Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

UNA TÉCNICA PARA MANEJO DE RESTRICCIONES APLICABLE A OPTIMIZACIÓN EVOLUTIVA MULTIOBJETIVO

Salvador Botello Rionda1 , Arturo Hernández Aguirre2 y Giovanni Lizárraga Lizárraga3

RESUMEN La optimización mediante algoritmos evolutivos de una o varias funciones sujetas a restricciones es un problema ampliamente tratado en la literatura. En este trabajo se presenta una propuesta para la optimización de armaduras de acero, las cuales pueden plantearse como problemas sujetos a restricciones, a través de una Estrategia Evolutiva (1 + 1). Las restricciones en esfuerzo y/o desplazamiento se consideran agregándolas como nuevas funciones objetivo. Usamos una estrategia evolutiva multiobjetivo que recupera el llamado frente de Pareto, el cual es una superficie en el espacio de las funciones objetivo que abarca zonas factibles y no factibles. Se agrega un operador de reducción del espacio de búsqueda con el cual el espacio de las variables de decisión es reducido de forma gradual en torno a la zona óptima factible. Se probó este método con varios problemas de estructuras con representación tanto real como binaria obteniéndose resultados superiores que los reportados en la literatura. En este trabajo se presentan aplicaciones reales de optimización de estructuras utilizando el catálogo de secciones mexicano de AHMSA.

ABSTRACT The optimization of one or more objectives subject to constraints using evolutionary algorithms has been approached by several authors. In this work we propose an algorithm for the optimization of truss steel structures using a (1 + 1) Evolutionary Strategy. The stress and displacement constraints are aggregated as objective functions. We use a multiobjective evolutionary algorithm to obtain the Pareto front, a n-dimensional surface that has feasible and no feasible regions. We use a space reducer operator which gradually reduces the search space around the optimal feasible zone. In this paper we describe and test our method using several structural design problems were both real and binary representations are used. The method found better results than those reported in the bibliography. In this work we are show real optimization applications of truss structures using the cross sections Mexican AHMSA catalog .

INTRODUCCIÓN Un área de investigación de gran aplicación en la práctica es la optimización de estructuras de armaduras acero. Este puede plantearse de la siguientes manera: Minimizar

F( x ) = ∑ γ A=

m

j 1j Lj

sujeto a:

(1) ( )

( ) 0

0

max

max

≤−=

≤−=

+ iimi

jjj

xg

xg

δδ

σσ

1, 2 Investigador Titular del Centro de Investigación en matemáticas A.C (CIMAT), Apdo Postal 402, 36000

Guanajuato, Gto. Teléfono: (473)7-32-71-55 ; Fax(473)-73-2-47-59; botello, artha@cimat.mx 2 Estudiante de la Maestría en Computación y Matemáticas Industriales del Centro de Investigación en

matemáticas A.C (CIMAT), Apdo Postal 402, 36000 Guanajuato, Gto. Teléfono: (473)7-32-71-55 ; Fax(473)-73-2-47-59; giovanni@cimat.mx

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Aj es el área de la sección transversal del miembro j-ésimo. Lj es la longitud del miembro j y γ el peso volumétrico del material. σj es el esfuerzo en la barra j-ésima, σmax,j es el esfuerzo permisible para la barra j-ésima y m es el número de barras. δi es el desplazamiento en el nodo i-ésimo y δmax,i es el desplazamiento permisible para el i-ésimo nodo. El vector de áreas que deseamos optimizar es el x y gk es el conjunto de n+m restricciones con n como número de restricciones a desplazamiento y m el número de restricciones en esfuerzos (igual a el número de barras). El objetivo es minimizar el peso total de la estructura. El planteamiento anterior es solo para minimizar el peso. La forma de la estructura se considera ya dada. Este tipo de problema corresponde a la programación no lineal. Los posibles valores para las áreas están acotados y para casos prácticos adquieren ciertos valores discretos. Se ha trabajado este problema por medio de algoritmos evolutivos dada su sencillez de implementación y su capacidad para trabajar en espacios de búsqueda discontinuos. Diversos autores han hecho propuestas para resolver problemas de estructuras de acero, por ejemplo (Erbatur F. et al., 2000), (Greiner D., 2001), (Haug EI. y Arora JS. 1979)

OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO La mayoría de los problemas en la vida real suelen tener más de un solo objetivo a optimizar, los cuales normalmente están en conflicto unos con otros. La optimización multiobjetivo consiste en encontrar un vector de soluciones que represente el mejor compromiso posible entre todas las funciones objetivo a optimizarse. En vez de tener una sola función objetivo f(x) se tiene un vector de funciones objetivo F(x) = {f1( x ), f2( x ), ..., fk( x )} donde k es el número de objetivos. Se le llama a x = {x1, x2, ..., xn } vector de variables de decisión. Se desea determinar del conjunto S de todos los vectores que satisfacen las restricciones, el conjunto de valores x1*, x2*, ... , xn* que generan los valores óptimos para todas las funciones objetivo. En la mayoría de los problemas no existe un punto que minimice todas la funciones al mismo tiempo, por lo que se utiliza el criterio de optimalidad de Pareto (Pareto, 1896). Este criterio permite recuperar un conjunto de soluciones las cuales son igual de buenas entre sí. A este conjunto se le llama conjunto de Pareto y los valores de estos puntos en las funciones objetivo se le llama frente de Pareto. La estrategia evolutiva PAES (Pareto Archived Evolution Strategy) propuesta por Knowles y Corne (Knowles y Corne, 1999), es básicamente una estrategia evolutiva (1 + 1) en la que las soluciones no dominadas encontradas hasta el momento se conservan. A este conjunto de soluciones preservadas se les llama archivo externo (aquí se le llamará archivo). Para mantener la diversidad, PAES introduce un novedoso sistema de malla adaptativa en el cual el espacio de las funciones objetivo es subdividido recursivamente cierto número de biseecciones. Cada individuo generado cae en una posición dentro de la malla, de manera que se puede llevar un control de cuantos individuos hay en cada posición, por lo cual en todo momento se puede saber cuales son las posiciones más pobladas y cuáles las menos pobladas. Dado que el archivo tiene un tamaño máximo predefinido, al llenarse éste se preservan las soluciones que se encuentren en posiciones menos pobladas de la malla.

METODOLOGÍA DESCRIPCIÓN GENERAL El método de optimización aquí propuesto, al cual llamaremos I-PAES, es un método de optimización de funciones de un solo objetivo sujeta a restricciones. Sigue el criterio de manejo de restricciones a través de algoritmos multiobjetivo, en donde estas son agregadas como nuevas funciones objetivo. Al aplicar un algoritmo multiobjetivo que siga el criterio de optimalidad de Pareto, la solución final será una población que trata de aproximar el llamado frente de Pareto, que es una superficie k-dimensional (donde k es le número de objetivos) es formada por puntos que representan las mejores soluciones. Esta superficie debe abarcar una región de puntos factibles y no factibles, eligiéndose al final el mejor punto de la región factible.

