualquier elemento de un espacio vectorialse denomina vector.

Siempre que se hable de un espacio vectorial V se entiende que es sobre un campo de escala-res K.

Los espacios vectoriales poseen algunas propiedades que a continuación se enuncian:

1. Un espacio vectorial tiene una única identidad.

2. Todo elemento en un espacio vectorial tiene un único inverso.

3. En un espacio vectorial 0v = 0 para todo v ∈ V (donde 0 ∈ K).

4. a0 = 0 para todo a ∈ K (donde 0 ∈ V ).

5. (−1)v = −v para todo v ∈ V .

De�nición 1.2. Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre un campo K se llama unsubespacio de V siW es un espacio vectorial sobreK, bajo las operaciones de suma y multiplicaciónpor escalar de�nidas en V .

Para demostrar que W es un subespacio vectorial basta mostrar que satisface las siguientes condi-ciones:

1. x+ y ∈W siempre y cuando x ∈W y y ∈W .

2. ax ∈W siempre que a ∈ K y x ∈W .

De�nición 1.3. Sea V un espacio y S un conjunto no vacío de V . Se dice que un vector X de Ves una combinación lineal de elementos de S, si existe un número �nito de elementos y1, y2, · · · , ynen S y escalares a1, · · · , an en K tales que x = a1y1 + · · ·+ anyn. En este caso, es común decirque x es una combinación lineal de y1, · · · , yn.

De�nición 1.4. El conjunto de todas las combinaciones lineales de {v1, · · · , vm} se denominaspan de {v1, · · · , vm} es decir span{v1, · · · , vm} = {a1v1 + · · · + amvm|ak ∈ K}, algunas vecesse hará uso del nombre generado.

De�nición 1.5. Un subconjunto S de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existeun número �nito de vectores distintos x1, · · · , xn en S y escalares a1, · · · , an en K, no todos ceros,tales que:

a1x1 + · · ·+ anxn = 0. (1.1)

De�nición 1.6. Un subconjunto S de un espacio vectorial, que no es linealmente dependiente sedice linealmente independiente.

1.1. ÁLGEBRA LINEAL 5

De�nición 1.7. Una base β para un espacio vectorial V es un subconjunto linealmente indepen-diente de V que genera a V .

De�nición 1.8. Un espacio vectorial V se llama �nito - dimensional si tiene una base que constade un número �nito de elementos; el único número de elementos en cada base de V se llamadimensión de V y se denota por dim(V ). Si un espacio vectorial no es dimensionalmente �nito, sellama dimensionalmente in�nito.

1.1.2. Transformaciones lineales

De�nición 1.9. Una transformación lineal de V en W (V , W espacios vectoriales sobre un campoK) es una función T : V →W con las siguientes propiedades:

1. T (u+ v) = Tu+ Tv para todo u, v ∈ V .

2. T (αv) = α(Tv) para todo a ∈ K y v ∈ V .

Algunas de las propiedades de las transformaciones lineales son:

1. Si T es lineal, entonces T (0) = 0.

2. T es lineal, si y solo si T (ax+ y) = aT (x) + T (y) para todo x, y ∈ V y a ∈ K.

3. T es lineal si y solo si para x1, · · · , xn ∈ V y a1, · · · , an ∈ K tenemos que:

T (

n∑i=1

aixi) =

n∑i=1

aiTxi.

El conjunto de todas las transformaciones lineales del espacio vectorial V en el espacio vectorialW se denota por L(V,W ).

De�nición 1.10. Para T ∈ L(V,W ), el espacio nulo, denotado null T , es el subconjunto de V detodos los vectores que T transforma en 0 (0 ∈ V ), es decir:

null(T ) = {v ∈ V |Tv = 0}.

Frecuentemente es usado el término Kernel para referirse al espacio nulo.

De�nición 1.11. Para T ∈ L(V,W ), el rango de T , denotado rango T , es el subconjunto de Wtodos los vectores que son de la forma Tv para algún v ∈ V , es decir,

rango(T ) = {Tv|v ∈ V }.

También se usa la palabra imagen para designar al rango.


De�nición 1.12. Una transformación lineal T ∈ L(V,W ) se denomina invertible si existe unaplicación lineal S ∈ L(W,V ) tal que ST sea igual a la transformación identidad sobre V y TSigual a la identidad sobre W .

Teorema 1.13. Supongamos V un espacio vectorial de dimensión �nita. Si T ∈ L(V,V), entonceslas siguientes a�rmaciones son equivalentes:

1. T es invertible.

2. T es inyectiva.

3. T es sobreyectiva.

1.1.3. Espacios con producto interno

De�nición 1.14. Una pareja ordenda es una pareja de elementos de un conjunto, donde el primerelemento se le denomina primera componente y al segundo elemento, segunda componente.

De�nición 1.15. Un producto interno sobre V es una función que transforma cada pareja ordenada(u, v) (u se denomina primera componente y v segunda componente,) de elementos de V en unnúmero 〈u, v〉 ∈ K y tiene las siguientes propiedades:

1. 〈v, v〉 ≥ 0 para todo v ∈ V .

2. 〈v, v〉 = 0 si y solo si v = 0.

3. 〈u+ v, w〉 = 〈u, v〉+ 〈v, w〉 para todo u, v, w ∈ V .

4. 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉 para todo α ∈ K y todo u, v ∈ V .

5. 〈u, v〉 = 〈v, u〉 para todo u, v ∈ V .

De�nición 1.16. Un espacio vectorial V sobre K que satisface las propiedades anteriores sedenomina espacio con producto interno.

Uno de los ejemplos frecuentemente usados es el producto interno euclideo, como el productousual en R.

Algunas propiedades se tienen de la de�nición de producto interno, son las siguientes:

1. 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉 para todo x, y, z ∈ V .

2. 〈x, cy〉 = c 〈x, y〉 para todo x, y ∈ V .

3. Si 〈x, y〉 = 〈x, z〉 para todo x ∈ V entonces y = z.

Las dos primeras propiedades muestran que el producto interno es lineal conjugado en la segundacomponente.

1.1. ÁLGEBRA LINEAL 7

De�nición 1.17. Sea V un espacio con producto interno. Para x ∈ V se de�ne la norma ‖‖ de xmediante ‖x‖ =

√〈x, x〉.

