SOLIDIFICACION
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SOLIDIFICACION Ing° RIGOBERTO SANDOVAL S. Profesor del Curso Universidad Nacional de Ingeniería Escuela Académico Profesional de Metalurgia Ciclo 2005-2 U.N.I.
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SOLIDIFICACIONSOLIDIFICACION
Ing° RIGOBERTO SANDOVAL S. Profesor del Curso
Universidad Nacional de IngenieríaEscuela Académico Profesional de Metalurgia
Ciclo 2005-2
U.N
.I.
2
SYLLABUS DEL CURSO
I.- CODIGO: ME-322 HORAS : T 3 horas
P 3 horas
CREDITOS: 4 Créditos
II.- PRE-REQUISITO:
FISICO QUIMICA METALURGICA ME-312
III.-OBJETIVOS.- Proporcionar el fundamento teórico del proceso de solidificación, para su posterior aplicación en la manufactura de piezas fundidas de los principales metales y aleaciones, minimizando la cantidad de piezas defectuosas.
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IV.- SYLLABUS.- Comprende la aplicación de las ciencias básicas, metalurgia extractiva y física, con énfasis en la solidificación de metales y aleaciones.
V.- BIBLIOGRAFIA:
a) Libros de Texto
• SOLIDIFICATION PROCESSING by Merton C. FLEMINGS.
• PRINCIPLES OF SOLIDIFICATION by Bruce CHALMERS.
• INTRODUCTION TO THE SOLIDIFICATION OF METALS by W. C. WINEGARD.
• CASTINGS by John CAMPBELL.
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b) Libros de Consulta
• METALS HANDBOOK, Ninth Edition, Vol. 15: CASTINGS by A. F. S.
• CAST METALS HANDBOOK by A. F. S.
• TRANSPORT PHENOMENA IN METALLURGY by G.H. GEIGER and D.R. POIRIER
• STEEL FOUNDRY PRACTICE by P. BIDULYA.
• DIRECTIONAL SOLIDIFICATION OF STEEL CASTING by R. WLODAWER.
• FUNDAMENTOS DE LA FUNDICION DE METALES por R. FLINN (Traducción Ing° R. SANDOVAL)
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VI.- PROGRAMA ANALITICO
CAPITULO 1:
TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA
SOLIDIFICACION
• Mecanismos de transferencia de calor
• Ley de Fourier y conductividad térmica
• Fusión y crecimiento de un cristal simple
• Solidificación de piezas y lingotes: Moldes de Arena - Moldes Metálicos
• Colada continua
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CAPITULO 2
SOLIDIFICACION DE ALEACIONES
• Nucleación: Homogénea, Heterogénea y Dinámica
• Sobreenfriamiento constitucional
• Crecimiento: Metales Puros y Aleaciones
• Resistencia a la alimentación central (CFR)
• Velocidad de solidificación
• Fenómenos producidos durante la solidificación
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CAPITULO 3
FLUIDEZ DE LOS METALES
• Generalidades
• Medición de la fluidez
• El espiral de fluidez
• Curvas típicas de fluidez
• Efecto de la composición química
• Aplicación de los datos de fluidez a problemas de fundición
• Cálculo del liquidus
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CAPITULO 4
RELACIONES TENSION - DEFORMACION
DURANTE LA SOLIDIFICACION
• Relaciones tensión - deformación como función de la temperatura
• Rajaduras en caliente
• Rajaduras, esfuerzos residuales y alivio de tensiones
• Medición de esfuerzos residuales
• Relación entre rajaduras en caliente y esfuerzos residuales
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CAPITULO 5
GASES EN METALES
• Gases en metales: Hidrógeno - Nitrógeno
• Gases complejos en el acero
• Gases complejos en las aleaciones de cobre
• Control de gases
• Fusión al vacío
• Inclusiones
• Efectos de inoculación
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CAPITULO 6
DISEÑO DE RISERS
• Generalidades
• Tipos de risers
• Métodos de diseño de risers:
- Aleaciones en general:
- Aceros al Carbono:
- Fundiciones:
- Aleaciones de Cobre
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CAPITULO 7
DISEÑO DEL SISTEMA DE ALIMENTACION
• Ley de Continuidad - Ecuación de Bernoulli
• Tipos de sistemas de alimentación
• Bebederos - Canales de colada - Ataques
• Altura efectiva de llenado
• Area de choque
• Sistemas a presión - Sistemas sin presión
• Diseños de sistemas de alimentación de aleaciones
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CAPITULO 1
TRANSFERENCIA DE DE CALOR EN LA SOLIDIFICACION
En el procesamiento de materiales, una situación casi invariable produce la necesidad de un cambio en la temperatura de un material, como, por ejemplo, en el proceso del tratamiento térmico.
El estudiante debe conocer la importancia de estar apto para calcular el calor que se produce y usa en tal proceso, haciendo un balance de calor.
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Es deseable tener una comprensión de como el calor se transfiere dentro y fuera del proceso metalúrgico, debido a que muchas operaciones tienen lugar en tal forma que la velocidad de transferencia de energía se torna en el factor que la controla en elevar y disminuir la temperatura.
Usualmente consideramos esta energía, como energía térmica total, hablaremos de transferencia de calor como el factor que la controla.
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1. TRANSFERENCIA DE CALOR
CONVECCION.- Relacionada con el transporte de átomos o moléculas, en los fluidos (líquidos y gases).
CONDUCCION.- Es la transferencia de energía térmica sin transporte de átomos ni moléculas.
RADIACION.- O calor radiante, se compone de ondas electromagnéticas, que pueden viajar en el vacío.
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CONVECCION
Es antes un proceso que implica movimiento de masa de fluidos, que un mecanismo real de transferencia de calor.
A este respecto, para esta distinción es mejor hablar de “transferencia de calor con convección” antes de “transferencia de calor por convección”.
El término convección implica, movimiento de fluido y los mecanismos de transferencia de calor en cualquier parte dentro del fluido, son solamente conducción y radiación.
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TIPOS DE CONVECCION:
• Convección Forzada.- Es la que se origina cuando una bomba u otro dispositivo mecánico produce el movimiento del fluido.
• Convección Libre o Natural.- Es la que se origina cuando un fluido se mueve por la diferencia de densidades. De este modo, cuando un radiador calienta el aire que sube, desplazando aire frío en la parte superior de un cuarto, el movimiento del fluido es por convección natural.
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CONDUCCION
Es la transferencia de calor por movimiento molecular que ocurre entre 2 partes del mismo cuerpo, o entre 2 cuerpos que están en contacto físico uno con otro.
En fluidos, el calor es conducido por colisiones moleculares; en sólidos, el calor es conducido ya sea por ondas de la red de la estructura cristalina en los no conductores o por una combinación de ondas de la red con el impulso de los electrones de conducción en los materiales conductores.
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La teoría macroscópica de conducción, es simplemente la Ley de Fourier:
donde:
qy = flujo de calor en la dirección-y,
T/ y = gradiente de temp. en la dirección-y,
k = conductividad térmica.
y
Tkq y
(1.1)
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RADIACION
La naturaleza de la transferencia de calor por radiación es completamente diferente de aquella de la conducción, y en consecuencia la ecuación básica para la velocidad de transferencia de calor por radiación, no es de forma similar a la Ley de Fourier.
Aquí, nosotros estableceremos brevemente que la radiación térmica es parte del espectro electromagnético. El flujo de energía emitido por un radiador ideal, es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta.
20
donde:
eb = poder emisivo (un término especial para la
energía térmica transferida por radiación),
= constante de Stefan-Boltzmann.
El proceso de conducción y radiación frecuentemente ocurre simultáneamente, aún dentro de ciertos medios.
4Teb (1.2)
21
Cuando un fluido en movimiento a una temperatura esta en contacto con un sólido a una diferente temperatura, intercambia calor entre el sólido y el fluido por conducción a una velocidad dada por la Ley de Fourier, donde k es la conductividad del fluido, y T/ y es el gradiente de temperatura en el fluido normal a las paredes en la interfase fluido-sólido.
Si los detalles de la convección se conocen en una situación dada, entonces podemos determinar la distribución de temperaturas dentro del fluido, y calcular el flujo de calor en las paredes.
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En muchos casos, dicho análisis detallado no esta disponible; luego es conveniente definir el coeficiente de transferencia de calor, h, por la ecuación
donde:
TS = temperatura de la superficie,
Tf = usualmente tomada como cierta temperatu-
ra del fluido principal, y
q0 = flujo de calor en la pared.
fSfS TT
yTk
TT
qh
00 )/((1.3)
162
23
Las unidades de h, que es una función del fluido y el modelo del flujo del sistema, son BTU/hr-pie2 °F.
Mucho de la investigación sobre transferencia de calor ha sido dedicada a la determinación de h, en vista de que este ingresa en todos los problemas de transferencia de calor con convección.
186
24
2. LEY DE FOURIER Y
CONDUCTIVIDAD TERMICA
Considerar una plancha de material sólido de área A limitado por dos grandes superficies paralelas, apartadas una distancia Y (Figura 1.1). Inicialmente, el material sólido esta a una temperatura uniforme T0.
En cierto instante, la superficie inferior es repentinamente elevada a una temperatura T1, la cual se mantiene.
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Figura 1.1.- Distribución de temperaturas en una plancha sólida, para una condición de estado-estable.
Tt = 0Superficie inferior rá-pidamente aumenta su temperatura a T1
Pequeño t Largo tDistribución de temperaturas de estado-estable
T
Y
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El material bajo la superficie calentada se vuelve caliente, y el calor, gradualmente, se transfiere a través del sólido hacia la superficie fría, la cual se mantiene en T0.
Se obtiene una distribución de temperaturas de estado-estable, cuando se requiere una constante velocidad de flujo de calor a través de la plancha, para mantener la diferencia de temperatura T1 – T0.
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Para diferencias de temperatura muy pequeñas, la velocidad de flujo de calor por unidad de área q, es proporcional a la diferencia de temperatura e inversamente proporcional a la distancia entre las superficies; de aquí:
La Ec. (1.4), también se aplica a líquidos y gases, sin convección o transferencia de calor por radiación, permitido que tenga lugar en el fluido.