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I-PAES, como su nombre lo indica, utiliza como método multiobjetivo el PAES. La aportación que realiza I-PAES es que el espacio de búsqueda es reducido gradualmente en torno a la zona óptima factible, de manera que se obtienen soluciones más precisas. El problema con otros algoritmos similares es que al no reducir el espacio de búsqueda se obtienen soluciones muy burdas debido a que los algoritmos multiobjetivo tienden a dispersar la población. La idea principal de este algoritmo es que tiende a converger a un punto (la mejor solución en el espacio factible) La reducción del espacio de búsqueda se hará cada cierto número de iteraciones. Primero se toma a los individuos en el arhcivo y para cada restricción, se eliminan a los individuos que más violan cada restricción. En el caso que solo exista una función objetivo, si ya no quedan individuos que violen restricciones, se eliminan a aquellos que tengan un valor mayor para la función objetivo. Esto se hace hasta obtener un porcentaje del archivo ( digamos un 15%) que son los mejores individuos encontrados. Una vez elegido el 15% mejor, el espacio de búsqueda es reducido cierta cantidad, cuidando de no perder una cantidad excesiva. Los límites del nuevo espacio se eligen de tal forma que los individuos elegidos queden centrados en ese espacio. Finalmente se ajustan los parámetros de búsqueda de acuerdo al tamaño del nuevo espacio. ELITISMO También se agrega al I-PAES elitismo para preservar al mejor individuo factible generado. Este individuo se puede perder debido a que los métodos multiobjetivo que manejan el frente de Pareto, normalmente usan procedimientos para dispersar la población en el frente, eliminando a individuos de las regiones más congestionadas. El elitismo fue implementado de la siguiente manera: cada vez que un nuevo individuo es creado, se verifica si es un individuo factible. De ser así se compara su valor de la función objetivo con el mejor encontrado. Si su valor es mejor, entonces el nuevo individuo se marca o se señala como en nuevo mejor individuo encontrado, el cual no deberá ser eliminado hasta encontrar uno mejor. PARÁMETROS DE LA ESTRATEGIA EVOLUTIVA Para los casos en que las variables objetivo toman valores reales (en un espacio continuo), los parámetros de la estrategia evolutiva son los estándar utilizados en la bibliografía. En los casos en que las variables de búsqueda son números enteros (cuando nuestro espacio de búsqueda es por ejemplo un catálogo de secciones de acero) , se hicieron las siguientes modificaciones: La reducción del espacio de búsqueda se realizará contrayendo en η los límites de cada dimensión, es decir:

x i = x i - η (2) x i = x i + η (3)

donde i ∈ ( 1, ..., n ) y η es el número de enteros que se disminuye el espacio de búsqueda en cada corte. No se reducirá más allá del valor mínimo y máximo de la población seleccionada, es decir si x pob y x pob son vectores con los valores mínimo y máximo de la población para cada dimensión de búsqueda, entonces:

x i = ( x i - η) < x pob,i ? x pob,i : x i - η (4) x i = ( x i + η ) > x pob,i ? x pob,i : x i + η (5)

El parámetro de mutación σ se calcula con la ecuación 6, redondeándolo al entero más cercano y nunca menor a 1. Las σ del individuo inicial se hacen igual a σ . Las variables de búsqueda del individuo inicial se generan con una distribución uniforme entera en el intervalo de búsqueda. La mutación de las variables de búsqueda se realiza de la siguiente forma: xi

t + 1 = xit + signo( ) * rand(σi), donde rand(σ) es una función que

genera un número entero al azar entre 0 y σ. La función signo regresa –1 ó 1 con la misma probabilidad. La mutación de las σ se como se muestra en la ecuación 7.

( ) }n , ... 1, { j ; =

−=

nxx jj

jσ (6)

( random( ) < 0.45 ) ? |σ| = |σ| + θ : |σ| = |σ| - θ (7)

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θ es una cantidad que el usuario fija y representa un cambio en el tamaño de σ. La función random() genera un número real entre 0 y 1. La razón por la que se utiliza 0.45 en la comparación es porque se desea que las sigmas tiendan a disminuir de magnitud con el paso de las iteraciones, por eso se le da preferencia a la reducción. En este trabajo se hacen optimizaciones en espacios continuos (por interés exclusivamente académico) y en espacios discretos (optimización con catálogos de secciones) para modelar aplicaciones reales.