Teorema 1.18. Sea V un espacio con producto interno. Entonces para toda x, y ∈ V y c ∈ K setiene:

1. ‖cx‖ = |c| ‖x‖ para todo x en V .

2. ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0. En cualquier caso ‖x‖ ≥ 0.

3. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) | 〈x, y〉 | ≤ ‖x‖ ‖y‖.

4. (Desigualdad triangular) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

De�nición 1.19. Dos vectores u, v ∈ V se dicen ortogonales si 〈u, v〉 = 0.

De�nición 1.20. Un subconjunto de vectores de un espacio vectorial V se dice ortonormal si cadapareja de vectores son ortogonales y cada vector tiene norma 1.

Proposición 1.21. Si {e1, e2, · · · , em} es un subconjunto ortonormal de vectores en V , entonces

‖a1e1 + · · ·+ amem‖ = |a1|2 + · · ·+ |am|2,

para todo a1, · · · , am ∈ K.

De�nición 1.22. Una base ortonormal de V es un subconjunto ortonormal de vectores en V quees también una base de V .

Teorema 1.23. Supongamos que {e1, · · · , en} es una base ortonormal de V . Entonces

v = 〈v, e1〉 e1 + · · ·+ 〈v, en〉 en,

y‖v‖2 = | 〈v, e1〉 |+ · · ·+ | 〈v, en〉 |,

para todo v ∈ V

El siguiente teorema indica como construir un conjunto ortonormal a partir de un conjuntolinealmente independiente de vectores, de tal forma que ambos conjuntos generen el mismo espacio.

Teorema 1.24. Sea V un espacio con producto interior, y sea S = {y1, · · · , yn} un subconjuntode V linealmente independiente.Defínase S′ = {x1, · · · , xn}, donde x1 = y1

‖y1‖ y

xk = yk −k−1∑j=1

yk − xj‖xj‖2

xj para 2 ≤ k ≤ n.

Entonces S′ es un conjunto ortogonal de vectores no nulos que genera el mismo espacio que S.

El proceso enunciado anteriormente recibe el nombre de proceso de ortogonalización de Gram-Schimidt.


1.2. Ecuaciones diferenciales

De�nición 1.25. Una ecuación que contiene una o más derivadas de una función desconocida sedenomina ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales se clasi�can teniendo en cuenta si la función desconocida dependede una o más variables. En el caso de la función desconocida con una sola variable se denominaecuación diferencial ordinaria, pero si por el contrario la función tiene varias variables la ecuaciónse denomina ecuación diferencial parcial.

De�nición 1.26. El orden de una ecuación diferencial ordinaria es el orden de la derivada más altaque aparece en ella. De manera general

F [x, y′(x), y′′(x), · · · , y(n)(x)] = 0,

es una ecuación diferencial de n-ésimo orden.

De�nición 1.27. Una solución ordinaria sobre el intervalo α < x < β es una función φ tal queexisten φ′, φ′′, · · · , φ(n−1) y satisface:

φ(n)(x) = f [x, φ(x), φ′′(x), · · · , φ(n−1)(x)], (1.2)

para toda x en α < x < β. A menos que se diga otra cosa, se supone que la función f de laecuación (1.2) es una función de valores reales, y se tiene interés en obtener las soluciones y = φ(x)de valores reales.

De�nición 1.28. Se dice que la ecuación diferencial ordinaria

F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0,

es lineal si F es una función lineal de las variables y, y′, · · · , y(n); por lo tanto, la ecuación diferencialordinaria lineal general de orden n es:

a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an−1(x)y = g(x). (1.3)

Una ecuación que no es de la forma (1.3) es no lineal.

1.2.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

En esta sección se habla de las ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma

dy

dx= f(x, y). (1.4)

A lo largo de esta sección y el escrito en general se trabaja únicamente con ecuaciones linealesordinarias de tal forma que toda la teoría es sobre éstas.

La ecuación (1.4) puede escribirse como

q(x)y′ + p(x)y = g(x). (1.5)

1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES 9

De�nición 1.29. La ecuación (1.4) se denomina ecuación lineal de primer orden. Se supondrá quep y q son funciones dadas y que son continuas en algún intervalo α < x < β.

Para hallar la solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden se pueden tener trescasos: (i) el coe�ciente p(x) de (1.4) es identicamente cero, la ecuación se reduce a

q(x)dy

dx= g(x), (1.6)

que es equivalente a

y(x) =

∫g(x)

q(x)dx+ C,

(siempre que q(x) no sea cero).

(ii) Si q(x) fuese igual a la derivada de p(x) es decir p(x) = q′(x) entonces los dos términosdel lado izquierdo de la ecuación (1.4) conforman la derivada del producto q(x)y,

q(x)y′ + p(x)y = q(x)y′ + q′(x)y =d

dx[q(x)y].

Así la ecuación (1.4) se convierte en:

d

dx[q(x)y] = g(x), (1.7)

y la solución está dada por:

q(x)y =

∫g(x)dx+ C,

y(x) =1

q(x)

[∫g(x)dx+ C

].

Pocas veces es posible reescribir una ecuación diferencial lineal de modo que se reduzca a unaforma como (1.6).

Sin embargo, se puede obtener la forma (1.7) multiplicando la ecuación original (1.4) por unafunción µ(x) bien elegida. Tal función µ(x) se llama entonces un �factor integrante� para la ecua-ción (1.4). La forma consiste en dividir primero la ecuación original (1.4) entre q(x) y escribirla enla �forma canónica�

dy

dx+ P (x)y = G(x),

donde P (x) = p(x)/q(x) y G(x) = g(x)/q(x). Ahora se requiere determinar µ(x) de tal modoque el lado izquierdo de la ecuación multiplicada por el factor integrante

µ(x)dy

dx+ µ(x)P (x)y = µ(x)G(x), (1.8)


sea precisamente la derivada del producto µ(x)y:

µ(x)dy

dx+ µ(x)P (x)y =

d

dx[µ(x)y] = µ(x)

dy

dx+ µ′(x)y.