Y
TTkq 01
(1.4)
28
Como se ha establecido, la diferencia de temperatura debe ser lo suficientemente pequeña, debido a que la conductividad térmica depende no solamente sobre el material específico, sino también sobre la temperatura.
La Ec. (1.4), es por lo tanto válida para valores fijados de T1 y T0, para todos los valores de Y.
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A medida que la diferencia de temperatura y la distancia de separación se aproximan a cero, la forma diferencial de la Ley de Fourier de conducción de calor, origina:
El flujo de calor por unidad de área (flujo de calor) en la dirección-y es proporcional al gradiente de temperatura en la dirección-y.
y
Tkq y
(1.5)
30
Para una situación tri-dimensional en la que la temperatura varía en todas las 3 direcciones, nosotros escribiremos
Estas 3 relaciones forman los componentes de la simple ecuación.
z
Tkq
y
Tkq
x
Tkq zyx
;;
Tkq (1.7)
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Las unidades involucradas en la Ley de Fourier de conducción de calor, son:
* 1 cal/seg-cm °C = 241.9 BTU/hr-pie °F
Unidades de ingeniería Unidades científicas*qx, qy,qz
Tx, y, zk
BTU/hr-pie2
°F o °RpieBTU/hr-pie °F
cal/seg-cm2
°C o °Kcmcal/seg-cm °C
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La conductividad térmica de un material refleja la facilidad relativa o dificultad de la transferencia de energía a través del material. Este, a su vez, depende sobre el enlace y estructura del material.
Cuando consideramos la conductividad térmica de la mayoría de materiales usados en ingeniería, tener presente que la efectiva conductividad térmica depende sobre la interacción entre las intrínsecas conductividades térmicas de las fases presentes y el modo de transferencia de energía entre ellos.
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3. FUSION Y CRECIMIENTO DE UN CRISTAL SIMPLE
Para fines experimentales, particularmente en estudios sobre solidificaciones y deformaciones plásticas, es preferible el uso de cristales simples y, con frecuencia, cristales simples con orientaciones como las que tienen ciertos planos cristalográficos, con una relación definida hacia el eje del modelo.
La producción de cristales simples no presenta dificultad, pero la técnica moderna requiere, algunas veces de un laboratorio particular.
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Describiremos el crecimiento de un cristal simple a partir de su fusión; sin embargo un cristal simple también puede producirse y fomentar su crecimiento por el vapor que produce la solución líquida y el reacomodo de los átomos en el sólido.
El cristal simple, es un ejemplar que crece únicamente de un núcleo, por lo que ninguna parte del mismo es > 5° en una orientación intermedia. Es conveniente también definir al cristal simple como un ejemplar circundado únicamente por superficies externas; esta clara diferenciación es el caso de un cristal grande rodeado de granos limítrofes en una masa policristalina.
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Técnicas para el Crecimiento de Cristales
• Técnica Chalmers de recipiente horizontal (o método Bridgman de recipiente vertical).
• Proceso Czochralski que no usa recipiente.
• Zona de flotación que no usa recipiente.
La producción de cristales simples es fácil, re-lativamente, una vez obtenida la semilla del cristal, pero, a veces, es difícil producir esta semilla inicial.
36Figura 1.2.- Métodos de crecimiento de cristales.
Técnica Chalmers
Proceso Czochralski Zona de Flotación
Espirales de calentamiento
Cristal
Fuente de gas inerte o vacío
Espirales de calentamiento
Espirales de calentamiento
Fuente de gas inerte o vacío
Fuente de gas inerte o vacío
Cristal “Zona de Flo-tación”, liquido
Retiro y rota-ción del cristal
Sólido Líquido
Líquido
1 – 10 mm/min
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La primera categoría de técnicas de crecimiento de cristales se denomina solidificación normal.
Un método común, usado de solidificación normal para metales de bajo punto de fusión, es el crecimiento en una nave horizontal. Aquí, una carga de metal es contenida dentro de un crisol largo de pequeña sección transversal, abierto en su superficie.
Una semilla de cristal puede colocarse en un extremo de la nave, para obtener un cristal de orientación predeterminada.
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La carga y parte de la semilla son primero fundidos en un horno adecuado.
Luego, el horno se retira lentamente de la nave, a fin de que proceda el crecimiento de la semilla; alternativamente, la nave es retirada lentamente del horno y la interfase líquido-sólido se mueve hasta que toda la carga este sólida.
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1) TECNICA CHALMERSConsiste en fundir el metal en un recipiente
horizontal y después enfriarlo progresivamente desde un extremo.
Figura 1.3.- Aparato simple para el crecimiento de cristales, según la técnica Chalmers.
MetalRecipienteHorno móvil
Vía
Método usado en metales de bajo punto de fusión
40
• Recipiente de carbón o grafito (con una muesca).
• La fusión se efectúa con movimientos del horno, sobre el metal, luego se retira lentamente el horno hacia la derecha, iniciándose la solidificación desde el extremo izquierdo del recipiente y continua a una velocidad de 1 – 10 mm/min.
• Si hay problema de oxidación, el recipiente se puede encerrar en un tubo de cristal al vacío o en una atmósfera de gas inerte; usando tubos “Pyrex”, de vidrio “Vycor”, o de sílice puro, dependiendo esto de la temperatura.
41
• El avance de la interfase sólido/líquida puede observarse constantemente, aplicando esta técnica hasta con metales de alto punto de fusión, tales como el Cu; pero con los que se tendrá frecuentes problemas de oxidación, neutralizando esto con el empleo de un rápido calentamiento, como el de inducción y adecuadas atmósferas y recipientes.
El simple enfriamiento del metal, iniciado por uno de los extremos, no asegura la producción de un cristal simple, siendo necesaria la aplicación de una o dos técnicas especiales para obtener buenos resultados.
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Métodos de producir una Semilla de Cristal
• Técnica Chalmers.
• Abanico.
• Crecimiento Preferente.
• Estrangulamiento
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Técnica Chalmers.- Una técnica aplicable que tienda a producir únicamente un núcleo, se ilustra en la Figura 1.4. Es necesario maquinar en punta el recipiente, para que el metal se congregue en ese extremo al ser vaciado.
Figura 1.4.- Aparato simple para el crecimiento de cristales, según la técnica Chalmers.
Metal líquidoRecipiente
44
Para metales de bajo punto de fusión y baja tensión superficial, se aplica la técnica de forzar el metal, después de su fusión, jalándolo con un vidrio adecuado o con una varilla de grafito. En todo caso, puesto que el primer metal enfriado en ese punto, hace posible que se forme un núcleo en ese extremo.
Al manejar metales con alto punto de fusión o aquellos que tienen alta tensión superficial es generalmente necesario recurrir a un método que produzca cristales en los cuales un cristal crezca a expensas de otros.
45
Un cristal tenderá a crecer a expensas de otros si la configuración de la interfase es factible de control. Suponiendo que varios cristales han nucleado en el primer metal que solidificó y que los cristales A-E crecen paralelos al flujo de calor, como se indica en la Figura 1.5.
Figura 1.5.- Modelo de crecimiento con interfase recta.
Recipiente
LIQUIDO
ABCDE
46
Porque el crecimiento siempre tiende a ser perpendicular a la interfase sólido/líquida y los linderos de los granos, entre los cristales continúan siendo paralelos al eje del ejemplar, hasta en tanto que la interfase permanezca derecha.
Abanico.- Si por cualquier contingencia del apara-to, el metal absorbe la mayor cantidad del calor y la forma de la interfase cambia en dirección al líqui-do, los linderos, entre los cristales, se extenderán en forma de abanico, hacia los lados del recipiente, como se ve en la Figura 1.6. En este caso, el cristal C puede ser el que eventualmente permanezca.
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Para esta técnica de trabajo, es necesario que el recipiente tome la menor cantidad posible de calor, en relación con el que toma el metal.
Esto es posible usando moldes forrados con hojalata estañada y que el molde sea de materiales de baja conductividad, tales como el nitrato de boro; en ciertos casos, es conveniente aislar los lados y el fondo del molde.
Figura 1.6.- Modelo de crecimiento con interfase curva.
Recipiente
LIQUIDO
AB
E
CD
48
Los métodos mencionados se aplican, en el supuesto de que los linderos crezcan siempre perpendiculares a la interfase, lo que no siempre sucede, porque ciertos cristales son más accesibles a la orientación cristalográfica y crecimiento, en preferencia sobre otros, aún cuando esperen su próxima desaparición.
Con referencia a la Figura 1.6 es muy frecuente que los linderos, entre cristales B y C no se interrumpen, sino que continúan con el ejemplar.
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Crecimiento preferente.- Se muestran frecuente-mente, durante la solidificación en alta velocidad, aunque cuando la velocidad de crecimiento es baja y el gradiente de temperatura sube, para evitar el sobreenfriamiento, las oportunidades para producir cristales simples son razonablemente buenas.
Cuando el metal exhibe preferencia efectiva en su crecimiento, hacia cierta dirección, esto es favo-rable, para producir semillas de cristales, que produzcan ejemplares grandes y para que los demás granos se eliminen, como lo indica la Figura 1.7.
50
En tal caso, el cristal C pudo tener preferencia, si la configuración de la interfase fuese el único factor que controlara el crecimiento; el cristal D fue cristalográficamente más favorablemente orientado, por lo tanto, creció a expensas de los otros.
Figura 1.7.- Crecimiento de un cristal D preferido sobre otros.
Recipiente
LIQUIDO
AB
E
CD
51
Estrangulamiento.- Otro método usado, a menudo, para asegurar el desarrollo de un cristal simple, es la técnica de estrangulamiento, ilustrada en la Figura 1.8, en la que se construye el recipiente con una parte estrecha, que estrangule el paso de cristales; permitiéndolo sólo a uno.
Figura 1.8.- Unicamente pasa un cristal a través del estrangulador.
Recipiente
LIQUIDO
A B
E
CD
52
Cuando el ejemplar producido por cualquiera de los métodos descritos contiene una sección en donde sólo existe un cristal, es probable que dicho cristal sea removido por sus vecinos, antes de poder usarlo como semilla.
