ESPOCHESPOCHESPOCHESPOCH Facultad de Mecnica Nombre: SOLUCISOLUCISOLUCISOLUCINNNN CONTROL AUTOMATICO Escuela de Ingeniera Automotriz Semestre: Octavo Fecha: Evaluacin 1 1. La ecuacin diferencial que modela el sistema mostrado en la figura usando valores particulares para m, B, K, y f es la siguiente:

u(t)2ydtdy

3dtyd2

2

=++

Donde u(t) es la funcin escaln unitario. Determinar la solucin de esta ecuacin diferencial utilizando la Transformada de Laplace considerando condiciones iniciales nulas (3 puntos)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacin diferencial tenemos:

s

12Y(s)y(0)]3[sY(s)(0)y'sy(0)Y(s)s2 =++

Recordando que tenemos condiciones iniciales nulas: y(0)= 0, y(0) = 0

2)3ss(s

1Y(s)

2 ++=

Y descomponemos en fracciones parciales:

2s

a

1s

a

s

a

2)1)(ss(s

1Y(s) 321

++

++=

++=

2

1

2)1)(s(s

1a

0s

1 =++

=

=

12)s(s

1a

s

2 =+

=

= 1

21

2

=

+=

=s

31)s(s

1a

2s1s

1-

s2)1)(ss(s

1Y(s) 2

121

++

++=

++=

Cuya transformada Inversa de Laplace es:

2tt e2

1e

2

1y(t) +=

2. El controlador automtico del nivel de agua mediante un flotador se us en Oriente Medio para un reloj de agua. El reloj de agua se us desde antes de Cristo hasta el siglo XVII. Analcese la operacin de reloj de agua y establzcase cmo el flotador proporciona un control con realimentacin que conserva la exactitud del reloj. Dibjese un diagrama de bloques del sistema con realimentacin. (3 puntos)

3. Hallar la Transformada de Laplace de la funcin f(t)= e - t sen t. (3 puntos)

+

=

0

1)t(s

0

stt dtsen(t)edtsen(t)ee

=

++

+=

+

++

0

1)t(s1)t(s

0

1)t(s dtcos(t)ee

dtsen(t)e1

1)1()( 0 ss

tsen

+

+++

+

++

+=

0

1)t(s

2

0

2

1)t(s

0

1)t(s

0

1)t(s dtsen(t)e1)(s

1

1)(s

ecos(t)

1)(s

esen(t)dtsen(t)e

+

+

+

+=

0

1)t(s

220

1)t(s dtsen(t)e1)(s

1

1)(sdtsen(t)e

1

20

1)t(s

20

1)t(s

1)(sdtsen(t)e

1)(s

1dtsen(t)e

+=

++

+

+ 1

20

1)t(s

2 1)(sdtsen(t)e

1)(s

1

+=

++

+ 11

20

1)t(s

2

2

1)(sdtsen(t)e

1)(s

11)(s

+=

+

++

+ 1

11)(sdtsen(t)e

20

1)t(s

++=

+ 1

4. La figura es un diagrama esquemtico de un sistema de control de nivel de lquido. Aqu el controlador automtico mantiene el nivel de lquido comparando el nivel real con un nivel deseado y corrigiendo cualquier error mediante un ajuste de la apertura de la vlvula neumtica. (a) Dibuje el diagrama de bloques del sistema de control. (b) Dibuje el diagrama de bloques correspondiente para un sistema de control de nivel de lquido operado por personas. ( 3 puntos)

a)

b)