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SAEM "THALES". SEVILLA

XXII CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" XV CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”

SOCIEDAD ANDALUZA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA "THALES". SEVILLA

“La esencia de las matemáticas reside en su libertad.”Georg Cantor, 1845-1918

Matemático alemán

INTRODUCCIÓN

Hay muchas actividades de la vida cotidiana en las que hay que potenciar los sentidos para desarrollar de forma óptima las posibilidades que se nos presentan. Así por ejemplo, para poder apreciar un buen vino o una excelente comida conviene tener desarrollados los sentidos del gusto e incluso del olfato. Para apreciar una buena música debemos tener educado el sentido del oído, para disfrutar adecuadamente con una buena interpretación. Del mismo modo, para poder apreciar un cuadro o cualquier otra representación artística debemos tener desarrollada la capacidad visual, aunque con un sentido del tacto desarrollado las personas invidentes pueden disfrutar también de esculturas y maquetas.

Nosotros pretendemos con la actividad que te presentamos desarrollar tu sentido de la vista, pero de una manera diferente: preparándote para que descubras las matemáticas que hay a tu alrededor.

En muchas ocasiones miramos pero no vemos todos los detalles que tenemos delante, así hay muchos aspectos que nos pasan desapercibidos. Por desgracia, las matemáticas, que están en prácticamente todos los aspectos cercanos a nuestra vida, pasan muchas veces desapercibidas. Con esta actividad esperamos formar tu visión para que seas capaz de descubrirlas y seas consciente de su utilidad y su necesidad.

Muchas veces se piensa que las matemáticas son algo abstracto que sólo puede expresarse mediante símbolos, algunos ininteligibles, y que no tienen representación mediante una imagen atractiva e ilustrativa. Nada más lejos de la realidad, como vas a observar en esta exposición. Si es cierta la máxima de que “vale más una imagen que mil palabras”, en esta exposición descubrirás cómo las matemáticas no necesitan palabras ni símbolos para mostrarse en toda su plenitud. Como hemos dicho en otras ocasiones la exposición que vas a visitar puede considerarse como equivalente a una enciclopedia de las matemáticas, ya que las imágenes también ayudan a descubrir, comprender y aprender matemáticas, acompañándonos constantemente.

XXII CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" y XV CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS” 1


En esta exposición vas a encontrar imágenes corrientes y cotidianas acompañadas de frases con referencias matemáticas alusivas a algo de lo que se muestra en la imagen. En cada frase encontrarás conceptos que habrás trabajado en clase. Quizás alguna no la comprendas todavía, porque ese tema aún no lo hayas estudiado, pero siempre podrás disfrutar visualmente de la imagen. Algunas son dibujos o montajes realizados, a veces con mucho arte y humor, por sus autores, para expresar un elemento matemático que queda reflejado en el título de la foto o lema que la acompaña.

Queremos además animarte a que, para una próxima edición, hagas una fotografía o las recortes de las que se encuentran en periódicos o revistas o incluso hagas, si quieres, un dibujo o un montaje tomando trozos de imágenes y después, lo que quizás sea más complicado, le des un título matemático. Si es así el año próximo podrás ver tu trabajo colocado en la exposición, tal vez después de haber ganado un premio, por lo que te invitamos a ver estos paneles con atención, a responder a las preguntas que te señale tu profesor y a pensar en participar el año próximo en el concurso. ¡Ánimo!

Para ayudarte a entender mejor las fotos e imágenes, y que puedas trabajar en clase con ellas, hemos elaborado este cuaderno de actividades, deseando que le saques el mayor rendimiento y disfrutes con las matemáticas.

ACTIVIDADES

En estos días puedes ver fotos e imágenes que se presentaron al XXII Concurso Provincial de "Fotografía y Matemáticas" y al XV Concurso Provincial de “Imágenes Matemáticas”, organizados por la Sociedad Andaluza de Educación Matemática "Thales" de Sevilla. Cada foto o imagen está acompañada de un lema o frase donde aparece algún concepto matemático, al mismo tiempo que hace referencia a lo reflejado en la fotografía. Como ves, las fotografías del concurso se complementan con fotos sacadas de periódicos y revistas, con dibujos o montajes que demuestran que aunque no se tengan conocimientos fotográficos, también se pueden relacionar, si se quiere, imágenes y matemáticas.

Ahora vas a visitar la exposición y después tendrás que contestar individualmente a las siguientes cuestiones, que hemos agrupado en distintos bloques temáticos.