En la Figura 1.8, por ejemplo, se ve un ejemplar en corte, mostrando la parte estranguladora, que es la que separa la semilla (lado derecho) de una sección policristalina. El cristal simple es fácilmente deformable, aunque debe manejarse suavemente, sin hacerles cortes bruscos con herramientas dentadas.
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Crecimiento de la Semilla
Una vez obtenida la semilla del cristal, el crecimiento del cristal simple, procedente de la semilla, es relativamente fácil. La semilla se coloca en un extremo del recipiente, llenando a éste con metal, tal como se ve en la Figura 1.9.
Figura 1.9.- Incorporación del metal agregado, a la semilla del cristal.
Recipiente
Metal derelleno
Semillaen el
sólido
54
La fuente de calor (horno) se coloca sobre la parte del recipiente que contiene el metal agregado; al fundirse éste, el horno se mueve lentamente hacia la semilla, hasta que se funde el extremo de la misma semilla de cristal, uniéndose al metal que se agregó y que ya está fundido.
Si la tensión superficial del metal es muy alta o se forma una capa de óxido, será necesario pudelar el líquido con varillas de cristal o grafito para ayu-dar a consumir lo incorporado. Luego, invertimos el movimiento del horno para solidificar la semilla a una velocidad de 1 – 10 mm/min.
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a) Técnica Bridgman
Técnica semejante a la anterior, con la diferen-cia de que el horno y el recipiente están en posición vertical y abierto en su superficie, Figura 1.10.
En una leve modificación de estas técnicas, ni el horno ni la nave se mueven. La carga se funde y equilibra en un horno construido, para que un ex-tremo del horno esté, mucho más frío que el otro extremo (gradiente de temperatura del horno). Se mantiene constante el gradiente de temperatura en el horno y el crecimiento de cristales se obtiene bajando lentamente la temperatura total del horno.
56
Figura 1.10.- Aparato simple para el creci-miento de cristales por la técnica Bridgman.
Tensor para mover el rotor
Interior delmolde
Bobinatérmica
Moldeseccionado
Grapa
57
Ventajas:
• Su corte transversal puede hacerse a escuadra, rec-tangular o circular, el cual se determina por la for-mación del molde, el que, seccionado, debe tener la longitud adecuada para hacer una buena cabeza con el metal y con ello el ejemplar pueda producir el sonido peculiar de la porosidad, cuando ella se produzca.
• La semilla del cristal, en caso de usarla, se ajustará al molde lo más exacto posible para evitar escurri-mientos entre la semilla y el recipiente. Con moldes bien maquinados y del largo adecuado se pueden producir, con este método, cristales muy delgados.
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Desventajas:
• La interfase sólido/líquido no es visible durante la solidificación. Esto puede parcialmente resolverse colocando termocuplas en el molde, para medir la temperatura y, por ende, determinar la posición de la interfase.
• El problema principal, al usar este método, por lo tanto, es lo difícil de hacer crecer cristales con una orientación controlada por la dificultad de la colocación de la semilla.
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2) TECNICA CZOCHRALSKI
Usada ampliamente para el crecimiento de cristales simples de silicio, germanio y no metálicos, es la técnica de arrastrar el cristal o Czochralski.
En este caso, el material de la carga se coloca en un crisol y se funde. Una semilla de cristal se une a una barra vertical de arrastre, bajándola hasta que toque el baño, dejando hasta que alcance el equilibrio térmico y luego se eleva lentamente de modo que proceda la solidificación desde la semilla de cristal.
60
Figura 1.11.- Caracte-rísticas principales del aparato Czochralski para el crecimiento de cristales.
Bobinatérmica
Recipiente
Metal líquido
Semilla
Porta semillaMovimientode la semilla
Interfasesólido/líquido
61
El cristal se rota lentamente a medida que se arrastra y su diámetro se controla ajustando la velo-cidad de arrastre y/o la entrada de calor al baño.Si se dispone de una semilla de cristal, el método Czochralski puede usarse para producir cristales simples.
La Figura 1.11, muestra las principales caracte-rísticas de la técnica, en la que una semilla de cris-tal, se hace descender al interior de un recipiente que contiene metal líquido, y después se retira hacia arriba; de modo que se produzca el proceso del crecimiento de la semilla hasta el metal líquido.
62
Ventaja:
• La interfase sólido/líquido no hace contacto con el recipiente y, por lo tanto, no hay nada que estorbe las expansiones y contracciones del metal.
Desventaja:
• La sección transversal del ejemplar exhibe comúnmente variaciones, a menos que se mantenga un buen control de la velocidad, al retirar la semilla lo mismo que de la temperatura del baño.
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3) ZONA DE FLOTACION
En el crecimiento de cristales simples, no es necesario que se funda la carga completa.
Para algunos propósitos, es deseable fundir inicialmente solo una porción de la carga y mover esta zona fundida lentamente a través de la carga (zona de fusión y zona de solidificación).
Muchos tipos de fuentes de calor son usados para la zona de fusión, que incluyen inducción, resistencia, bombardeo electrónico y rayos láser.
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• La zona es movida ya sea por movimiento mecánico de la fuente de potencia con respecto al cristal o viceversa.
• La zona de fusión se hace con o sin crisol. El último tipo, zona de fusión sin crisol, o flotación de la zona de fusión, es ampliamente usada para materiales reactivos y de alto punto de fusión.
• La zona de fusión es mantenida en su lugar por fuerzas de tensión superficial, a veces ayudada por un campo magnético.
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OBJETIVOS BASICOS DEL FLUJO DE CALOR DE TODAS LAS TECNICAS DE CRECIMIENTO DE CRISTALES:
• Obtener un gradiente térmico a través de la interfase líquido-sólido, que puede mantenerse en equilibrio (esto es, estable sin movimiento de la interfase), y
• Posteriormente, alterar o mover este gradiente, de tal modo que la interfase líquido-sólido se mueva a una velocidad controlada.
66
Balance calorífico en una interfase planar líquido-sólido en el crecimiento de cristales:
donde:
kS = Conductividad térmica del metal sólido
kL = Conductividad térmica del metal líquido
GS = Gradiente de temperatura en el sólido en la interfase líquido-sólido
GL = Gradiente de temperatura en el líquido en la interfase líquido-sólido
R = Velocidad de crecimiento
S = Densidad del metal sólido
H = Calor de fusión
RHGkGk SLLSS (1.8)
67
La velocidad de crecimiento será máxima cuando GL se vuelve negativo (baño sobreenfriado).
Sin embargo, no pueden crecer buenos cristales en líquidos sobreenfriados y de este modo, la velocidad de crecimiento máxima, práctica, ocurre cuando GL 0, o de la Ec. (1.8):
H
GkR
S
SS
máx (1.9)
68
Como un simple ejemplo ilustrativo de cálculo del gradiente sólido GS, considerar el caso del crecimiento de cristales en zona de flotación (sin crisol) en el que:
• Cristal es de sección transversal circular• La transferencia de calor desde el cristal a los
alrededores es por convección• El crecimiento es a estado estable• Los gradientes de temperatura dentro del cristal
transversal a la dirección del crecimiento, son bajos.
69
Considerar un elemento cilíndrico en el cristal sólido dx' en espesor, moviéndose a la velocidad R de la interfase líquido-sólido, Figura 1.12.
Entonces, para el estado estable, la temperatura del elemento que se esta moviendo, permanece constante y el balance calorífico se escribe como sigue (para una unidad de tiempo):
Cambio de calorneto por conduc-ción
+Cambio de calorneto por movi-miento del límite
+Cambio de calorneto por pérdidaa los alrededores
= 0
70
Figura 1.12.- Distribución de temperatura en crecimiento de cristales (esquemático).
- x’ 0
71
donde:
x' = Distancia desde la interfase líquido-sólido (negativo en sólido)
cS = Calor específico del metal sólido
a = Radio del cristal
h = Coeficiente de transferencia de calor para pérdidas de calor a los alrededores
T = Temperatura a x'
TO = Temperatura ambiente
S = Densidad del cristal sólido
S = Difusividad térmica del cristal sólido (kS/S cS)
0= )x'da )(2T -h(T -)x'd ac(xd
dTR -)x'd ac(
xd
TdO
2SS,
2SS,2
2
S
84
72
Integrando la ecuación anterior, (TM = punto de fusión del metal), con las condiciones límites de:
x' = 0, T = TM
x' = -, T = TO
La temperatura en el metal que esta solidificando esta dada por:
'2
22exp
2
xak
hRR
TT
TT
SSSOM
O
(1.11)
73
El gradiente térmico en el sólido en la interfase líquido-sólido GS = (dT/dx')x = 0 es luego:
y cuando R/2S << 1
OMS
S TTak
hG
2/12
(1.13)
(1.12)
SSSOMS ak
hRRTTG
2
22
2
74
En cristales de alto punto de fusión, donde (TM - TO) es grande y el coeficiente de transferencia de calor h es incrementado por la transferencia de calor por radiación, los gradientes térmicos alcanzados son bastante altos, 100 °C/cm o más.
Para cristales de bajo punto de fusión, otros enfriamientos son necesarios para obtener gradientes excesivos. Como un ejemplo, Mollard alcanzó gradientes del orden de 500 °C/cm en cristales de estaño de 1/8” de diámetro, usando un crisol delgado de acero, calentando por resistencia el crisol justo por encima de la interfase líquido-sólido y enfriado con agua justo debajo de la interfase.
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4. SOLIDIFICACION DE PIEZAS Y LINGOTES
En la mayoría de procesos de fabricación de piezas y lingotes, el flujo de calor no es de estado estable, como en los anteriores ejemplos.
El líquido caliente es vaciado dentro de un molde frío; el calor específico y calor de fusión del metal que esta solidificando pasa a través de una serie de resistencias térmicas al molde frío, hasta que se complete la solidificación.
76
Las resistencias térmicas a considerarse son:
- Las que atraviesan el líquido.
- El metal solidificado.
- La interfase molde-metal.
- Aquellas en el mismo molde.
