Sol ejercicios

DIBUJO TÉCNICO 1º-2º BACHILLERATO Curso 11/04/2009 Página 1 de 29

SISTEMA DIÉDRICO. EJERCICIOS SOBRE PUNTO, RECTA, PLANO E INTERSECCIONES 1ª EVALUACIÓN

PRPI - 1. Determinar las proyecciones de los siguientes puntos:

a) Punto A, está en el tercer cuadrante, se encuentra en el primer bisector y tiene 3 cm de alejamiento (distancia al origen x = 4)

b) Punto B, está en el cuarto cuadrante y tiene 4 cm de cota y 3 cm de alejamiento (x = 6) c) Punto C, está en el segundo cuadrante, se encuentra en el segundo bisector y tiene 2 cm de cota (x = 8) d) Punto D, está en la parte posterior del plano horizontal y tiene 5 cm de alejamiento (x = 10) e) Punto E, está en el primer cuadrante y tiene 4 < de cota y 1,5 cm de alejamiento (x = 12) f) Punto F, está en el segundo cuadrante y tiene 4 cm de cota y 1,5 cm de alejamiento (x = 14).

Dato: Origen en el margen izquierdo.

PRPI - 2. Representar en diédrico las siguientes rectas: r: A(-7, 8, 3), B(2, 1, 3) ; s: C(-2, -4, 1), D(6, -4, 10), y t: E(-4,5, 3,5, 0), F(-4,5, 2,5, 2). Señalar las trazas, la intersección con los bisectores, partes vistas y ocultas y denominación de las rectas. Dato: Origen en el centro.

PRPI - 3. Comprobar si Las dos rectas r: A(1, 9, 0), B(6, 0, 3), y s: C(4, 5, 0), D(4, 0, 4) se cortan en un punto. Dato: Origen en el margen izquierdo.

PRPI - 4. Dada la recta r: A(2, 3, 4), B(5, 0, 1), trazar: a) El plano α cuya recta de máxima pendiente sea la recta

r b) El plano p cuya recta de máxima inclinación sea La

recta r. Dato: Origen a 5 cm del margen izquierdo.

PRPI - 5. Determinar el plano dado por las dos rectas siguientes: y: A(6,5, -2, -2), B(8, -0,5, 2), y s: B(8, -0,5, 2), C(9,5, 2,5, 1). Dato: Origen en el margen izquierdo.

PRPI - 6. Dado el cubo de la figura 56, hallar las trazas del plano que determinan los puntos A, B y C.

PRPI - 7. Dada la pieza de la figura 57, dibujar en la cara que determinan los puntos A, B y C las siguientes rectas:

a) Las rectas horizontales que parten de los puntos E y D b) Las rectas de máxima pendiente que parten de F y G.

PRPI - 8. Los puntos A y B dados por sus proyecciones diédricas

determinan una recta (fig. 52) ; indicar todos sus puntos notables, así como los diedros por los que pasa.

PRPI - 9. Dibujar las trazas del plano determinado por la recta horizontal r y la frontal s (fig. 53). Representar en el plano las líneas de máxima pendiente y de máxima inclinación.

PRPI - 10. Por el punto P dado (fig. 54), trazar un plano α paralelo al segundo plano bisector.

PRPI - 11. Dadas las proyecciones diédricas de un punto P y de una recta r (fig. 55), hallar las trazas del plano α que determinan.

PRPI - 12. Hallar la intersección de los planos α(-7, -4, 4) y β(4, -4, 4). Dato: Origen en e1 centro.

PRPI - 13. Por un punto dado P(8,5, 2,5, 2,5) trazar una recta que corte a otras dos r: A(7, 5,5, 0), B(11,5, 0, 2,5), y s: C(3,5, -1, 0), D(4,5, 0, 1). Dato: Origen en el margen izquierdo.

PRPI - 14. Hallar la intersección de los cuatro pares de planos (fig. 22).

