SOLUCIÓN NUMÉRICA A UN PROBLEMA DE

SOLUCIÓN NUMÉRICA A UN PROBLEMA DE CONVECCIÓN NATURAL EN UNA CELDA HELE SHAW

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA Ciencias Básicas e Ingeniería

LICENCIATURA EN INGENIERÍA EN ENERGÍA

PRESENTA ISRAEL JONATHAN SANTIAGO JIMÉNEZ 200317158

BAJO LA ASESORÍA DE:

DRA. ELIZABETH SALINAS BARRIOS

DR. JUAN MANUEL ZAMORA MATA

MÉXICO, D. F. 2005


Dedicado a mis padres María del Carmen y Felipe.

i


AGRADECIMIENTOS

Agradezco a la Dra. Elizabeth Salinas Barrios y al Dr. Juan Manuel Zamora Mata su paciencia y su valiosa guía en la elaboración de este trabajo y en la enseñanza de un método de trabajo e

investigación.

Al Laboratorio de Síntesis Optimización y Simulación de Procesos y al Laboratorio de Sistemas Multifásicos, pertenecientes al Departamento de Ingeniería de Procesos e Hidráulica,

por todas las facilidades otorgadas para la elaboración de este trabajo.

ii


ÍNDICE Pág.

1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 1 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES .......................................................................... 2

2.1. Ecuaciones hidrodinámicas..................................................................................... 2

2.1.1. Ecuación de continuidad ............................................................................. 2

2.1.2. Ecuación de movimiento............................................................................. 3

2.1.3. Ecuación de la energía ................................................................................ 5

2.2. La celda Hele Shaw ................................................................................................ 13

2.3. Convección Natural ................................................................................................ 14

2.4. Aproximación de Boussinesq ................................................................................. 15

2.5. Perfiles de velocidad de Poiseuille en la celda Hele Shaw ..................................... 18

2.6. Capa límite.............................................................................................................. 20

2.7. Análisis dimensional............................................................................................... 22

3. MODELO DE CHENG PARA LA CONVECCIÓN NATURAL EN UNA CELDA HELE SHAW................................................................................................. 24

3.1. Hipótesis ................................................................................................................. 24

3.2. Ecuación de continuidad......................................................................................... 26

3.3. Ecuación de movimiento ........................................................................................ 26

3.4. Ecuación de la energía térmica ............................................................................... 28

3.5. Condiciones a la frontera ........................................................................................ 29

3.6. Modelo de Cheng para la convección natural en una celda Hele Shaw.................. 29

3.7. Modelo adimensional de Cheng para la convección natural en una celda Hele Shaw ....................................................................................................................... 30

4. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS.................................................................. 36

4.1. Introducción al método numérico de aproximación por diferencias finitas............ 36

4.2. Ejemplos de aplicación del método de diferencias finitas para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con valores a la frontera .... 39

4.2.1. Ejemplo 1 .................................................................................................... 39

4.2.1.1. Discretización................................................................................. 39

4.2.1.2. Solución ......................................................................................... 42

4.2.1.3. Análisis del error............................................................................ 43

iii


4.2.2. Ejemplo 2 .................................................................................................... 46

4.2.2.1. Discretización................................................................................. 46

4.2.2.2. Solución ......................................................................................... 47

4.2.2.3. Análisis del error............................................................................ 49

5. SOLUCIÓN NUMÉRICA DEL MODELO ADIMENSIONAL DE CHENG ........ 53

5.1. Discretización del sistema de ecuaciones diferenciales .......................................... 53

5.2. Solución del sistema de ecuaciones diferenciales de un caso base......................... 56

5.2.1. Temperatura adimensional ......................................................................... 57

5.2.2. Función de corriente adimensional ............................................................. 58

5.2.3. Número de Rayleigh ................................................................................... 61

5.2.4. Número local de Nusselt ............................................................................. 62

5.2.5. Análisis del error del caso base ................................................................... 64

6. SENSIBILIDAD PARAMÉTRICA ............................................................................ 69

6.1. Variación del parámetro γ ....................................................................................... 69

6.1.1. Temperatura adimensional .......................................................................... 70

6.1.2. Función de corriente adimensional ............................................................. 71

6.1.3. Espesor de capa límite................................................................................. 72

6.1.4. Transferencia de calor ................................................................................. 73

6.1.5. Solución del modelo para la celda de Hele Shaw utilizada por Vorontsov et. al. ............................................................................................................ 77

7. CONCLUSIONES ........................................................................................................ 83

REFERENCIAS .................................................................................................................. 84

APÉNDICES

A.1 Nomenclatura ........................................................................................................... 85

A.2 Notación tensorial .................................................................................................... 86

A.3 Expresiones de diferencias finitas para derivadas ordinarias de primer a cuarto orden.............................................................................................................. 89

A.4 Código del programa realizado en Visual Fortran Professional Edition 6.0A......... 91

iv


ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 Elemento diferencial de volumen por el cual fluye un fluido ........................ 2

Figura 2.2 Diagrama esquemático de la celda Hele Shaw y sistema de referencia ......... 13

Figura 2.3 Aproximación lineal de las propiedades del fluido como función de la temperatura..................................................................................................... 15

Figura 2.4 Sistema coordenado para la obtención del perfil de Poiseuille de velocidades ..................................................................................................... 18

Figura 2.5 Esquema de la capa límite cerca de una pared caliente.................................. 21

Figura 4.1 Puntos de la función f(x) alrededor de f(x i) , y la pendiente de f(x i). ............... 36

Figura 4.2 Puntos de la función u(t) en el recinto limitado por [t0 ,t n+ 1].......................... 40

Figura 4.3 Comparación de la solución por diferencias finitas con la solución analítica 42

Figura 4.4 Soluciones por diferencias finitas para diferentes números de nodos comparadas con la solución analítica ............................................................. 43

Figura 4.5 Comportamiento del error relativo con respecto a t. ...................................... 44

Figura 4.6 Comportamiento del error absoluto con el cambio de t.................................. 44

Figura 4.7 Comportamiento del error máximo relativo con el cambio del número de nodos de la malla............................................................................................ 45

Figura 4.8 Solución analítica y solución por el método de diferencias finitas, n= 5........ 47

Figura 4.9 Gráfica de la solución por diferencias finitas para distintos números de nodo comparada con la solución analítica...................................................... 48

Figura 4.10 Comportamiento del error relativo contra t, n= 5 . .......................................... 49

Figura 4.11 Comportamiento del error absoluto contra t, n= 5 . ......................................... 50

Figura 4.12 Comportamiento del error relativo contra t, n= 100 . ...................................... 50

Figura 4.13 Comportamiento del error absoluto con t, n= 100 .......................................... 51

Figura 4.14 Comportamiento del error relativo máximo con el número de nodos. ........... 52

Figura 4.15 Comportamiento del error absoluto máximo con el número de nodos........... 52

Figura 5.1 Esquema de la malla para la discretización del modelo Q ............................. 53

Figura 5.2 Temperatura adimensional contra longitud adimensional para γ=1 ............... 57

Figura 5.3 Función de corriente adimensional contra longitud adimensional ................. 58

Figura 5.4 Componente vertical de la velocidad adimensional contra la posición horizontal adimensional ................................................................................. 59

Figura 5.5 Componente horizontal de la velocidad adimensional contra la posición horizontal adimensional ................................................................................. 60

Figura 5.6 Número de Rayleigh....................................................................................... 61

Figura 5.7 Número local de Nusselt en función de la coordenada adimensional X ......... 63

v


Figura 5.8 Número local de Nusselt contra número de Rayleigh .................................... 64

Figura 5.9 Comportamiento del error absoluto, respecto de la solución con 49 9 nodos, para diferentes números de nodos con el cambio de η , γ=1 ......................... 65

Figura 5.10 Comportamiento del error relativo, respecto de la solución con 499 nodos,

para diferentes números de nodos con el cambio de η , γ=1.......................... 66

Figura 5.11 Error absoluto máximo respecto de la solución con n= 499 para diferentes números de nodos. γ=1 ................................................................................... 67

Figura 5.12 Error relativo máximo respecto a la solución con n = 499 para diferentes números de nodos. γ=1 ................................................................................... 68

Figura 6.1 Temperatura y primera derivada de la función de corriente adimensionales . 70

Figura 6.2 Función de corriente adimensional................................................................. 71

Figura 6.3 Espesor de capa límite en función de γ........................................................... 72

Figura 6.4 θ'(0) o Nux/Rax1/2 en función de γ. .................................................................. 74

Figura 6.5 Relación del número de Nusselt promedio sobre la raíz cuadrada del número de Rayleigh promedio ....................................................................... 76

Figura 6.6 Temperatura adimensional contra la longitud horizontal adimensional, X =0.5, γ =0, γ =1 ........................................................................................... 77

Figura 6.7 Componente vertical de la velocidad adimensional contra la longitud horizontal adimensional, X =0.5, γ =0, γ =1 ................................................... 78

Figura 6.8 Componente horizontal de la velocidad adimensional contra la longitud horizontal adimensional, X =0.5, γ =0, γ =1 ................................................... 79

Figura 6.9 Velocidad adimensional contra la longitud horizontal adimensional X =0.5, γ =0, γ =1 ........................................................................................................ 80

Figura 6.10 Número local de Nusselt contra la posición vertical adimensional X =0.5, γ = 1 y γ = 0.................................................................................................... 81

Figura 6.11 Número local de Nusselt contra la posición vertical adimensional, X =0.5, γ = 1 y γ = 0.................................................................................................... 82

vi


ÍNDICE DE TABLAS Tabla 3.1 Propiedades térmicas del agua........................................................................... 31

Tabla 4.1 Solución analítica y numérica del ejemplo 1, para n= 5 .................................... 42

Tabla 4.2 Solución analítica y numérica del ejemplo 2, para n= 5 .................................... 47

Tabla 4.3 Error máximo relativo y absoluto para diferentes números de nodos ............... 51

Tabla 6.1 Valores de para diferentes valores de γ....................................................... 72 ∞f

Tabla. 6.2 Comparación de ηδ para diferentes valores de γ con la solución de Cheng y

Minkowycz ........................................................................................................ 73

vii


SOLUCIÓN NUMÉRICA A UN PROBLEMA DE

CONVECCIÓN NATURAL EN UNA CELDA HELE SHAW 1. INTRODUCCIÓN. El estudio del comportamiento del flujo de un fluido newtoniano, provocado por un gradiente de temperatura en la celda Hele Shaw, es de gran importancia para entender el fenómeno de la convección natural en problemas de transferencia de masa y de calor. Una de las aplicaciones más importantes del estudio de la celda Hele Shaw se encuentra en la modelación del problema de la filtración de un fluido en un medio poroso. La analogía del problema de filtración y de convección natural se establece en la similitud de las ecuaciones que describen el comportamiento de ambos fenómenos. En 1977, Ping Cheng y W. J. Minkowycz publicaron un estudio sobre convección natural en una placa vertical en un medio poroso. En 1990, S. S. Vorontsov et. al., estudiaron la convección natural en una celda Hele Shaw y compararon el modelo de Cheng y Minkowycz con sus experimentos en los cuales midieron la temperatura con microtermopares y obtuvieron un perfil de temperaturas con un sistema de imágenes infrarrojas optomecánico, concluyendo que el modelo de Cheng y Minkowycz describe aceptablemente el fenómeno. El estudio de la convección natural en una celda Hele Shaw es importante debido a que pueden ser obtenidos coeficientes de transferencia de calor que permitirán escalar el sistema y aplicar los resultados a otros sistemas con dimensiones mayores. Dada una celda Hele Shaw, que consiste de dos placas paralelas, separadas una distancia muy pequeña comparada con las dimensiones de las placas, y dos paredes laterales, entre las cuales se encuentra un fluido newtoniano que fluye en un régimen totalmente desarrollado (el flujo no depende del tiempo), debido a un gradiente de temperatura entre las paredes laterales; se desea conocer los perfiles de velocidad y de temperatura, así como el coeficiente de transferencia de calor de la pared calentada al fluido cuando una de las paredes laterales es calentada y se mantiene a una temperatura constante. El objetivo de este trabajo es comprender los mecanismos de transferencia de calor por convección natural en una celda Hele Shaw específica y reproducir, mediante el método de aproximación numérica por diferencias finitas, los resultados obtenidos por Cheng y Minkowycz (1977), y Vorontsov et. al. (1990) mediante un método de Runge Kutta modificado. Se obtendrá además, una descripción del comportamiento de la velocidad, de la temperatura y del coeficiente de transferencia de calor en diferentes regiones de interés de la celda, como lo es la capa límite térmica, cerca de la pared calentada, y el seno del fluido, en el centro de la celda.