El problema es matemática y físicamente complejo y se vuelve aún más cuando se consideran geometrías no simples, o las propiedades térmicas se dejan variar con la temperatura o cuando consideramos aleaciones.
77
Figura 1.13.- Perfil de temperaturas en la solidificación de un metal puro.Aire Molde
Sólido Líquido
78
El análisis de la transferencia de calor durante la solidificación es más complejo que el de transferencia de calor por conducción.
Esta es una de las razones para la escasez de la literatura dedicada a este tópico, comparado a lo disponible para el flujo de calor por conducción en sólidos. Sin embargo, suficiente teoría se ha desarrollado para tratar muchos problemas prácticos y los metalurgistas deben estar enterados de algunos de los análisis.
79
4.1. SOLIDIFICACION EN MOLDES DE
ARENA
La mayor cantidad de metales se funde en moldes de arena, exceptuando el tonelaje de acero fundido en lingotes.
El siguiente análisis se aplica cuando el metal solidifica en moldes de arena, o más generalmente, cuando la resistencia predominante al flujo de calor es dentro del molde mismo; el molde es hecho de yeso, zircón granulado, mullita u otros diversos materiales que son pobres conductores de calor.
80
Considerar primero el problema del flujo de calor unidireccional. El metal es vaciado, exactamente, a su punto de fusión contra una pared del molde plana y gruesa, inicialmente, a la temperatura ambiente TO.
De este modo, la superficie del molde es calentada repentinamente a TM en el tiempo t = 0. Esto es un transiente, problema de flujo de calor uni-dimensional y la solución debe ajustarse a la ecuación diferencial parcial:
2
2
x
T
t
Tm
(1.14)
83
81
Consideremos un metal puro líquido, vaciado sin sobrecalentamiento contra un molde de pared plana de un pobre conductor.
La Figura 1.14, presenta la distribución de temperaturas en el metal y el molde, en cierto momento durante la solidificación.
Debido a que toda la resistencia al flujo de calor es casi completamente dentro del molde, la temperatura superficial TS es casi igual a la temperatura de fusión del metal TM.
82
Figura 1.14.- Distribución de temperaturas durante la solidificación de un metal en un molde de arena. 85 118
83
Esto significa que durante la solidificación, es pequeña la caída de temperatura a través del metal solidificado, y se mantiene en la interfase molde-metal una temperatura constante de TS TM.
La solución a la Ec. (1.14), para las condiciones límites citadas anteriormente, da la temperatura T en el molde como una función del tiempo t, a una distancia x de la superficie del molde (esto es, la solución para un cuerpo semi-infinito):
t
xerf
TT
TT
M
M
20
(1.15)
85
84
donde:
x = distancia dentro del molde.
= difusividad térmica.
T0 = temperatura uniforme inicial (usualmente
es la temperatura ambiente).
El uso de esta ecuación ciertamente implica que el molde es suficientemente grueso para satisfacer la condición límite T( , t) = T0. En la práctica, este requerimiento se cumple a menudo, debido a que la zona afectada por el calor en el molde está confinada a una capa de arena de solamente ¼ del espesor de la pieza fundida.
85
De principal interés no es la historia de la temperatura del molde, sino más bien la velocidad a la que el calor es extraído del metal solidificado, que finalmente conducirá a la determinación del tiempo total de solidificación.
La Ec. (1.15) es usada para obtener la cantidad de calor que fluye dentro del molde y esta cantidad de calor debe ser igual al calor latente liberado durante la solidificación.
86
El flujo de calor dentro del molde resulta de la Ec. (1.15):
Recordando que = k/Cp, podemos reescribir la Ec. (1.16) como:
t
TTk
x
Tkq M
xx
)( 0
00
(1.16)
)( 00TT
t
Ckq M
p
x
(1.17)
94
87
El producto kCp representa la habilidad del molde a absorber calor a una cierta velocidad y se denomina difusividad calórica.
La velocidad a la que el calor latente es liberado por unidad de área, puede escribirse
donde:
’ = densidad del metal solidificado, lbm/pie3,
Hf = calor latente de fusión del metal, BTU/lbm
M = espesor del metal solidificado, pie.
td
MdH f' (1.18)
127
88
Igualando la Ec. (1.17) a la Ec. (1.18), se obtiene la velocidad en la cual la interfase avanza dentro del líquido:
Integrando dentro de los límites
y
tH
CkTT
td
Md
f
pM
'
)( 0
00 tenM
(1.19)
(1.20a)
ttenMM (1.20b)
89
De este modo, vemos que la cantidad de solidificación depende sobre ciertas características del metal:
• (TM – T0)/’Hf y la
• difusividad calórica del molde, kCp.
tCkH
TTM p
f
M
'
2 0(1.21)
90
4.1.1 Efecto del contorno sobre el tiempo de
solidificación
La solidificación desde un molde de paredes planas, como se discutió anteriormente, no es el problema usual encontrado por los ingenieros en la práctica.
Es a menudo importante evaluar el tiempo de solidificación de formas complejas, en las que el contorno de las paredes del molde tienen cierta influencia sobre el tiempo de solidificación.
91
Por ejemplo, el contraste del flujo de calor en paredes convexas y cóncavas, a la situación del molde de paredes planas, se presenta en la Figura 1.15.
El flujo de calor dentro de la superficie convexa es divergente y, por lo tanto, ligeramente más rápido que dentro del molde plano.
En contraste, el flujo de calor dentro de la superficie cóncava es convergente y menos rápido que dentro del molde de paredes planas.
92
Figura 1.15.- Efecto del contorno sobre el flujo de calor,dentro del molde.
93
Como una primera aproximación, tales efectos son a veces despreciados debido a que la zona calentada en el molde es poco profunda y la diferencia en el flujo de calor entre un molde de paredes planas y una pared contorneada, es pequeña.
Como tal, nosotros visualizamos que un área superficial de un molde dado, tiene la habilidad para absorber una cierta cantidad de calor en un tiempo dado a pesar de su contorno.
94
De este modo, nosotros generalizamos la Ec. (1.17) para todos los contornos y para un área superficial dada A, el molde absorbe una cantidad de calor Q en un tiempo t:
Para que una pieza fundida de volumen V solidifique completamente, todo su calor latente debe ser removido; de aquí, el calor latente total Q liberado es:
t tMM
xt
TTAk
t
dtTTAkdtqAQ
0 0
000
)(2)(
114
(1.22)
115
95
Las Ecs. (1.22) y (1.23), luego se igualan para obtener el tiempo de solidificación de una pieza fundida, en términos de su relación volumen a área superficial:
donde:
fHVQ '
2
A
VCt
(1.23)
(1.24)
163
2
0
1
4
TT
H
CkC
M
f
p
'
(1.25)
96
La Ec. (1.24) es a menudo referida como la Regla de Chvorinov y C es la constante de Chvorinov.
Esta permite la comparación de tiempos de solidificación de piezas con diferentes formas y tamaños.
La relación trabaja mejor en geometría de piezas en que nada del material del molde se vuelve saturado con calor, tal como en esquinas internas o almas internas.
97
El éxito de esta relación depende sobre el material del molde que absorbe la misma cantidad de calor por unidad de área expuesta al metal.
Esto es estrictamente cierto sólo para piezas que tienen formas similares pero de diferentes tamaños.
En algunas aplicaciones cuando se requiere más precisión, es necesario considerar el efecto del contorno del molde sobre la solidificación.
98
Para cuantificar algunos efectos de contornos, examinaremos las diferencias entre piezas fundidas de 3 formas básicas:
• Placa infinita.
• Cilindro infinitamente largo.
• Esfera.
99
Primero, definiremos 2 parámetros adimensio-nales, y :
y
Con estos parámetros, los tiempos de solidificación para las 3 formas básicas pueden compararse.
t
AV
/
pf
M CH
TT
'0
(1.27)
(1.26)
100
Para la placa infinita,
Para el cilindro,
Para la esfera,
2
4
12(1.29)
(1.28)
3
12(1.30)
104
101
Nosotros podemos deducir la Ec. (1.28) de la Ec. (1.27) por un reordenamiento. Las Ecs. (1.29) y (1.30) han resultado por un reordenamiento de las expresiones presentadas por Adams y Taylor; su expresión para el cilindro es aproximada mientras que para la esfera es exacto.
Estas expresiones presentan el error de usar la Regla de Chvorinov sin considerar los contornos del molde. Por ejemplo, nos referiremos a la Figura 1.16 que relaciona los tiempos de solidificación para las 3 formas básicas, de acuerdo a las Ecs. (1.28) a (1.30).
102
Figura 1.16.- Comparación de los tiempos de solidificación,para las 3 formas básicas fundidas en moldes de arena
108
1.51
1.75
1.33
109
103
Calculando un valor de de las propiedades del metal y molde, leeremos un valor de correspon-diente a las diferentes formas de las curvas de la Figura 1.16.
Para las combinaciones metal-arena, es aproximadamente la unidad, tal que:
(placa) = 1.13
(cilindro) = 1.32
(esfera) = 1.38
104
Observamos que despreciar el contorno puede conducir a un error de hasta 40 – 50% en el tiempo de solidificación.
La expresión para la solidificación de una esfera, Ec. (1.30), puede usarse para otras formas gruesas, tales como cubos mejorando la exactitud de la simple relación, Ec. (1.28).
Similarmente, la expresión para el tiempo de solidificación de un cilindro puede usarse para aproximar el tiempo de solidificación de barras de sección transversal cuadrada.
105
Ejemplo 1.1Determinar el tiempo de solidificación de las
siguientes piezas fundidas de fierro, ambas vaciadas sin sobrecalentamiento, dentro de moldes de arena:
a) Una plancha de 4” de espesor;
b) Una esfera de 4” de diámetro.
106
Datos del fierro:
Temperatura de solidificación = 2802 °F
Calor de fusión = 117 BTU/lbm
Densidad sólida = 490 lbm/pie3
Densidad líquida = 460 lbm/pie3
Capacidad calorífica del líquido = 0.18 BTU/lbm °F
107
Datos de la arena:
Capacidad calorífica = 0.28 BTU/lbm °F
Conductividad térmica = 0.50 BTU/pie-hr °F
Densidad = 100 lbm/pie3
Solución:
(Asumir que el molde esta inicialmente a 82 °F).
