Solange

EXPERIMENTO N0 1

CALCULO DE ERRORES

1. Objetivo:

1.1 Determinar los errores en las mediciones.

2. Equipos, instrumentos y materiales:

2.1 Una regla graduada en mm 2.2 Un vernier (pie de rey) 2.3 Un micrmetro (Palmer) 2.4 Un cronmetro 2.5 Una balanza 2.6 Una lmina de plstico. 2.7 Un cilindro metlico 2.8 Una esfera metlica 2.9 Arena 2.10 Equipo para Pndulo Simple

Un soporte base Una varilla de 50 cm Una varilla de 10 cm. Una nuez Cuerda Una pesa de 10 gr.

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA

Facultad de Ingeniera Civil

3. Base Terica:

3.1. Introduccin Todas las medidas tienen errores experimentales (accidentales y sistemticos) por la sensibilidad del instrumento. Es imposible conocer el valor verdadero X de una magnitud. La teora de errores, establece los lmites entre los cuales debe estar esa cantidad X. El error en las medidas, tiene un significado diferente a equivocacin; toda medicin tiene error.

3.2. Conceptos bsicos

3.2.1. Magnitud.- Es todo lo que se puede medir, esto es, todo lo que se puede representar por un nmero. Ejemplo: longitud, tiempo, volumen, velocidad, aceleracin, energa, fuerza, etc.

3.2.2. Medicin.- Es la accin de poner un valor numrico a alguna propiedad de un cuerpo, como longitud o rea. Estas propiedades son las magnitudes fsicas, que se cuantifican por comparacin con un patrn o con partes de un patrn.

Ejemplo: longitud, tiempo, temperatura, etc. 3.2.3. Unidad de medida.- Es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud fsica.

3.2.4. Sistemas de unidades.- Es un conjunto, consistente de unidades de medida.



Sistema Internacional de Unidades o SI.- Establece siete unidades bsicas con sus mltiplos y submltiplos correspondientes a siete magnitudes fundamentales.

Las magnitudes fundamentales son: Longitud (L), Masa (M), Tiempo (T), Intensidad de corriente elctrica (I), Temperatura absoluta (0K), Intensidad luminosa (J), Cantidad de materia (N). Las unidades bsicas de cada magnitud fundamental son:

L metro (m); M kilogramo (kg); T segundo (sg); I amperio (A); Kelvin (0 K); J Candela (cd); N Mol (mol)

El SI, debera ser el nico sistema de unidades pero no lo es, existen otros sistemas de unidades que todava se usan, como el Mtrico Decimal, el Cegesimal o CGS, el Natural, en este ltimo las unidades se escogen de forma que ciertas constantes fsicas valgan exactamente 1, el Tcnico de Unidades o Gravitacional, y el Ingls, por lo cual es recomendable estar familiarizado con estos otros sistemas y las tcnicas de conversin de un sistema a otro.



A las siete magnitudes fundamentales se le aade dos magnitudes complementarias: Angulo plano y Angulo slido.

La dems magnitudes que se relacionan con las fundamentales mediante frmulas, se denominan magnitudes derivadas.

Regla Ejemplo Son significativos todos los dgitos distintos de cero

2433, tiene cuatro cifras significativas

Los ceros situados entre dos cifras significativas son significativos

402, tiene tres cifras significativas

Los ceros situados a la izquierda de la primera cifra significativa no son significativos

0,0008, tiene una cifra significativa

Para nmeros mayores a 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos

1,000, tiene tres cifras significativas



3.2.5. Cifras significativas.- Son los dgitos de un nmero distintos de cero.

Notacin cientfica.- Es el modo conciso de representar un nmero utilizando potencias de base diez (10). Los nmeros se escriben como un producto: ax10n, (siendo a un nmero mayor o igual que 1 y menor o igual que 10, y n un nmero entero). Esta notacin se utiliza para poder expresar fcilmente nmeros muy grandes o muy pequeos.

Tabla 1: Denominacin del prefijo y su equivalencia.

