Sólidos Platónicos

Sólidos PlatónicosLos poliedros platónicos se construyen utilizando

múltiples copias de un único polígono regular; todos los vértices tienen el mismo número de

caras alrededor. Un polígono es regular cuando todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos

interiores tienen la misma amplitud.

TetraedroCubo

OctaedroDodecaedroIcosaedro

Poliedros regulares de caras triangulares

• Como el ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, para que se forme ángulo poliedro podrán concurrir en un vértice 3, 4, o 5 triángulos, ya que la suma de sus ángulos interiores será respectivamente: 3x60°=180°, 4x60°=240°, 5x60°=300°

• Si en un mismo vértice concurriesen 6 o más caras, su suma sería 6x60°=360° o más (cuatro rectos o más), lo que impediría la formación del ángulo poliedro.

• Por consiguiente, con caras triangulares no pueden existir más de tres especies de poliedros regulares diferentes, caracterizados porque sus ángulos poliedros son triedros, tetraedros o pentaedros, es decir, formado por tres, cuatro o cinco caras en cada vértice, respectivamente. Se los nombra por el número de caras totales que tienen:

• TETRAEDRO: 4 carasTETRA: prefijo, del griego: cuatro.

• OCTAEDRO: 8 carasOCTA: prefijo, del griego: ocho

• ICOSAEDRO: 20 carasICOSA: prefijo, del griego: veinte

Tetraedro

TETRAEDRO: 4 carasTETRA: prefijo, del griego:

cuatro.

Octaedro

OCTAEDRO: 8 caras OCTA: prefijo, del griego: ocho

Icosaedro

ICOSAEDRO: 20 carasICOSA: prefijo, del griego:

veinte

Poliedros regulares con caras cuadradas

• Los ángulos del cuadrado miden 90°, por lo tanto en un vértice podrán concurrir tres de ellos para formar ángulo poliedro, pues: 3X90°=270°. Si tomásemos cuatro caras cuadradas no se podría formar ningún ángulo poliedro, ya que 4X90°=360°.

• Por lo tanto, con caras cuadradas no puede existir más de una especie de poliedros regulares: Hexaedros o Cubos.

Hexaedro o Cubo

HEXAEDRO O CUBO: 6 caras HEXA: prefijo, del griego: seis

Poliedros regulares de caras pentagonales

• Sabiendo que el ángulo interior de un pentágono regular mide 108°, el ángulo poliedro en el que concurren tres caras pentagonales por vértice medirá 3X108°=324°, que es menor que 360°, permitiendo así construir triedros de caras pentagonales regulares. Si fuesen cuatro ya no sería posible ya que 4X108°=432°. De esto se deduce que no existirán ángulos poliedros con cuatro o más caras de esta clase.

• El único poliedro regular con caras pentagonales es el llamado Dodecaedro.

Dodecaedro

DODECAEDRO: 12 caras DODECA: prefijo, del griego: doce

¿Existen poliedros regulares con caras hexagonales, heptagonales,

etc. ?• Los ángulos interiores del hexágono regular miden

120°. Tres de ellos sumarán 3X120°=360°, que no es menor que cuatro rectos. Si consideramos que los ángulos de los polígonos regulares van aumentando a medida que lo hace el número de lados, tres ángulos de cualquiera de los polígonos regulares de seis o más lados sumarán más de 360°.

• Por lo tanto: No existen polígonos regulares cuyas caras sean hexágonos, heptágonos, octógonos, etc.