1


2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

2.1. Ecuaciones hidrodinámicas Las ecuaciones hidrodinámicas1 son balances de materia, momentum y energía que describen el comportamiento de los fluidos. Estos balances son expresados a través de la ecuación de continuidad, ecuación de movimiento y ecuación de la energía.

2.1.1. Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad es la ley de conservación de la masa que enuncia que la masa no se crea ni se destruye. En un sistema, delimitado por límites físicos o imaginarios, la masa que entra en él es igual a la masa que sale más la masa acumulada. En una geometría rectangular se estudia un elemento diferencial de volumen de un fluido fijo en el espacio cuyo volumen está dado por ∆x∆y∆z, como lo muestra la figura 2.1.

Figura 2.1. Elemento diferencial de volumen por el cual fluye un fluido.

Aplicando la ley de conservación de la masa a este elemento diferencial se tiene que:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]zzzzzyyyyyxxxxx yxzxzy

tzyx

∆+∆+∆+−∆∆+−∆∆+−∆∆=

∂∂

∆∆∆ vvvvvv ρρρρρρρ

(2.1.1)

1 Ecuaciones de continuidad, movimiento y energía: R. B. Bird et al. “Fenómenos de Transporte”, editorial Reverté.

2


Donde el coeficiente ( )ivρ es la componente en dirección i de la velocidad másica. Las unidades de la velocidad másica son [kg·m-3·m·s-1]=[kg·m-2·s-1], que corresponden a las unidades de flujo. Dividiendo (2.1.1) entre ∆x∆y∆z y tomando el límite cuando ∆x→0, ∆y→0 y ∆z→0, se obtiene la ecuación diferencial parcial:

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂∂

zyxtzyx vvv ρρρρ (2.1.2)

La ecuación (2.1.2) es la ecuación de continuidad y describe el cambio de la densidad de un punto fijo en el sistema debido a las variaciones de la velocidad másica.

En notación vectorial: ( vρ )ρ⋅−∇=

∂∂

t (2.1.3)

En notación tensorial2: ( )

i

i

xt ∂∂

−=∂∂ vρρ (2.1.4)

Si el fluido es incompresible y la densidad no es función del tiempo, esta ecuación se reduce a,

0=⋅∇ v , ó, ( ) 0=∂

∂

i

i

xv (2.1.5)

2.1.2. Ecuación de movimiento La ley de conservación de momento aplicada a un elemento diferencial de volumen a la masa de un fluido establece que la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento es igual a la velocidad de entrada de cantidad de movimiento menos la velocidad de salida de cantidad de movimiento más la suma de las fuerzas que actúan sobre el elemento. Las fuerzas que actúan sobre el elemento diferencial de volumen del fluido pueden ser fuerzas másicas, debidas a un campo de fuerza externo, y son fuerzas proporcionales a la masa del fluido donde se aplica. En el sistema de la celda Hele Shaw la masa del fluido está bajo la acción del campo de fuerzas de gravedad. Las fuerzas de superficie se ejercen sobre las superficies del elemento diferencial de volumen del fluido por el resto de partículas mediante contacto. Estas fuerzas son proporcionales al área y tienen componentes normal y tangencial. La componente normal es la presión y la tangencial es la fuerza viscosa que se origina por los esfuerzos cortantes. Al aplicar un balance de cantidad de movimiento al elemento diferencial de volumen del fluido de la figura 2.1 se toma en cuenta el comportamiento no estacionario de un fluido 2 Ver el apéndice A2. Notación Tensorial

3


que se mueve en dirección arbitraria a través de las caras del elemento de volumen. La cantidad de movimiento a través del elemento de fluido se debe al flujo global del fluido o convección y a los gradientes de velocidad o transporte molecular. Por convección, la componente x de cantidad de movimiento, entra por la cara situada en x y sale por la cara situada en x+∆x; de tal manera que:

( ) ( ) ( )zzxzzxzyyxyyxyxxxxxxx yxzxzy

∆+∆+∆+−∆∆+−∆∆+−∆∆ vvvvvvvvvvvv ρρρρρρ (2.1.6)

es el flujo convectivo neto de la cantidad de movimiento x, en el elemento de volumen. La velocidad con la que la componente x de la cantidad de movimiento entra por transporte molecular por la cara situada en x es zy

xxx ∆∆τ ; la velocidad con que sale es zyxxxx ∆∆

∆+τ ,

donde τxx es el esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x (segundo subíndice) sobre la superficie de un fluido que se encuentra situada a una distancia x (primer subíndice). De manera tal que en elemento de volumen de fluido se tendrán seis contribuciones, una por cada cara, la cantidad de movimiento por transporte molecular es:

( ) ( ) ( )zzzxzzxyyyxyyxxxxxxxx yxzxzy

∆+∆+∆+−∆∆+−∆∆+−∆∆ ττττττ (2.1.7)

Los efectos del gradiente de presión del fluido y del campo de fuerzas de gravedad son:

( ) xxxxgzyxppzy ρ∆∆∆+−∆∆

∆+ (2.1.8)

La velocidad de acumulación de cantidad de movimiento está dada por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∆∆∆t

zyx xvρ (2.1.9)

Haciendo un balance de cantidad de movimiento, dividiendo entre ∆x∆y∆z y tomando el límite cuando ∆x→0, ∆y→0 y ∆z→0, se obtiene,

( ) ( ) ( ) ( )x

zxyxxxxzxyxxx gxp

zyxzyxtρτττρρρρ

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂

∂ vvvvvvv (2.1.10)

que es la ecuación de movimiento correspondiente a la componte x de la velocidad de cantidad de movimiento. Los esfuerzos cortantes son proporcionales al cambio de velocidad con respecto a la posición perpendicular del flujo como lo describe la ley de Newton de la viscosidad:

yx

yx ∂∂

−=v

µτ (2.1.11)

4


La ecuación (2.1.10) se puede escribir en función de la velocidad en lugar de los esfuerzos cortantes por medio de la ecuación (2.1.11),

( )x

xxxxz

xy

xx

x gxp

zyxzyxtρµρρ

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂∂

−=∂

∂2

2

2

2

2

2 vvvvvvvvvv (2.1.12)

Donde se ha considerado que el fluido es incompresible. Las ecuaciones de movimiento para los tres componentes de la velocidad son conocidas como las ecuaciones de Navier – Stokes. En notación vectorial estas tres ecuaciones se puede escribir en forma más como sigue:

gpDtD ρµρ +∇+−∇= vv 2 (2.1.13)

Donde es la derivada sustancial de la velocidad y es el laplaciano. Dt/vD 2∇ En notación tensorial la ecuación de movimiento se puede escribir como:

3,2,1,2

2

=∂∂

++∂∂

−=∂∂

+∂

∂jcon

xg

xp

xt ji

ijiji

ji

j vv

vv

µδρρρ (2.1.14)

2.1.3. Ecuación de la energía Esta ecuación expresa la ley de la conservación de la energía para un elemento de volumen de fluido, visto como un sistema abierto en estado no estacionario, donde la tasa de acumulación de energía cinética e interna del elemento de fluido, es igual a la tasa de entrada de energía cinética e interna, debida a la convección, menos la tasa de salida de energía cinética e interna debida igualmente a la convección, más la tasa de adición de calor por conducción menos la tasa neta de trabajo comunicado por el sistema hacia su alrededor. Para el elemento de fluido de la figura 2.1, cuyo volumen es ∆x∆y∆z, la tasa de acumulación de energía interna y cinética es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

∆∆∆ 2

21ˆ vρρU

tzyx (2.1.15)

Donde Û, es la energía interna por unidad de masa y v es la velocidad con la que del fluido atraviesa el elemento de volumen. La ecuación (2.1.15) La tasa neta de entrada de energía interna y energía cinética al elemento de fluido por convección es:

5


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∆∆

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∆∆

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∆∆

∆+

∆+

∆+

zzz

zz

yyy

yy

xxx

xx

ÛÛyx

ÛÛzx

ÛÛzy

22

22

22

21

21

21

21

21

21

vvvv

vvvv

vvvv

ρρρρ

ρρρρ

ρρρρ

(2.1.16)

El vector densidad de calor que entra por conducción al elemento de fluido es q, por lo tanto la tasa neta de adición de calor por conducción es:

( ) ( ) ( )zzzzzyyyyyxxxxx qqyxqqzxqqzy

∆+∆+∆+−∆∆+−∆∆+−∆∆ (2.1.17)

El elemento de fluido realiza trabajo contra las fuerzas de volumen y las fuerzas de superficie. La única fuerza de volumen considerada es la fuerza debida a la gravedad. Por otra parte, las fuerzas de área son las fuerzas de presión y las fuerzas viscosas. El trabajo realizado por el elemento de fluido contra las fuerzas de gravedad es:

( )zzyyxx gggzyx vvv ++∆∆∆− ρ (2.1.18) El trabajo realizado por el elemento de fluido contra las fuerzas de presión estática es:

( ) ( ) ( )zzzzyyyyyxxxxx ppyxppzxppzy zvvvvvv −∆∆+−∆∆+−∆∆

∆+∆+∆+ (2.1.19)

El trabajo que realiza el elemento de fluido contra las fuerzas viscosas es:

( )( )( )

zzzzzzzzzzyzyzzyzyzxzxzzxzx

yzyzyyzyzyyyyyyyyyyxyxyyxyx

xzxzxxzxzxyxyxxyxyxxxxxxxxx

yx

zx

zy

vvvvvv

vvvvvv

vvvvvv

ττττττ

ττττττ

ττττττ

−+−+−∆∆+

−+−+−∆∆+

−+−+−∆∆

∆+∆+∆+

∆+∆+∆+

∆+∆+∆+

(2.1.20)