Para esto µ debe satisfacerµ′ = µP. (1.9)

La ecuación (1.9) resulta ser una ecuación diferencial separable, que se puede escribir como(1/µ(x))dµ(x) = P (x)dx. Integrando a ambos lados se obtiene

µ(x) = exp

(∫P (x)dx

).

Con esta elección de µ(x), la ecuación (1.8) se convierte en

dy

dx[µ(x)y] = µ(x)G(x),

que tiene la solución

y(x) =1

µ(x)

[∫µ(x)G(x)dx+ C

]. (1.10)

Teorema 1.30 (Existencia y unicidad de la solución). Supóngase que P (x) y Q(x) son continuasen un intervalo (a, b) que contiene al punto x0. Entonces para cualquier elección del valor inicialy0 existe una única solución y(x) en (a, b) al problema de valor inicial

dy

dx+ P (x)y = G(x), y(x0) = y0. (1.11)

De hecho la solución es dada por (1.10), para un valor adecuado de C.

1.2.2. Ecuaciones lineales de segundo orden

De�nición 1.31. Una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden tiene la forma

d2y

dx2= f

(x, y,

dy

dx

), (1.12)

en donde f es alguna función dada. Se dice que la ecuación (1.12) es lineal si la función f puedeescribirse como:

f

(x, y,

dy

dx

)= g(x)− p(x)

dy

dx− q(x)y,

en donde g, p y q son funciones especi�cadas de la variable independiente x. En este caso la ecuación(1.12) queda

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x). (1.13)

1.3. VARIABLE COMPLEJA 11

En vez de (1.13), a menudo se ve la ecuación

P (x)y′′ +Q(x)y′ +R(x)y = G(x), (1.14)

donde dividiendo por P (x) conduce a la ecuación (1.14) con

p(x) =Q(x)

P (x), q(x) =

R(x)

P (x), g(x) =

G(x)

P (x).

Si (1.12) no es de la forma (1.13) o (1.14) entonces es no lineal.

De�nición 1.32. Se dice que una ecuación lineal de segundo orden es homogénea si el términog(x) de la ecuación (1.13), o el término G(x) de la ecuación (1.14), es cero para toda x. En casocontrario, la ecuación es no homogénea. De modo que se trabajará con ecuaciones de la forma

P (x)y′′ +Q(x)y′ +R(x)y = 0. (1.15)

Para dar solución a una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden existen varios métodos,sin embargo, en este caso se trabaja el factor integrante. Dada una ecuación diferencial de la forma(1.15) se busca una función ρ(x)

ρ(x)P (x)y′′ + ρ(x)Q(x)y′ + ρ(x)R(x) = 0,

de tal forma que la parte izquierda de la ecuación se vea como

[ρ(x)P (x)y′(x)]′ +R(x)ρ(x)y(x) = 0,

donde[ρ(x)P (x)]′ = Q(x)ρ(x).

Esta solución

Teorema 1.33 (Existencia y unicidad). Suponga que P1(x), · · · , pn(x) y g(x) son continuas en unintervalo (a, b) que contiene al punto x0. Entonces, para cualquier elección de los valores inicialesξ0, ξ1, · · · , ξn−1 existe una única solución y(x) en todo el intervalo (a, b) del problema con valoresiniciales

y(n) + p1(x)y(n−1) + · · ·+ pn(x)y(x) = g(x),

y(x0) = ξ0, y′(x0) = ξ1, · · · , y(n−1)(x0) = ξn−1.

1.3. Variable compleja

En esta sección se habla de las funciones a valor complejo, para ello se hace una introduccióna los números complejos, funciones analíticas, singularidades y series de potencias en variablecompleja.


1.3.1. Propiedades de los Números Complejos

De�nición 1.34. Los números complejos se pueden de�nir como la pareja ordenada (x, y) de núme-ros reales que son interpretados como puntos en el plano complejo, con coordenadas rectángularesx y y. Se acostumbra denotar al número complejo (x, y) por z, es decir

z = (x, y).

A los números x y y se les denomina parte Real e Imaginaria, respectivamente.

De�nición 1.35. La suma z1 + z2 y el producto z1z2 de dos números complejos

z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2),

son de�nidas de la siguiente forma:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),

(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2).

Cualquier número complejo puede ser escrito como z = (x, 0)+(0, y) , además que (0, 1)(y, 0) =(0, y). Por lo tanto

z = (x,0) + (0, 1)(y, 0).

Así que un número complejo se denota por:

z = x+ iy.

Las potencias de i son i2 = −1, i3 = i2i = −i y por último i4 = i3i = −i2 = 1.Varias de las propiedades de los números complejos se resumen al decir que este conjunto es unespacio vectorial sobre el campo de los complejos (Sec 1.1); así que dicho conjunto posee laspropiedades de espacio vectorial.

1.3.2. Función analítica

De�nición 1.36. Sea S un conjunto de números complejos. Una función f de�nida sobre S esuna regla que asigna a cada z en S un número complejo w. El número w se denomina valor de fen z y se denota por f(z); es decir, w = f(z). El conjunto S se denomina dominio de f .

De�nición 1.37. La función f(z) se dice que tiene límite A cuando x tiende a a,

lımx→a

f(x) = A, (1.16)

si y solo si la siguiente a�rmación es verdadera:Para todo ε > 0 existe un número δ > 0 con la propiedad que |f(x)−A| < ε para todos los valoresde x tal que |x− a| < δ y x 6= a.

1.3. VARIABLE COMPLEJA 13

De�nición 1.38. La función f(x) se dice continua en a si y solo si lımx→a f(x) = f(a). Unafunción se dice continua, si es continua en todos sus puntos.

De�nición 1.39. La derivada de una función f en el punto a se de�ne como el límite f ′(a), elcual es:

f ′(a) = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a, (1.17)

siempre que exista. La de�nición de derivada puede ser reescrita como:

f ′(z) = lımh→0

f(z + h)− f(z)

h. (1.18)

De�nición 1.40. Sea f : A→ C donde A ⊂ C es un conjunto abierto. Entonces se dice que f esanalítica en A si f es diferenciable en cada z0 ∈ A.