PRPI - 15. Representa las siguientes intersecciones:

a) Plano oblicuo con plano proyectante horizontal.

b) Plano oblicuo con plano proyectante vertical.

c) Plano oblicuo y plano paralelo a la línea de tierra.

d) Dos planos proyectantes verticales.

e) Planos proyectantes con cualquier otro plano.

f) Plano oblicuo con 1er bisector.

g) Plano oblicuo con 2º bisector.

h) Plano paralelo a la línea de tierra con 1er bisector.



i) Plano oblicuo con plano frontal.

j) Plano oblicuo con plano paralelo al horizontal.

k) Dos planos paralelos a la L.T.

l) Plano que contiene a la L.T. con plano paralelo al horizontal.

m) Plano que contiene a la L.T. con plano oblicuo.

n) Recta oblicua con plano de perfil, con plano paralelo a L.T. o que la contiene (a la L.T.).

o) Recta vertical o de punta con plano oblicuo.

p) Recta de perfil con plano paralelo a L.T.



PRPI - 16. Determinar las proyecciones de los siguientes puntos: g) Punto A, está en el tercer cuadrante, se encuentra en el primer bisector y tiene 3 cm de alejamiento (distancia al origen x = 4) h) Punto B, está en el cuarto cuadrante y tiene 4 cm de cota y 3 cm de alejamiento (x = 6) i) Punto C, está en el segundo cuadrante, se encuentra en el segundo bisector y tiene 2 cm de cota (x = 8) j) Punto D, está en la parte posterior del plano horizontal y tiene 5 cm de alejamiento (x = 10) k) Punto E, está en el primer cuadrante y tiene 4 < de cota y 1,5 cm de alejamiento (x = 12) l) Punto F, está en el segundo cuadrante y tiene 4 cm de cota y 1,5 cm de alejamiento (x = 14).

Dato: Origen en el margen izquierdo.

PRPI - 17. Representar en diédrico las siguientes rectas: r: A(-7, 8, 3), B(2, 1, 3) ; s: C(-2, -4, 1), D(6, -4, 10), y t: E(-4,5, 3,5, 0), F(-4,5, 2,5, 2). Señalar las trazas, la intersección con los bisectores, partes vistas y ocultas y denominación de las rectas. Dato: Origen en el centro.

PRPI - 18. Comprobar si Las dos rectas r: A(1, 9, 0), B(6, 0, 3), y s: C(4, 5, 0), D(4, 0, 4) se cortan en un punto. Dato: Origen en el margen izquierdo.

PRPI - 19. Dada la recta r: A(2, 3, 4), B(5, 0, 1), trazar:

d'

de'

e

f'

fc-c'

bb'

a

a'

0



β α

αβ

α

α

c) El plano � cuya recta de máxima pendiente sea la recta r d) El plano p cuya recta de máxima inclinación sea La recta r.

Dato: Origen a 5 cm del margen izquierdo.

PRPI - 20. Determinar el plano dado por las dos rectas siguientes: y: A(6,5, -2, -2), B(8, -0,5, 2), y s: B(8, -0,5, 2), C(9,5, 2,5, 1). Dato: Origen en el margen izquierdo.

PRPI - 21. Dado el cubo de la figura 56, hallar las trazas del plano que determinan los puntos A, B y C.

PRPI - 22. Dada la pieza de la figura 57, dibujar en la cara que determinan los puntos A, B y C las siguientes rectas:

α

α



α

α

β

β

c) Las rectas horizontales que parten de los puntos E y D d) Las rectas de máxima pendiente que parten de F y G.

PRPI - 23. Los puntos A y B dados por sus proyecciones diédricas determinan una recta (fig. 52) ; indicar todos sus puntos notables, así como los diedros por los que pasa.

PRPI - 24. Dibujar las trazas del plano determinado por la recta horizontal r y la frontal s (fig. 53). Representar en el plano las líneas de máxima pendiente y de máxima inclinación.

PRPI - 25. Por el punto P dado (fig. 54), trazar un plano ��paralelo al segundo plano bisector.

α

α



α

α

α

α

α

α−α

χ

χβ−β

PRPI - 26. Dadas las proyecciones diédricas de un punto P y de una recta r (fig. 55), hallar las trazas del plano � que determinan.

PRPI - 27. Hallar la intersección de los planos �(-7, -4, 4) y �(4, -4, 4). Dato: Origen en e1 centro.

PRPI - 28. Por un punto dado P(8,5, 2,5, 2,5) trazar una recta que corte a otras dos r: A(7, 5,5, 0), B(11,5, 0, 2,5), y s: C(3,5, -1, 0), D(4,5, 0, 1). Dato: Origen en el margen izquierdo.