Generales

Elige las tres fotografías o imágenes de la exposición que más te gusten y explica la razón de tu elección.

Elige ahora las dos que menos te gusten e indica los motivos de ello. Escoge dos imágenes o fotografías, escribe sus lemas e invéntate otros distintos

que tengan contenido matemático. Explica la relación de los lemas que has puesto con las imágenes o fotografías que has elegido.

Elige alguna foto que creas que puede representar dos conceptos distintos e indica cuáles serían a través de los títulos que te inventes.

Si te fijas con cuidado en los títulos de las fotos e imágenes, encontrarás algunas en las que la frase que les acompaña no es correcta, bien porque tenga algún fallo matemático, o porque el concepto matemático del que habla no aparece exactamente en la foto. Intenta encontrar alguna foto o imagen con esa cualidad.



Si la encuentras, indica cuál es y por qué es incorrecto el lema que le acompaña. Escribe otro título que sea correcto.

En esta exposición hay dos fotos que tienen el lema cambiado entre sí. Están en el mismo panel, una junta a la otra, así que no te costará localizarlas. Dinos cuáles son. Por cierto, ocurre en dos paneles distintos por lo que no creemos que tengas dificultad para encontrar al menos uno de los casos de lemas cambiados.

Números y medida

Visita la exposición y haz una lista con los distintos tipos de números que aparecen (naturales, enteros…) indicando en qué foto o imagen están.

Hay varias ocasiones en que nos encontramos con números naturales de los que usamos habitualmente para contar o para señalizar las líneas de autobús o el portal de una vivienda. Por ejemplo, en la foto de título “La llave de los números”, ¿qué número parece que está incluido en esa llave?

Si a la llave de la foto anterior le diésemos media vuelta, ¿qué número crees que aparecería entonces?

El número 4 está en varias imágenes, una de ellas en la foto “Multiplicación frutal”. Teniendo en cuenta las frutas que aparecen, ¿crees que la operación está bien hecha?

La multiplicación es una de las operaciones básicas de los números, ¿puedes decirnos cuáles son las restantes?

Matemáticas en la punta de mi zapatoFotografía. Secundaria

Intenta encontrar todas las operaciones numéricas en la foto “Abecedario matemático”. Por un ejemplo de cada una de las operaciones que aparecen.

Hay una foto de nombre “Capicúa” en la que aparece un número. Explica qué se entiende por número capicúa y explica si el número que aparece en la foto lo es.

¿Cuál es el menor número capicúa que existe? ¿Cuál es el menor número capicúa de tres cifras? ¿y el mayor? Define lo que es múltiplo y divisor de un número. Pon dos ejemplos de cada

concepto, del número 64. El número que aparece en la foto “Capicúa” es múltiplo de 11. Compruébalo. El número anterior tiene como característica que al dividirlo entre 11 se obtiene de

cociente otro número capicúa. Pon otro ejemplo de número de cuatro cifras que cumpla lo mismo.



Busca todas las fracciones que aparezcan en la exposición y escríbelas ordenadas de menor a mayor.

En la fotografía con el lema “1/4 (un cuarto)”, aparece un juego de palabras. Indica qué representa normalmente el valor 1/4.

Hay veces en que una fracción se puede simplificar. Explica qué significa simplificar una fracción y cómo se hace.

En la imagen “Fracciones juguetonas” aparece una suma de fracciones. Escribe los dibujos como fracciones y comprueba si la suma que se propone es correcta o no.

Algunas de las fracciones anteriores se pueden simplificar. Vuelve a escribir la suma después de haber simplificado las fracciones.

En la imagen “¿Quién se lo ha comido?”, aparecen una serie de de fracciones ordenadas de mayor a menor, ¿qué relación hay entre ellas?, es decir, ¿qué operación se ha realizado para pasar de cada una a la siguiente?

A veces las fracciones se utilizan para representar la proporción existente entre el total de un conjunto y parte de él. Vamos a ver un ejemplo. En la imagen “Belleza en cuadrículas” aparecen tres cenefas formadas por cuadrados divididos en dos partes y coloreados. Elige la tercera cenefa y calcula, entre las cuadrículas coloreadas, cuál es la proporción de negro en esa cenefa.

En la imagen de la multiplicación de las frutas se representaba la escena 2 x 2 = 4. Cuando un número se multiplica varias veces por si mismo, ¿qué operación se está realizando?