Teorema 1.41. Dada f(z) una función analítica de la forma f(z) = u(x, y) + iv(x, y), se tieneque satisface las ecuaciones diferenciales parciales:

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x. (1.19)

A estas ecuaciones se les denomina ecuaciones de Cauchy - Riemann.

Teorema 1.42. Si existen las derivadas parciales de funciones continuas u(x, y) y v(x, y) de talforma que se satisfacen las ecuaciones (1.19), la función f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es analítica.

1.3.3. Singularidades

Para un número r > 0, la r−vecindad o simplemente vecindad en torno a un punto z0 se de�necomo el conjunto D(z0; r) = {z ∈ C tal que |z − z0| < r}.

De�nición 1.43. Un punto a es un punto singular (o una singularidad) de una función f si entoda vecindad de a existe algún punto en el cual la función f es analítica, salvo en el mismo a.

De�nición 1.44. Un punto singular a de f es singular aislado si existe una vecindad de a en lacual f es analítica excepto en dicho punto.

Los puntos singulares aislados se pueden dividir en tres tipos:

Singularidad removible

Polo

Singularidad esencial

De�nición 1.45. Un punto aislado a es removible si lımz→a f(z) existe.


De�nición 1.46. Un punto singular aislado a se llama polo de multiplicidad m (m ∈ (Z)) si existeg tal que

f(z) =g(z)

(z − a)mcon g(a) 6= 0.

Es decirlımz→a

(z − a)mf(z) = g(a) 6= 0.

De�nición 1.47. Un punto singular aislado a de f se llama esencial si es imposible encontrar unentero positivo m tal que

lımz→a

(z − a)mf(z) exista.

1.3.4. Series

De�nición 1.48. Una sucesión {an}∞1 , an ∈ C tiene límite A si para todo ε > 0 existe un n0

tal que |an − A| < ε para n ≥ n0. Una sucesión con un límite �nito se dice convergente, y unasucesión que no es convergente se dice divergente.

De�nición 1.49. Una sucesión se dice que es de Cauchy, si satisface la siguiente condición: dadoalgún ε > 0 existe un n0 tal que |an − am| < ε siempre que n ≥ n0 y m ≥ n0.

Teorema 1.50. Una sucesión es convergente si y solo si es una sucesión de Cauchy.

De�nición 1.51. Una serie in�nita es una suma in�nita de la forma:

a1 + a2 + · · ·+ an + · · · . (1.20)

A esta serie se asocia la sucesión de sus sumas parciales:

sn = a1 + a2 + · · ·+ an.

La serie se dice que converge si y solo si la sucesión de sumas correspondiente es convergente.

De�nición 1.52. La serie converge si y solo si para todo ε > 0 existe n0 tal que |an + an+1 +· · ·+ an+p| < ε para todo n > n0 y p ≥ 0.

De�nición 1.53. Una serie con la propiedad que la serie formada por los valores absolutos de losterminos convergentes se dice que es absolutamente convergente.

Teorema 1.54. Para toda serie de potencias existe un número R, 0 ≤ R ≤ ∞, denominado radiode convergencia, con las siguientes propiedades:

1. La serie converge absolutamente para todo z con |z| < R. Si 0 < ρ < R la convergencia esuniforme para |z| ≤ ρ.

2. Si |z| > R los tÃ c©rminos de la serie no estÃ½n acotados, y la serie es divergente.

3. En |z| < R la suma de la serie es una función analítica. La derivada puede obtenerse derivandotérmino a término, la serie derivada tiene el mismo radio de convergencia.

|

1.4. TEORÍA DE LA MEDIDA 15

1.4. Teoría de la medida

1.4.1. Funciones medibles

De�nición 1.55. Una familia X de subconjuntos de un conjunto X se dice una σ−álgebra cuando:

1. ∅, X pertenecen a X.

2. Si A pertenece a X, entonces el complemento C(A) ∈ X

3. si (An) es una sucesión de conjuntos en X, entonces la unión⋃∞n=1An pertenece a X

Una pareja ordenada (X,X) que consta de un conjunto X y una σ-álgebra X de subconjuntosde X se denomina un espacio medible.

De�nición 1.56. Una función f de X a R se dice X-medible (o simplemente medible) si paratod número real α el conjunto

{x ∈ X : f(x) > α}

pertenece a X.

Lema 1.57. Las siguientes a�rmaciones son equivalentes para una función f de X a R:

1. Para todo α ∈ R, el conjunto Aα = {x ∈ X : f(x) > α} pertenece a X.

2. Para todo α ∈ R, el conjunto Bα = {x ∈ X : f(x) ≤ α} pertenece a X.

3. Para todo α ∈ R, el conjunto Cα = {x ∈ X : f(x) ≥ α} pertenece a X.

4. Para todo α ∈ R, el conjunto Aα = {x ∈ X : f(x) < α} pertenece a X.

Lema 1.58. Sean f y g funciones de valor real medibles y sea c un número real. Entonces lasfunciones

cf, f2, f + g, fg, |f |.

son también medibles.

De�nición 1.59. Una función a valor real extendida sobre X es X- medible cuando el conjunto{x ∈ X : f(x) > α} pertenece a X para cada número real α. La colección de todas las funcionesa valor real extedida X- medible sobre X se denota por M(X,X).

Lema 1.60. Una función f a valor real extendida es medible si y solo si los conjuntos

A = {x ∈ X : f(x) = +∞} , B = {x ∈ X : f(x) = −∞} ,

pertenece a X y la función f1 de�nida por

f1(x) = f(x), si x /∈ A ∪B,= 0, si x ∈ A ∪B,

es medible.


1.4.2. Medida

De�nición 1.61. Una medida es una función extendida a valor real µ de�nida sobre una σ-álgebraX de subconjuntos de X tal que

1. µ(∅) = 0.

2. µ(E) ≥ 0 para todo E ∈ X.

3. µ es aditivo contable en el sentido que si (En) es una sucesión disjunta de conjuntos en X,entonces

µ

( ∞⋃n=1

En

)=

∞∑n=1

µ(En).

Proposición 1.62. Sea µ una medida de�nida sobre una σ−álgebra X. Si E y F pertenecen a Xy E ⊆ F , entonces µ(E) ≤ µ(F ). Si µ(E) < +∞, entonces µ(F − E) = µ(F )− µ(E).