Poniendo las ecuaciones (2.1.15) a (2.1.20) en una ecuación de balance de energía para el elemento de fluido, dividiendo esta ecuación entre ∆x∆y∆z, y tomando el límite de la expresión cuando ∆x, ∆y y ∆z tienden a cero, se tiene:

6


( )

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++∂∂

+++∂∂

+++∂∂

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

zzzyzyxzxzyzyyyxyxzxzyxyxxx

zyxzzyyxxzyx

zyx

zyx

pz

py

px

gggzq

yq

xq

Ûz

Ûy

Ûx

Ut

vvvvvvvvv

vvvvvv

vvvvvv

v

τττττττττ

ρ

ρρρρρρ

ρρ

222

2

21

21

21

21ˆ

(2.1.21)

La ecuación (2.1.21) se puede escribir en notación vectorial de la siguiente forma:

( ) ( ) [ vτvgvqv ⋅⋅∇−⋅∇−⋅+⋅∇−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−∇=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂ pÛUt

ρρρ 22

21

21ˆ vv ] (2.1.22)

El término de la izquierda de la ecuación (2.1.22) es la tasa de ganancia de energía por unidad de volumen, el primer término de la derecha es la tasa de entrada de energía por unidad de volumen debido a la convección. El segundo término del lado derecho es la tasa de entrada de energía por unidad de volumen debido a la conducción. El tercer término es la tasa de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de gravedad. El cuarto término es la tasa de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de presión y el quinto término es la tasa de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas viscosas. Ahora se efectúan las diferenciaciones del lado izquierdo, correspondiente a la tasa de ganancia de energía interna y cinética por unidad de volumen, y del primer término del lado derecho, correspondiente a la tasa de entrada de energía por unidad de volumen por convección.

( ) [ ]vτvgvq

vv

⋅⋅∇−⋅∇−⋅+⋅∇−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∇⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∇+

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

p

ÛUtt

U

ρ

ρρρ 222

21

21ˆ

21ˆ vvv

(2.1.23)

En primer término de la ecuación (2.1.23) se puede sustituir la ecuación de continuidad

( vρ )ρ⋅∇−=

∂∂

t; por lo tanto, este primer término es igual a cero. El segundo término es la

derivada substancial de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

21ˆ vU multiplicada por la densidad del fluido, es decir:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

21ˆ vU

DtDρ

7


Por lo tanto, la ecuación (2.1.23) se puede reescribir como sigue:

( ) [ vτvgvq ⋅⋅∇−⋅∇−⋅+⋅−∇=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + pU

DtD ρρ 2

21ˆ v ] (2.1.24)

La ecuación (2.1.24) describe los intercambios de energía en un fluido desde un marco de referencia que se mueve con el fluido. Ahora se busca una ecuación de variación para la energía cinética del fluido. Se escribe en forma vectorial la ecuación (2.1.11) como sigue:

gτv ρρ +∇−⋅−∇= pDtD (2.1.25)

Donde se ha considerado que la densidad no cambia con respecto a la posición ni con respecto al tiempo. Para obtener el término de energía cinética, se hace el producto escalar de la ecuación (2.1.25) con el vector velocidad v.

[ ]( ) ( ) ( gvvτvvv ⋅+∇⋅−⋅∇⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ ρρ p

DtD ) (2.1.26)

Como,

2

21 vvv

DtD

DtD

=⋅

Por identidad tensorial,

[ ] [ ] vττvvτ ∇+⋅∇⋅=⋅⋅∇ : Por lo que,

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( gvvvvτvτv ⋅+⋅∇+⋅∇−⋅⋅∇−∇+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅∇−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ ρρρ ppt

:21

21 22 vv ) (2.1.27)

El término del lado izquierdo es la tasa de incremento de energía cinética por unidad de volumen. El primer término del lado derecho es la tasa neta de entrada de energía cinética debida al flujo global del fluido. El segundo y tercer término del lado derecho son la tasa de conversión irreversible de energía interna y la tasa de trabajo producido por las fuerzas viscosas que actúan sobre el elemento de volumen. El cuarto y quinto término del lado derecho son la tasa de trabajo producido por las fuerzas de presión de los alrededores sobre el elemento de volumen y la tasa de conversión reversible de energía interna. El sexto

8


término del lado derecho es la tasa de trabajo producido por las fuerzas de gravedad actuando sobre el elemento de volumen. De forma equivalente se puede agrupar el término del lado izquierdo con el primer término del lado derecho de la ecuación (2.1.27) para obtener un término con la derivada sustancial de la energía cinética como sigue:

( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( gvvvvτvτ ⋅+⋅∇+⋅∇−⋅⋅∇−∇=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρρ pp

DtD :

21 2v ) (2.1.28)

Restando la ecuación (2.1.28) de la ecuación (2.1.24) se obtiene una ecuación que describe los intercambios de energía calorífica en el fluido.

( ) ( ) ( vτvq ∇−⋅∇−⋅∇−= :ˆ

pDtUDρ )

)

(2.1.29)

Esta ecuación indica que la tasa de acumulación de energía interna en el elemento de volumen es igual a la tasa de entrada de energía interna por unidad de volumen debida a la conducción menos la tasa reversible de energía interna por unidad de volumen debida a la compresión menos la tasa irreversible de aumento de energía interna por unidad de volumen debido a la disipación viscosa. En esta ecuación, , puede ser positivo o negativo dependiendo si el fluido se expande o se comprime; el término

( v⋅∇p( )vτ ∇− : es siempre positivo ya que está descrito por

la siguiente ecuación:

( ) ( )[ ] ( )2

32

21:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅∇−⋅∇+⋅∇=Φ=∇− Ivvvv

rrr Tµµvτ (2.1.30)

Donde ( )Tvr⋅∇ es el transpuesto de ( )vr⋅∇ e I es el tensor unitario. La magnitud es la función de disipación viscosa y se expresa de la siguiente manera para coordenadas rectangulares.

vΦ

2

222

222

32

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=Φ

zyx

xzzyyx

zyx

zyx

zxyzxy

zyx

vvv

vvvvvv

vvvv

(2.1.31)

Para tener una ecuación de variación de energía total es necesario incorporar un término de energía potencial en la ecuación (2.1.24). Dado que la única fuerza externa considerada

9


hasta el momento es la debida a la gravedad, la energía potencial se puede obtener si se expresa esta fuerza externa en función del gradiente de una función escalar como sigue: Φ−∇=

)g (2.1.32)

Por lo tanto, el segundo término del lado derecho de la ecuación (2.1.24) se puede escribir como sigue:

( ) ( Φ∇⋅−=⋅ ))vgv ρρ (2.1.33) La derivada substancial con respecto al tiempo de la energía potencial es la siguiente:

Φ∇⋅+Φ

=Φ )

))

vdtd

DtD (2.1.34)

Resolviendo para el segundo término del lado derecho se tiene que:

dtd

DtD Φ

−Φ

=Φ∇⋅))

)v

Si se considera que la energía potencial es constante en el tiempo se tiene que,

( )DtDΦ

=⋅)

gvρ

Sustituyendo la ecuación en la ecuación (2.1.24)

( ) ( ) [ ]( vτvq ⋅⋅∇−⋅∇−⋅∇−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Φ+ pU

DtD 2

21ˆ v)

ρ )

)

(2.1.35)

Esta ecuación describe la variación de energía total para sistemas en los que la única fuerza externa actuando es la gravedad y en donde la energía potencial es independiente del tiempo. La ecuación de energía calorífica se puede expresar en función de la temperatura y la energía interna en función del calor específico del fluido para obtener una ecuación de la cual podamos obtener un perfil de temperaturas del sistema que se estudie. Siguiendo esto, la energía interna se considera como una función del volumen y de la temperatura,

, de modo que: ( TVUU ,ˆˆˆ =

dTdTUdVd

VdUdUd

VT ˆ

ˆˆˆˆˆ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (2.1.36)

El cambio de la energía interna del sistema es igual al cambio de la energía interna del sistema con respecto al cambio de volumen a temperatura constante más el cambio de la

10


energía interna del sistema con respecto al cambio de temperatura a volumen constante. De las relaciones de Maxwell3 se puede reescribir la ecuación (2.1.36) como sigue,

dTCVdTpTpUd V

Vˆ

ˆ

ˆˆˆ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−= (2.1.37)

Donde es el calor específico por unidad de masa a volumen constante. La derivada substancial de U es:

VC ˆˆˆ

DtDTC

DtVD

TpTp

DtUD

VV

ˆˆ

ˆˆˆ+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−= (2.1.38)

Multiplicando por la densidad, para tener una ecuación por unidad de volumen en lugar de por unidad de masa, se obtiene:

DtDTC

DtVD

TpTp

DtUD

VV

ˆˆ

ˆˆˆρρρ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−= (2.1.39)

Donde ρ1ˆ =V , es el volumen específico.

Se puede obtener una forma equivalente para la derivada substancial del volumen específico que aparece en la ecuación (2.1.39) por medio de la ecuación de continuidad,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zyxzyxtzyx

zyxvvvvvv ρρρρρ (2.1.40)

El lado izquierdo de la ecuación (2.1.40) es la derivada substancial de la densidad, por lo que:

( v⋅∇=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

DtD

DtD

DtVD ρ

ρρρρ 11ˆ ) (2.1.41)

Sustituyendo la ecuación (2.1.41) en la ecuación (2.1.39)

( )DtDTC

TpTp

DtUD

VV

ˆˆ

ˆˆρρ +⋅∇⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−= v (2.1.42)

Sustituyendo ahora la ecuación (2.1.42) en la ecuación (1.4.29) para la energía interna,

3 Una revisión al tema de las relaciones de Maxwell se puede obtener en K. Wark, D. E. Richards; “Termodinámica”, Segunda Edición; McGraw-Hill. España 2000.

11


( ) ( ) ( vτvq ∇−⋅∇⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⋅∇−= :ˆˆ

ˆV

V TpT

DtDTCρ ) (2.1.43)

La ley de Fourier de la conducción de calor establece que el vector densidad de flujo de calor es directamente proporcional al gradiente de temperatura y de sentido contrario; la constante de proporcionalidad es la conductividad calorífica k,

Tk∇−=q (2.1.44) Sustituyendo la ecuación (2.1.44), del vector densidad de flujo de calor, y la ecuación (2.1.30) de la disipación en la ecuación (2.1.43) se obtiene una ecuación simplificada de la ecuación de energía para un fluido newtoniano de conductividad calorífica constante,

( ) vΦ+⋅∇⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∇= µρ vV

V TpTTk

DtDTC

ˆ

2ˆˆ (2.1.45)

Si el fluido es incompresible, esta ecuación se reduce a,

vΦ+∇= µρ TkDtDTCV

2ˆˆ (2.1.46)

12


2.2. La celda Hele Shaw.

La celda Hele Shaw es un arreglo de dos placas paralelas muy cercanas entre sí; el

espacio entre ellas es ocupado por agua. Se considera que el agua es un fluido newtoniano incompresible, cuyo comportamiento está gobernado por las ecuaciones de Navier-Stokes. El movimiento del fluido en la celda es solo debido a la convección natural. La celda está diseñada para lograr que los efectos boyantes sean más importantes que los efectos viscosos y los efectos inerciales. En 1898 Hele Shaw4 señaló que en la celda, a un valor constante de z, se tiene un campo de velocidades en dos dimensiones que satisface la condición de componente normal cero cuando se tienen fronteras rígidas en el plano x-y. La convección natural se debe a un gradiente de temperatura aplicada entre las placas laterales de la celda como se muestra en la figura 2.2.