β

α

β

α

PRPI - 29. Hallar la intersección de los cuatro pares de planos (fig. 22).

PRPI - 30. Representa las siguientes intersecciones:

q) Plano oblicuo con plano proyectante horizontal.

r) Plano oblicuo con plano proyectante vertical.



α'

αβ

β'

r'

r

β

r

r'

α'β'

α

s) Plano oblicuo y plano paralelo a la línea de tierra.

t) Dos planos proyectantes verticales.

α'

α

β'

β

r'

r

α'

α

β'

β

r'

r

u) Planos proyectantes con cualquier otro plano.

v) Plano oblicuo con 1er bisector.

w) Plano oblicuo con 2º bisector.

α'

α

β'-β

r'

r

α'

α

x'

x

s'-sr'

r

x) Plano paralelo a la línea de tierra con 1er bisector.

y) Plano oblicuo con plano frontal.



α'

α

x'

x

r'

r

t'

t

β'

β

α

r'

r

z) Plano oblicuo con plano paralelo al horizontal.

aa) Dos planos paralelos a la L.T.

β'

β

α'r'

r

β'

β

α'

α

β''α''

r''r'

r

bb) Plano que contiene a la L.T. con plano paralelo al horizontal.

cc) Plano que contiene a la L.T. con plano oblicuo.

r

a

β'-β

α'

a'

r'

a''

β''r''

α

β'-β

a

α''a'

r''r'

p

r

α''α'

p' p''



Determinar el plano formado por la recta R y el punto A

a'

a

hr

vr'

hr'-vr

r

r'

a'

a r'

r

r'-r

a

a'

a

s'

s

a'

r

vs

hr

v's

hr'-vr

vr'

α'r'

hs

h's

α

a'

a

v's

h's

hs

vs

rs

s'

r'

b

α'-α

b'

α

a'

v'r-hr

a

v's

vs

b'-b

hs

h's

r'-r

α'

Pasos. ‐ Aplico el método:• Construyo una recta S con el pto. dado A y un pto. cualquiera de R (escojo por ejemplo Vr, puedo elegir también Hr porque me lo dán, si eligiera otro pto. tendría que pasar R al perfil).

• Uniendo las trazas horizontales de R y S (hr y hs) hallo α, como α y α’ se cortan en el mismo pto. de L.T., por ese pto y por v’r pasará α’.

Pasos. ‐ Aplico el método:• Construyo una recta S con el pto. dado A y un pto. cualquiera de R (escojo por ejemplo B).

• Uniendo las trazas horizontales de R y S (hr∞ y hs) hallo α. Uniendo las trazas verticales de R y S (v’r∞ y v’s) hallo α’. Ambas paralelas a L.T.

Pasos. ‐ Aplico el método:• Construyo una recta S con el pto. dado A y un pto. cualquiera de R (escojo por ejemplo B).

• Como las trazas de R están en el mismo pto. de la L.T., uno este con las trazas hs y v’s de S, hallando α y α’.



r'

r

a'-a

r

r'a

a'

a

r'

a'

r

b'

vs

v'r-hr

a'-a

s

s'

α'

v's

α

br

r'

v's

vr

α'

h'svs

a' r α

hss'

v'r

s

a r'

vrvs

s

v's v'r

α'

h's

hs

ar

α

r'

s'a'

Pasos. ‐ Aplico el método:• Construyo una recta S con el pto. dado A y un pto. cualquiera de R (escojo por ejemplo B). Resulta que S es una recta horizontal que por tanto tiene solo una traza visible (la vertical), como la otra está en ∞ el plano que busco tendrá la traza horizontal paralela a s.

• Uno v’r(que está en L.T.) con v’s α’ • Por hr (en el mismo pto. de L.T.) trazo una paralela a s α

Pasos. ‐ Aplico el método:• Construyo una recta S con el pto. dado A y un pto. cualquiera de R (escojo en este caso v’r‐vr). Resulta que R es una recta horizontal que por tanto tiene solo una traza visible (la vertical), como la otra está en ∞ el plano que busco tendrá la traza horizontal paralela a r.

• Por hs trazo una paralela a r α

• Uno el pto donde me ha cortado a L.T. con v’s α’

Pasos. – Igual que el anterior:• Construyo una recta S con el pto. dado A y un pto. cualquiera de R (escojo en este caso v’r‐vr). Resulta que R es una recta horizontal que por tanto tiene solo una traza visible (la vertical), como la otra está en ∞ el plano que busco tendrá la traza horizontal paralela a r.