Proposición 1.63. Sea µ una medida de�nida sobre una σ−álgebra X.

1. Si (En) es una sucesión creciente en X, entonces

µ

( ∞⋃n=1

En

)= lımµ(En).

2. Si (Fn) es una sucesión decresiente en X y si µ(F1) < +∞, entonces

µ

( ∞⋂n=1

Fn

)= lımµ(Fn).

De�nición 1.64. Una espacio medible es una tripla (X,X, µ) donde X es un conjuto, X unaσ−álgebra de subconjuntos de X, y una medida µ de�nida sobre X.

De�nición 1.65. Si X es una σ−álgebra de subcojuntos de un conjunto X, entonces una funciónde valor real λ de�nida sobre X se dice una carga cuando λ() = 0 y λ es contable aditiva, es decir,si (En) es una sucesión disyunta de conjuntos en X, entonces

λ

( ∞⋃n=1

En

)=∞∑n=1

λ(En).

1.4. TEORÍA DE LA MEDIDA 17

1.4.3. La integral

De�nición 1.66. Una función a valor real se dice simple si tiene solo un número �nito de valores.Una función medible simple ϕ puede ser representada en la forma

ϕ =

n∑j=1

ajχEj , (1.21)

donde aj ∈ R y χEj es la función característica de un conjunto Ej en X.De�nición 1.67. Si ϕ es una función simple en M+(X,X) con la representación estandar, de�ni-mos la integral de ϕ con respecto a µ para ser el número real extendido∫

ϕdµ =n∑j=1

ajµ(Ej).

Teorema 1.68. 1. Si ϕ y ψ son funciones simples en M+(X,X) y c ≥ 0, entonces∫cϕdµ = c

∫ϕdµ∫

(ϕ+ ψ)dµ =

∫ϕdµ+

∫ψdµ.

2. Si λ está de�nido para E en X por

λ(E) =

∫ϕχEdµ,

entonces λ es una medida sobre X.De�nición 1.69. Si f pertenece a M+(X,X), se de�ne la integral de f con respecto a µ comoel número real extendido ∫

fdµ = sup

∫ϕdµ,

donde el supremo está extendido sobre todas las funciones simples ϕ en M+(X,X) que satisfacen0 ≤ ϕ(x) ≤ f(x) para todo x ∈ X.

Teorema 1.70. 1. Si f y g pertenecen a M+(X,X) y f ≤ g, entonces∫fdµ ≤ ınf gdµ.

2. Si f pertenece a M+(X,X), si E,F pertencen a X, y si E ⊆ F , entonces∫Efdµ ≤

∫Ffdµ.

Teorema 1.71 (Convergencia Monotona). Si (fn) es una sucesión monotona creciente de funcionesen M+(X,X la cual converge a f , entonces∫

fdµ = lım

∫fndµ.


1.4.4. Funciones Integrables

De�nición 1.72. La colección L = L(X,X, µ) de funciones integrables consta de todas las fun-ciones X−medibles a valor real f de�nida sobre X, tal que las partes positivas y negativas f+, f−

de f tiene �nitas integrales con respecto a µ. En este caso, se de�ne la integral de f con respectoa µ como ∫

fdµ =

∫f+dµ−

∫f−dµ.

Teorema 1.73. Si f pertenece a L y λ se de�ne de X a R por

λ(E) =

∫Efdµ,

entonces λ es una carga.

Teorema 1.74. Una función medible f pertenece a L si y solo si |f | pertenece a L. En este caso∣∣∣∣∫ fdµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |dµ. (1.22)

Teorema 1.75. Si f es medible, g es integrable, y |f | ≤ |g|, entonces |f | es integrable, y∫|f |dµ ≤

∫|g|dµ.

Teorema 1.76. La multiplicación por constante αf y la suma f + g de funciones en L pertenecea L y ∫

αfdµ = α

∫fdµ,

∫f + gdµ =

∫fdµ+

∫gdµ.

Teorema 1.77 (Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue). Sea (fn) una sucesión defunciones integrables la cual converge en casi cualquier parte a una función medible f . Si existeuna función integrable g tal que |fn| ≤ g para todo n, entonces f es integrable y∫

fdµ = lım

∫fndµ.

Capítulo 2

Funciones Especiales

2.1. Función Gamma y Beta

2.1.1. Función Gamma

De�nición 2.1 (Función Gamma). La función Gamma Γ la de�ne Weierstrass en variable complejacomo

1

Γ(z)= z exp(γz)

∞∏n=1

[(1 +

z

n

)exp

(− zn

)](2.1)

donde γ = lımn→∞(Hn − log n) es conocida como la constante de Mascheroni con

Hn =n∑k=1

1

k

Se sabe que γ existe y que 0 ≤ γ < 1.

Para la función Gamma se tiene que la única forma que 1Γ(z) tome el valor cero es cuando z = 0 o

z ∈ Z−

1

Γ(0)= 0 exp(γ · 0)

∞∏n=1

[(1 +

0

n

)exp

(− 0

n

)]= 0 · 1 · 1= 0,

o, sea k > 0,

1

Γ(−k)= −k exp(γ · −k)

∞∏n=1

[(1 +−kn

)exp

(−−kn

)]= −k exp(γ · −k) · 0= 0

19

20 CAPÍTULO 2. FUNCIONES ESPECIALES

Lo cual se evidencia más al hacer el desarrollo de (2.1) se obtiene que

Γ(z) = lımn→∞

(n− 1)!nz

z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n− 1)(2.2)

Se dice que la función Gamma tiene tiene un polo simple para z = 0,−1,−2, · · · ; y una singularidadesencial en z =∞.

2.1.2. La ecuación en diferencias Γ(z + 1) = zΓ(z)

Considerando (2.1),

zΓ(z) =exp(−γz)∏∞

n=1

[(1 + z

n

)exp

(− zn

)] (2.3)

o lo que es igual

zΓ(z) = exp(−γz) lımn→∞

n∏k=1

[(1 +

z

k

)−1exp

(zk

)]. (2.4)

Recordando las propiedades de los límites y de la función logaritmo se obtiene el siguiente desarrollopara exp(−γz),

γ = lımn→∞

(Hn − log n) = lımn→∞

[Hn − log(n+ 1)]

= lımn→∞

[Hn −

n∑k=1

logk + 1

k

].