Figura 2.2. Diagrama esquemático de la celda Hele Shaw y sistema de referencia.

En la figura 2.2 se muestra el esquema de la celda Hele Shaw de altura H, longitud L y espesor de la cavidad h. La pared lateral situada en y=0 se mantiene a una temperatura Tw, y la pared opuesta, en y=L se mantiene a una temperatura T0 menor a Tw.

El flujo de un fluido cuyas propiedades son funciones de la temperatura y de la presión, puede describirse a través de las ecuaciones de continuidad, de movimiento y de energía, que son las leyes de conservación aplicadas a fluidos.

4 Hele-Shaw, H. S. 1898. The Flow of water. Nature 58, 34-36.

13


Estas ecuaciones rigen el comportamiento de un fluido que fluye debido a fuerzas másicas, fuerzas de superficie y fuerzas de línea.

2.3. Convección natural. En la convección natural, las fuerzas boyantes son las responsables del movimiento del fluido. Estas fuerzas son aquellas experimentadas en un fluido debidas a la variación de densidades en presencia del campo de gravedad. En este fenómeno, la variación de la densidad es importante solo en el término de la fuerza de cuerpo en las ecuaciones de Navier-Stokes; en los demás términos donde aparece la densidad, su variación es insignificante. Esto significa que la compresibilidad del fluido no es una consideración principal, sin embargo, los efectos viscosos de primer orden son importantes. Estas fuerzas viscosas se oponen a las fuerzas boyantes y provocan que el fluido se mueva con una distribución de velocidades. Dado que el fluido se encuentra en movimiento, las fuerzas boyantes son más grandes que las fuerzas viscosas. Para la solución de problemas de convección natural se utilizan las ecuaciones de hidrodinámica con la aproximación de Boussinesq, que supone que la variación de la densidad es importante solo en el término de las fuerzas de cuerpo. Esta aproximación se explica en la siguiente sección. Cuando la variación de la densidad en el fluido se debe a un gradiente de temperatura en el mismo, la convección natural se conoce como convección térmica. Las secciones del fluido con una mayor temperatura tendrán una densidad menor que en presencia del campo de gravedad, tienden a ascender desplazando a las secciones de menor temperatura hacia abajo puesto que estas últimas tienen una temperatura menor y por lo tanto una densidad mayor. La transferencia de calor de las secciones del fluido calientes hacia las frías ocurre, y en consecuencia la temperatura de las secciones frías aumenta disminuyendo su densidad. Dado que la transferencia de calor no es instantánea, se tendrá un patrón de flujo estratificado en la celda debido a la diferencia de temperatura en las secciones del fluido. En la celda Hele Shaw se tiene un gradiente de temperatura entre una placa lateral vertical isotérmica calentada y otra placa paralela a la primera, que se enfría, manteniéndola a una temperatura constante. Las fuerzas boyantes superan a las fuerzas viscosas y por lo tanto son las responsables del movimiento del fluido, provocando que el fluido que se encuentra cercano a la pared caliente ascienda y aquel que se encuentre cerca de la pared enfriada descienda. Debido a que la diferencia de temperatura es más grande en la dirección horizontal, también habrá una variación de densidad horizontal, con lo que el fluido también experimentará una velocidad horizontal. Dado que la celda es muy angosta entre las paredes de vidrio de la celda, no existe una componente de la velocidad en dirección z y se pueden obtener funciones de los componentes de velocidad x y y promediados con respecto a los planos yz y zx, respectivamente, como se describe en la sección 2.5

14


2.4. Aproximación de Boussinesq.

En la aproximación de Boussinesq se considera la hipótesis de que las propiedades de la materia, densidad, viscosidad, conductividad y capacidad calorífica, pueden ser aproximadas por sus valores a una temperatura ambiente, o temperatura de referencia T∞. Se espera que el máximo valor de T-T∞ sea pequeño con el fin de que las propiedades de la materia que cambian puedan ser aproximadas en forma lineal. En este capítulo se emplea la notación tensorial5 con el fin de simplificar la deducción.

Figura 2.3 Aproximación lineal de las propiedades del fluido

como función de la temperatura De esta manera, considerando que la densidad es una función lineal de la temperatura, su comportamiento se describe como sigue:

∞∞∞

∞ +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

=

ρρρ

ρ

ρρ

TTTT

T )(

Dividiendo sobre la densidad a la temperatura de referencia

1+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=∞

∞

∞

∞

∞ ρρρ

ρρ TT

TT

El coeficiente de expansión térmica, β , está definido como,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=∞

∞

∞ TTρρ

ρβ 1

De donde se sigue que, 5 En el apéndice A2 se presenta una introducción a la notación tensorial.

15


( ∞∞

−−= TTβρ

)ρ 1 (2.4.A)

Similarmente, la viscosidad, la conductividad y capacidad calorífica, se comportan como:

( ∞∞

−−= TTαµ

)µ 1 (2.4.B)

( ∞∞

−−= TTkk γ1 ) (2.4.C)

( ∞∞

−−= TTcc

p

p δ1 ) (2.4.D)

Las ecuaciones que describen el comportamiento del fluido son:

Ecuación de continuidad. ( ) 0=∂∂

jjxvρ (2.4.1)

Ecuación de movimiento. 2

2

i

jiji

ji

ji x

gxp

x ∂∂

++∂∂

−=∂∂ vv

v µδρρ (2.4.2)

Ecuación de la energía térmica. ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

2

2

jjjv x

TkxT

tTcpρ (2.4.3)

Con j=1, 2, 3. Lejos de la capa límite, en el seno del fluido, las propiedades de éste son las que se tienen a temperatura ambiente y los efectos inerciales y los efectos viscosos son muy pequeños comparados con las fuerzas de presión (debidas solo a la presión hidrostática) y las boyantes, por lo que la ecuación de cantidad de movimiento para a coordenada x se reduce a:

ijij

h gxp δρ∞+

∂∂

−=0 (2.4.5)

La presión es igual a la presión hidrostática más la presión dinámica, , por lo tanto,

dh ppp +=

2

2

i

jiji

j

d

j

h

i

ji x

gxp

xp

x ∂

∂++

∂∂

−∂∂

−=∂

∂ vvv µδρρ (2.4.6)

Ahora se sustituye el gradiente de presión hidrostática en la ecuación (2.4.6) por la presión hidrostática de la ecuación (2.4.5),

16


( ) 2

2

i

j

j

diji

i

ji xx

pgx ∂

∂+

∂∂

−−=∂

∂∞

vvv µδρρρ (2.4.7)

Los coeficientes α, β, γ y δ generalmente son muy pequeños, por ejemplo, por grado centígrado para líquidos. Por lo tanto, para gradientes de temperatura pequeños, del orden de 1x10

310−≈β

10, los factores siguientes son muy pequeños β∆T, γ∆T, α∆T, δ∆T<<1 Sustituyendo las hipótesis (2.4.A), (2.4.B), (2.4.C) y (2.4.D) en (2.4.7)

( )( ) ( ) ( )( ) 2

2

11i

j

j

diji

i

ji x

TTxpgTT

xTT

∂

∂−−+

∂∂

−−−=∂

∂−− ∞∞∞∞∞∞

vvv αµδβρβρ (2.4.8)

En la convección libre, los flujos responsables de la existencia de los términos de inercia, viscosidad y presión dinámica es precisamente el término boyante, por lo que este último es el término más grande y más importante.

( )( ) 11 ≈−− ∞TTβ ( )( ) 11 ≈−− ∞TTα

Por tanto, la ecuación (2.4.8) se reduce a:

2

2

i

j

j

diji

i

ji xx

pTgx ∂

∂+

∂∂

−∆−=∂∂

∞∞∞

vvv µδβρρ (2.4.9)

La ecuación (2.4.9) es la ecuación movimiento con la aproximación de Boussinesq, donde

. ( )∞−=∆ TTT La ecuación de energía es tratada de manera similar. Según la ecuación de energía térmica (2.3.2), en la cual los efectos viscosos son despreciables, se tiene,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∞∞∞ 2

2

iip x

TkxT

tTc ivρ (2.4.10)

Las ecuaciones de continuidad, movimiento y energía térmica, aplicando la aproximación de Boussinesq, son:

0=∂∂

i

i

xv (2.4.11)

2

2

i

j

j

diji

i

ji xx

pTgx ∂

∂+

∂∂

−∆−=∂

∂∞∞∞

vvv µδβρρ (2.4.12)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∞∞∞ 2

2

iip x

TkxT

tTc ivρ (2.4.13)

17


2.5. Perfiles de velocidad de Poiseuille en la celda Hele Shaw.

El problema de flujo convectivo en la celda Hele Shaw se puede abordar con mayor facilidad si se considera que la componente en dirección z de la velocidad es nula y si se separa el problema de manera tal que la velocidad solo tenga dependencia en las coordenadas x y y. Para tal efecto se propone encontrar los perfiles de Poiseuille de velocidad. En las ecuaciones de movimiento en las coordenadas x y y se considera que los cambios de velocidad con respecto a la coordenada z son más intensos que los cambios con respecto a las coordenadas x y y, dado que las condiciones a la frontera de adherencia, por ejemplo, velocidad igual a cero en las paredes, tienen que ser satisfechas. Posteriormente, para la componente de velocidad y se obtiene una velocidad promedio del flujo que pasa por la cara xz. Para la componente x de la velocidad se promedia en la cara yz. Estas velocidades promedio son independientes de z y cumplen las condiciones a la frontera. Considere la cara zy de la celda. La componente y de la velocidad es igual a cero en las paredes, es decir, en z=h/2 y z=-h/2.

Figura 2.4. Sistema coordenado para la obtención del perfil de Poiseuille de velocidades.