• Por hs trazo una paralela a r α (en este caso coincide con r) • Uno el pto donde me ha cortado a L.T. con v’s α’ (en este caso coincide con v’r y además sale el plano proyectante horizontal)



r

r'a

a'

r'

ra'

a

vr'

hr

r

hr'-vr

r'

a'

a

hr

α

h'r

b

s

b's'

vs

v's

r'

a'r

h's

hsa

α'

hs s

hr

h's h'r

b'

b a'r

s'

r'

a

α

vs

v's

α'

hr'-vr

a'

hs

v's

hr

r

a''

α'-α

r'

vr'

a

r''

b''

s''

Pasos. ‐ Aplico el método:No tiene especial dificultad. Pasos. ‐ Aplico el método:

Puedo escoger cualquier pto. de R pero en este caso, porque sí, escojo como punto de R aquel que hace que S sea una frontal.

Pasos. ‐ Aplico el método:En este caso al ser una recta de perfil trabajaré en perfil. Observo que la otra recta creada S, es también de perfil, luego puedo trazar como plano buscado el plano de perfil α‐α’.



Determinar el plano formado por las rectas siguientes.

r

r' s'

s

r'

hr'-vr

vr'

hr

r

s'

s

hs

h's

r'

s'

r

s

hth

r

αh

hrh

r'

hth

ta

vt

b

vr

s' a' b' vt' vr'

hrh

s

t' α'

α

α'

hr'-vr

r

hr

s

h's

vr'

r' s'

hs

α

α'

s

r

s'

r' r''

α''

s''

Pasos. ‐ • Una de las rectas, la S es paralela a L.T. luego tiene sus trazas en el ∞. La otra, R, tiene su traza horizontal también en ∞.

• Construyo otra recta T con un pto. A de S y un pto. B, cualquiera de R. • Resulta que T es también una recta horizontal como R. • Uniendo v’t y v’r hallo α’; ht y hr están en∞ luego α estará en ∞. • El plano α es paralelo al P.H. (plano piscina)

Pasos. ‐ Aplico el método:• Uno hr con hs α • Por donde α corta a L.T. lo uno a v’r α’

Pasos. ‐• Podría hacerlo escogiendo puntos de R y S y creando nuevas rectas. Uniría las trazas correspondientes y ya está.

• Lo que he hecho es pasar ambas rectas al perfil y “apoyar” sobre ellas el plano solución α



Determinar la intersección entre los planos α y β.

αβ

α'

β'

βα

α' β'

α

β

β'α'

α

h'rvr

β

r

hr

β' v'r

r'

α'

h'rvr

α

r

hr

β

α'

v'r

β'

r'

h'r vr

β

α hr

r

α'

r'

v'r

β'

Pasos. – Aplicamos método:• Donde se corten α’ y β’ v’r……. vr • Donde se cortan α y β hr………h’r • Unimos v’r con h’r (las primas) r’. • Unimos hr con vr (las sin primas) r

Pasos. – Aplicamos método:• Donde se corten α’ y β’ v’r…vr Donde se cortan α y β hr…h’r • Unimos v’r con h’r (las primas) r’. Unimos hr con vr (las sin primas)

r Como uno de los planos es un proyectante la recta de intersección tendrá una de las proyecciones coincidente con una traza de dicho plano. En este caso la proyección horizontal al ser un proyectante horizontal

Pasos. – Igual que el anterior. Como uno de los planos es un proyectante la recta de intersección tendrá una de las proyecciones coincidente con una traza de dicho plano. En este caso la proyección vertical al ser un proyectante vertical



α'-α

β'

α'-α

β

β'

β-α

β'

α'

α'-α

h'r∞ β'

hr∞

r'

r

vr

v'r

-h'r

β

vr

r

hr

r'

v'r

β'α'-α

β'

v'x

vx

δ' x'

x

δ

h'x-h'yvy

y

hx-hy

y'

v'y

r'

r

β-α

α'

p'

p

v'r-vr

Pasos. – Aplicamos método:• Donde se corten α’ y β’ v’r…vr. Donde se cortan α y β hr…h’r • Como β está en el ∞, hr estará allí hr∞

• Unimos v’r con h’r ∞ en la L.T.(las primas) r’. Unimos hr ∞con vr (las sin primas) r

Como uno de los planos es un paralelo al horizontal (plano piscina) TODAS las rectas contenidas en él son rectas horizontales; como además la buscada tiene que ser de α, será una recta horizontal de α y por tanto su proyección horizontal será paralela a la traza horizontal α.