Así reemplazando se obtiene,

exp(−γz) = lımn→∞

exp

[−zHn + z

n∑k=1

logk + 1

k

]

= lımn→∞

n∏k=1

[exp

(− zn

)[k + 1

k

]z].

Reemplazando en (2.4) se tiene,

zΓ(z) = lımn→∞

n∏k=1

[(1 +

1

k

)zexp

(−zk

)(1 +

z

k

)−1exp

(zk

)].

Obteniendo un nuevo desarrollo para Γ,

Γ(z) =1

zlımn→∞

n∏k=1

[(1 +

1

k

)z (1 +

z

k

)−1]. (2.5)

2.1. FUNCIÓN GAMMA Y BETA 21

El anterior resultado permite desarrollar el cociente,

Γ(z + 1)

Γ(z)=

z

z + 1

∏∞n=1

[(1 + 1

n

)z+1 (1 + z+1

n

)−1]

∏∞n=1

[(1 + 1

n

)z (1 + z

n

)−1]

=z

z + 1

∞∏n=1

[(1 +

1

n

)(1 +

z + 1

n

)−1 (1 +

z

n

)]

=z

z + 1lımn→∞

n∏k=1

(k + 1

k

z + k

k + z + 1

)=

z

z + 1lımn→∞

n+ 1

1

z + 1

n+ z + 1= z.

EntoncesΓ(z + 1) = zΓ(z) (2.6)

Si z = α un entero positivo y aplicando repetidas veces la relación (2.6) se obtiene Γ(m + 1) =mΓ(m) = m(m− 1)Γ(m− 1) = · · · = m!; ya que Γ(1) = 1

2.1.3. Función Beta

Otra de las de�niciones que se dan para la funcíon Gamma es la de Euler, dada por el siguienteteorema:

Teorema 2.2. Si Re(z) > 0,

Γ(z) =

∫ ∞0

e−ttz−1dt (2.7)

Consideremos el producto Γ(z)Γ(1− z) y la ecuación (2.7) entonces

Γ(z)Γ(1− z) =

∫ ∞0

e−ttz−1dt ·∫ ∞

0e−vv1−z−1dv

=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−ttz−1e−vv(1−z)−1dtdv

haciendo cambio de variable se obtiene

Γ(z)Γ(1− z) = 4

∫ ∞0

∫ ∞0

e−(x2+y2)x2(z−1)+1y2((1−z)−1)+1dxdy

ahora haciendo el cambio de coordenadas respectivo se obtiene

Γ(z)Γ(1− z) = 4

∫ ∞0

∫ π2

0e−r

2r[2(z−1)+1]+[2((1−z)−1)+1]+1 cos2(z−1)+1 θ sin2((1−z)−1)+1 θdθdr


realizando una última vez cambio de variable se obtiene

Γ(z)Γ(1− z) =

∫ ∞0

e−ttz+(1−z)−1dt · 2∫ π

2

0sen2z−1 φ cos2(1−z)−1 φdφ

= Γ(z + (1− z))2∫ π

2


= 2

∫ π2


A la integral del lado derecho de la ecuación anterior se le denomina función Beta.

En general la función beta se de�ne como

B(p, q) =

∫ 1

0tp−1(1− t)q−1dt, Re(p) ≥ 0, Re(q) ≥ 0. (2.8)

o

B(p, q) = 2

∫ π2

0sen2p−1 φ cos2q−1 φdφ, Re(p) ≥ 0, Re(q) ≥ 0. (2.9)

De donde se sigue que

Teorema 2.3. Si Re(p) > 0 y Re(q) > 0 entonces

B(p, q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p+ q)(2.10)

2.1.4. Función factorial

Conociendo ya la relación en diferenias de la función Gamma supongamos ahora para n unentero positivo,

Γ(α+ n) = (α+ n− 1)Γ(α+ n− 1)

= (α+ n− 1)(α+ n− 2)Γ(α+ n− 2)

= · · ·= (α+ n− 1)(α+ n− 2) · · ·αΓ(α).

Obteniendo así el siguiente resultado:

Teorema 2.4. Si α es un entero no negativo y distinto de cero entonces

(α)n =Γ(α+ n)

Γ(α)(2.11)

donde (α)n es la notación del producto (α+ n)(α+ n− 1) · · ·α

2.2. FUNCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 23

2.2. Función Hipergeométrica

Se de�ne la función hipergeométrica como:

F (a, b; c; z) =

∞∑n0

(a)n(b)nzn

(c)nn!, (2.12)

para c distinto de cero o entero negativo, y (a)n, (b)n y (c)n son de la forma (2.11).

2.2.1. Convergencia de la función hipergeométrica

Usando el criterio de la razón para evaluar la convergencia de la serie hipergeométrica se obtiene

lımn→∞

∣∣∣∣(a)n+1(b)n+1zn+1

(c)n+1(n+ 1)!

(c)nn!

(a)n(b)nzn

∣∣∣∣= lım

n→∞

∣∣∣∣(a+ n)(a+ n− 1) · · · a(a+ n− 1) · · · a

(b+ n)(b+ n− 1) · · · b(b+ n− 1) · · · b

(c+ n− 1) · · · c(c+ n)(c+ n− 1) · · · c

zn+1n!

zn(n+ 1)!

∣∣∣∣= lım

n→∞

∣∣∣∣(a+ n)(b+ n)

(c+ n)

z

n+ 1

∣∣∣∣= |z| lım

n→∞

∣∣∣∣(a+ n)(b+ n)

(c+ n)(n+ 1)

∣∣∣∣ = |z|;

De forma que esta serie tiene radio de convergencia |z| < 1

2.2.2. Ecuación diferencial hipergeométrica

Sea θ = z ddz un operador diferencial. Realizando el desarrollo de la ecuación,

θ(θ + c− 1)w (2.13)


donde w = F (a, b; c; z) so obtiene:

θ(θ + c− 1)w =∞∑n=0

n(n+ c− 1)(a)n(b)nzn

(c)nn!