La operación a la que nos referimos es la misma que aparece simulada en la fotografía con el lema “64”. Escribe la descomposición del número 64 tal como aparece en la imagen.

En la foto anterior aparece una potencia de base el número 4, pero al descomponer en factores un número se suele hacer en potencias cuyas bases son números primos. Escribe el número 64 de esa forma.

Ya que estamos descomponiendo en producto de factores, descompón el número 4774 en factores primos.

La operación inversa de la potencia es la radicación, define qué es la raíz cuadrada de un número.

La foto “ escondida entre agujas. Son las 1,4142” nos habla de un número que proviene de una raíz. ¿Cuántas cifras decimales tiene el desarrollo decimal de ese número?

El número anterior, que forma parte de los números reales, ¿de qué tipo es? ¿Qué características tienen esos números?

¿Podrías expresar ese número mediante una fracción numérica? Razona tu respuesta.

Del mismo tipo que el número anterior puedes encontrar otros dos muy famosos en la exposición. El primero es el número π que aparece en un par de ocasiones. Indica con qué conceptos de tus conocimientos de matemáticas relacionas ese número. ¿Qué viste? Vi al cuatro.

Fotografía Secundaria



Una de las fotos tiene la expresión decimal de ese número. En concreto nos referimos a la que tiene el lema “3,141592654...”, ¿qué representan los números consecutivos en el lema?

En el número anterior, una de las cifras que es errónea, indica cuál. ¿Por qué crees que se ha escrito mal esa cifra?

En otra fotografía nos encontramos con el lema “Atardecer áureo” que hace referencia al número de oro. ¿Cuál es ese número?

En la foto aparece una concha de una caracola para reflejar ese concepto, ¿qué relación hay entre el número y la concha?

El número anterior no solo se puede encontrar en la naturaleza sino en otros muchos lugares, indica alguno de ellos.

Así mismo ese número forma parte de un grupo de números denominados “Números metálicos”. Busca información sobre esos números e indica cómo se generan.

Para indicar límites no finitos usamos el símbolo . Busca la foto donde se recoge ese símbolo y escribe su lema.

¿Qué representa el símbolo anterior? Una característica que tienen los números que no son naturales o enteros es que

entre cada dos de ellos hay comprendidos infinitos números de ese mismo tipo.

El intervalo de su vidaImagen. Secundaria

Para referirnos a todos ellos se utilizan los intervalos. En la imagen con el título “El intervalo de su vida” aparece un intervalo, cópialo e indica qué números pertenecen a él.

Si el intervalo anterior lo escribiéramos entre paréntesis en lugar de entre corchetes, ¿habría alguna diferencia? ¿cuál?

Álgebra

Una de las fotografías tiene por título “Despejando la incógnita”. Explica qué entiendes tú por incógnita. ¿Cuándo se utilizan?

La incógnita es la expresión fundamental del bloque de las matemáticas conocido como álgebra. Explica qué es lo que estudia esa parte de las matemáticas.

Explica qué se entiende por despejar una incógnita y en qué situaciones es necesario hacerlo.

En la foto “Multiplicación frutal” de la que ya hemos hablado, nos encontramos con un número natural, el 2, que tiene la característica de que vale igual su suma que su producto, es decir, es lo mismo 2 + 2 que 2 x 2. ¿Hay algún otro número entero que verifique esa propiedad? En caso afirmativo indica cuál.

Queremos encontrar ahora dos números cualesquiera que verifiquen que tanto su suma como su producto valen lo mismo. Busca un par de números que lo verifiquen.

Encuentra la relación algebraica entre un número a y otro b que verifiquen que a + b = a · b.



El número que aparece en la foto de nombre “Capicúa” es un número múltiplo de 11. Demuestra que todo número capicúa de cuatro cifras es siempre múltiplo de 11.

¿Ocurrirá lo mismo que antes para los números de cinco cifras? Razona la respuesta.

Tenemos una fotografía con el lema “Constante y variable”. Explica la diferencia entre ambos conceptos.

Cuando mezclamos constantes y variables utilizando las operaciones numéricas, ¿qué es lo que se obtiene?

Funciones y gráficas

Una función es una relación entre números con una característica particular, indica cuál.

En la exposición aparecen varias funciones, escribe sus nombres y, si es posible, las expresiones que las caracterizan.

Tenemos una foto con el título “Círculos bajo funciones cuadráticas y semirrectas paralelas”. En ella se hace referencia a las funciones cuadráticas, indica qué caracteriza a esas funciones y cuál es su expresión general.

