Solución de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss - Jordan

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 - 3x3 = 1

3x1 + 6x2 - 5x3 = 0

• Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

• Se obtiene su representación matricial de la forma

A X = B

Matriz de coeficientes Vector de variables Vector de resultados (términos independientes)

A

1 1 2

2 4 3

3 6 5

X

x1

x2

x3

B

9

1

0

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 - 3x3 = 1

3x1 + 6x2 - 5x3 = 0

• Comenzamos representando el sistema en la forma de MATRIZ AMPLIADA

A

1 1 2

2 4 3

3 6 5

9

1

0

• Hay que llegar a la forma de la matriz IDENTIDAD. • Asegurarse de que el valor pivote (en la posición i=1 y j=1) sea

1. • Si no es 1, entonces dividir todo el renglón pivote entre

el valor del pivote

A

1 1 2

2 4 3

3 6 5

9

1

0

1 renglón pivote

valor del pivote

• Hay que llegar a la forma de la matriz IDENTIDAD. • Hay que hacer que los valores en esa columna que están

debajo del valor pivote (en este caso la columna 1) sean 0. • Se suma el renglón que queremos hacer 0 (en este caso

renglón 2) con el renglón pivote (en este caso renglón 1) multiplicado por el coeficiente negativo (en este caso -2)del valor en esa columna del renglón a hacer 0 (el renglón 2) el resultado se coloca en el renglón a hacer 0 (el renglón 2)

A

1 1 2

2 4 3

3 6 5

9

1

0

1 renglón pivote

valor del pivote

renglón a hacer 0 (R2)

Coeficiente en la columna

R1 * (-)(2) ----> 1(-2) 1(-2) 2(-2) | 9(-2) R2 ----> 2 4 - 3 | 1 _______________________________________________ R2 ----> 0 2 -7 | -17

A

1 1 2

0 2 7

3 6 5

9

17

0

1 renglón pivote

valor del pivote

nuevo renglón (R2)

• Hacer lo mismo para el resto de los renglones. • Hay que hacer que los valores en esa columna que están

debajo del valor pivote (en este caso la columna 1) sean 0. • Se suma el renglón que queremos hacer 0 (en este caso

renglón 3) con el renglón pivote (en este caso renglón 1) multiplicado por el coeficiente negativo (en este caso -3)del valor en esa columna del renglón a hacer 0 (el renglón 3) el resultado se coloca en el renglón a hacer 0 (el renglón 3)

A

1 1 2

0 2 7

3 6 5

9

17

0

1 renglón pivote

valor del pivote

renglón a hacer 0 (R3)

Coeficiente en la columna

R1 * (-)(3) ----> 1(-3) 1(-3) 2(-3) | 9(-3) R3 ----> 3 6 - 5 | 0 _______________________________________________ R3 ----> 0 3 -11 | -27

A

1 1 2

0 2 7

0 3 11

9

17

27

1 renglón pivote

valor del pivote

nuevo renglón (R3)

A

1 1 2

0 2 7

0 3 11

9

17

27

• Repetir el proceso para cada valor pivote. • Ahora seguimos con valor pivote (i= 2 j= 2) • Hacer 1 el valor pivote • Hacer 0 cada valor en la columna debajo de el valor

pivote con la operación correspondiente

1

renglón pivote

valor del pivote

2

R2 / (2) ----> 0 / (2) 2 / (2) -7 / (2) | -17 / (2) _______________________________________________ R2 ----> 0 1 -3.5 | -8.5

A

1 1 2

0 1 3.5

0 3 11

9

8.5

27

1

valor del pivote

1 renglón pivote

A

1 1 2

0 1 3.5

0 3 11

9

8.5

27

1

renglón pivote

valor del pivote

1 renglón a hacer 0 (R3)

Coeficiente en la columna

A

1 1 2

0 1 3.5

0 0 0.5

9

8.5

1.5

1

renglón pivote

valor del pivote

1 nuevo renglón (R3)

R2 * (-)(3) ----> 0(-3) 1(-3) -3.5(-3) | -8.5(-3) R3 ----> 0 3 -11 | -27 _______________________________________________ R3 ----> 0 0 -0.5 | -1.5

• Repetir el proceso para cada valor pivote. • Ahora seguimos con valor pivote (i= 3 j= 3) • Hacer 1 el valor pivote • Hacer 0 cada valor en la columna arriba de el valor

pivote con la operación correspondiente

A

1 1 2

0 1 3.5

0 0 0.5

9

8.5

1.5

1

renglón pivote

valor del pivote

1

-0.5

A

1 1 2

0 1 3.5

0 0 1

9

8.5

3

1

valor del pivote

1

renglón pivote 1

R3 /(-0.5) ----> 0/(-0.5) 0/(-0.5) -0.5/(-0.5) | -1.5 (-0.5) _____________________________________________ R3 ----> 0 0 1 | 3

A

1 1 2

0 1 3.5

0 0 1

9

8.5

3

1

valor del pivote

1

renglón pivote 1

renglón a hacer 0 (R2)

Coeficiente en la columna

3

2

9

100

010

211

A

1

valor del pivote

1

renglón pivote 1

R3 * (-)(-3.5) ----> 0(3.5) 0(3.5) -1(3.5) | 3(3.5) R2 ----> 0 1 -3.5 | -8.5 _______________________________________________ R2 ----> 0 1 0 | 2

nuevo renglón (R2)

3

2

9

100

010

211

A

1

valor del pivote

1

renglón pivote 1

renglón a hacer 0 (R1)

Coeficiente en la columna

3

2

3

100

010

011

A

1

valor del pivote

1

renglón pivote 1

R3 * (-)(2) ----> 0(-2) 0(-2) -1(-2) | 3(-2) R1 ----> 1 1 2 | 9 _______________________________________________ R1 ----> 1 1 0 | 3

Nuevo renglón (R1)

3

2

3

100

010

011

A

1

valor del pivote

1 renglón pivote

1

3

2

3

100

010

011

A

1

valor del pivote

1 renglón pivote

1

renglón a hacer 0 (R1)

Coeficiente en la columna

3

2

1

100

010

001

A

1

valor del pivote

1 renglón pivote

1

R2 * (-)(1) ----> 0(-1) 1(-1) 0(-1) | 2(-1) R1 ----> 1 1 0 | 3 _______________________________________________ R1 ----> 1 0 0 | 1

Nuevo renglón (R1)

• La solución al sistema de ecuaciones:

3

2

1

X

3

2

1

x

x

x

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 - 3x3 = 1

3x1 + 6x2 - 5x3 = 0

3

2

1

100

010

001

A