=

∞∑n=1

(a)n(b)nzn

(c)n−1(n− 1)!

=∞∑n=0

(a)n+1(b)n+1zn+1

(c)nn!

= z

∞∑n=0

(a+ n)(a)n(b+ n)(b)nzn

(c)nn!

= z∞∑n=0

(ab+ an+ bn+ n2)(a)n(b)nzn

(c)nn!

= z(a+ θ)(b+ θ)w

Así la ecuación diferencial es igual a

[θ(θ + c− 1)− z(θ + a)(θ + b)]w = 0 (2.14)

Capítulo 3

Teoría general de polinomiosortogonales

De�nición 3.1. Sea {µn}∞n=1 una sucesión de números complejos y sea L una función a valorcomplejo de�nida sobre el espacio vectorial de todos los polinomios por:

L[xn] = µn n = 0, 1, 2, · · ·

L[α1π1(x) + α2π2(x)] = α1L[π1(x)] + α2L[π2(x)]

para números complejos αj y todos los polinomios πi(x) (i = 1, 2). Entonces L se denominafuncional de momentos y está determinado por la sucesión de momentos {µn}. El número µn sedenomina momento de orden n.

De�nición 3.2. Una sucesión {Pn(x)}∞n=0 es denominada una sucesión de polinomios ortogonalescon respecto a un momento funcional L para todo entero no negativo m y n,

1. Pn(x) es un polinomio de grado n,

2. L[Pm(x)Pn(x)] = 0 para m 6= n,

3. L[P 2n(x)] 6= 0.

Las condiciones (ii) y (iii) de la de�nición anterior se pueden reemplazar por

L[Pm(x)Pn(x)] = Knδmn, Kn 6= 0, (3.1)

donde, δmn es el delta de Kronecker de�nido como 1 si m = n y 0 cuando m 6= n.

Teorema 3.3. Sea {Pn(x)} un sistema de polinomios ortogonales con respecto a L. Entonces paratodo polinomio π(x) de grado n,

π(x) =

n∑k=0

ckPk(x),

25

26 CAPÍTULO 3. TEORÍA GENERAL DE POLINOMIOS ORTOGONALES

donde

ck =L[π(x)Pk(x)]

L[P 2k (x)]

, k = 0, 1, · · · , n. (3.2)

De�nición 3.4. Se introduce el determinante

∆n = det(µi+j)ni,j=0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣µ0 µ1 · · · µnµ1 µ2 · · · µn+1

· · · · · ·· · · · · ·µn µn+1 · · · µ2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(3.3)

Teorema 3.5. Sea L un funcional de momentos con sucesión {µn}. Una condición necesaria ysu�ciente para la existencia de un sistema de polinomios ortognal para L es

∆n 6= 0, n = 0, 1, 2 · · · .

Teorema 3.6. Sea {Pn(x)} un sistema de polinomios ortogonal para L. Entonces para algúnpolinomio πn(x) de grado n,

L[πn(x)Pn(x)] = anL[xnPn(x)] =ankn∆n

∆n−1, ∆−1 = 1,

donde an denota el coe�ciente principal de πn(x) y kn denota el coe�ciente principal de Pn(x).

De�nición 3.7. Un funcional de momentos L se denomina de�nido positivamente si L[π(x)] > 0para todo polinomio que no es identicamente cero y es no negativo para todo real x.

Teorema 3.8. Sea L de�nido positivamente. Entonces L tiene momentos reales y un sistema depolinomios ortogonales que consta de polinomios reales existe.

Teorema 3.9. L es de�nido positivamente si y solo si sus momentos son todos reales y ∆n > 0(n ≥ 0).

De�nición 3.10. L se denomina casi de�nido si y solo si ∆n 6= 0 para n ≥ 0.

Teorema 3.11. Sea L un funcional de momentos casi de�nido y sea {Pn} el correspondientesistema ortogonal de polinomios mónico. Entonces existen constantes cn y λn 6= 0 tal que

Pn(x) = (x− cn)Pn−1(x)− λnPn−2(x), n = 1, 2, 3, · · · , (3.4)

donde se de�ne P−1(x) = 0

Teorema 3.12. Teniendo en cuenta la fórmula de recurrencia (3.7), las siguientes a�rmacionesson válidas para (n ≥ 1).

1.

λ =L[P 2

n(x)]

L[P 2n−1(x)]

=∆n−2∆n

∆2n−1

.

27

2. L[P 2n(x)] = λ1λ2 · · ·λn+1 siempre y cuando se de�na λ1 = µ0 = ∆0.

3.

cn =L[xP 2

n−1(x)]

L[P 2n−1(x)]

.

4. El coe�ciente de xn−1 en Pn(x) es −(c1 + c2 + · · ·+ cn).

Teorema 3.13. Sea {cn}∞n=1 y {λn}∞n=1 sucesiones arbitrarias de números complejos y sea {Pn(x)}∞n=0

de�nido por la formula de recurrencia

Pn(x) = (x− cn)Pn−1(x)− λnPn−2(x), n = 1, 2, 3, · · ·P−1(x) = 0, P0(x) = 1. (3.5)

Entonces existe un único funcional de momentos L tal que

L[1] = λ1, L[Pm(x)Pn(x)] = 0 para m 6= n, m, n = 0, 1, 2, · · · . (3.6)

L es casi-de�nido y Pn(x) es el correspondiente SPOM si y solo si λn 6= 0 mientras que L esde�nido positivamente si y solo si cn es real y λn > 0 (n ≥ 1).

Teorema 3.14. Sea L un funcional de momentos casi-de�nido y sea {Pn(x)} el SPOM corres-pondiente. Entonces existen constantes cn y λn 6= 0 tales que

Pn(x) = (x− cn)pn−1(x)− λnPn−2(x), n = 1, 2, 3, · · · (3.7)

donde se de�ne P−1(x) = 0

Teorema 3.15. Con referencia al la formula de recurrencia (3.7), la siguientes a�rmaciones sonválidas para n ≥ 1.