Crecimiento exponencial (y = a^x, con a > 1)Fotografía. Libre

Las funciones cuadráticas suelen estar abiertas hacia arriba o hacia abajo, como en las que aparecen en la foto anterior. ¿De qué depende ese hecho?

Para poder representar gráficamente una función necesitamos tener detallado el plano y para ello se utilizan los ejes cartesianos. Busca la foto con ese título e indica cómo están representados. Explica cómo dividen el plano esas líneas.

¿Cómo se representan los puntos del plano en unos ejes cartesianos? Una de las primeras personas que tuvo la idea de compartimentar el plano fue el

filósofo y matemático francés René Descartes, busca información sobre su vida y su relación con las matemáticas.

Una de las imágenes que ya has trabajado es la de “Belleza en cuadrículas”, ¿qué es una cuadrícula?, ¿qué relación tienen las cuadrículas con los ejes de coordenadas?

Hay un tipo de funciones cuya representación se repite una y otra vez, ¿sabes qué nombre reciben? Busca una foto donde se recoge ese concepto, aunque no aparezca la función.



Hay un par de referencias a una función que es siempre positiva, la función exponencial. Busca las imágenes donde se encuentra y copia sus lemas. Indica las características de esa función y su expresión algebraica.

En la foto de nombre “Función exponencial del arte urbano” aparece un recorrido para hacer deporte y divertirse con un monopatín. La forma completa de ese montículo ¿coincide con una exponencial o con otro tipo de curva?

En la imagen “Ángulos y funciones cardiacas” aparecen unas gráficas muy útiles en medicina, busca e indícanos su nombre.

En la fotografía de lema “La casa de las catenarias” se hace referencia a una curva muy corriente en la naturaleza, la catenaria. Busca información sobre esta curva e indica en qué otras situaciones cotidianas suelen aparecer.

La anterior es un tipo de curva que se engloba dentro de las llamadas mecánicas o trascendentes. Busca información sobre este tipo de curvas.

Otra función que pertenece al grupo anterior y muy famosa en la historia de las matemáticas es la cicloide. Busca su definición y cómo se genera.

Geometría

Haz un vocabulario con al menos diez palabras que encuentres relacionadas con la Geometría e indica su significado.

Una y otra vez 360ºFotografía. Libre

Uno de los conceptos geométricos que aparecen en la exposición son los ángulos. Por ejemplo, tenemos la foto que se llama “Agudo en la naturaleza”. ¿Qué es un ángulo agudo?, ¿cuánto estimas que vale aproximadamente el de la imagen? Indica qué otros tipos de ángulos conoces. En la foto “Una y otra vez 360º” aparece una noria, ¿qué relación tiene con los 360º? ¿Qué figura geométrica corresponde a la noria? En la imagen “Ángulos y funciones cardiacas” aparecen unos ejes cartesianos y unos ángulos que dividen los 360º en partes. ¿Es la forma en que suelen verse en clase de matemáticas? Justifica la respuesta.

En la imagen anterior indica qué ángulo correspondería aproximadamente al lugar donde señala la flecha que se dirige a L2.

En la foto “40º a la sombra” aparece un aparato que nos sirve para medir ángulos, ¿qué nombre recibe? ¿Cuál es el grado más grande que podemos medir con ese aparato?

En la foto “Subiendo por los ángulos rectos” aparecen varios ejemplos de este tipo de ángulos. ¿Cuánto mide un ángulo recto? ¿Cómo se llaman dos ángulos cuya suma sea precisamente un ángulo recto?



Subiendo por los ángulos rectosFotografía. Primaria.

¿Como se llaman dos ángulos cuya suma sea 180º? ¿Y un ángulo que mide 180º? Si en la imagen de la noria los 360º correspondían

a la figura que representa la noria, ¿a qué corresponden los 180º? Tenemos una foto con el título de “Eco arqueado de π radianes”, ¿qué relación

tiene esto con el ángulo anterior? Indica qué son radianes y cuál es su relación con los ángulos sexagesimales. Define qué son rectas paralelas. En la foto “Paralelas en la arquitectura”, ¿qué elementos corresponden a rectas

paralelas? En la foto “Destino octógono” aparece un templete octogonal dividido en

triángulos, ¿cuánto vale el ángulo interior de ese triángulo? Dos rectas en el plano pueden ser paralelas. Busca fotos e imágenes donde

aparezcan líneas paralelas y escribe sus títulos. ¿Cuáles de las líneas que aparecen en la foto “Paralelas en la arquitectura” son

paralelas? En la foto anterior se puede imaginar la estructura de un conocido teorema de la

geometría clásica y del que hablaremos más adelante. ¿Sabes a qué Teorema nos estamos refiriendo?