La ecuación de movimiento para la coordenada y con flujo estacionario es:

yyyyy

zy

yy

x gzyxy

pzyx

ρµρ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

2

2

2

2

2 vvvvv

vv

vv (2.5.1)

que se reduce, tomando en cuenta las consideraciones anteriores, a:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

∂∂

2

2

zyp yvµ (2.5.2)

Con condiciones a la frontera:

18


0;2

0;2

=−=

==

y

y

hz

hz

v

v (2.5.3)

Integrando la ecuación de movimiento (2.5.2) con respecto a z se obtiene:

21

2

2CzCz

yp

y ++∂∂

=µ

v (2.5.4)

Donde C1 y C2 son constantes de integración. Aplicando las condiciones a la frontera:

21

2

21

2

2220

2220

CChh

yp

CChh

yp

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

=

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

µ

µ (2.5.5)

Del sistema de ecuaciones (2.5.5) se encuentra que la constante de integración C1=0, y que la constante de integración C2 es:

2

2 221

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=h

ypC

µ, por lo que sustituyendo en (2.5.4) se obtiene.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

= 148 2

22

hz

yph

y µv

Ahora se obtiene la velocidad media de la componente de velocidad y en la sección transversal de la película, que corresponde al plano zx:

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

−

−

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

== H h

h

H h

hH h

h

H

hy

y

dzdx

dzdxhz

yph

dxdz

dzdx

0

2/

2/

0

2/

2/2

22

0

2/

2/

0 2/0

148µ

h/2

vv

yph

y ∂∂

−=µ12

2

0v

Resolviendo para la derivada parcial de la presión respecto a la coordenada y,

19


02

12yhy

p vµ−=

∂∂ (2.5.6)

La ecuación (2.5.6) es la componente en dirección y de la velocidad independiente de z. Igualando (2.5.6) con (2.5.2)

022

2 12y

y

hzv

v µµ −=∂

∂ (2.5.7)

Integrando (2.5.7) con respecto a z:

43

2

02 212 CzCzh yy ++−= vv (2.5.8)

Con condiciones a la frontera (2.5.3). Donde C3 y C4 son constantes de integración.

Aplicando las condiciones a la frontera se obtiene que C3=0, y que 04 23

yC v= , y por lo

tanto,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

041

23

hz

yy vv (2.5.9)

De manera semejante, la componente x de la velocidad es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

041

23

hz

xx vv (2.5.10)

Donde y son las componentes de la velocidad independientes de z. 0xv 0yv

2.6. Capa límite. El flujo cerca de paredes sólidas presenta un comportamiento diferente que aquel que se encuentra lejos de paredes, en el seno del fluido. Cerca de una pared sólida, la componente de la velocidad que es normal a la pared es cero. La componente de la velocidad que es tangencial a la pared, debe ser igual a cero en la pared y aumenta rápidamente conforme aumenta la distancia a la pared hasta que la velocidad es igual a la del seno del fluido. A esta región entre la pared y el seno del fluido, donde existe un gradiente de velocidad grande, se le conoce como capa límite y su espesor se denota con δ. Dentro de ella se tiene flujo interno, fuera de ella se tiene flujo externo. Si se tiene un régimen de flujo a baja velocidad, como en el caso de la celda Hele Shaw, el flujo interno será laminar. Como la región de la capa límite es pequeña, el gradiente de presión dentro de ella es despreciable y los efectos viscosos son grandes debido a que la variación de la velocidad contra la posición es grande.

20


Figura 2.5. Esquema de la capa límite cerca de una pared caliente.

Dentro de la capa límite: 0=∂∂

yp . Además, el cambio en el espesor de la capa límite con

respecto a la coordenada x es muy pequeño, por lo que las líneas de corriente del flujo interno deben ser paralelas. En la celda Hele Shaw se tiene un flujo bidimensional Las ecuaciones de Navier – Stokes pueden escribirse, para estado estacionario, como:

0=∂∂

+∂∂

yxyx vv (2.6.1)

xxxx

yx

x gxp

yxyxρ

ρρµ

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂ 1

2

2

2

2 vvvvvv (2.6.2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yxyxyyy

yy

x

vvvv

vv

ρµ (2.6.3)

0=∂∂

zp (2.6.4)

Las condiciones a la frontera indican que la componente y de la velocidad debe ser igual a cero cuando y→∞ Dentro de la capa límite, la componente x de la velocidad es mucho mayor que la componente y.

yx vv >> (2.6.5) Los cambios de la componente de velocidad x a lo largo del eje y son muy grandes comparados con los cambios en dirección del eje x.

21


xxx

∂∂

>>∂∂ vyv (2.6.6)

El cambio de la componente y de la velocidad con respecto a la coordenada y es mayor que con respecto a x.

xyy

∂∂

>>∂∂ vyv

(2.6.7)

De (2.6.6) y (2.6.7) se tiene que:

2

2

xxx

∂∂

>>∂∂ vyv2

2

(2.6.8)

2

22

xyy

∂∂

>>∂∂ vyv2 (2.6.9)

Aplicando la ecuación (2.6.8) a la ecuación (2.6.2)

xxx

yx

x gxp

yyxρ

ρν +

∂∂

−∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂ 1

2

2vvvvv (2.6.10)

Sustituyendo la ecuación (2.6.9) en la ecuación (2.6.3) se tiene que:

2

2

yyxyy

yy

x ∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂ vv

vv

v ν (2.6.11)

2.7. Análisis Dimensional Para conocer la magnitud de los términos que intervienen en la ecuación de la energía y poder saber cuáles de ellos tienen influencia significativa en el flujo convectivo, se comparan uno a uno con el término de disipación, que se ha supuesto, es el término con menos influencia. En convección natural se supone un fluido newtoniano no compresible, además, para el sistema en estudio, se supone que el flujo convectivo es totalmente desarrollado y por lo tanto, la densidad no es una función del tiempo. La ecuación de continuidad (2.1.3) se puede escribir como: ( ) 0=⋅∇ v (2.7.1) Para la ecuación de la energía (2.1.43), en el estudio de la convención natural se puede hacer una simplificación que consiste en despreciar el término de la disipación. El segundo término

22


de la derecha, según la ecuación de continuidad (2.3.1) es igual a cero si se tiene un fluido newtoniano incompresible cuya densidad no cambia respecto del tiempo. El término de la disipación, del orden de 5x10-3, es muy pequeño respecto del término de la izquierda, del orden de 2x108; y respecto del primer término de la derecha, del orden de 1x105. Por lo tanto, la ecuación de energía (2.1.43), para convección natural, se puede escribir como sigue,

TkDtDTCV

2ˆˆ ∇=ρ (2.7.2)

Respecto a la ecuación de movimiento, al comparar las fuerzas boyantes con las fuerzas viscosas se obtiene de manera natural el número de Rayleigh. El número de Rayleigh es una comparación entre las fuerzas boyantes, debidas a un gradiente de temperatura, y las fuerzas viscosas que se presentan en la convección natural. Para que ocurra la convección, es necesario que las fuerzas de empuje inducidas por el gradiente de temperatura en dirección del flujo de calor, superen a los efectos disipativos de la viscosidad y la difusión de calor. Por lo tanto, la convección natural no depende solamente del gradiente de temperatura, sino también de las propiedades del fluido y de la geometría del recinto donde se lleva a cabo la convección. La combinación de parámetros que determinarán si existe flujo convectivo y qué tan intenso será, se expresa mediante el número de Rayleigh para una pared vertical calentada a temperatura constante,

( )a

xhTTgRa w

νβ

12

2∞−

= (2.7.3)

Donde g es la aceleración de la gravedad, β es el coeficiente de expansión térmica, ν es la difusividad cinemática, a es la difusividad térmica, h es el espesor de la celda y x es la longitud característica. La transferencia de calor de la placa calentada hacia el fluido newtoniano puede ser estudiada a través del coeficiente de transferencia de calor α, cuya adimensionalización es el número de Nusselt.

kxNu α

= (2.7.4)

Donde α es el coeficiente de transferencia de calor y k la conductividad térmica. El número de Nusselt, es entonces un coeficiente adimensional definido como la razón de los efectos convectivos contra los efectos de conducción térmica.

23


3. MODELO DE CHENG Y MINKOWYCZ PARA LA CONVECCIÓN NATURAL

EN UNA CELDA HELE SHAW. Las ecuaciones hidrodinámicas, presentadas en el capítulo de conceptos fundamentales, que describen el flujo de un fluido newtoniano incompresible son: Ecuación de continuidad.

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂

yx yxtvv ρρρ (3.1)

Ecuación de movimiento.

( )x

xxxxz

xy

xx

x gxp

zyxzyxtρµρρ +

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂∂

−=∂

∂2

2

2

2

2

2 vvvvvvvvvv

( )yp

zyxzyxtyyyy

zy

yy

xy

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂−=

∂∂

2

2

2

2

2

2 vvvvv

vv

vv

vµρρ

( )zp

zyxzyxtzzzz

zz

yz

xz

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂

∂2

2

2

2

2

2 vvvvvvvvvv µρρ (3.2)

Ecuación de la energía térmica.

)3.3(

2

222

222

2

2

2

2

2

2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

yzxzxy

zyxzT

yT

xTk

zT

yT

xT

tTc

zyzxyx

zyxp

vvvvvv

vvvvvv zyx

µ

µρ

3.1. Hipótesis.

Para la modelación del flujo convectivo en una celda Hele Shaw se toman en consideración las siguientes hipótesis. Los perfiles de velocidad de Poiseuille que se presentan en la celda Hele Shaw, presentados en la sección 3.3 son:

(3.A.1) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

041

23,

hzyxxx vv

(3.A.2) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

041

23,

hzyxyy vv

24


Donde el subíndice 0 implica que la velocidad es independiente de z. El factor que contiene la variable z es la forma del perfil que tendrá el campo de velocidad en los planos xz y yz. (3.B): La componente de velocidad en la dirección z es igual a cero.

vz=0 (3.C): El régimen de flujo es estacionario, por lo que no hay ninguna dependencia en el tiempo.

0=∂∂

tρ , 0=

∂∂tv , 0=

∂∂

tT

(3.D): Se considera un fluido incompresible, por lo que la densidad no es función de la posición, sino de la temperatura del fluido y se puede aplicar la aproximación de Boussinesq deducida en la sección 3.3, donde se considera que las propiedades del fluido se pueden aproximar de manera lineal con el valor de las mismas a una temperatura de referencia y además que la variación de la densidad es despreciable en todos los términos de la ecuación de movimiento excepto en el término de la velocidad de cantidad de movimiento debido a la gravedad.

( )( )[ ]∞∞ −−=

=TT

Tβρρ

ρρ1

(3.E): El cambio de la presión con respecto a z es nulo.

0=∂∂

zp

(3.F) En la capa límite, como se mostró en el capítulo 2 sección 6, el cambio de velocidad en dirección x con respecto al eje x es pequeño por lo que la segunda derivada de la componente x de la velocidad con respecto a x es muy pequeña comparada con la segunda derivada del componente x de la velocidad con respecto a y.

2

2

2

2

yxxx

∂∂

<<∂∂ vv

Esto se debe a que el cambio de la velocidad debe ser más intenso en la dirección y para satisfacer la condición a la frontera vx=vy=0 en y=0 (3.G) Se supone que la temperatura, T, es constante en dirección z, dado que el flux de calor, que obedece la ley de Fourier de conducción de calor, solo tiene componentes x y y pues la pérdida de calor en dirección z es despreciable.

0=∂∂

−=zTkqz

25


Por lo tanto 0=∂∂

zTk ,

Como la conductividad no puede ser cero, cteTzT

=⇒=∂∂ 0 en la dirección z.