Prefijo Smbolo Equivalencia Tera T 1012 Giga G 109 Mega M 106 Kilo K 103 Hecto H 102 Deca da 101 Deci D 10-1

Para nmeros sin coma decimal, los ceros posteriores a la ltima cifra distinta de cero pueden o no considerarse significativos. As, para el nmero 70 podramos considerar una o dos cifras significativas. Esta ambigedad se evita utilizando la notacin cientfica.

7 x 102 tiene una cifra significativa 7,0 x 102 tiene dos cifras significativas



Centi C 10-2 Mili M 10-3 Micro 10-6 Nano N 10-9 Pico P 10-12 Femto F 10-15 Atto A 10-18

Cualquier nmero seguido de ceros puede expresarse como el producto de dicho nmero multiplicado por una potencia de 10 con exponente positivo, Ej.,

5000 = 5 x 1000 = 5 x 103

400 = 4 x 100 = 4 x 102

30000 = 3 x 10000 = 3 x 10 4

Cualquier nmero decimal con parte entera nula, puede expresarse como el producto de sus cifras decimales diferentes de cero multiplicado por una potencia de 10 con exponente negativo, Ej.,

0,002 = 21000 = 210 = 2 110 = 2 10 0,05 =

= = 5 = 5 10 3.2.6. Operaciones aritmticas con cifras significativas



Suma: La suma de dos o ms medidas no debe ser ms precisa que la menos precisa de las medidas. Ejemplo: Se tienen que sumar las siguientes medidas: 2,361 m; 8,16 m y 3,1 m, matemticamente hablando, podramos sumarlas de la siguiente manera,

2,361 m + 8,16 m 3,1 m --------------

13,621 m Debemos considerar que estamos sumando medidas y la operacin anterior no es correcta, ya que no podemos asumir que en la medida 8,16 m la cifra de las milsimas sea un cero, pues en realidad no lo sabemos. La misma situacin se presenta con la medida 3,1 m qu hacer entonces?, simplemente presentar todas la medidas con el mismo grado de precisin que la menos precisa de las mismas.

2,361 m 2,361 m 2,4 m 8,160 m 8,16x m 8,2 m 3,100 m 3,1xx m 3,1 m --------------- ------------- ------------

13,621 m 13,5xx m 13,7 m

La suma de la derecha es fiable, ya que es el resultado de una suma de medidas fiables. Sin embargo, la suma de la izquierda no lo es, ya que desconocemos las cifras sealadas con x. Resta: La diferencia de dos medidas no debe ser ms precisa que la menos precisa de las mismas. Ejemplo: Dadas las siguientes medidas 56,38 cm y 5,2 cm, encontrar su diferencia.



56,4 cm - 5,2 cm -------------

51,2 cm

Producto: El producto de dos o ms medidas no debe tener ms cifras significativas que la medida que tiene el menor nmero de ellas. Ejemplo: Calcular la superficie de una pieza rectangular de 4,34 m de largo por 1,2 m de ancho.

(4,34 m)(1,2 m) = 5,208 m2 resultado 5,2 m2

Cociente: El cociente de dos medidas no debe tener ms cifras significativas que la medida que tiene el menor nmero de ellas. Ejemplo: Determinar la rapidez media de un mvil que recorre 8,825 m en 2,31 s. = , , = 3,82034 !"#$ 3,82

Potenciacin: Al elevar una medida a un exponente n, en el resultado se conservan tantas cifras significativas como tiene la medida. Ejemplo: Determinar el volumen de un cubo de 1,25 m de lado.

V = (1,25 m)3= 1,953125 m3 resultado 1,95 m3

Radicacin: Al extraer la raz de una medida, en el resultado se conservan tantas cifras significativas como tiene la medida.



Ejemplo: Una pieza cuadrada tiene una superficie de 2,38 mm2. Determinar la longitud de sus lados.