RESULTADOS A continuación se presentan los problemas de prueba y los resultados obtenidos. El problema k1 utiliza variables continuas, este es un ejemplo académico. Los problemas k2 y k3 utiliza variables discretas. Todos los problemas siguen el planteamiento dado en la ecuación (1). En cada uno de los siguientes problemas se trabajó con 5 bisecciones para cada función objetivo, el tamaño del archivo es de 200 individuos, se realizaron 250,000 iteraciones, reduciendo el espacio de variables cada 400 iteraciones. Dichas reducciones fueron de dos elementos en el caso discreto y del 90% del hipervolumen en el caso continuo. PROBLEMA K1 Para iniciar la demostración de las bondades de nuestro algoritmo presentamos un problema de interés académico con objeto de comparar nuestros resultados con varios ya publicados. Considere la armadura mostrada en la figura 1. El problema consiste en encontrar área transversal de cada elemento de la armadura que minimice su peso sujeto a restricciones de esfuerzo y desplazamiento. El desplazamiento máximo permitido para cada nodo es de 5.08 cm. En total son 10 restricciones de esfuerzo y 8 de desplazamiento. Los datos asumidos son: módulo de elasticidad E = 7.3x105 kg/cm3, máximo esfuerzo permisible = 1742.11 kg/cm2, γ = 7.4239 x 10-3 kg/cm3 y una carga vertical de -45454.0 kg., aplicada en los nodos 2 y 4. Se presentan resultados para dos casos diferentes de discretización del espacio de búsqueda.

Figura 1. Armadura de acero del problema k1

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Caso 1 La primera optimización la realizaremos trabajando con 19 funciones objetivo en el caso de variables que tienen representación en el continuo, es decir pueden tener valores que fluctúen entre un mínimo y un máximo de la sección transversal de 0.5062 y 999.0 respectivamente. En la tabla 1 se muestra el mínimo valor encontrado, de 30 corridas, por diferentes algoritmos tomados de Botello (1999) GSSA: algoritmo general de búsqueda estocástica, con población de tamaño cinco, probabilidad de cruza de cero, radio de mutación 0⋅10/elemento y recocido con α = 1.001 . VGA: Variable string length Genetic Algorithm (Rajeev y Krishamoorthy, 1997 ) con tamaño de población de 50. MC: Monte-Carlo annealing algorithm (Elperin, 1988). SAARSR: Simulated Annealing with Automatic Reduction of Search Range de (Tzan y Pantelides, 1996). ISA: Iterate Simulated Annealing (Ackley ). SSO: State Space Optimal (Haug y Arora, 1979). Como puede verse en la tabla, I-PAES encontró mejores resultados factibles que el resto de los métodos. MC encontró un valor de peso menor a I-PAES, pero como se muestra en las tablas 2 y 3, viola restricciones de esfuerzo y desplazamiento.

Tabla 1. Comparación de resultados en pesos del problema k1

Peso en problema k1 Elem. I-PAES GSSA VGA MC SSO ISA SAARSR

1 190.53 205.17 206.46 200.01 193.75 269.48 201.35 2 0.6466 0.6452 0.6452 0.6452 0.6452 79.81 0.6452 3 146.33 134.2 151.62 129.04 150.15 178.45 161.55 4 95.07 90.973 103.23 90.328 98.62 152.9 95.68 5 0.6452 0.6452 0.6452 0.6452 0.6452 70.39 0.6452 6 3.0166 0.6452 0.6452 0.6452 3.23 10.26 4.19 7 47.677 55.487 54.84 51.616 48.18 147.87 49.16 8 129.826 127.75 129.04 145.17 136.64 14.71 131.55 9 133.282 133.56 132.27 96.78 139.47 156.06 134.32

10 0.6452 0.6452 0.6452 0.6452 0.6452 87.74 0.6452 Vol. (cm3) 801624.5 805777 833258 765710 828956 1313131 833258 Peso (kg) 5951 6186 6186 5685 6155 9750 6187

Tabla 2. Comparación de esfuerzos del problema k1. En negritas los casos que violan restricciones