Pasos. – Aplicamos método:• Donde se corten α’ y β’ v’r…vr. Donde se cortan α y β hr…h’r • Unimos v’r con h’r (las primas) r’. Unimos hr con vr (las sin primas) r

Va y resulta que es una recta de perfil…. Mira tú.

Pasos. –• Un pto. de la recta intersección lo sabemos, donde se cortan las trazas verticales está v’r‐vr (en este caso en la L.T.). Para hallar otro pto. utilizaremos un plano auxiliar δ’‐δ (cualquiera….. que nos sirva).

• Intersección δ con α recta Y • Intersección δ con β recta X • Intersección rectas X e Y pto. P Unimos v’r con p’ r’. Unimos vr con p r. recta R (r’‐r) SOLUCIÓN.



β'

α

β

α'

α'β'

αβ

β'

α'

βα

α'

r

vr

v'r

β'

r'

hr

α

β

h'r

hr

α

β'

r

β

h'r

r'

α'

h'r

β

β'

hr

v'r

vr

α'

r

r'

α

Pasos. – Aplicamos método:• Donde se corten α’ y β’ v’r…vr. Donde se cortan α y β hr…h’r • Unimos v’r con h’r (las primas) r’. • Unimos hr con vr (las sin primas) r Como los planos sonproyectantes la recta de intersección tendrá una de las proyecciones coincidente con una traza de uno de los planos (r y β), y la otra coincidente con la otra traza del otro (r’ y α’).

Pasos. –En este caso lo mejor es imaginar ambos planos en el espacio. Si colocamos dos planos “puerta” vemos que la intersección es una recta de punta vertical, cuya proyección horizontal es un punto.

Pasos. – Aplicamos método:• Donde se corten α’ y β’ v’r…vr Donde se cortan α y β hr…h’r • Unimos v’r con h’r (las primas) r’. Unimos hr con vr (las sin primas) r Como uno de los planos es un proyectante la recta de intersección tendrá una de las proyecciones coincidente con una traza de dicho plano. En este caso la proyección horizontal al ser un proyectante horizontal



β

β'α'-α

β'

α

β

α'

α'

β'

α

hr

h'r

β

r

r'

vr

v'r

β'α'-α

r'

x'

β

hx

h'x

p

α

r

y'

x-y

vr

hy

v'r

h'y

δ

α'

p'

β'

r

α

vr

β' r'

α'

v'r

Pasos. –• Un pto. de la recta intersección lo sabemos, donde se cortan las trazas verticales está v’r‐vr . Para hallar otro pto. utilizaremos un plano auxiliar δ (cualquiera….. en estecaso utilizo un plano frontal).


Pasos. – Aplicamos método:• Donde se corten α’ y β’ v’r…vr. Donde se cortan α y β hr…h’r

• Como β está en el ∞, hr estará allí hr∞






β

α

α'

α

β'

α'

βα

α' β'

r hr

β

α

r'

h'r

α'

α

β'

r

r' v'r

vr

α'

r

βα

r'

α'

vr

v'r

β'

Pasos. – Aplicamos método:• Donde se corten α y β hr…h’r. Donde se cortan α' y β’ v’r…vr • Como β’ está en el ∞, v’r estará allí v’r∞

• Unimos hr con vr ∞ en la L.T.(las sin primas) r. Unimos v’r ∞con h’r (las primas) r’

Como uno de los planos es un paralelo al vertical FRONTAL(plano pared) TODAS las rectas contenidas en él son rectas FRONTALES; como además la buscada tiene que ser de α, será una recta FRONTAL de α y por tanto su proyección vertical será paralela a la traza vertical α’.


• Como β está en el ∞, hr estará allí hr∞




• Como β y α son paralelas, hr estará en ambas en donde se cortan en el ∞ hr∞


La solución será una recta horizontal de α y de β por tanto su proyección horizontal será paralela a las trazas horizontales αy β.