% = &2,38= 1,54272... mm resultado 1,54 mm2

Reglas de redondeo de nmeros Hemos visto en los ejemplos anteriores, la necesidad de eliminar dgitos que carecen de sentido, esto se conoce con el nombre de redondeo de nmeros, y se aplica segn las siguientes reglas: a) Si la cifra a eliminar es menor que 5, se procede a su

eliminacin sin ms. b) Si la cifra a eliminar es mayor que 5, se aumenta en una

unidad la ltima cifra retenida. c) Si la cifra a eliminar es 5, y la que le antecede es impar,

se aumenta sta en una unidad y si es par se deja como est.

Tambin se utiliza la siguiente regla: si la cifra a eliminar es menor que 5, la ltima cifra retenida se queda igual. Si la cifra a eliminar es 5 o mayor que 5 entonces se aumenta en una unidad la ltima cifra retenida. Las calculadoras al redondear utilizan este mtodo, comprubalo. Ejemplo: Redondear los siguientes nmeros a las centsimas,



2,347..............2,35 4,374..............4,37 1,775..............1,78 8,865..............8,86 6,498..............6,50 3,295..............3,3 0,073..............0,07 0,089..............0,09 0,096..............0,1 0,999..............1 0,008..............0,01 6,089..............6,09 34,3579..........34,36 2,57999..........2,58 234,878......... 234,88 0,00973......... 0,01

3.3. Clasificacin de los errores

Si la medida de una magnitud se efecta repetidas veces se obtienen generalmente diversos valores, aunque no muy distintos entre s. 3.3.1. Errores groseros, son los que afectan a las medidas que se separan notablemente del conjunto y deben desecharse de inmediato. 3.3.2. Errores tolerables, son los que perduran una vez excluidos los errores groseros de la serie de mediciones y dan razn de la diversidad de valores hallados. Pueden atribuirse a diversas causas y se las clasifica en dos categoras: 3.3.2.1. Errores sistemticos



Influyen de igual manera en todas las mediciones (de ah su nombre) y son muy difciles de localizar. No aparecen estudiando las medidas hechas y a menudo se ignoran las causas que lo produce. En general provienen de la imperfeccin de las teoras fsicas que sirven de fundamento a las experiencias o de los instrumentos empleados y de ciertas peculiaridades del observador. Actan de igual modo en todas las ocasiones que se realice una medicin, es decir sistemticamente. Se caracterizan por actuar siempre en el mismo sentido (ya sea por exceso o por defecto) y porque su valor es, o bien constante o directamente proporcional al valor de la medicin. Pueden ser de diversos orgenes, a saber: a) Errores de calibracin de los instrumentos de medida Si un ampermetro, por ejemplo, tiene su aguja corrida con respecto al cero de la escala, todas las mediciones que con l se hagan estarn afectadas de un error sistemtico igual a la diferencia entre el cero de la posicin de la aguja cuando el aparato est desconectado. Es el llamado "error de cero".

Otro ejemplo es el de un cronmetro que atrasa, en cuyo caso los tiempos ledos son menores que los reales. b) Error de lectura mnima (ELM): Cuando la expresin numrica de la medicin resulta estar entre dos marcas de la escala de la lectura del instrumento. La incerteza del valor se corrige tomando la mitad de la lectura mnima del instrumento. Ejemplo: Lectura mnima de 1/25 mm, ELM = (1/25 mm) = 0,02 mm c) Errores Personales Tratndose de observadores experimentados, se constata siempre que, cada uno tiene una manera particular de



apreciar determinado fenmeno. Por ejemplo, la demora en poner en marcha un cronmetro al comienzo de un experimento o la tendencia permanente a leer desde la izquierda (o la derecha) sobre una escala con paralaje. Es notable el hecho de que cada observador repite este error con regularidad casi mecnicamente, derivando de all el nombre de ecuacin personal con que se lo designa. Es decir, son los causados por los hbitos individuales del observador. d) Errores por Condiciones Experimentales Se originan cuando las condiciones en que se utiliza el instrumento de medida difieren de aqullas en las que fue calibrado. Por ejemplo, si una regla ha sido graduada a 15C, las longitudes que se midan con ella a 20 C estarn afectadas de un error sistemtico por defecto debido a la dilatacin. e) Errores por imperfeccin de tcnica Por ejemplo, la demora en pesar lquidos en recipientes abiertos trae aparejado la comisin de errores debido a la evaporacin. 3.3.2.2. Errores accidentales o aleatorios Tambin conocidos hoy como DESVIOS o INDETERMINACIONES, se deben a causas fortuitas y variables y sus valores estn comprendidos dentro de la aproximacin de los instrumentos. Es a stos, a los cuales se les aplica la Teora de errores. En una gama de medidas es notable observar la presencia de errores tanto por defecto como por exceso y de valor variable e impredecible, si bien los pequeos se dan en mayor nmero que los grandes. Entre ellos se pueden citar:

a) Errores de Juicio: La apreciacin a ojo, de la fraccin de divisin en una escala es slo aproximada y, por razones difciles de conocer, dos



fracciones iguales pueden ser ledas como distintas por un mismo observador.

b) Errores por Condiciones fluctuantes: Si se mide la intensidad luminosa de una fuente por comparacin con una fuente patrn, los resultados estarn afectados por variaciones en la tensin de alimentacin del patrn.

c) Errores por Definicin: Cuando se mide la distancia desde una lente hasta la imagen dada por ella sobre una pantalla, la falta de precisin en la ubicacin de la imagen produce error, lo mismo que el medir la temperatura de un lquido sin haber homogeneizado la mezcla.

Nota: Los errores a los que se ha hecho referencia son legtimos, es decir, el trabajo del experimentador que los ha cometido es aceptable. No sucede lo mismo con otro grupo de errores cuya comisin es un defecto que no puede aparecer en un buen trabajo, por ejemplo, error al leer un nmero en una escala o al anotarlo en los apuntes. Deben ser considerados, ms propiamente, errores groseros o equivocaciones. 3.4. Correccin de los errores en las mediciones Los errores sistemticos conocidos y algunos errores accidentales pueden ser eliminados mediante la aplicacin de correcciones adecuadas. As sucede, por ejemplo, con los errores de cero o los debidos a la dilatacin de una escala por aumentos de temperatura. Ello obliga a controlar cuidadosamente las condiciones de trabajo. Las correcciones, en estos casos, tienen el mismo sentido, ya que la causa que provoc el



error hizo que las mediciones fuesen siempre por exceso o siempre por defecto. No sucede lo mismo con los errores accidentales comunes, ya que ellos provocan, indiscriminadamente, lecturas por exceso y por defecto. Puesto que las causas son fortuitas, se admite que los valores de las mediciones se reparten igualmente a un lado y a otro del valor verdadero.

3.4.1. Calculo Estadstico de las Incertidumbres Como todo proceso de medicin est sujeto a incertidumbres, la manera de minimizar la incertidumbre o sea de mejorar nuestro resultado, es realizar varias mediciones. Los errores aleatorios se cuantifican por mtodos estadsticos 3.4.1.1. Promedio de las mediciones Si consideramos n mediciones de una cantidad fsica, con lecturas: ', ', . , '* el valor estimado de esta magnitud se calcula tomando el promedio, de la siguiente manera:

' = ' + ' + +'*. = '0.

esto es, sumadas todas las mediciones, se divide entre el nmero de estas mediciones, lo que nos da el promedio. Generalmente en las prcticas de laboratorio de fsica, es costumbre tomar cinco (5) mediciones de la magnitud con la que estamos experimentando y la dividimos entre el nmero de estas, o sea cinco (5).



3.4.1.2. Desviacin Estndar La diferencia de cada medida respecto a ' se llama desviacin. El grado de dispersin de la medicin, estadsticamente, se llama desviacin estndar 1 y se calcula de la siguiente manera:

2 = 345567845578845597* = 3 455:79:;6*

En el tratamiento de los errores experimentales, estos se consideran de dos tipos: absolutos y relativos.