108
a) Para = 1.33, en placas fundidas, de la Figura 1.16,
33.1)28.0()100()117()490(
822802
hrpie /0178.0)28.0()100(
50.0 2
51.1/
t
AV
109
y para una placa infinita, V/A = L donde L es el semiespesor. Por lo tanto
b) Para = 1.33, en una pieza esférica, de la Fig. 1.16,
se tiene, V/A = R/3, donde R = radio.
hrL
t 685.0)0178.0()51.1(
)12/2(
51.1 2
2
2
2
75.1/
t
AV
155
110
Por lo tanto:
Considerando el efecto del contorno, la placa solidifica en 12.15 veces, del tiempo requerido para solidificar la esfera.
hrt
Rt
0564.0
)078.0()75.1()9(
)12/2(
)75.1(9 2
2
2
2
111
Si hubiésemos aplicado directamente la Regla de Chvorinov, tendríamos:
En donde, la placa solidifica en 9 veces el tiempo de solidificación requerido para solidificar la esfera, lo que representa un error del 35%.
CR
CA
VCt
CLCA
VCt
esfera
placa
9
4
3
4
22
22
112
4.1.2 Efecto del sobrecalentamiento sobre el
tiempo de solidificación
Podemos determinar el efecto del sobrecalen-tamiento sobre el tiempo de solidificación, realizan-do una adición al calor latente absorbido, también la arena debe absorber el sobrecalentamiento.
Nuevamente, asumiremos que los gradientes de temperatura dentro de la pieza son despreciables y cuando el tiempo de solidificación se completa, la pieza total está cercana a su punto de solidificación.
113
En este caso, la cantidad total de calor a ser removido de la pieza es:
El subíndice l denota las propiedades de la fase líquida, y TS es la cantidad de sobrecalentamiento en grados.
Slplf TVCVHQ ,'' (1.31)
115
114
Ahora consideraremos piezas de placas infinitas, y a fin de hacer el análisis simple, aún suficientemente exactos, asumiremos que la Ec. (1.22) es válida aún cuando la temperatura de la interfase del molde no es constante, mientras la fase líquida pierde su sobrecalentamiento.
En vista de esta aproximación, es ciertamente aceptable no distingue diferencias en la densidad de las fases líquida y sólida.
115
De este modo, ’l ’, y cuando la Ec. (1.31) se mantiene igual a la Ec. (1.22), obtendremos:
En esta expresión, H’f es el calor efectivo de fusión y representa la suma del calor latente de fusión y el sobrecalentamiento del líquido, esto es:
22
0
1
4
A
V
TT
H
Ckt
M
f
p
''
(1.32)
Slpff TCHH ,' (1.33)
116
Observar que el tiempo de solidificación es aún proporcional a:
En la fundición en moldes de arena o en casos de solidificación de interfase controlada, el efecto del sobrecalentamiento sobre el tiempo total de solidificación, puede estimarse aproximadamente añadiendo el contenido de calor debido al sobrecalentamiento a aquel del calor de fusión.
206
2
AV
117
4.2 SOLIDIFICACION EN MOLDES METALICOS
Cuando vaciamos dentro de moldes metálicos, las piezas solidifican rápidamente y cambia la temperatura drásticamente en el molde y la pieza.
Es importante, conocer las variables que afec-tan la solidificación en los moldes metálicos, debi-do a que la mayoría de los lingotes, todas las piezas fundidas en moldes permanentes y todas las piezas fundidas inyectadas se hacen en moldes metálicos.
118
El análisis de transferencia de calor cuando el metal se vacea contra las paredes de un molde metálico, es más complicado que aquel cuando el metal es vaciado dentro de un molde de arena; esto se debe al hecho que los moldes metálicos son mucho mejores conductores que los moldes de arena. La adicional complejidad, se ilustra en la situación molde-pieza, mostrada en la Figura 1.17.
En la interfase molde-metal solidificado, existe una caída de temperatura, debido a la resistencia del contacto térmico.
119
Figura 1.17.- Distribución de temperaturas durante la solidifica-ción de un metal, en una pared de molde metálico.160
Resistencia del contacto térmico
120
La condición de sin resistencia en el contacto, puede existir solamente si el contacto molde-pieza es intimo tal que pueda ocurrir el remojo, esto es, la pieza puede soldarse al molde.
Además a la resistencia del contacto, existen otras diferencias entre la solidificación en los moldes de arena y en los moldes metálicos (chills):
a) La conductividad térmica del metal que se esta fundiendo, forma una importante porción de la resistencia total al flujo de calor.
121
Esto resulta en que la temperatura de la superficie, esta muy por debajo del punto de fusión, mientras exista un apreciable gradiente térmico dentro del metal solidificado.
b) Más del calor total es removido durante la solidificación, a causa del metal solidificado que está sobreenfriado. De este modo, la capacidad calorífica del metal solidificado es importante.
En las siguientes secciones, discutiremos problemas seleccionados de solidificación, cada uno de los cuales tienen importancia práctica.
122
CASOS PRACTICOS:
• Temperatura constante en la superficie de la pieza.
• Gradientes dentro del molde y la pieza, sin resistencia en la interfase.
• Resistencia en la interfase.
• Gradientes dentro del molde y pieza, con resistencia en la interfase.
123
4.2.1 Temperatura constante en la superficiede la pieza
Considerar una masa de metal puro líquido, inicialmente a su temperatura de solidificación, que tiene su superficie repentinamente enfriada a una temperatura constante TS.
Después que ha ocurrido cierta solidificación, la distribución de temperaturas en el metal solidificado aparecerá como el perfil sólido (Figura 1.18a).
124
Figura 1.18.- Distribución de temperaturas análogas en(a) metal solidificado, y (b) un sólido semi-infinito.
126
125
La distribución de temperaturas es idéntica a la distribución de temperaturas en el sólido semi-infi-nito representado en la Fig. 1.18(b), excepto que el campo de temperatura en el metal solidificado, está entre TM y TS antes que realmente se extienda a T.
Sin embargo, la temperatura “alcanza” a T casi como en el sólido semi-infinito y la distribución de temperatura dentro del metal solidificado toma la forma:
t
xerf
TT
TT
S
S
'2
(1.34)
128 132 150146144
126
En la Figura 1.18(a), T no se conoce a priori. Esta es una temperatura imaginaria que hace la distribución de temperaturas análoga al caso del sólido semi-infinito, o esta puede ser estimada como una constante de integración.
Nosotros ahora desarrollaremos una expresión para la velocidad de solidificación aplicando las condiciones límites:
esto es, la temperatura en la interfase líquido-sólido es el punto de solidificación, TM.
MTtMT ),( (1.35)
127
Además, reconocemos que la velocidad de liberación del calor latente de fusión es igual al flujo de calor dentro del sólido en la interfase, esto es:
Cuando se aplica a la distribución de temperaturas, la Ec. (1.36) producirá:
132
dt
dMHtM
x
Tk f'),('
t
Merf
TT
TT
S
SM
'2
(1.37)
(1.36)
134
128
En vista de que el lado izquierdo de esta ecuación es constante, el argumento de la función error debe también ser constante.
De aquí:
Nuevamente, el espesor solidificado es proporcional a .
Para evaluar la constante , nosotros evaluaremos el flujo de calor en la interfase líquido-sólido, que obtenemos de la Ec. (1.34):
tM '2 (1.38)
t
132 151 156
129
El calor latente liberado en la interfase es escrita, como:
t
M
t
CkTTtM
x
Tk
pS
'exp
''')(),('
4
2
)(exp''')(
2
erft
CkTT pSM
tH
dt
dMH ff
'''
(1.39)
(1.40)
130
Substituyendo las Ecs. (1.39) y (1.40) dentro de la Ec. (1.36), y simplificando, obtenemos
Ahora tenemos una expresión para calcular .
Podemos usar la Figura 1.19 para evaluar , antes que usar la Ec. (1.41), que vincula los ensayos.
f
pSM
H
CTTerfe
')(
2
(1.41)
131Figura 1.19.- Evaluación de para la Ec. (1.41).151 156
158
0.98
2.10
0.87
1.22
132
Para resumir, puede determinarse de la Figura 1.19. De este modo, la velocidad de solidificación se conoce (Ec. 1.38), T puede determinarse de la Ec. (1.37), y la distribución de temperaturas puede calcularse (Ec. 1.34), si así se desea.
Este análisis es, de hecho, valido para el flujo de calor unidireccional; este resultado puede aplicarse a piezas en forma de planchas.
133
Si se requiere el tiempo de solidificación, entonces evaluamos y usamos la Ec. (1.38) con M = L, el semi-espesor de la plancha.
El método anterior de solución no es sis-temático y no puede extenderse a la solidificación de otras formas.
Sin embargo, Adams ha presentado un método utilizando una serie de potencias que pueden ser extendidos a la solidificación de esferas y cilindros.
tM '2 (1.38)
134
Figura 1.20.- Tiempos de solidi-ficación para esferas, con tempe-ratura constante en la superficie.
Sus resultados para el tiempo de solidificación de esferas y cilindros, que solidifican con una tempera-tura constante de la superficie, TS, se dan en las Figuras 1.20 y 1.21.
135Figura 1.21.- Tiempos de solidificación para cilindros, con
temperatura constante en la superficie.
136
La aplicación de lo anterior es limitada, debido a que es difícil imaginar situaciones prácticas en que se mantenga una temperatura constante de la superficie.
Un ejemplo de un caso de importancia práctica, es la determinación de la velocidad de solidificación en un gran lingote de acero vaciado contra de las paredes de un molde de cobre refrigerado con agua, excepto para la etapa inicial de solidificación.
137
Las soluciones son también útiles para indicar la máxima velocidad de solidificación que puede posiblemente ser obtenido por enfriamiento convectivo, en vista de que la condición límite de temperatura constante de la superficie corresponde a un caso de h en la superficie.
138
4.2.2 Gradientes dentro del molde y la pieza, sin resistencia en la interfase
Representamos este caso en la Figura 1.22. Ambos, el molde y el metal forman barreras al flujo de calor.