(3.H) Los efectos de disipación viscosa en la ecuación de la energía son despreciables debido a que en la convección natural no se tienen gradientes de velocidad elevados, por lo tanto se tiene un fluido irrotacional y τij=0. La función de la disipación viscosa es,

0=∂

=Φj

iij xvτ (3.4)

Que para fluidos newtonianos se puede escribir como,

02222222

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=Φyzxzxyzyx

zyzxyxzyx vvvvvvvvv µµ

3.2. Ecuación de continuidad.

Sustituyendo (3.A.1) y (3.A.2) y tomando en cuenta las hipótesis (3.B) y (3.C) en la ecuación de continuidad (3.1)

( ) ( ) 04123

002

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

yx yxhz vvρ

( ) ( ) 000 =∂∂

+∂∂

yx yxvv (3.5)

3.3. Ecuación de movimiento

Tomando en cuenta las hipótesis (3.D), (3.E) y (3.F) y sustituyendo las derivadas correspondientes de la velocidad en función de (3.A.1), las ecuaciones de Navier-Stokes que se obtienen son:

0220

2

2

20

00

0

2

2

2 12412341

23

xx

xx

yx

x hyhzTg

yxhz vvvvvv ννβ −

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+∆=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− (3.6)

Integrando la ecuación (3.6) con respecto a z y evaluando desde z=h/2 a z=-h/2 se obtiene:

26


0220

20

00

012

56

xx

xx

yx

x hyTg

yxvvvvvv ννβ −

∂∂

+∆=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂ (3.7)

En la ecuación de movimiento (3.7) se tienen los efectos inerciales en el lado izquierdo de la ecuación. El primer término de la derecha es el efecto boyante y los últimos dos términos son los efectos viscosos, de los cuales, el proveniente del segundo cambio de la componente x de la velocidad con respecto a z es mayor que el segundo cambio de la componente x de la velocidad con respecto a y.

20

2

20

2

zyxx

∂∂

<<∂

∂ vv

Esto es cierto cuando la distancia entre las placas paralelas, h, es pequeña, ya que se tienen que cumplir las condiciones de adherencia en las placas paralelas, mientras que el segundo cambio de la velocidad x respecto a y es menor ya que la distancia y es del orden de 0.2m y es una distancia mayor que h que es del orden de 0.005m. Así, se tiene que:

0220

2 12x

x

hyvv νν <<

∂∂

Y por lo tanto:

0220

2 12x

x

hyvv

<<∂

∂

Considerando esta aproximación, la ecuación (3.7) se reduce a,

020

00

012

56

xxx

yx

x hTg

yxvvvvv νβ −∆=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂ (3.8)

De acuerdo con el análisis dimensional del capítulo 2, sección 7, términos inerciales se consideran despreciables, por lo que se tiene que,

0212

xx hTg vνβ =∆ (3.9)

Que implica que los efectos viscosos son iguales a los efectos boyantes. Resolviendo para la componente x de la velocidad,

( )ν

β12

2

0∞−

=TTgh

xv (3.10)

27


3.4. Ecuación de la energía térmica

En la ecuación de energía se eliminan todos los términos que contienen a la componente de velocidad en dirección z aplicando la hipótesis (3.B). También se supone, en la hipótesis (3.G), que el cambio de temperatura en dirección z es nulo. Se considera que la energía comunicada al fluido por fuerzas de gravedad, por fuerzas de presión y por fuerzas viscosas es muy pequeño comparado con la energía comunicada al fluido debida a la convección y a la conducción, sobre todo en la capa límite. De la hipótesis (3.H), se tiene que los efectos de disipación viscosa son despreciables para el caso de convección natural. Considerando estas hipótesis y sustituyendo los perfiles de velocidades de Poiseuille en la ecuación de energía (3.3) se obtiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yT

xTk

yT

xT

tTcp yx vvρ (3.11)

El cambio en la temperatura con respecto a y es más grande que con respecto a x:

yT

xT

∂∂

<∂∂

Por consiguiente, el segundo cambio de la temperatura con respecto a x será menos importante que el segundo cambio con respecto a y:

2

2

2

2

yT

xT

∂∂

<<∂∂

De modo que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

2

002

24123

yTa

yT

xT

hz

yx vv (3.12)

Donde a es la difusividad térmica, pc

kaρ

=

Integrando la ecuación (3.12) con respecto a z y evaluando de z=-h/2 a z=h/2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

00 yTa

yT

xT

yx vv (3.13)

Los términos del lado izquierdo corresponden a la transferencia de calor por convección. El lado corresponde a la transferencia de calor por conducción.

28


3.5. Condiciones a la frontera

Se considera que la temperatura en la pared es constante, T=Tw

γAxTTTy wy +==== ∞00 0v (3.14)

∞==∞→ TTy x 00v (3.15) Donde A es una constante positiva con dimensiones m-1 y γ es una constante, que establece que la temperatura de la placa es una función de la distancia x desde el origen. Las velocidades en a pared deben ser nulas por condición de no deslizamiento en las paredes. La ecuación (3.15) indica que en el seno del fluido, la temperatura es igual a la temperatura de referencia y la componente x de la velocidad es igual a cero. Este es el punto donde la componente de la velocidad x cambia de signo, del lado de la pared caliente es positiva y del lado de la pared fría es negativa.

3.6. Modelo de Cheng y Minkowycz para la convección natural en una celda Hele Shaw

El sistema de ecuaciones, conformado por (3.5), (3.10) y (3.13), que describen el flujo convectivo en una celda Hele Shaw, con componentes de velocidad independientes de z, y las condiciones a la frontera (3.14) y (3.15) son el modelo obtenido por Cheng y Minkowycz para convección natural. Modelo de Cheng y Minkowycz (Modelo P)

( ) ( ) 000 =∂∂

+∂∂

yx yxvv (3.6.1)

( )ν

β12

2

0∞−

=TTgh

xv (3.6.2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

00 yTa

yT

xT

yx vv (3.6.3)

Con las condiciones a la frontera:

γAxTTTy wy +==== ∞00 0v

∞==∞→ TTy x 00v

29


3.7. Modelo adimensional de Cheng y Minkowycz para la convección natural en una celda Hele Shaw

Las soluciones similares son un caso especial de soluciones para problemas que son gobernados por ecuaciones diferenciales parciales parabólicas en dos variables independientes donde no hay escala de longitud geométrica. Para reducir el sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales del modelo P a un sistema de dos ecuaciones diferenciales, se introduce la función de corriente definida como:

xΨ

yΨ

yx ∂∂

−=∂∂

= 00 , vv

Esta ecuación satisface la ecuación de continuidad. De esta manera se puede establecer que la función de corriente, ψ, que es función de x y y, es similar a una función de corriente adimensional, f, que depende de η, donde η es una longitud adimensional. ( ) ( )ηψ fyx ~, (3.7.A)

nxy~η (3.7.B)

En el caso de una superficie n=1/2 por lo que las unidades del denominador son [m-1/2]; para que η sea adimensional se requiere que el coeficiente de proporcionalidad tenga unidades de [m-1/2].

2/1~xyη (3.7.C)

La raíz cuadrada de la componente x de la velocidad sobre la difusividad térmica tiene las unidades correctas:

[ ] [ 2/12/112/1

12

12/1−−

−

−

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ mm

smsm

axv ]

( )2/12/1

2/12

2/1

2/1

12 xayTTgh

xy

ax

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∞

νβη v (3.7.D)

Reordenando la ecuación (3.7.D) se obtiene:

30


( )xyRa

xy

axhTTg 2/1

2/12

12=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= ∞

νβη (3.7.E)

En donde Ra, es el número de Rayleigh definido como,

( )

axhTTgRa w

νβ

12

2∞−

= (3.7.1)

El número de Rayleigh es la razón de las fuerzas boyantes, debidas a un gradiente de temperatura, a las fuerzas viscosas para flujos naturales con número de Prandtl mayor a 1, en los cuales, los efectos convectivos son más grandes que los efectos conductivos. En este caso, el fluido es agua y a temperaturas cercanas a las que se realizan normalmente los experimentos, se tienen las siguientes propiedades:

Tabla 3.1. Propiedades térmicas del agua6

T/K k (W/mK)

ρ (kg/m3)

cp(J/kgK)

µ x104

(kg/ms) ν x106

(m2/s) βx106

K-1Pr

290 0.591 999 4186 11.0 1.10 174.0 7.8 295 0.602 998 4181 9.68 0.97 227.5 6.7 300 0.611 996 4178 8.67 0.87 276.1 5.9 310 0.628 993 4174 6.95 0.70 361.9 4.6 320 0.641 989 4174 5.84 0.59 436.7 3.8 330 0.652 985 4178 4.92 0.50 504.0 3.2

Como la difusividad de cantidad de movimiento es mayor que la difusividad térmica, el número de Prandtl satisface,

1Pr >=αν (3.7.2)

Por lo tanto, sustituyendo la ecuación (3.7.1) en la ecuación (3.7.E) se obtiene:

xyRa 2/1=η (3.7.3)

Reescribiendo la componente x de la velocidad se tiene:

yf

yx ∂∂

∂∂

∂∂

=η

ηψ ~v

ηψ

∂∂

∂∂

=f

xRa

yx

2/1

~v

Las unidades de la derivada de la función de corriente con respecto a y son [m·s-1]. Las unidades de la función de corriente son [m2·s-1], que son unidades de difusividad. Cuando η 6 Tabla A.8 del Apéndice A; A.F.Mills, “Transferencia de Calor”; McGraw Hill

31


es constante, la velocidad debe ser constante, por lo tanto, el coeficiente de proporcionalidad en la ecuación (3.7.A) debe contener el factor (x)1/2, multiplicado por el factor (avx)1/2

( ) ( ) ( )ηψ fxayx x

2/1, v=

( ) ( ) ( )ην

βψ fa

xhTTgayx2/12

12, ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= ∞

De esta manera, sustituyendo la ecuación (3.6.2) y la ecuación (3.7.2) se tiene que la función de corriente está dada por,

( )ηψ faRa 2/1= (3.7.4) Se observa que la función de corriente es una función de la posición y por lo tanto,

),()(yxηη

ηψψ==

La temperatura adimensional se define como:

∞

∞

−−

≡TTTT

w

θ (3.7.5)

Dado que la temperatura T, es una función de la posición, se establece que,

),()(yxηη

ηθθ==

Ecuación de continuidad Ψ es la función de corriente con dimensiones de m2/s tal que:

xy yx ∂∂

−=∂∂

=ψψ

00 , vv (3.7.6)

Sustituyendo (3.7.6) en la ecuación de continuidad (4.11.1):

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

xyyxψψ (3.7.7)

Por lo tanto, las ecuaciones (3.7.6) satisfacen la ecuación de continuidad (3.6.1). Ecuación de movimiento Sustituyendo la primera ecuación de (3.7.6) y la ecuación (3.7.5) en la ecuación (3.6.2):

32


( )ν

βθψ12

2∞−

=∂∂ TTgh

yw (3.7.8)

Ahora se deriva la ecuación (3.7.4), que es la ecuación para la función de corriente, con respecto a y,

( )( )y

faRafaRayy ∂

∂∂∂

=∂∂

=∂∂ η

ηηψ 2/12/1

Donde x

Raxy

yRa

y12/12/1 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂η , dado que el número de Rayleigh solo tiene

dependencia en x; por lo tanto,

ηψ

∂∂

=∂∂ fRa

xa

y (3.7.9)

Igualando (3.7.8) y (3.7.9) : ( )ην

θβ∂∂

=− ∞ fRa

xaTTgh w

12

2

Ahora se deriva esta ecuación con respecto a y,

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∂∂ ∞

ηνθβ fRa

xa

yTTgh

yw

12

2

ηθ

η ∂∂=

∂∂

2

2 f (3.7.10)

Ecuación de la energía térmica.