Error absoluto: Es el resultado de la suma de los errores sistemticos y aleatorios,



La medida se expresa como:

? = '



Q = QSTNN U + TOOP U

Si, Z resulta de una potenciacin: Q = VN* , entonces

Q = V4N7* , Q = . WN N X Q

Luego, la expresin para la medida indirecta, en cualquiera de los casos anteriores, ser: Q = Q + Q 4. Montaje y Procedimiento: Fig.1 Montaje de los instrumentos que se usan en el experimento. [RV]

4.1 Montaje 4.1.1 En una base trpode, ajustamos una varilla de 50 cm.



4.1.2 En la varilla vertical, colocamos una nuez, en la cual ajustamos una varilla de 20 cm., en forma horizontal. 4.1.3 Amarramos una cuerda, a la varilla horizontal y en el extremo inferior de la cuerda colocamos una esfera metlica

4.2 Procedimiento En el siguiente procedimiento, se van a realizar mediciones Directas e Indirectas, en las cuales se aplicar, la Teora de Errores, para encontrar el valor ms probable con su error estndar:

? = ?P ? A.- Mediciones Directas a) Medicin del tiempo t: Con un cronmetro o reloj, medimos el tiempo en segundos, que transcurre para cinco oscilaciones completas del pndulo, repetimos las medidas cinco veces y anotamos los datos en la Tabla 2. b) Medicin de longitud l Con una regla, graduada en milmetros, medimos la longitud del largo de una mica, (podemos utilizar el DNI) repetimos la misma medicin cinco veces y anotamos los datos en la Tabla 3. c) Medicin de masa M: Con una balanza, medimos la masa de diez cucharadas de la arena del tarro, repitiendo la medicin por cinco veces,



cada vez que medimos devolvemos la arena al tarro y anotamos los datos en la Tabla 4.

B.- Mediciones Indirectas a) Determinacin del valor de : Con el Vernier, medimos el dimetro de la pesa cilndrica y la longitud de su circunferencia, con la cinta mtrica, repetimos las mediciones por cinco veces y anotamos los datos en la Tabla 5.

b) Clculo de la densidad (Y): Con el Vernier, medimos el largo y ancho de la mica, con un micrmetro medimos el espesor de la misma y en la balanza medimos su masa, repetimos las mediciones por cinco veces y anotamos los datos en la Tabla 6.

5. Resultados

5 .1 Datos

Tabla 2: Mediciones del tiempo para las oscilaciones del pndulo. No. Medida

1 2 3 4 5

t (sg) 1.28 1.28 1 1.06 1.22 Para simplificar el experimento, mantenemos constante la longitud del Pndulo: l = 25 cm



Tabla 3: Mediciones de la longitud de una mica No. Medida

1 2 3 4 5

l (mm) 85 86 85 86 86

Tabla 4: Mediciones de la masa de arena No. Medida

1 2 3 4 5

m (gr) 146.80 224.80 201.71 194.2 214.5

Tabla 5: Mediciones en la pesa cilndrica No. Medida

1 2 3 4 5

d (mm)

32.1 31.8 31.85 31.95 31.9

c (mm)

100.85 99.20 100.06 100.37 100.21

d: dimetro c: longitud de la circunferencia

Tabla 6: Mediciones en la mica No. Medida

1 2 3 4 5

l (mm)

85.65 85.8 85.5 85.55 85.6



a (mm)

51.85 53.55 53.9 53.85 53.8

e (mm)

0.14 0,13 0.135 0.15 0.135

m ( gr) 15 16 15.5 15.5 15

l: largo a: ancho e: espesor m: masa

Luego de tomadas las medidas y colocarlas en las Tablas (Datos tabulados) se procede a realizar los clculos con las operaciones indicadas en las relaciones matemticas de la Teora de Errores para indicar los valores probables con sus errores.