El molde esta inicialmente a la temperatura ambiente y el metal líquido en su punto de fusión.
139
Figura 1.22.- Distribución de temperaturas durante la solidificación, sin resistencia en la interfase, con gradientes dentro del molde y pieza.
169
140
El molde es lo bastante grueso para que no ocurra un aumento de temperatura en su superficie exterior y nosotros podemos considerarlo que es semi-infinito.
Este caso es aplicable, por ejemplo, en determinar la velocidad de solidificación de un gran lingote contra un molde metálico grueso; este después solidifica suficiente material, tal que la resistencia de la interfase no es muy importante.
141
Este análisis es también útil en decidir si una particular combinación de molde metálico-molde de arena, es tal que TS es, o no es, aproximado a TM.
En el problema previo, TS fue fijado como la condición límite de la situación.
En el caso a mano, TS se establece en un nivel particular, dependiendo de las propiedades térmicas de ambos, el molde y el metal solidificado.
142
Ahora procederemos a desarrollar la solución que satisface los requerimientos
esto es, el flujo de calor dentro de la interfase molde-pieza desde el metal solidificado debe ser igual al flujo a lo lejos de la interfase dentro del molde.
0'00
0
xxx
Tk
x
Tklim (1.42)
146
143
Como antes, 2 condiciones límites adicionales deben satisfacerse en la interfase de solidificación:
El molde es, obviamente, semi-infinito en el dominio-x negativo, con cierta temperatura desconocida en la superficie TS.
;),( MTtMT
dt
dMHtM
x
Tk f '),('
(1.36)
(1.35)
145 146
144
De este modo:
donde T0 es la temperatura uniforme inicial del molde.
Para el metal solidificado, se aplica otra vez la Ec. (1.34): sin embargo, observar en este punto que T y TS son ambos desconocidos.
t
xerf
TT
TT
S
S
20
(1.43)
146 148
145
Cuando aplicamos la Ec. (1.35) a la Ec. (1.34), verificamos que el argumento de la función error es constante, y nuevamente definido como , tal que se aplica la Ec. (1.38).
t
xerf
TT
TT
S
S
'2
(1.34)
tM '2 (1.38)
146
Diferenciando las Ecs. (1.43) y (1.34); y aplicando las Ecs. (1.42), (1.35) y (1.36), obtendremos, de la Ec. 1.41:
erfeH
CTT
f
pSM
2')(
erfCk
Cke
H
CTT
p
p
f
pM
'''')(
2
0
2')(
eH
CTT
f
pS
(1.41)
(1.44)
(1.45)
148 150
147
Para resumir los resultados de esta sección, calculamos la distribución de temperaturas en el molde y en el metal solidificado; también determinaremos la velocidad de solidificación.
Calcularemos la distribución de temperaturas en el molde completando los siguientes pasos:
p
p
S
S
Ck
Ck
TT
TT
'''
0
(1.46)
150 170
148
1) Calcular la temperatura de la interfase molde-pieza TS, a partir de las propiedades térmicas conocidas
y la Figura 1.23, la cual fue derivada calculando sobre una solución de prueba y error de la Ec. (1.44), y luego determinamos TS de la Ec. (1.41).
2) El valor de TS de este modo obtenido puede usarse en la Ec. (1.43) para la distribución de temperaturas en el molde.
p
p
f
pM Ck
Cky
H
CTT
''''
)( 0
149
Figura 1.23.- Temperaturas relativas de la interfase molde-pieza, para una solidificación unidireccional, sin resistencia en la interfase.151 154
157
3.72
0.420.57
16.4
150
Calculamos la distribución de temperaturas en el metal solidificado, realizando estos pasos:
a) Calcular TS de la Figura 1.23
b) Determinar T usando la Ec. (1.45) o Ec. (1.46).
c) Los valores de T y TS de este modo obtenidos, pueden ser usados en la Ec. (1.34) para la distribución de temperaturas en el metal.
151
Si deseamos calcular el espesor del metal solidificado, entonces:
• Determinaremos TS de la Figura 1.23
• Usando la Figura 1.19 calculamos el valor de
• Con este valor de , puede aplicarse la Ec. (1.38).
152
Ejemplo 1.2.- Calcular el tiempo de solidificación de una plancha fundida de fierro de 4” de espesor.
Asumir sin resistencia en la interfase y el va-ciado de un Fe puro en su punto de fusión en:
(a) Un molde de arena.
(b) Un molde de cobre refrigerado con agua.
(c) Un molde de cobre muy grueso.
Datos del molde
MaterialCapacidad calorífica,
BTU/lbm °FDensidad,lbm/pie3
Conductividad térmica,BTU/pie-hr °F
ArenaCobre
0.280.09
100560
0.50230
153
Datos del fierro:
Temperatura de solidificación = 2802 °F
Calor de fusión = 117 BTU/lbm
Densidad sólida = 490 lbm/pie3
Densidad líquida = 460 lbm/pie3
Capacidad calorífica del sólido = 0.16 BTU/lbm °F
Capacidad calorífica del líquido = 0.18 BTU/lbm °F
Conductividad térmica = 48 BTU/pie-hr °F
154
Solución: (a) En un molde de arena:
Con estos valores, de la Figura 1.23, obtenemos el valor de TS:
416280100500
16049048
723117
1608028020
.).)()(.(
).)()(('''
;..
)('
)(
p
p
f
pM
Ck
Ck
H
CTT
0.10
0
TT
TT
M
S
155
Por lo tanto TS TM, y el análisis usado en el Ejemplo 1.1 es valido. Por lo tanto
b) En un molde de cobre refrigerado con agua. En este caso, TS es igual a la temperatura del molde refrigerado con agua, que asumimos como 80 °F.
hrarenat 685.0)(
10.2117
16.0)802802(
')(
f
pSM
H
CTT
156
Con este valor, de la Figura 1.19, obtenemos: = 0.98, el cual se aplica a la Ec. (1.38). De aquí:
c) En un molde de cobre muy grueso:
hr
k
CMMt p
0118048
160490
9804
122
4
1
2
2
2
2
22
.)(
).)((
).)((
)/(
'
''
'
157
con estos valores, de la Figura 1.23: 42.00
0
TT
TT
M
S
FTS 122380)802802)(42.0(
5700090560230
16049048
723117
1608028020
.).)()((
).)()(('''
;..
)('
)(
p
p
f
pM
Ck
Ck
H
CTT
158
Calculamos la siguiente expresión, para obtener un valor de :, de la Figura 1.19:
con este valor, de la Figura 1.19, obtenemos:
Usando la Ec. (1.38) como en la parte (b), obtenemos:
22.1117
16.0)12232802(
')(
f
pSM H
CTT
87.0
hrt 0150.0
159
4.2.3 Resistencia en la interfase
En las secciones previas, representamos situaciones en que la temperatura de la superficie TS permanece constante.
Cuando examinamos la situación más probable de alguna resistencia en la interfase, entonces la temperatura de la superficie de la pieza varía con el tiempo y el análisis se torna más complejo.
160
Antes de analizar la historia de la temp. en el molde y pieza en un caso general (Figura 1.17), pri-mero consideraremos un caso simple (Figura 1.24).
En la Figura 1.24, la resistencia a la interfase predomina sobre las resistencias ofrecidas por el metal solidificado y el metal. Importancia práctica es atribuida a este caso cuando el tiempo de solidificación es pequeño; el análisis es útil para la estimación de los tiempos de solidificación de pequeñas partes fundidas de secciones delgadas en moldes metálicos gruesos, tales como piezas fundidas inyectadas y en moldes permanentes.
161
Figura 1.24.- Distribución de temperaturas durante la solidificacióncon una predominante resistencia en la interfase.
191
162
En este caso, los gradientes de temperatura dentro del molde y la pieza son despreciables y el calor escapa de la pieza como si un coeficiente de transferencia de calor se aplica a la superficie. De este modo la cantidad total de calor Q que atraviesa la interfase molde-pieza en un tiempo t es:
Como con las piezas moldeadas en arena, si los gradientes de temperatura son despreciables, entonces TS TM, y solamente el calor latente es removido de la pieza durante la solidificación.
tTThAQ S )( 0 (1.47)
22
163
Por lo tanto, combinando las Ecs. (1.23) y (1.47), podemos fácilmente demostrar que:
Observar que la forma no tiene ningún efecto sobre la aplicabilidad de la Ec. (1.48). La forma no fue, también especificada en el caso del enfriamiento o calentamiento de un cuerpo sólido con despreciables gradientes de temperatura internos.
tH
TTh
A
V
f
M
'
)( 0
(1.48)
164
Si nosotros deseamos aplicar la Ec. (1.48) para la solidificación unidireccional, vemos que
El espesor solidificado, M, es proporcional al tiempo, antes que a la raíz cuadrada del tiempo.
Ahora considerar el caso en que TS TM, y el calor deja la pieza vía h en la superficie a un molde refrigerado con agua mantenido en T0.
tH
TThM
f
M
'
)( 0
(1.49)
165
Aquí simplificamos el análisis por aproxima-ción de la distribución de temperaturas dentro del metal solidificado, como una función lineal.
Luego, escribiremos el flujo de calor en la interfase molde-pieza como:
También:
M
TTkq SM
x
'
0
)( 00TThq Sx
(1.51)
(1.50)
166
Nosotros luego eliminamos la temperatura de la superficie TS, la cual varía, combinando las Ecs. (1.50) y (1.51); debido a que la distribución de temperaturas es lineal, expresamos el flujo en la interfase líquido-sólido simplemente como:
Además, en x = M, el calor latente es liberado tal que:
(1.52)'//1
00 kMh
TTqq M
Mxx
(1.53)dt
dMHq fMx
'
167
Combinando las Ecs. (1.52) y (1.53) e integrando con M = 0 en t = 0, y M = M en t = t,
Adams ha resuelto el problema en una manera más rigurosa, en que la distribución de temperaturas no es asumida que es lineal como antes. El análisis más refinado es similar a la Ec. (1.54), con un factor adicional a:
20
'2'
)(M
k
ht
H
TThM
f
M
(1.54)
(1.55)20
'2'
)(M
k
ht
aH
TThM
f
M
178 192 194
168
En esta expresión:
La Ec. (1.55) es casi más exacta para:
Para hM/k < ½, el espesor solidificado es sobrestimado en alrededor del 10 – 15%.