Cuando dos rectas en el plano no son paralelas, ¿qué nombre reciben? Busca imágenes en donde podamos encontrar ese tipo de rectas y escribe su título y cómo se representa el concepto.

Un caso particular de las líneas anteriores son aquellas que forman entre sí un ángulo de 90º, ¿qué nombre reciben esas rectas? Busca lugares de la exposición donde puedas encontrar ese concepto y escribe los títulos de las imágenes.

En la foto “Teorema de Thales” aparecen rectas paralelas y otras que no lo son y en concreto se utilizan para visualizar el teorema de Thales. Enuncia el teorema y explica dónde puede verse en la imagen.

Busca información sobre la vida y obra del matemático griego Thales de Mileto. En la exposición existen polígonos de distinto número de lados. Haz una lista de

los que encuentres, junto con el lema de su foto, clasificándolos según el número de lados. ¿Cuál es el polígono con mayor número de lados que has encontrado?

Explica qué es un cuadrilátero. En la fotografía “Encuadrados” aparecen tres tipos particulares de cuadriláteros, di cuáles son y dibújalos en tu cuaderno.

En la foto anterior aparecen además otros dos polígonos que no son cuadriláteros, indica cuáles son.



Escribe el nombre de un rectángulo especial en el que los lados midan todos igual.

Hay una foto que se llama “Valla ”. ¿Qué cuadriláteros aparecen reflejados en

esa foto? Explica cuáles son sus características.

El agua no tiene forma, pero…Fotografía. Primaria

¿Qué representa la expresión que aparece en el lema de la foto? La figura anterior vuelve a aparecer en la foto “Intersección de hexágonos”. ¿Cómo se ha generado? En la foto de la que te hablamos se ve claramente que ese cuadrilátero se puede descomponer en dos triángulos, ¿cómo son esos triángulos?

Los cuadrados y triángulos sirven en muchas ocasiones para hallar el área de diversas figuras, si las dividimos en ellos. Por ejemplo, busca la imagen “La superficie de la flora y la fauna” y, suponiendo que el cuadradito es la unidad de área, calcula el área de cada uno de los animales que aparecen y de la flor.

En algunas ocasiones los polígonos se llaman regulares, ¿sabrías decir en qué casos?

En la imagen “Casa pentagonal”, aparece una edificación con forma pentagonal, ¿es un pentágono regular? Razona tu respuesta.

Normalmente en la arquitectura suelen aparecen polígonos convexos. Define lo que es un polígono convexo.

Si el polígono no es convexo, ¿qué nombre recibe? Busca ejemplos de esos polígonos no convexos en la fotografía con el lema

“Laberinto de polígonos callejeros”. Dibuja alguno de los polígonos e indica por qué no es convexo.

Otra figura plana que aparece representada en varias ocasiones es la circunferencia. Define dicha figura.

¿Qué nombre recibe la mitad de una circunferencia?, ¿cómo está representado ese concepto en la exposición?

En una de las fotos, la que se llama “Si circulas, π-ensa” aparece una señal de circulación con una línea dibujada. ¿Qué representa esa línea?

Si la línea anterior no llegase hasta el centro sino hasta el otro borde, ¿cómo se llamaría?

¿Qué otros elementos conoces relacionados con la circunferencia? Hay veces que puedes encontrar unas circunferencias dentro de otras, como

ocurre en la foto “Cada año es un círculo”. ¿Cómo se llaman esos círculos que tienen el mismo centro?

Cuando consideramos sólo el trozo comprendido entre dos de esas circunferencias se obtiene una figura que se llama corona circular, como la que puedes ver en la fotografía llamada “Corona circular descafeinada”. Define qué es una corona circular e indica qué lo representa en la imagen.



Cuando tenemos una circunferencia dentro de otra, normalmente no aparece ningún punto en común, pero dos circunferencias pueden estar en otras posiciones de forma que sí tengan algún punto común. ¿Cuántos puntos en común pueden tener como máximo dos circunferencias que sean distintas? ¿Cómo se denominan esas circunferencias?