α β

α'β'

α

β

α'

β'

β'-β

α

α'

a'

a

α

r

v'rr'

vr

β'

β

α'

β'

hr

α

r

vr

v'r

r'

h'r

β

α'

x'-y'δ'

α

β'-β

a

y

x

a'p'

rp

r'

α'

x'' δ''

a''

β''

Pasos. – En este caso lo mejor es imaginar ambos planos en el espacio. Si colocamos dos planos “trampilla” vemos que la intersección es una recta de punta horizontal, cuya proyección vertical es un punto.

Pasos. – Aplicamos método:• Donde se corten α’ y β’ v’r…vr Donde se cortan α y β hr…h’r • Unimos v’r con h’r (las primas) r’. Unimos hr con vr (las sin primas) r Como uno de los planos es un proyectante la recta de intersección tendrá una de las proyecciones coincidente con una traza de dicho plano. En este caso la proyección horizontal al ser un proyectante horizontal

Pasos. –• Un pto. de la recta intersección lo sabemos, donde se cortan las trazas verticales está v’r‐vr . Para hallar otro pto. utilizaremos un plano auxiliar δ (cualquiera….. en este caso NO. Utilizo un plano paralelo al horizontal –“piscina”, PORQUE VOY A TRABAJAR TANTO EN PERFIL COMO EN PROYECCIONES V. Y H.). RECORDAR QUE NO CONVIENE TRABAJAR EN PERFIL CON PLANOS OBLICUOS Y UN PLANO PISCINA SI .




β

β'

α

α'

α

α' a'

a

β'-β

α'-αβ'-β

α

β

α'

β'

r

r'α''

r''

β''

α

α'

ra

a'

r'

β'-β

β''

r''

α''a''

y

β'-β

x'-y'

x

vr-h'r

rp

v'r-hr

r'

p'

α'-α

δ'

Pasos. –: En este caso es evidente que la única manera de observar donde se cortan ambos planos es en el perfil. • Pasamos al perfil y donde se corten α’’ y β’’ r’’. La recta intersección es una recta paralela a L.T. • Pasamos r’’ a proyecciones horizontal (r) y vertical (r’).

Pasos. –:Este caso es parecido al anterior ambos planos se nos expresan claramente en el perfil y allí podemos observar donde se cortan. • Pasamos al perfil y donde se corten α’’ y β’’ r’’. La recta intersección también es una recta paralela aL.T. • Pasamos r’’ a proyecciones horizontal (r) y vertical (r’).

Pasos. –• Sabemos un pto. de la recta intersección, donde se cortan las trazas verticales está v’r‐vr .coincide también donde se cortan las trazas horizontales (h’r‐hr).

• Según esto sería suficiente para determinar la recta intersección, pero puede que no estemos seguros… así que nos vamos a asegurar. Para hallar otro pto. utilizaremos un plano auxiliar δ (cualquiera….. en este caso utilizo un plano paralelo al horizontal –“piscina”, al ser este plano horizontal las rectas intersección con él serán rectas horizontales (X e Y) .




α'

α

β'-β

β'-β

α'-α

a

a'

α'-α

β'-β

α

α'

r

vr

v'r

β'-β

hr

h'r

r'

β'-β

δ

r

p

r'

p'

a

v'r-hr-vr-h'r

y'

a'

x-y

x' x''

α'-α δ''

a''β''

vr-h'r

v'r-hr

β'-β

r

r'

α'-α


Pasos. –• Un pto. de la recta intersección lo sabemos, donde se cortan las trazas verticales está v’r‐vr . Para hallar otro pto. utilizaremos un plano auxiliar δ (cualquiera….. en este caso NO. Utilizo un plano paralelo al vertical –“pared”, PORQUE VOY A TRABAJAR TANTO EN PERFIL COMO EN PROYECCIONES V. Y H.). RECORDAR QUE NO CONVIENE TRABAJAR EN PERFIL CON PLANOS OBLICUOS ,SIN EMBARGO CON UN PLANO FRONTAL TRANQUILAMENTE . La intersección de un plano frontal con otro plano siempre nos dará rectas frontales.

• Intersección δ con α recta Y. Intersección δ con β recta X • Intersección rectas X e Y pto. P Unimos v’r con p’ r’. Unimos vr con p r. recta R (r’‐r) SOLUCIÓN.