Esfuerzos en problema k1 Elem. I-PAES GSSA VGA MC SSO ISA SAARSR

1 483.27 -447.65 -444.75 -460.1 -475.31 -209.75 -476.58 2 -73.37 0.41 3.41 -15.3 91.98 -111.35 43.99 3 -613.26 670.31 593.43 695.72 597.46 449.9 569.04 4 -478.62 499.6 440.3 503.06 461.46 239.13 485.8 5 1741.3 -1464.09 -1428.68 -1757.16 -1754.88 362.13 -1641.04 6 -15.72 0.41 3.41 -15.3 18.37 -866.13 14.83 7 1313.54 -1134.31 -1148.24 -1214.48 -1299.1 -763.45 -1311.6 8 -507.89 513.6 508.24 453.71 482.74 1064.6 528.83 9 482.8 -481.25 -485.97 -664 -461.46 -331.34 -492.79

10 103.985 0.58 -4.82 21.64 -130.07 143.23 -65.61

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Tabla 3. Comparación de desplazamientos del problema k1. En negritas los casos que violan restricciones

Desplazamientos en problema k1 Elem. I-PAES GSSA VGA MC SSO ISA SAARSR

1 0.5134 0.5602 0.5528 0.5954 0.4802 0.4022 0.5419 2 -5.08 -5.0798 -4.904 -5.4352 -4.9056 -3.8008 5.0889 3 -1.368 -1.4654 -1.2948 -1.5016 -1.3264 -0.8631 -1.3213 4 -5.06 -5.0792 -4.8997 -5.4543 -4.8826 -4.8857 -5.0746 5 0.6053 0.5607 0.5571 0.5763 0.5954 0.2627 0.597 6 -1.878 -1.8474 -1.8303 -1.713 -1.8047 -2.9298 -1.9303 7 -0.768 -0.8396 -0.7433 -0.8715 -0.7484 -0.5636 -0.7129 8 -4.059 -3.6813 -3.6199 -3.914 -4.003 -2.4762 -3.9901

Caso 2 Se resolvió el problema usando un espacio de 65 barras tomadas de un catálogo de Altos Hornos de México S.A. Se realizaron 30 corridas independientes. Los resultados se muestran en la tabla 4.

Tabla 4. Resultados del problema k1 caso 2.

Resultados del problema K1 caso 2 Promedio 6035 Desviación 8.1E-01 Mediana 6035 Mejor 6034 Peor 6037 Sol. Factibles 30

Se trató de resolver el problema tomando en cuenta el diseño real de los elementos sujetos a compresión y considerar el peso propio de los elementos estructurales del catálogo de barras, pero se encontró que no existen soluciones factibles en el espacio de búsqueda. PROBLEMA K2 Considere la armadura mostrada en la figura 2 tomada de (Coello, 1999). El problema consiste en encontrar el área transversal de cada elemento de la armadura que minimice su peso sujeto a restricciones de esfuerzo y desplazamiento. Las condiciones de carga se muestran en la tabla 5. Las coordenadas de los nodos se muestran en la tabla 6. Los grupos de barras se muestran en la tabla 7. Los datos asumidos son: módulo de elasticidad E = 7.3 x 105 kg/cm2, máximo esfuerzo permisible = 2787.38 kg/cm2 y peso volumétrico de = 7.4239x10-3 kg/cm3. Para este caso se comparó I-PAES con (Coello, 1999). El desplazamiento máximo permisible para cada nodo en cada dirección se asume como 0.889 cm. En total son 25 restricciones de esfuerzo y 18 de desplazamiento.

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Figura 2. Armadura de acero del problema k2.

Tabla 5. Condiciones de carga para el problema k2 Nodo Fx( kg ) Fy( kg ) Fz( kg )

1 4540 -4540 -4540 2 0 -4540 -4540 3 227 0 0 4 272.4 0 0

Tabla 6. Coordenadas de los nodos para el problema k2 Nodo X (cm) Y (cm) Z (cm)

1 -95.25 0 508 2 95.25 0 508 3 -95.25 95.25 254 4 95.25 95.25 254 5 95.25 -95.25 254 6 -95.25 -95.25 254 7 -254 254 0 8 254 254 0 9 254 -254 0 10 -254 -254 0

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Tabla 7. Grupos de barras para el problema k2