En la foto “Círculos semejantes”, ¿cuántos puntos en común tienen las circunferencias que aparecen?

En el caso anterior se dice que las circunferencias son tangentes. Explica qué se entiende por tangencia.

En la foto anterior, aparte de las circunferencias entre sí, ¿qué otros elementos hay tangentes?

La circunferencia es un caso particular de un conjunto de curvas que se obtienen al cortar un cono mediante un plano. ¿Sabes como se llaman esas curvas?

Otro ejemplo, muy conocido, del grupo de curvas anteriores es la parábola, define lo que es una parábola y busca imágenes de la exposición en las que aparezcan.

Otra curva más del conjunto anterior es la elipse que puedes encontrar en la foto llamada, como no, “Elipses”. Explica qué es una elipse. ¿Por qué puede considerarse que la circunferencia es un caso particular de una elipse?

Existen varias imágenes en las que aparece el concepto de simetría. Define lo que entendemos en matemáticas por simetría.

¿Qué es un eje de simetría? En las fotos donde aparecen elementos simétricos indica en qué lugar estaría el eje de simetría.

El número de ejes de simetría depende de las figuras que tengamos. Por ejemplo, indica cuántos ejes de simetría aparecen en la imagen “Geometría simétrica salvaje” y en la que lleva por título solamente “Simetría”.

La simetría es muy frecuente a nuestro alrededor. ¿Puedes encontrar otros ejemplos de simetría?

Algunos de los polígonos que encontraste en preguntas anteriores tienen al menos un eje de simetría. Represéntalos en tu hoja de respuestas y dibuja sus ejes.

¿Por qué crees que se le ha puesto ese título a la fotografía “Simetría musical”? Las simetrías de las que hablamos hasta ahora lo son respecto a un eje o línea

imaginaria, pero hay otro tipo de simetría, indícanos cuál es y define sus características.

Un ejemplo de ese tipo de simetría se pretende presentar en “Simetría central”. ¿Es correcto el lema? ¿Cuáles serían los elementos que definirían la simetría?

Hay dos imágenes juntas en las que hay un dibujo representado de dos formas distintas. Nos referimos a las de nombre “Simetría en calma” y “Reflejo engañador”. Si no consideramos la figura de la niña, ¿qué tipo de simetría tendría la barca y el remo en cada imagen?



Reflejo engañadorImagen. Primaria

¿Cuál de los dos tipos de simetría se ha mostrado en la foto “Simetría de oro”? ¿Crees que es adecuado el lema de la foto “Simetría esférica”? ¿Es realmente una imagen que muestra simetría? La simetría es un caso particular de los movimientos del plano, pero existen otros dos que también son muy habituales como son la traslación y el giro. Busca imágenes en la exposición que visualicen esos movimientos. ¿Qué quiere decir que una figura es invariante mediante un giro? Busca ejemplos en la exposición. Hay otro tipo de transformación del plano que es la homotecia. Busca su definición y tras escribirla pon un ejemplo.

En la foto “Homotecia de conchas” lo que aparece no son desde luego conchas, ¿pero puede considerarse que es una homotecia?

Otro concepto geométrico muy corriente es el de semejanza. Explica qué entiendes por semejanza de dos objetos.

En la foto “Triángulo proporcionales”, ¿qué elementos serían semejantes? Algo parecido te preguntamos de la fotografía “Semejanza en casa”. Define lo que se entiende por razón de semejanza. Si los escalones de la escalera anterior están a la misma distancia, ¿cuál es la

razón de semejanza de los triángulos que se ven? En la imagen “Arquitectura hexagonal muy útil” aparece un panal de abejas.

Explica por qué utilizan las abejas el hexágono para hacer sus celdillas. El hexágono regular tiene la propiedad de recubrir el plano sin dejar huecos. Solo

hay otros dos polígonos regulares que lo hacen, ¿cuáles son? Cuando se repite un motivo plano varias veces y se cubre el plano sin dejar

huecos, se obtiene un mosaico. Define en tu cuaderno qué es un mosaico. En la foto de título “Mosaico”, ¿qué elementos que recubran el plano aparecen? Vamos ahora a dar el salto al espacio, fijémonos en cuerpos de tres dimensiones.