Pasos. – Aplicamos método:• Donde se corten α’ y β’ v’r……. vr • Donde se cortan α y β hr………h’r • Unimos v’r con h’r (las primas) r’. • Unimos hr con vr (las sin primas) r Uno de los planos es un plano de perfil. La intersección de cualquier plano con uno de perfil será una recta de perfil. La recta solución es por tanto, una recta de perfil.



α'-β

β'-α

β'-β

α'

α'- β'-β

α

δp'-p

x-y

β'-α

r'-r

y'

v'r-hr-vr-h'r

x'

α'-β

r

β'-β

r'α' α''

β''

r''

α

α'- β'-β

r

r'

α''

β''

Pasos. – • En este caso las trazas tanto verticales como horizontales se cortan en el mismo punto de la L.T. ( v’r‐vr .coincide con h’r‐hr).

• Para hallar otro pto. utilizaremos un plano auxiliar δ (cualquiera….. en este caso utilizo un plano paralelo al vertical –“pared”, al ser este plano frontal las rectas intersección con él serán rectas frontales (X e Y) .


Pasos. –:• Al igual que en el caso anterior llevamos al perfil ambos planos • Donde se cortan α’’ y β’’ r’’. La recta intersección es una recta paralela a L.T..es además una recta del plano vertical, luego su proyección horizontal estará en la L.T. • Pasamos r’’ a proyecciones horizontal (r) y vertical (r’).

Pasos. –:En este caso es evidente que la única manera de observar donde se cortan ambos planos es en el perfil. • Pasamos al perfil y donde se corten α’’ y β’’ r’’. La recta intersección es una recta paralela a L.T. • Pasamos r’’ a proyecciones horizontal (r) y vertical (r’).

DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO Curso 11/04/2009 Página 23 de 29

SISTEMA CÓNICO. EJERCICIOS DE PERSPECTIVAS 3ª EVALUACIÓN

Determinar la intersección del plano α con el 1er Bisector y con el 2ª Bisector.

Podemos realizar los siguientes ejercicios tomando (como lo son ) los bisectores como planos que contienen a la línea de tierra y por tanto aplicando lo visto en los casos anteriores de intersección de planos. Sin embargo, para evitar en lo posible el trabajo en el perfil, aplicaremos otro método que en mi opinión reduce la dificultad de desarrollo.

Con el 1er Bisector. Pasos: 1.- Un pto. de la recta intersección es donde cortan las trazas a la línea de tierra pues esta pertenece a los bisectores. 2.- Escojo una recta cualquiera del plano. 3.- hallo en esta recta el pto. de corte con el 1er bisector- doblo el ángulo de una de las proyecciones con respecto a L.T. y donde ese espejo corte a la otra proyección ese es el pto.- P. 4.- Uno P con el de corte con L.T. del principio. R

Con el 2o Bisector. Pasos: 1.- Un pto. de la recta intersección es donde cortan las trazas a la línea de tierra pues esta pertenece a los bisectores. 2.- Escojo una recta cualquiera del plano. 3.- hallo en esta recta el pto. de corte con el 2º bisector- donde las proyecciones vertical y horizontal de la recta se crucen, pues los ptos. Del 2º bisec. son dobles. - Q. 4.- Uno Q con el de corte con L.T. del principio. S

α'

α

α'

α

α

α'

s'-s

q'-q

h'x

phx

p'

x'

rx

vx

v'x

r'

α

α'

q'-q

hxα

α'

s'-s

r

h'x

r'

x

p

v'x

x'

p'

vx

vx

v'x

α'

s'-s

p

x

x'

p'

h'x

hxr

r'

q'-q α



α'-α

α'

α

α'

q'-q

h'x

hx

x

r

p

p'

r'x'

vx

α'-α

v'x

s'-s

s'-s

vx

α' v'x

x

r

x' r'

p

p'

vx

r

α

xp

hx

v'x

r'

α'

p'x'

h'x

q'-q

s'-s



Determinar la intersección de la recta R con el plano α.

La metodología será siempre la misma: 1.- Metemos la recta en un plano cualquiera que la contengan(habrá infinitos... intentemos no escoger el peor). 2.- Hallamos la intersección de este plano con el que nos daban. Esta intersección será una recta. 3.- Intersección de esta recta con la inicial. El resultado es el pto. buscado.