2

2

00 yTa

yT

xT

yx ∂∂

=∂∂

+∂∂ vv

Para el primer término del lado izquierdo, la componente x de la velocidad quedó definida por la ecuación (3.7.9)

ηψ

∂∂

=∂∂

=fRa

xa

yx0v (3.7.11)

La derivada parcial de la temperatura con respecto a x es:

( )( )∞∞ +−∂∂

=∂∂ TTT

xxT

wθ

33


( )ηθγ

νβγθ

γγ

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂ −

− 2332/12

1

21

12x

ahAgAyxA

xT (3.7.12)

Para el segundo término del lado izquierdo de la ecuación de la energía térmica, la componente y de la velocidad es:

xy ∂∂

−=ψ

0v

En el caso en que se tiene la temperatura de la pared constante, esta es una función de x como se estableció en (3.6.4), de modo que, γAxTTw += ∞

( ) ( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+∂∂

−=∂∂

−= ∞∞ ην

βψ γ

fa

xTAxThgx

axy

2/12

0 12v

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−− 2

12/121

2/12

0 21

21

1212

γγ γη

ηγ

νβ

νβ xff

ahAgyx

ahAgayv (3.7.13)

Para el término de la derecha de la ecuación de la energía térmica se tiene, También se tiene que:

( )ηθ

∂∂−

=∂∂ ∞

xRaTT

yT w

2/1

( ) 2

2

22

2 1ηθ

∂∂

−=∂∂

∞ xRaTT

yT

w (3.7.14)

Ahora se construye de nuevo la ecuación de la energía térmica en términos de las variables adimensionales:

02

12

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+η

γθηθγ

ηθ

ddf

ddf

dd (3.7.15)

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones adimensionales es:

ηθ

η dd

dfd

=2

2

(3.7.16)

02

12

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

ηγθ

ηθγ

ηθ

ddf

ddf

dd (3.7.17)

34


Las condiciones a la frontera con las variables adimensionales son:

100 === θη f (3.7.18) 00 ==′∞→ θη f (3.7.19)

Para reducir la ecuación (3.7.16) a una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ésta se integra y se aplican las condiciones a la frontera (3.7.19),

θη

=ddf (3.7.20)

El sistema de ecuaciones que resulta es un par de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas con condiciones a la frontera. Este sistema adimensional será denominado Modelo Q y describe la convección natural de un fluido newtoniano que fluye en una celda Hele-Shaw debido a un gradiente de temperatura en las paredes laterales

Modelo Q

θη

=ddf (3.7.21)

02

12

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

ηγθ

ηθγ

ηθ

ddf

ddf

dd (3.7.22)

( ) 10 ==ηθ (3.7.23) ( ) 00 ==ηf (3.7.24) ( ) 0=∞→ηθ (3.7.25)

0=∞→ηηd

df (3.7.26)

Para la solución del Modelo Q se aplica el método de diferencias finitas, que es un método de aproximación numérica ampliamente utilizado para sistemas de ecuaciones diferenciales con valores a la frontera. Este método será descrito en el siguiente capítulo. El número de Nusselt está definido para el sistema como,

0

2/1

=

−=ηη

θddRaNu (3.7.27)

kxNu α

≡ (3.7.28)

En donde α es el coeficiente de transferencia de calor.

35


4. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS

4.1. Introducción al método numérico de aproximación por diferencias finitas.

El método de diferencias finitas (Brook Taylor, Methodus incrementorum directa et inversa, 1715 y más tarde, George Boole, "Tratado sobre el Cálculo de las Diferencias Finitas", 1860) es una aproximación numérica a la solución de ecuaciones, la cual aproxima el valor de una función en un punto dado por medio de un valor de la función próximo que es conocido. Este método de aproximación de la solución numérica de ecuaciones diferenciales de grado p, requiere un número mínimo de p+1 puntos de datos. Por medio del método de expansión de Taylor se pueden obtener las expresiones de las aproximaciones de diferencia.

Figura 4.1 Puntos de la función f(x) alrededor de f(xi), y la pendiente de f(xi).

Considere la figura Fig 4.1. Se supone f(xi)=fi como un punto conocido. El desarrollo de la serie de Taylor del punto f(xi+1)=fi+1 alrededor de xi es:

( ) ( ) ( ) ( ) ...2462

41

31

21

11 +−

+′′′−+′′

−+′−+= +++

++IV

iii

iii

iii

iiiii fxxfxxfxxfxxff (4.1)

Resolviendo para la primera derivada de f y haciendo ii xxx −=∆ +1 se obtiene:

...2462

321 −

∆−′′′∆

−′′∆

−∆

−=′ + IV

iiiii

i fxfxfxx

fff (4.2)

Ya que ∆x es un valor pequeño, sus potencias son valores más pequeños. Si se desprecian los términos de la derecha excepto el primero, la ecuación (4.2) se puede escribir como sigue:

36


Eh

fff iii +

−=′ +1 (6.3)

El error debe ser, entonces, proporcional y del orden de la segunda derivada de fi multiplicada por . x∆

ifxE ′′∆−≈

2 (4.4)

Ahora se aproxima el valor de f(xi-1)=fi-1 por medio de la expansión de Taylor alrededor de xi:

( ) ( ) ( ) ( ) ...2462

41

31

21

11 +−

+′′′−

+′′−

+′−+= −−−−−

IVi

iii

iii

iiiiiii fxxfxxfxxfxxff (4.5)

Resolviendo para la primera derivada de fi y haciendo 1−−=∆ ii xxx , la ecuación (4.5) se puede escribir como:

...2462

321 +

∆+′′′∆

−′′∆

+−

=′ − IViii

iii fxfxfx

hff

f (4.6)

Considerando que ...2462

32

+∆

+′′′∆−′′

∆ IViii fxfxfx es muy pequeño comparado con el

primer término del lado derecho de la ecuación (4.6), el error es:

ifxE ′′∆≈

2 (6.7)

Exff

f iii +

∆−

=′ −1 (4.8)

La ecuación (4.8) se considera una aproximación de diferencia hacia atrás Restando (4.5) de (4.1):

iiii fxfxff ′′′∆+′∆=− −+ 3

23

11 (4.9)

Resolviendo (4.9) para la primera derivada de fi se obtiene:

iii

i fxh

fff ′′′∆

−−

=′ −+

62

211 (4.10)

Donde el segundo término del lado derecho se considera como el error. De esta manera, el error se ha hecho más pequeño, pues si x∆ es pequeño, x∆ 2 será más pequeño.

37


ifxE ′′′∆−≈

6

2

(4.11)

La ecuación (4.10) se considera una aproximación de diferencia central y su error es menor que el de diferencia hacia atrás, decreciendo más rápidamente conforme decrece . x∆ En la aproximación de diferencia hacia delante aumenta el número de puntos de datos para obtener una aproximación de diferencia más exacta. La aproximación de diferencia para if ′ utilizando p+2 puntos de datos , requiere de las expansiones para y

que se escriben como sigue: 21 ,, ++ iii fff 1+if

2+if

K+∆

+′′′∆

+′′∆

+′∆+=+ iIV

iiiii fxfxfxfxff2462

432

1 (4.12)

K+∆

+′′′∆

+′′∆

+′∆+=+ iIV

iiiii fxfxfxfxff24

166

82

42432

2 (4.13)

Con el fin de eliminar el tercer término de ambas ecuaciones, que corresponde a la segunda derivada se multiplica (4.13) por 4 y se resta (4.13) de (4.12).

K+′′′∆−′∆+=− ++ iiiii fxfxfff 321 3

2234 (4.14)

Ahora se resuelve para la primera derivada de f :

iiii

i fxx

ffff ′′′∆+

∆−−

=′ ++ 221

31

234 (4.15)

Se considera que el error es el segundo término de la derecha, así:

Ex

ffff iii

i +∆

−−=′ ++

234 21 (4.16)

Es la aproximación de diferencia hacia delante, donde,

ifxE ′′′∆≈ 2

31 , el error, es del mismo orden que el de la aproximación de diferencia central.

Las ecuaciones (4.1) y (4.5) pueden ser utilizadas para encontrar una expresión en diferencias que aproxime la solución de una ecuación de segundo orden. Sumando (4.1) a (4.5) se obtiene:

38


...12

24

211 +

∆+′′∆+=+ −+

IViiiii fxfxfff (4.17)

Resolviendo para la segunda derivada de fi, se tiene que:

Ex

ffff iii

i +∆

−+=′′ −+

211 2 (4.18)

Donde el error es del orden de 2x∆ multiplicado por la cuarta derivada de f, IVifxE

12

2∆−≈

El mismo método es utilizado para obtener la aproximación en diferencias de derivadas de orden superior. En el apéndice A3 se muestran las expresiones de las aproximaciones de diferencias finitas para derivadas ordinarias de primer a cuarto orden.

4.2. Ejemplos de aplicación del método de diferencias finitas para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con valores a la frontera.

A continuación se desarrollan dos ejemplos de aplicación del método de diferencias finitas y se estudia el comportamiento del error, se plantean dos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden no lineales.

4.2.1. Ejemplo 1

4.2.1.1. Discretización.

En el primer ejemplo se tiene la siguiente ecuación diferencial con sus condiciones a la frontera:

3

1212 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=′′ tuu (4.19)

0)0( =u (4.20) 0)1( =u (4.21)

Donde la función u(t) es continua en t=[0,1], por lo tanto, su primera y segunda derivada también son continuas en ese intervalo.

La solución analítica del problema es, ( ) 121

11

−++

= tt

tu

39


La ecuación se resuelve con una aproximación numérica para valores de la función u(t) que se encuentran dentro del recinto [t0 ,tn+1], como se muestra en la figura 4.2.

Figura 4.2 Puntos de la función u(t) en el recinto limitado por [t0 ,tn+1].

Los valores de la función u(t), en t0 y en tn+1 , son conocidos de las condiciones a la frontera. La expresión de primeras diferencias centrales para la segunda derivada de u es,

( ) ( 112 21−+ +−

∆=′′ jjjj uuu

ttu ) (4.22)

Donde:

nittt ii ...,2,1,01 =∆=−+

1...,2,1,0)( +=≡ njtuu jj Sustituyendo la expresión de primeras diferencias centrales en la ecuación (4.19) se obtiene, para el j-ésimo punto de la malla,

( ) njtuuuut jjjjj ,...,3,2,11

21221 3

112 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=+−

∆ −+ (4.23)

La ecuación (4.23) genera un sistema de n ecuaciones algebraicas no lineales con n+2 variables. Para cerrar el sistema se incorporan las dos ecuaciones correspondientes a las condiciones a la frontera,

( ) 000 == utu (4.24) ( ) 011 == ++ nn utu (4.25)

40


El sistema de n+2 ecuaciones con n+2 variables a resolver tiene la siguiente forma:

{ }3

112

12 12122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=− tutuu

{ }3

222

123 12122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=+− tutuuu

{ }3

332

234 12122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=+− tutuuu

{ }3

442

345 12122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=+− tutuuu

.