(1.56)f
Mp
H
TTCa
3
)('
4
1
2
1 0
2
1
k
hM
169
4.2.4 Gradientes dentro del molde y pieza, con resistencia en la interfase
Para abordar esta situación, extendemos el concepto de la temperatura en la interfase molde-metal, introducido en la Sección 4.2.2.
Sin embargo, en este caso no existe temperatura constante en la interfase pieza-molde; más bien hay 2 temperaturas en la superficie, ninguna de las cuales es constante.
170
Para manejar este problema, considerar un plano de referencia imaginario entre el molde y pieza que es en TS, donde TS es constante y determinado por el método de la Sección 4.2.2 usando la Ec. (1.46).
La resistencia del contacto es luego repartida sobre ambos lados del plano imaginario de acuerdo con las ecuaciones
(1.57)hCk
Ckh
p
pM
'''1
182
171
En estas expresiones, h es el coeficiente total de transferencia de calor que atraviesa la interfase, hM es el coeficiente sobre el lado del plano del molde, y hC es el coeficiente sobre el lado del plano de la pieza.
La Figura 1.25 representa la situación comple-ta, mostrando las temperaturas de la superficie, TSC y TSM, de la pieza y el molde respectivamente.
hCk
Ckh
p
pC
'''
1 (1.58)
173 177
172
Figura 1.25.- Distribución de temperaturas en la pieza y molde, cuando no predomina la resistencia en la interfase.
173
Nosotros manejamos el problema como sigue:
1) Primero resolvemos para TS como si no tuviera resistencia a la interfase.
2) Usando TS obtenido en (1) y aplicando la Ec. (1.58), nosotros aislamos la mitad de la pieza y la estudiamos usando el análisis dado en la Sección 4.2.3. Para el lado de la pieza, el calor es transferido desde TSC a TS vía hC.
3) Si deseamos estudiar la mitad del molde, hacemos uso de los resultados de la Sección 9.5.2 y usamos la Ec. (9.113). Para el lado del molde, el calor es suministrado al molde desde una fuente en TS a la superficie en TSM vía hM.
174
Presentamos la Figura 1.26 para ilustrar el efecto de la resistencia térmica del contacto. Primero, a fin de solidificar la misma cantidad de metal, esto toma más tiempo con algo de resistencia.
Observar, también, que las 2 curvas se tornan paralelas después de las etapas iniciales de solidificación, y M varía linealmente con t1/2 para ambos casos. Para la etapa inicial de solidificación, M no varía linealmente con t1/2 cuando existe cierta resistencia en el contacto.
175
Figura 1.26.- Velocidad de solidificación en mol-des metálicos, con y sin resistencia en el contacto.
176
Ejemplo 1.3
a) Determinar el tiempo de solidificación de una plancha gruesa de fierro de 4”, discutida en el Ejemplo 1.2, cuando es vaciada en un molde muy grueso de cobre. El coeficiente total de transferencia de calor que atraviesa la interfase pieza-molde, puede ser tomado como 250 BTU/hr-pie2 °F.
b)¿Cuando la pieza ha solidificado completamente, cuál es la temperatura de la superficie del molde?
177
Solución
a) Primero resolvemos el problema como si no tuviera resistencia en la interfase y obtenemos TS. Esto fue hecho en el Ejemplo 1.2 con el resultado:
Usando la Ec. (1.58), determinamos el coeficiente para el lado de la pieza de la interfase, hC:
FTS 1223
178
Ahora usando la Ec. (1.55), sin embargo en una forma modificada para el caso a mano; esto es
FpiehrBTUh
h
C
C
2/392
)250()09.0)(560)(230(
)016)(490)(48(1
2
'2'
)(M
k
ht
aH
TThM C
f
SMC
179
Substituyendo propiedades y M = 2” = 1/6 pie, tenemos:
en el que:
Resolviendo para t, obtenemos:
2
6
1
)48)(2(
)392(
)117)(490(
)12232802)(392(
6
1
t
a
48.1)117)(3(
)12232802)(16.0(
4
1
2
1
a
hrt 0385.0
180
b) Para obtener la temperatura de la superficie del molde, nosotros podemos usar la Figura 1.27, reemplazando:
h por hM
Tf por TS
Ti por T0.
Para la superficie:
02
t
x
181
Figura 1.27.- Historia de la temperatura en un sólidosemi-infinito con resistencia en la superficie.183
0.631.25
182
Obtenemos hM usando la Ec. (1.57):
Luego:
FpiehrBTUh
h
M
M
2/688
)250()16.0)(490)(48(
)09.0)(560)(230(1
25.1)09.0)(560(
)0385.0)(230(
230
688t
k
hM
183
De la Figura 1.27, para , tenemos:
tal que:
Hasta este punto, hemos reconocido que hay una resistencia térmica en la interfase molde-pieza, en todos los casos a menos que ocurra la soldadura.
63.00
0
TT
TT
S
FT 80080)801223)(63.0(
251.tk
hM
184
En vista de que no tiene lugar ninguna unión física en la interfase, entonces la pieza y el molde están libres para moverse debido a los efectos físicos-térmicos.
En efecto, es muy conocido que cuando un metal se vacea contra un molde metálico, se forma una abertura (gap) en la interfase.
Esta abertura se forma como resultado de que el molde se expande debido a que este absorbe calor y a la contracción de la piel sólida de metal, debido a su disminución de temperatura.
185
Usualmente, la predicción de la velocidad de transferencia de calor a través de la abertura, no es segura y confiamos en mediciones empíricas de las temperaturas de la superficie y el calor absorbido por el molde, para deducir los apropiados coeficientes de transferencia de calor.
Algunos coeficientes de transferencia de calor para diversos situaciones de piezas fundidas, se dan en la Tabla 1.1. En vista de que tales valores dependen fuertemente sobre el proceso específico y situaciones geométricas, los datos en la Tabla 1.1 pueden servir solamente como una guía general.
186
Tabla 1.1.- Coeficientes de transferencia de calor que atraviesanla interfase molde-pieza
Situación de la piezaCoeficiente de transferencia
de calor, BTU/hr-pie2 °FAcero en molde de colada continua
Acero en molde de colada continua, 4 x 4” Velocidad de retiro de 20 pulg/min Velocidad de retiro de 100 pulg/min Velocidad de retiro de 175 pulg/min
Fundición nodular en molde de fundicióngris (revestido con carbón amorfo)
Acero en molde estático de fierro fundido
Cobre en molde centrifugado de acero
Aleación de aluminio en pequeñosmoldes permanentes de cobre
50 - 400*
85140190
300
180
40 - 60
300 - 450
* Los autores establecen que h depende sobre el tamaño de sección, la velocidad de retiro y las características de contracción
del metal
23
187
1.3 COLADA CONTINUA
Las características básicas de una máquina de colada continua se representa en la Figura 1.28.
El metal que pasa a través de un molde metálico refrigerado con agua, forma una piel delgada solidificada (1/4” a 3/4” de espesor), y es luego sometido a un spray de agua por el resto de la solidificación.
188
Figura 1.28.- Máquina de colada continua.
189
La Figura 1.29, muestra esquemáticamente la distribución de temperaturas dentro de la pieza parcialmente solidificada, a medida que esta se mueve hacia abajo con una velocidad u en la dirección-y.
Mientras en el molde, la conducción de calor en la piel delgada del sólido es mucho mayor en la dirección-x que en la dirección-y.
Por lo tanto, la conducción de calor en la dirección del retiro, puede ser ignorada.
190
Figura 1.29.- Porción parcialmente solidificada de una colada continua y la distribución de temperaturas, como una función de la distancia hacia el molde.
191
Bajo estas circunstancias, el análisis usado para piezas fundidas estáticas como se presentó en la Sección 4.2.3, puede aplicarse con solamente pequeñas modificaciones.
A medida que el metal atraviesa el molde, asumimos que se aplica un coeficiente constante de transferencia de calor para explicar la resistencia de la interfase molde-pieza, en vista de que el calor es removido por el molde refrigerado con agua, mantenido a T0.
192
La Ec. (1.55), se aplica si el tiempo t se vuelve a escribir como la distancia hacia las paredes del molde y, dividido por la velocidad de la pieza u.
Explicamos el efecto del sobrecalentamiento líquido que se realiza al pasar desde el tundish, cuando bastante turbulencia prevalece en el núcleo líquido, por lo menos entre las paredes del molde, tal que podemos asumir que la temperatura del líquido es uniforme con y en Tp.
193
Luego, en la interfase líquido-sólido, el calor latente más el sobrecalentamiento líquido es conducido hacia las paredes del molde a través de la piel sólida y en la formulación del efectivo calor latente de fusión H’f aplicado, en el que
Los resultados son convenientes cuando se presentan en grupos adimensionales.
)(' , Mplpff TTCHH
194
De la Ec. (1.55), deducimos los grupos
Estos grupos y otros se usan en las Figuras 1.30 a 1.32 para presentar los resultados.
pCuk
yh
'''
2
)('
'
0TTC
H
Mp
f
'k
hM
195Figura 1.30.- Espesor solidificado, M, versus
distancia hacia el molde.198 203
0.238
0.308
0.11
)('
'
0TTC
H
Mp
f
0.11
0.2380.308
196
Figura 1.31.- Temperatura de la superficie versus distancia hacia el molde. Los números sobre las curvas son los mismos como en la Figura 1.20.
198
)('
'
0TTC
H
Mp
f
197
Figura 1.32.- Velocidad de extracción de calor por el molde re-frigerado con agua Q versus la longitud del molde L. Los nú-meros sobre las curvas son los mismos como en la Figura 1.20.
204
0.308
0.11
0.28
)('
'
0TTC
H
Mp
f
0.11
0.28 0.308
198
Podemos determinar el espesor del metal sólido en varias posiciones hacia el molde, desde la Figura 1.30.