λn+1 =L[P 2

n(x)]

L[P 2n−1(x)]

=∆n−2∆n

∆2n−1

. (3.8)

L[P 2n(x)] = λ1λ2 · · ·λn+1 siempre que se de�na λ1 = µ0 = ∆0.

cn =L[xP 2

n−1(x)]

L[P 2n−1(x)]

. (3.9)

El coe�ciente de xn−1 en Pn(x) es −(c1 + c2 + · · ·+ cn).

De�nición 3.16. un funcional de momentos se dice simétrico si todos sus momentos de ordenimpar son cero.

Teorema 3.17. Sea {cn}∞n=1 y {λ}∞n=1 sucesiones arbitrarias de números complejos y sea {Pn(x)}∞n=0,se de�ne por medio de la relación de recurrencia

pn(x) = (x− cn)pn−1(x)− λnPn−2(x), n = 1, 2, 3, · · ·P−1(x) = 0, P0(x) = 1. (3.10)

28 CAPÍTULO 3. TEORÍA GENERAL DE POLINOMIOS ORTOGONALES

De�nición 3.18. Sea E ⊂ (−∞,∞). Un funcional de momentos L se dice de�nido positivamentesobre E si y solo si L[π(x)] > 0 para todo polinomio real π(x) el cual es no negativo sobre E y nose anula en E. El conjutno E se denomina conjunto soporte para L.

Teorema 3.19. Si L es de�nido positivamente sobre E y E es un conjunto in�nito, entonces

1. L es de�nido positivamente sobre todo conjunto contenido en E.

2. L es de�nido positivamente sobre todo subconjunto denso de E.

Teorema 3.20. Sea I un intervalo el cual es un conjunto soporte para L. Los zeros de Pn(x) sontodos reales, simples y están en el intervalo I.

Capítulo 4

Desarrollo

Trabajando el problema de valores en la frontera con ecuación:

σ(x)y′′(x) + τ(x)y′(x) + λy(x) = 0 (4.1)

donde

σ(x) > 0 para todo x ∈ (a, b)

ρ(x) > 0 para todo x ∈ (a, b)(4.2)

lımx→a

σ(x)ρ(x) = lımx→b

σ(x)ρ(x) = 0 (4.3)

Es la ecuación diferencial de tipo hipergeométrico, donde σ(x) es un polinomio de grado dos, alo sumo y τ(x) es un polinomio de grado uno como máximo. Suponiendo ahora que σ(x) = 1 yτ(x) = αx+ β.

Veri�cación de ρ(x)A través de la forma auto-adjunta se obtiene la función ρ(x)

ρ(x) =1

σ(x)exp

∫τ(x)

σ(x)dx (4.4)

Por lo tanto reemplazando por σ(x) = 1 y τ(x) = αx+ β se obtiene:

ρ(x) = exp

(∫αx+ βdx

)= exp

(αx2

2+ βx

).

Teniendo en cuenta (4.2) la función ρ(x) se encuentra de�nida en el intervalo (−∞,∞).De (4.3) se obtiene que

lımx→∞

exp

(αx2

2+ βx

)= 0.

lımx→−∞

exp

(αx2

2+ βx

)= 0.

29

30 CAPÍTULO 4. DESARROLLO

De modo tal que para que dicho límite exista α debe ser menor a cero. Y β puede tomar cualquiervalor numérico.

Coe�ciente λ

Para obtener el coe�ciente λ es necesario hacer uso de la propiedad de la función hipergeomé-trica enunciada en el capítulo 2, la derivada de una función hipergeométrica resulta en una funcióndel mismo tipo; lo anterior permite concluir la siquiente expresión

λ = −nτ ′(x)− n(n− 1)

2σ′(x) (4.5)

(4.5) es general, pero reemplazando por las condiciones de este caso en particular se obtiene:

λ = −nα

Por lo tanto (4.1) toma la siguiente forma:

y′′(x) + (αx+ β)y′(x)− nαy(x) = 0 (4.6)

Solución a la ecuación diferencial

La solución a la ecuación diferencial lineal (4.6) se realiza por series.

Realizando la sustitución z = αx+ β, reemplazando se obtiene

αd2y

dz2+dy

dz− ny = 0 (4.7)

Suponiendo la solución y(z) =∑∞

r=0 arzr y su primera y segunda derivada son:

y′(z) =∞∑r=1

narzr−1 (4.8)

y′′(z) =∞∑r=2

r(r − 1)arzr−2 (4.9)

Reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:

α

∞∑r=2

r(r − 1)arzr−2 + (αx+ β

∞∑r=1

rarzr−1 − n

∞∑r=0

arzr = 0 (4.10)

Se realiza cambio de variable, se igualan los coe�cientes a cero, obteniendo los siguientes coe�-cientes:

aj+2 =− 1α(j − n)aj

(j + 2)(j + 1)(4.11)

31

Obteniendo que los coe�cientes pares están dados por la constante a0 mientras que los coe�cientesimpares se de�nen por la constante por a1.Luego la solución está dada por

yN (z) =

N∑j=0

(−1)jN !( 1αz)

N−2j

j!(N − 2j)!(4.12)

con

N =

{n, si n es par,

n− 1, si n es impar.(4.13)

Capítulo 5

Conclusiones

Se recopilaron varias temáticas relacionadas con los polinomios ortogonales que permiten lacomprensión de estos, además de permitir adentrarse en el mundo de los sistemas de polinomiosortogonales; así mismo se logró dar solución a la ecuación diferencial observando que independien-temente de los coe�cientes del polinomio τ(x) la solución resultante es de la forma de Hermite,todo esto gracias a la sustitución z = αx+ β, que permitió obtener una forma conocida.

Observaciones

Algunos de los temas presentados en el anterior trabajo como preliminares no fueron usados en eldesarrollo de este, debido a cuestiones del tiempo, como es el caso de teoría de la medida en parti-cular que no se logró observar la integral de Lebesgue, únicamente la integral de Riemann-Stieltjes;sin embargo se dejan para retomarlos en un posterior trabajo.Igualmente la totalidad del artículo no fue estudiado por la misma razón y solo se trabajo la primeraparte; el primer caso observado en este.

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Bibliografía

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SOBRE SISTEMAS DE POLINOMIOS ORTOGONALES DEFINIDOS...

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