α

α'r'

r

α'

α

r

r'

α'

α

r'

r

r

β

r'

v'x

α

hx

h'x

p

x'

p'

α'

vx

x

β'

r

α

β'

r'

x

vx

p

v'xx'

p'

α'

β

vx

v'x

r

β'

r'

α'

α

x

x'

p'

p

hx

β

h'x

Pasos. –aplicamos el método.• Metemos a la recta R en un plano cualquiera ( uno de los típicos.. un proyectante horizontal) β

• Hallamos la intersección de α (dado) y β (recién hallado) recta X • Intersección de la recta X (auxiliar) con la recta R (dada) punto P SOLUCIÓN.

Pasos. –igual que el anterior.• Metemos a la recta R en un plano proyectante vertical) β • Hallamos la intersección de α y β recta X (de punta horizontal) ‐repasa ejercicio anterior de inters. de planos‐.

• Intersección de X con R punto P SOLUCIÓN.

Pasos. –igual que el anterior.• Metemos a la recta R en un plano proyectante vertical) β • Hallamos la intersección de α y β recta X‐repasa ejercicios anteriores de intersección de planos‐.

• Intersección de X con R punto P SOLUCIÓN.



α'-α

r'

r

α'

α

r'

r

a

a'

β'-β

r

r'

x'

vx

r

p

β'r'

p'

β

hx

x

h'x

α'-α

v'x

v'xα

α'

p

vx

x

p'

x'

β'

hx

h'x

βr

r'

β'

a''a'

α'-α

pa

p'

x

r

x' r'x''

α''

Pasos. –igual que el anterior. Pasos. –igual que el anterior.

Pasos. –igual que el anterior.El plano en el que meto la recta R es un plano paralelo al horizontal (piscina) porque luego tengo que hallar la intersección en el perfil y cualquier plano no funciona bien en el perfil – paralelos a la L.T., frontal, piscina)



α'

α

r'-r

α'

α

r'-r

α'

α

r'-r

β

h'x

hx

vx

x

x'

α'

v'x

β'

r'-r

α

p'-p

x'

p'-p

α'

β

h'x

hx

α

x

vx

r'-r

v'x

β'

h'xvx

β

xhx p'-p

α

β'

v'x

α'

x'

r'-r

Pasos. –igual que siempre.El plano en el que meto la recta R es un plano proyectante. Para este tipo de rectas que tienen las trazas en el mismo pto de la L.T. el plano que escogeremos para evitar equivocaciones serán proyectantes.

Pasos. –igual que antes.El plano en el que meto la recta R es un plano proyectante. Para este tipo de rectas que tienen las trazas en el mismo pto de la L.T. el plano que escogeremos para evitar equivocaciones serán proyectantes.

Pasos. –lo mismo.



α'

α

vr'

r'

r

hr

hr'-vr

α'-αr'-r

α'-αr'

r

x'

x

hr

vr'

hr'-vr

h'x

phx

r

-p'

r'

α'

vx

α

v'x

α'-α

β

vx

h'x

x

hx

p'-pv'x

r'-r

x'

β'

p

β

x' p'

r'

vx

x

v'xr

β'

α'-α

Pasos. –igual que siempre.La recta es de perfil. Para meterla en un plano deberemos conocer sus trazas, en este caso nos las dan, pero si no, deberemos ir al perfil para hallarlas. Evidentemente no será un plano proyectante el que la contenga.

Pasos. –igual que los anteriores.El plano en el que meto la recta R es un plano proyectante. Pasos. –sin problemas.

Repasa la recta que sale en la intersección del plano auxiliar β y el α dado..



r'-rα'-α

α'-α

vr'

hr'-vr

r'

r

r' r

α

α'

r'-r

p'-p

β

α'-α

α'-α

hx

h'x

x

β

x'

vx hr'-vrp

hr

r

vr'β'

p'v'x

r'

pp'

α'

x

β

p

r'

x'

β'

α

r

Pasos. –método .. el mismo.Siguiendo los pasos que hemos utilizado anteriormente nos da esa solución tan curiosa.

Pasos. –igual que en un ejercicio anterior.La recta es de perfil. Para meterla en un plano deberemos conocer sus trazas, en este caso nos las dan, pero si no, deberemos ir al perfil para hallarlas. Evidentemente no será un plano proyectante el que la contenga.

Pasos. –sin problemas.Solo que el punto sale en casa quisqui.

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