5.2 Grficos:

1.28 1.28

11.06

1.22

PRUEBA 1 PUEBA 2 PRUEBA 3 PRUEBA 4 PRUEBA 5

Medicin del Tiempo

T(sg)



85

86

85

86 86


Medicin de Longitud

L(mm)

146.8

224.8210.71

194.2214.5


Mediacin de Masa

M (gr)



5.2.1 Hacer un grfico del periodo de oscilacin del pndulo en funcin de la longitud l

32.1 31.8 31.85 31.95 31.9

100.85 99.9 100.05 100.37 100.2168


Determinacin del valor de

D (mm) C (mm)

85.65 85.8 85.5 85.55 85.6

51.85 53.55 53.9 53.85 53.8

0.14 0.13 0.135 0.15 0.135

15 16 15.5 15.5 15


Clculo de la densidad

L (mm) A (mm) E (mm) M (gr)



Desarrollando formulas:

a) Tiempo Promedio

' = ' + ' + +'*. = '0. ' = 1.28 + 1.28 + 1 + 1.06 + 1.225 ' = 1.17

Sigma

2 = S4' '7 + 4' '7 + + 4' '*7. 1 = S 4' '07*0\. 1

2 = 0.12 Error Absoluto

1.28 1.28

11.06

1.22

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Prueba 1 Pueba 2 Prueba 3 Prueba 4 Prueba 5

I (25 cm)

I (25 cm)



' = 2. ' = 0.06

Error Relativo




' = 2. ' = 0.25

Error Relativo



' = 196.32 Sigma

2 = S4' '7 + 4' '7 + + 4' '*7. 1= S 4' '07*0\. 1


' = 2. ' = 12

Error Relativo



184.32 ? 208.32 d) Determinacin del valor de

En primer lugar determinamos el valor de en cada prueba

Prueba 1 2 3 4 5 Valor de 3.1417 3.1415 3.1412 3.1414 3.1415

Promedio

' = ' + ' + +'*. = '0. ' = 3.1417 + 3.1415 + 3.1412 + 3.1414 + 3.14155

' = 3.1415 Sigma

2 = S4' '7 + 4' '7 + + 4' '*7. 1 = S 4' '07*0\. 1

2 = 0.012

Error Absoluto

' = 2. ' = 0.06



Error Relativo



Sigma

2 = S4' '7 + 4' '7 + + 4' '*7. 1= S 4' '07*0\. 1

2 = 0.00103

Error Absoluto

' = 2.. ' = 0.00046

Error Relativo



0.02354 ? 0.02446

6. Evaluacin:

6.1 Calcular el valor probable y su desviacin estndar del tiempo empleado por las oscilaciones del pndulo. Cul es su error absoluto?

Valor probable ? = ?P ? ? = ?P + ? = 1.168 + 0.053 = 1.221 ? = ?P ? = 1.168 0.053 = 1.115

Desviacin estndar

2 = S4' '7 + 4' '7 + + 4' '*7. 1= S 4' '07*0\. 1

2 = 0.12

6.2 Mida el largo de la mica y calcule su desviacin estndar de la media

Cul es su error relativo?



Desviacin estndar

2 = S4' '7 + 4' '7 + + 4' '*7. 1= S 4' '07*0\. 1

2 = 0.56 Error relativo



Rango

3.08846 ? 3.19446 6.5 Cul es el valor probable de la densidad de la lmina de mica, la desviacin estndar del valor, su error absoluto y su error relativo?

Desviacin estndar del valor

2 = S4' '7 + 4' '7 + + 4' '*7. 1= S 4' '07*0\. 1

2 = 0.00103

Error Absoluto

' = 2.. ' = 0.00046

Error Relativo



Valor Probable

? = ?P ? ? = ?P + ? = 0.024 + 0.00046 = 0.02446 ? = ?P ? = 0.024 0.00046 = 0.02354

7. Conclusiones:

Despus de la investigacin tomada y al hacer los clculos correspondientes llegamos a las conclusiones de que mediante las mediciones podemos calcular aproximadamente los valores especficos de ciertos elementos que nos podrn servir en un futuro no muy lejano.

8. Bibliografa:

http://labmediciones.wordpress.com/conclusiones-y-recomendaciones/

http://www.monografias.com/trabajos15/la-estadistica/la-estadistica.shtml

http://html.rincondelvago.com/mediciones-y-errores.html http://www.tareasya.com.mx/index.php/tareas-

ya/secundaria/introduccion-a-la-fisica-y-quimica/metodo-cientifico/2057-Importancia-de-la-medici%C3%B3n-y-la-experimentaci%C3%B3n.html

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