Indica qué cuerpos geométricos aparecen en la fotografía “El cuerpo de cuerpos”. Quizás, en la naturaleza, el cuerpo geométrico más corriente sea la esfera. Indica

dónde puedes encontrar esferas en la exposición. ¿Cuál es la característica que tienen todos los puntos que forman la superficie de

una esfera? La esfera es un caso particular de cuerpos de revolución, explica por qué se

llaman así. ¿Cómo se obtiene la esfera por revolución? Otro cuerpo de revolución es el cilindro, ¿cómo se genera esa figura? Localiza

cilindros en la exposición. El tercer cuerpo más usual es el cono como los que aparecen en la foto “Conos

de extracción”. Explica también aquí cómo se genera. ¿De qué medidas dependen la superficie y el volumen de un cono?



Un ejemplo de cuerpo geométrico es el prisma. Define lo que es un prisma e indica de qué tipo son los que aparecen en las imágenes “Con mi prisma a cuestas” y “De viaje con el prisma”.

Otro cuerpo geométrico muy habitual en la arquitectura es la pirámide. Explica qué es e indica de qué tipo es la que aparece en la imagen “Pirámide cuadrangular”.

En la exposición puedes encontrar, aparte de figuras geométricas, expresiones de las fórmulas que te permiten calcular medidas de figuras planas y cuerpos geométricos. Por ejemplo, en la foto “Si circulas, π-ensa” aparece el número π despejado en una fórmula que calcula ¿qué medida de la circunferencia?

En la foto “Volumen del mundo” aparece una esfera junto a una fórmula que calcula su volumen. ¿De qué depende esa fórmula?

Si tuviésemos una esfera de 4 m de diámetro, ¿cuál sería su volumen? Dentro de la geometría se engloba la trigonometría, indícanos qué es lo que

estudia esa parte de la matemática. En la fotografía de lema “Trigonometría coloreada” aparece un triángulo, ¿de qué

tipo es? En esa imagen aparecen tres razones trigonométricas, la secante, la cotangente y

la cosecante que son las inversas de las funciones trigonométricas básicas, seno, coseno y tangente. Escribe estas tres últimas como fracción, en función de los lados del triángulo rectángulo, igual que las que aparecen en la foto.

¿Cuál es la fórmula fundamental de la trigonometría? Utiliza el Teorema de Thales para demostrar que se verifica siempre la igualdad

anterior, utilizando las fracciones del triángulo de la foto. La razón tangente puede obtenerse a partir del seno y el coseno, ¿cómo? Igual que has hecho con la tangente en el punto anterior, escribe la cotangente en

función de las razones secante y cosecante. Ya antes hemos hablado de Thales de Mileto y has buscado información sobre él.

En la exposición se habla de otro gran matemático de la antigua Grecia, nos estamos refiriendo a Euclides. A él se hace referencia en la foto “Callejeando entre matemáticas”. Euclides fue el autor del libro de texto más longevo de la historia de las matemáticas. Busca información sobre su vida y su obra.

En la foto anterior aparecen los cinco postulados de Euclides sobre los que fundamentó toda su magna obra. Busca información sobre qué es un postulado.

En la fotografía aparecen los cinco postulados expresados mediante imágenes. Busca información sobre ellos y escríbelos mediante un texto.

Varios

Existe una fotografía con el título “Fractal”. El concepto de fractal es uno de los más recientes en la historia de las matemáticas. Investiga quién propuso ese concepto.

Define lo que entendemos por fractal. ¿En qué otros lugares de la naturaleza podemos encontrar fractales? Dado que tenemos una fotografía con el lema “Sucesión aleatoria” explícanos que

se entiende por sucesión. En la foto anterior aparecen una serie de términos ordenados formando una

sucesión, ¿cómo están ordenados? Un caso particular de sucesión se llama progresión. ¿Qué tipo de progresiones

has trabajado?



En la foto “¿Quién se lo ha comido?” aparecen una serie de fracciones ordenadas de mayor a menor, ¿forman una progresión?, ¿de qué tipo?, ¿qué elemento la caracteriza?

Explica qué se entiende en matemáticas por un vector, en función de sus componentes.