Número de Grupo Miembros 1 1-2 2 1-4, 2-3, 1-5, 2-6 3 2-5, 2-4, 1-3, 1-6 4 3-6, 4-5 5 3-4, 5-6 6 3-10, 6-7, 4-9, 5-8 7 3-8, 4-7, 6-9, 5-10 8 3-7, 4-8, 5-9, 6-10

Tabla 8. Comparación de resultados del problema k2 Problema k2

Variables I-PAES Coello X1 (in2 ) 0.103 0.1303 X2 (in2 ) 0.1013 0.1201 X3 (in2 ) 3.5594 3.4834 X4 (in2 ) 0.1045 0.1102 X5 (in2 ) 1.914 1.6583 X6 (in2 ) 0.7775 0.8373 X7 (in2 ) 0.1379 0.1172 X8 (in2 ) 3.9864 4.09 vol (in3 ) 4675.4 4700.9

Caso 1 Para considerar el espacio continuo de valores (con valores máximo y mínimo de 6445.1484 y 0.64516 respectivamente, caso de interés académico) el mejor resultado obtenido, así como del valor de las variables de búsqueda se presentan en la tabla 8, en donde puede notarse que nuestra propuesta I-PAES obtuvo mejor resultado que (Coello, 1999).

Caso 2 Se resolvió el problema usando un espacio de 65 barras tomadas de un catálogo de Altos Hornos de México S.A. para el mismo problema considerando diseño a compresión y peso propio de la estructura. Todo lo anterior con el fin de que el problema se resuelva de forma práctica. Se realizaron 30 corridas independientes. Los resultados se muestran en la tabla 9.

Tabla 9. Resultados del problema k2 caso 2. Resultados del problema K2 caso 2

Promedio 2168 Desviación 0 Mediana 2168 Mejor 2168 Peor 2168 Sol. Factibles 30

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Frente de Pareto problema K2 Para el caso 2 se obtuvo el frente de Pareto tomando como funciones objetivo el peso de estructura y el desplazamiento en la dirección y del primer nodo, que es donde se presenta el mayor desplazamiento. El resultado se puede apreciar en la figura 3.

Figura 3. Frente de Pareto para el problema K2. En el eje horizontal, el peso en kg. En el eje vertical, la deformación en cm. PROBLEMA K3 Considere la armadura mostrada en la figura 4. El problema consiste en encontrar el área transversal de cada elemento de la armadura que minimice su peso sujeto a restricciones de esfuerzo y desplazamiento. El espacio de búsqueda para las barras es un catálogo de 65 entradas de Altos Hornos de México S.A. Se estudian tres casos para este problema; en el primero solo se considerará como restricción el esfuerzo en cada uno de los elementos de la estructura siendo el esfuerzo máximo permisible 3,500 kg/cm2 . Para el segundo caso se agregan, además de las restricciones de esfuerzo, restricciones de desplazamiento para cada nodo. El desplazamiento total para cada nodo no debe ser mayor a 10 cm. Para el caso uno son en total 49 restricciones, mientras que para el caso dos son 72 restricciones. Para el tercer caso se consideran restricciones en esfuerzo y desplazamiento y además se tomará en cuenta el diseño de los elementos sujetos a fuerzas de compresión. El material utilizado tiene las siguientes características: módulo de elasticidad E = 2.1x106 kg/cm3, máximo esfuerzo permisible = 3,500.00 kg/cm2, γ = 7.4250x10-3 . La estructura tiene que soportar una carga de 4,994.00 kg. horizontal aplicada en los nodos 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 19, 21, 23, 25 y 27. En las tablas 10, 11 y 12 se muestran las comparaciones los promedios de las corridas de caso 1, 2 y 3 respectivamente, de I-PAES y de diferentes métodos tomados de (Botello et al., 1999). SA: recocido simulado estándar. GA50: algoritmo genético con población de 50 individuos; probabilidad de cruza de 80% y radio de mutación de 0.006/elemento. GSSA50: algoritmo de búsqueda estocástica general con población de 50; probabilidad de cruza de 80%; radio de mutación de 0.04/elemento y recocido exponencial con α = 1.01 . GSSA5: mismo caso que el anterior pero con población de 5 y α = 1.001. Como puede verse en las tablas 10, 11 y 12, I-PAES encuentra en promedio, mejores resultados que el resto de los algoritmos.