La Figura 1.31 presenta como la temperatura de la superficie TS del metal fundido varía con la posición del molde, y usamos la Figura 1.32 para calcular la velocidad total de eliminación de calor que ingresa al molde de longitud L.
199
El espesor de la piel y la temperatura de la superficie son importantes parámetros, en vista de que la piel sólida sobre la salida del molde, debe estar con cierta resistencia mínima.
La velocidad de extracción de calor es útil para computar los requerimientos del agua de enfriamiento.
200
Ejemplo 1.4Determinar:
(a) La longitud del molde, y
(b) Los requerimientos de agua de enfriamiento, para producir una plancha de acero (2’ de ancho x 3” de espesor), a una velocidad de retiro de 120 pulg/min.
La piel sólida sobre la salida del molde debe ser de 0.50” de espesor y para aplicarse se puede asumir un coeficiente de transferencia de calor de 250 BTU/hr-pie2 °F.
201
Para minimizar la polución térmica de la fuente de agua, solamente es permitido un aumento de temperatura del agua de 10 °F.
Datos para el acero:
Temperatura de solidificación = 2730 °F
Temperatura de vaciado (desde el tundish) = 2820 °F
Calor latente de fusión = 115 BTU/lbm
Densidad sólida = 480 lbm/pie3
Capacidad calorífica del sólido = 0.16 BTU/lbm °F
Capacidad calorífica del líquido = 0.18 BTU/lbm °F
Conductividad térmica del sólido = 44 BTU/pie-hr °F
202
Solución
y
238.044
)12/50.0)(250(
')
k
hMa
)(' , Mplpff TTCHH
mlbBTU /131)27302820(18.0115
3080702730160
131
0
.)(.)('
'
TTC
H
Mp
f
203
De la Figura 1.30, para:
Obtenemos:
Por lo tanto:
1102
.'''
pCuk
yh
2)250(
)16.0)(480)(44)(6012/120()11.0(
Ly
piesLy 6.3
308023800
.)('
'.
'
TTC
Hy
k
hM
Mp
f
204
b) De la Figura 1.32, para:
Obtenemos: 28.0''')( 0
kCLuTTL
Q
pM
)44)(16.0)(480)(600)(6.3()702730)(6.3)(28.0( Q
hrBTUQ /1025.7 6
11030802
0
.'''
.)('
'
pMp
f
Cuk
yhy
TTC
H
205
Sabemos que:
Capacidad calorífica del agua = 1 BTU/°F lbm
Luego, determinamos la velocidad del flujo de agua requerida:
m
m
lb
gal
FBTU
Flb
hr
BTUaguadeflujodelVelocidad
33.8
1
10
1
1
1025.7 6
gpmhrgalaguadeflujodelVelocidad 1450/1070.8 4
206
VELOCIDAD DE SOLIDIFICACIONEl diseño de los risers depende del modelo de
soli-dificación de la aleación (evidenciado por su CFR) y el tiempo de solidificación del riser en relación al de la pieza.
Determinaremos una expresión, basada en la geo-metría del riser o la pieza, para hallar el tiempo de soli-dificación. Este será posible calcularlo, antes que deter-minarlo experimentalmente, lo que nos permitirá hallar el tamaño mínimo de riser que tendrá una velocidad de enfriamiento más lenta que el de la pieza y, por lo tanto, servirá como un reservorio de metal líquido para suministrar metal, durante la solidificación de la pieza.
207
Este cálculo es com-plejo, comenzaremos revi-sando la ecuación funda-mental del flujo de calor para una condición de es-tado estable, Figura 1.33, en la que se observa el flujo de calor a través de una pared de un horno (cubilote, hogar abierto, u horno de tratamiento tér-mico), luego que las tem-peraturas de las paredes internas y externas se han estabilizado.
Figura 1.33.- Flujo de calor de estado estable.
208
El flujo de calor, J, transmitido por unidad de tiempo depende directamente de la diferencia de temperatura, la conductividad térmica y el área de sección transversal de la pared, e inversamente a la distancia entre las superficies caliente y fría. Si asumimos que la conductividad, k, es independiente de la temperatura, entonces:
(1)
donde:
J = flujo de calor, en BTU/hora-pie2
x = espesor de pared, en pies
T = diferencia de temperaturas, en °F
k = conductividad térmica, en BTU-pie/°F-hora-pie2
xT
kJ
209
Si ksílice = 1.06, entonces:
La cantidad T/x, es el gradiente térmico, o la pendiente de un gráfico que plotea temperatura vs distancia en el ladrillo. Para conductividad constante, este gráfico es una línea recta, y es satisfactorio tomar el valor de la pendiente, como el gradiente térmico.
Ahora revisaremos las diferencias entre la condición de estado estable y el caso del vaciado de un metal líquido caliente, dentro de un molde frío.
24802129
6504002061 piehoraBTUJ /,
/),(
.
210
Aquí deseamos encontrar el flujo de calor a través del molde, debido a que es, obviamente, por este camino que escapa el calor, para permitir la solidificación del metal.
Si podemos obtener una expresión general para la temperatura en cualquier punto x, tal como se ilustra, seremos capaces de calcular el flujo de calor y de este modo, el tiempo de solidificación de la pieza.
Figura 1.34.- Trans-ferencia de calor en un molde de arena.
212
Cuando un metal se vacea dentro de un molde, la mayor parte del calor es, eventualmente, absorbido por el mismo molde, por cuanto en el caso de estado estable, todo el calor de la superficie interna se transmite a la superficie externa.
Por esta razón, el calor específico del material del molde, cmolde, la densidad del material del molde, molde, y la conductividad térmica, kmolde, ingresan a la ecuación del flujo de calor, J, y, por conveniencia, pueden combinarse en un término:
moldemolde
moldemolde c
kd térmicadifusivida
213
Otra variable importante es la variación de la temperatura Tx en cualquier punto del molde, como una función del tiempo. Con estos puntos en mente, revisaremos la ecuación general derivada por Carslaw y Jaeger, y Ruddle.
Asumir que la superficie del molde ilustrado en la figura, se eleva instantáneamente desde una temperatura inicial T0 a una temperatura T1 en t = 0, y permanece en T1 durante la solidificación.
Esta situación es muy aprovechada en los moldes de arena.
214
Considerar primero el problema del flujo de calor unidireccional. El metal es vaciado, exactamente, a su punto de fusión contra una pared del molde plana y gruesa, inicialmente, a la temperatura ambiente TO.
De este modo, la superficie del molde es calentada repentinamente a T1 en el tiempo t = 0.
Esto es un transiente, problema de flujo de calor uni-dimensional y la solución debe ajustarse a la Ec. diferencial parcial
2
2
x
T
t
Tm
(1.14)
215
Después de transcurrido un tiempo t, la temperatura T a una distancia x de la interfase del molde, esta dada por:
(2)
t
xerfTTTTx 2
1010 )(
!!!!)(
)(
5114937253
2
2
119753
0
2
xxxxxxxerf
dtexerfx
t
216
Esta expresión compleja (ecuación 2), es necesaria debido al cambio del gradiente térmico en la arena como calor. En esta ecuación, observamos que la temperatura en el punto x en el tiempo t:
• Incrementa con el incremento de la temperatura del molde T0, temperatura T1 de la interfase, y difusividad térmica , y
• Decrece a medida que la distancia x desde la interfase incrementa.
217
Para determinar la velocidad del flujo de calor desde la pieza a la interfase, necesitamos determinar el gradiente térmico, el cual puede calcularse diferenciando la ecuación (2):
)()(
)(
t
xerf
dx
dTT
dx
dT
t
xerfTTT
dx
d
dx
dT
2
21
01
010
218
Reemplazando la función error por la serie convergente y luego diferenciando, obtenemos para los 2 primeros términos:
En vista de que deseamos obtener el gradiente en la interfase, donde x = 0, podemos escribir:
(3)
!13
3
2
1
2
12
2
2x
ttt
xerf
dxd
0
1
2
01
xent
TTdxdT
tt
xerf
dxd
)(
219
Puesto que el flujo de calor, J, por unidad de área por unidad de tiempo en la interfase, es igual a la conductividad térmica multiplicada por el gradiente, como en la ecuación (1), tendremos:
(4)
El signo (-) de dT/dx, de la Ec. (3), se cancela en la Ec. (4), dado que el flujo de calor es hacia el G. T.
Ahora el tsolidificación de una pieza dada o riser de-penderá simplemente de eliminar una cierta cantidad de calor Q, a través de un área total A, en x = 0.
t
TTkJ
)( 01
220
De este modo:
(5)
Determinaremos el tiempo de solidificación, ts, de una placa grande cuya cara principal tiene un área A.
El calor a disiparse es el sobrecalentamiento por encima de la temperatura de solidificación y el calor latente de fusión.
tt
t
tTTkAJdtAQ
0
012
)(
221
La temperatura de vaciado es, Tp y la temperatura de solidificación es T1 (temperatura de la interfase); siendo cmetal el calor específico del metal líquido en BTU/°F-lb, Lmetal el calor latente de fusión en BTU/lb, V el volumen de la placa, y metal la densidad del metal en lb/pie3. Entonces el calor a disiparse es:
Igualando este resultado al valor anterior de Q (ecuación 5), encontraremos para t = ts:
)( 1TTcLV pmetalmetalmetal
)(
)(
1
012
TTcL
tTTk
AV
pmetalmetalmoldemolde
smolde
222
Para una combinación dada de condiciones del molde y metal, podemos resolver para ts e incorporando todas las constantes en una simple constante B, la “constante del molde”. Luego:
donde:
Por lo tanto, el tiempo de solidificación es proporcional a (volumen/área)2 de la pieza o riser.
2
AV
Bt s
2
01
1
2
)(
)(
TTk
TTcLB
molde
pmetalmetalmoldemetal
223
Chvorinov expe-rimentó esta relación para una amplia va-riedad de formas y pesos de piezas, y en-contró una buena concordancia, tal co-mo se presenta a con-tinuación en la figura. Se han desarrollado factores de correc-ción los cuales mejo-ran la concordancia.
Figura 1.35.- Tiempo de solidificación vs V/A. 117