Define asimismo qué se entiende por matriz numérica. Los vectores son un caso particular de matriz, ¿en qué caso? Tenemos una representación gráfica de vectores en la fotografía “Un vector

director en el camino”. ¿Cómo solemos representar los vectores sobre un plano? ¿Qué elementos son los que caracterizan a un vector? En una foto encontramos el lema “Diagrama de barras”. Define lo que es un

gráfico de barras y dónde se utiliza. Indica otros tipos de gráficos estadísticos que conozcas. Antes hablamos de la foto “Sucesión aleatoria”, ¿crees que es correcto el adjetivo

de aleatoria? Explica qué es un suceso aleatorio. ¿Cómo se llaman los sucesos que no son aleatorios? Cuando trabajamos en el espacio en lugar del plano, además de con rectas

podemos trabajar con planos. Uno de los aspectos que se estudian son sus posiciones relativas. En una de las fotos nos encontramos el lema “Haz de planos”. Explica qué es un haz de planos y qué lo caracteriza. ¿En qué otros lugares cotidianos podemos encontrar ideas que nos recuerden al haz de planos?

Indica qué otras posiciones relativas pueden tener tres planos en el espacio. Una curva que suele aparecer en la naturaleza es la espiral. Indica cómo es una

espiral y cómo se obtiene. Busca una imagen de la exposición en la que aparecen y escribe su título.

Hélice cilíndrica (que no espiral)Fotografía. Libre

Hay veces que la espiral se sale del plano y se convierte en otra curva como puedes apreciar en la foto “Hélice cilíndrica (que no espiral)”. Define lo que es una hélice e indica cómo se forma.

Después de lo anterior, ¿te parece que está bien puesto el lema de la foto “Triple espiral emergente”?

La perspectiva de la imagen anterior nos hace imaginar que la escalera se va estrechando. Suele ocurrir siempre que vemos algo que se pierde en la lejanía, como por ejemplo en la foto de título “Mi noción de convergencia”. ¿Qué se entiende por convergencia?

Cuando tendemos hasta la lejanía nos aparece, de forma intuitiva, el concepto de límite, define con tus palabras qué entiendes por límite de una función en un punto.

Y relacionado con la imagen anterior, ¿cómo se define el límite de una función en el infinito?

En la fotografía de nombre “Triángulo kiwaso” nos parece ver un triángulo equilátero, a pesar de que no aparece por ningún lado. Eso es debido a que estamos ante una ilusión óptica. Define lo que se entiende por ilusión óptica y copia algún otro ejemplo simple que encuentres.



Al contrario de lo anterior, hay veces que vemos cosas dibujadas que nos dan el efecto de tres dimensiones, pero que rompen nuestra intuición porque vemos cosas imposibles. Cuando eso nos ocurre, estamos ante una figura o una imagen imposible. Describe qué se entiende por figura imposible.

Uno de los artistas que más genialmente han trabajado las figuras imposibles fue el dibujante holandés Maurits Cornelius Escher. Busca información sobre su vida, especialmente su obra y su relación con nuestro país.

Una de las obras de Escher puedes observarla en la imagen con el título “La casa del modernismo”. Indica dónde está la imposibilidad en esa imagen.

Las figuras imposibles se pueden dibujar en el plano pero no existen en el espacio. Sin embargo, hay elementos que sí se pueden construir pero tienen características muy curiosas. Una de ellas es la Cinta de Möbius que puedes ver en la imagen “Una casa sin fin”. Explica cómo se construye una cinta de Möbius.

Indícanos cuáles son las características principales de una cinta de Möbius, especialmente en cuanto al número de caras y de aristas que tiene.

Si construimos una cinta como la anterior y la cortamos a todo lo largo, ¿qué se obtiene?

¿Y si el corte lo hacemos a un tercio de distancia del borde?

CUESTIONARIO

Una vez realizadas las actividades anteriores, contesta las siguientes cuestiones:

¿Te ha gustado la exposición? ¿Por qué? Destaca algún aspecto que te parezca interesante de la experiencia de hacer

fotografías matemáticas o de descubrir matemáticas en imágenes extraídas de los medios de comunicación.

¿Te ha servido la exposición para tener una idea distinta de las matemáticas? ¿Por qué?

¿Te has fijado en que hay muchas cosas en tu entorno que esconden matemáticas que antes no veías? En caso afirmativo indica alguna.

"Después de ver la exposición nos damos cuenta de que las matemáticas están omnipresentes en nuestro entorno" ¿Estás de acuerdo con esta frase? ¿Por qué?

¿Eres capaz de hacer fotografías o buscarlas en periódicos y revistas y ponerles un lema matemático, igual que has visto en la exposición?

¿Te animarías a participar en el próximo concurso de "Fotografía y Matemáticas" o en el de "Imágenes Matemáticas"?

Autores: José Muñoz Santonja; Mª Jesús Serván Thomas; Antonio Fernández-Aliseda Redondo; Juan Antonio Hans Martín


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