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Figura 4. Armadura de acero del problema k3.

Tabla 10. Comparación de resultados del problema k3 caso 1

Problema k3 caso 1 MÉTODO PESO PROMEDIO (Kg) I-PAES 610

SA 627 GA50 649

GSSA50 619 GSSA5 625

Tabla 11. Comparación de resultados del problema k3 caso 2

Problema k3 caso 2 MÉTODO PESO PROMEDIO (Kg) I-PAES 725

SA 737 GA50 817

GSSA50 748 GSSA5 769

Tabla 12. Comparación de resultados del problema k3 caso 3. Problema k3 caso 3

MÉTODO PESO PROMEDIO (Kg) I-PAES 2603

SA 2724 GA50 2784

GSSA50 2570 GSSA5 2716

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Frente de Pareto problema K3 Se calculó el frente de Pareto para el caso 3 tomando como funciones objetivo el peso de estructura y el desplazamiento total del nodo 14 (el nodo justo en el medio de la estructura), que es donde se presentan los mayores desplazamientos. El resultado se puede apreciar en la figura 5.

Figura 5. Frente de Pareto para el problema K3. En el eje horizontal, el peso en kg. En el eje vertical, la deformación en cm.

CONCLUSIONES En este trabajo se propuso un algoritmo evolutivo para optimización de funciones sujetas a restricciones aplicable a estructuras de acero. Las restricciones se manejaron a través de criterios multiobjetivo. El espacio de búsqueda fue reducido de forma gradual de manera que la búsqueda se centró cada vez más alrededor del óptimo. La implementación del algoritmo resultó robusta para trabajar con problemas de alta dimensionalidad, tanto en la variables de decisión como en el espacio de restricciones, logrando manejar hasta 72 restricciones a través del criterio de optimalidad de Pareto. El método es capaz de resolver problemas multiobjetivo sujeto a restricciones o problemas de una sola función objetivo sujeta a restricciones. Esto permite al algoritmo ser más versátil y tener un campo de aplicación mayor. Se resolvieron tanto problemas académicos (esto con el fin de comparar el desempeño con otros algoritmos propuestos), como problemas de aplicación real, en dos y tres dimensiones, obteniéndose resultados similares o mejores que los obtenidos por otros algoritmos. Cuando se tienen restricciones, muchos algoritmos de un solo objetivo incluyen pesos que se aplican a las restricciones con el objeto de no violarlas. En nuestro algoritmos no es necesario determinar los valores de estos pesos. Podemos obtener frentes de Pareto que representan un compromiso entre dos funciones objetivo sobre las que se quiere optimizar de forma robusta y garantizando que no son violadas las restricciones. Las ideas generales de este algoritmo pueden ser extendidas a otro tipos de algoritmos multiobjetivo de manera muy similar a como fueron presentadas en este trabajo. El tiempo de ejecución del algoritmo es elevado, teniendo una complejidad lineal respecto al número de funciones objetivo y restricciones, y cuadrática respecto al tamaño de la población. Sin embargo, para

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problemas donde evaluar la función objetivo es costoso, como estructuras con un número alto de elementos, el tiempo que requiere la evaluación de la función objetivo puede llegar a ser tan elevado que el costo del algoritmo en sí deja de ser significativo. El uso de la computación en paralelo, la cual es muy adecuada en computación evolutiva, puede disminuir significativamente el costo computacional.

AGRADECIMIENTOS: el primer autor agradece el apoyo del CONACyT a través del proyecto 34575-A. El segundo autor agradece a CONCyTEG el apoyo otorgado a través del proyecto No. 01-02-202-111 y a CONACyT a través del proyecto No. 34575-A. El tercer autor agradece a CONACyT el apoyo otorgado a lo largo de sus estudios de maestría.

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