.

.

{ }3

222

321 12122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=+− −−−−− nnnnn tutuuu

{ }3

112

21 12122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=+− −−−− nnnnn tutuuu

{ }3

21 1

2122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=+− − nnnn tutuu

Donde se han sustituido los valores de las condiciones a la frontera. Para n=5, el sistema de ecuaciones a resolver es:

{ }3

112

12 12122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=− tutuu

{ }3

222

123 12122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=+− tutuuu

{ }3

332

234 12122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=+− tutuuu

{ }3

442

345 12122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=+− tutuuu

{ }3

552

45 12122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∆=+− tutuu

41


4.2.1.2. Solución. El sistema de ecuaciones es resuelto con la rutina NEQNF del IMSL de Fortran 6.0A y los resultados se muestran en la tabla 4.1.

Tabla 4.1. Solución del sistema de ecuaciones del ejemplo 1, para n=5

solución analítica

solución por diferencias

finitas error relativo error absoluto

i t u u er ea

0 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 1 0.16666667 -0.05952381 -0.07077481 0.18901679 0.011250999 2 0.33333333 -0.08333333 -0.09593442 0.15121305 0.012601088 3 0.50000000 -0.08333333 -0.09317292 0.11807498 0.009839582 4 0.66666667 -0.06666667 -0.07253478 0.08802166 0.00586811 5 0.83333333 -0.03787879 -0.04015677 0.06013873 0.002277982 6 1.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

En la figura 4.3 se muestra gráficamente la solución numérica, para 7 nodos, comparada con la solución analítica exacta.

-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.01

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t

u

solución analítica solución por diferencias finitas

Figura 4.3 Comparación de la solución por diferencias finitas con la solución analítica

Se puede apreciar que la solución numérica subestima a la solución analítica en todos los puntos, excepto en las fronteras, donde los valores de ambas soluciones son los mismos.

La figura 4.4 muestra las soluciones del sistema de ecuaciones para diferentes números de nodos en la malla.

42



n= 150

n= 20

n= 5-0.1

-0.09

-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t

u

Figura 4.4. Soluciones por diferencias finitas para diferentes números de nodos comparadas con la solución

analítica Se aprecia que la solución numérica subestima a la solución exacta y que un mayor número de nodos en la malla nos aproximan rápidamente a la solución analítica del problema.

4.2.1.3. Análisis del Error.

El error relativo se calculó con la siguiente expresión:

analíticasolladevaloranalíticasolladevalornumsolladevalor

... −

El error relativo tiene un comportamiento que puede ser descrito por un polinomio de grado 2 y disminuye conforme aumenta la variable independiente t. Se observa que el error es máximo en ti=t1 y es mínimo en ti=tn .

43


e = 0.059t 2 - 0.2515t + 0.229R 2 = 0.9999

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t

(er )

Figura 4.5. Comportamiento del error relativo con respecto a t.

El error absoluto se calculó con la siguiente expresión:

analíticasolladevalornumsolladevalor .. −

El error absoluto es mínimo en los extremos de la malla, puesto que las condiciones a la frontera son conocidas, pero crece cuando se aleja de éstas. En la figura 4.6 se muestra el comportamiento del error absoluto con el cambio de la variable independiente t.

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t

(ea )

Figura 4.6. Comportamiento del error absoluto con el cambio de t.

44


Para números mayores de nodos en la malla se aprecia que el error máximo relativo a la solución exacta disminuye, al igual que el error absoluto, y la solución numérica se aproxima rápidamente a la solución exacta. Así, para n=100, 102 nodos en la malla, se observa que la solución numérica es muy cercana a la solución exacta.

e r,máx = 0.8976n -0.9133

R 2 = 0.9976

00.020.040.060.080.1

0.120.140.160.180.2

0.22

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160Número de nodos en la malla (n)

erro

r máx

imo

rela

tivo

_

.

Figura 4.7. Comportamiento del error máximo relativo con el cambio del número de nodos de la malla

En general, para este problema, el error relativo máximo disminuye conforme aumenta el número de nodos en la malla. El error relativo disminuye conforme aumenta el valor de la variable de independiente t.

45


4.2.2. Ejemplo 2

4.2.2.1. Discretización.

El segundo ejemplo es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con valores a la frontera,

( ) 0122 =+′+′′ uau (4.26) 0)0( 0 == uu (4.27) 0)1( 1 == +nuu (4.28)

La solución analítica del problema es, ( ) ππ <<−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= aa

ta

atu ,

2cos

21cos

ln12

Las aproximaciones de la primera y segunda derivadas por expresiones de primeras diferencias centrales son,

Primera derivada ( 1121

−+ −∆

=′ iii uut

u ) (4.29)

Segunda derivada ( 112 21−+ +−

∆=′′ iiii uuu

tu ) (4.30)

Sustituyendo (4.29) y (4.30) en (4.26):

( ) ( ) 012121 2

112

112 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∆++−

∆ −+−+ iiiii uut

auuut

Reacomodando los términos se obtiene que,

( ) nituuauuu iiiii ,...,3,2,1;04

2 2211

2

11 ==∆+−++− −+−+ (4.31)

Donde 1

01

+−

=∆ +

ntt

t n

De las condiciones a la frontera se tiene,

( ) 04

2 2211

2

11 =∆+−++− −+−+ tuuauuu iiiii (4.32)

46


( ) 04

2 221

2

1 =∆+−++− −− tuauu nnn (4.33)

Es un sistema de n+2 ecuaciones algebraicas conformado por las ecuaciones (4.31) a (4.33), con n+2 incógnitas.

4.2.2.2. Solución. Resolviendo el sistema para 7 nodos en la malla se obtiene la siguiente tabla de valores para u con su error relativo y el error absoluto.

Tabla 4.2. Solución analítica y numérica para n=5


diferencias finitas

error relativo error absoluto

t u u er ea

0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.16666667 0.09367113 0.1591419 0.6989428 0.06547077 0.33333333 0.13975264 0.2268313 0.62309135 0.08707866 5.00000000 0.15390662 0.2468313 0.60377314 0.09292468 0.66666667 0.13975264 0.2268313 0.62309135 0.08707866 0.83333333 0.09367113 0.1591419 0.6989428 0.06547077

1.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.000000000

00.020.040.060.08

0.10.120.140.160.18

0.20.220.240.26

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t

u

solución analíticadiferencias finitas

Figura 4.8. Solución analítica y solución por el método de diferencias finitas, n=5.

47


n=5

n= 10

n=100


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t

u

Figura 4.9. Gráfica de la solución por diferencias finitas para distintos números de nodo comparada con la solución analítica.

La solución numérica por diferencias finitas sobrestima la solución analítica en todos los puntos excepto en las fronteras, donde los valores son idénticos. Conforme se aumenta el número de nodos en la malla, los valores de la solución numérica se acercan rápidamente a los valores de la solución analítica.

48


4.2.2.3. Análisis del error.

El error relativo se calculó con la siguiente expresión:

analíticasolladevaloranalíticasolladevalornumsolladevalor

... −

El error relativo es cero en las fronteras, puesto que son valores de la función conocidos; en los puntos del intervalo que no corresponden a la frontera, los valores del error relativo alcanzan un máximo cerca de las mismas y disminuyen hasta un mínimo a la mitad del intervalo. Este comportamiento es el mismo para cualquier número de nodos en la malla.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t

Erro

r rel

ativ

o

Figura 4.10 Comportamiento del error relativo contra t, n=5.

En cuanto al error absoluto, es igual a cero en las fronteras del intervalo y alcanza un máximo a la mitad del mismo. El error absoluto se calculó con la siguiente expresión:

analíticasolladevalornumsolladevalor .. −

49


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t

Erro

r abs

olut

o

Figura 4.11 Comportamiento del error absoluto contra t, n=5.

El comportamiento del error con respecto a t es igual para números de nodos mayores. Cuando aumenta el número de nodos, el error máximo, tanto absoluto como relativo, disminuye.

0.025

0.026

0.027

0.028

0.029

0.03

0.031

0.032

0.033

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t

Erro

r re

lativ

o

Figura4.12. Comportamiento del error relativo contra t, n=100.

50


0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.0035

0.004

0.0045

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t

Erro

r abs

olut

o

Figura 4.13. Comportamiento del error absoluto con t, n=100

El error relativo disminuye conforme aumenta el número de divisiones de la malla de manera asintótica como se muestra en la gráfica de la figura 4.15.

Tabla 4.3. Error máximo relativo y absoluto para diferentes números de nodos.

nodos error relativo error absoluto

5 0.6989428 0.09292468

10 0.33120492 0.0421304720 0.16235328 0.0202570480 0.04012042 0.00491633

100 0.03207529 0.00392514120 0.02671805 0.00326652

51


er max = 3.5416n-1.0224

R2 = 0.9999

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Número de nodos (n)

e r m

ax

Figura 4.14. Comportamiento del error relativo máximo con el número de nodos.

El error absoluto máximo también muestra un comportamiento potencial y disminuye asintóticamente conforme aumenta el número de nodos de la malla.

eamáx = 0.4805n-1.0455

R2 = 0.9996

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Número de nodos (n)

e a m

ax .

Figura 4.15. Comportamiento del error absoluto máximo con el número de nodos.

52


5. SOLUCIÓN NUMÉRICA DEL MODELO ADIMENSIONAL DE CHENG Y MINKOWYCZ

El Modelo Q es la adimensionalización del modelo de Cheng y Minkowycz (Modelo P) que describe la convección natural de un fluido newtoniano en la celda Hele Shaw que fluye debido a un gradiente de temperatura entre las paredes laterales. Modelo Q.

0=−θηd

df (5.1)

02

12

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+η

γθηθγ

ηθ

ddf

ddf

dd (5.2)

( ) 010 =−=ηθ ( ) 00 ==ηf (5.3) ( ) 0=∞→ηθ

0=∞→ηηd

df (5.4)

5.1. Discretización del modelo adimensional

El modelo Q es discretizado por el método de diferencias finitas explicado en el capítulo 4 para obtener un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales con un número de ecuaciones igual al número de variables en el sistema. El modelo R es la discretización del modelo Q.

Figura 5.1 Esquema de la malla para la discretización del modelo Q.

53


Modelo R.

( ) iii ff θη

=−∆ −+ 1121 (5.5)

( ) ( ) 04

121 211112 =−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆+

++−∆ −+−+ iiiiiii f γθθθ

ηγθθθ

η (5.6)

con i=1,2,3,…,n

00 =f (5.7) 10 =θ (5.8)

01 =+nθ (5.9)

1+= nn ff (5.10)

Donde 1

01

+−

=∆ +

nn ηη

η

Este sistema de ecuaciones da lugar a 2xn ecuaciones más 4 ecuaciones que representan las condiciones a la frontera, con (2xn)+4 variables. La malla está definida por n+2 puntos que mapean en f(η) y θ(η). El primer punto de la malla corresponde a η0 que mapea en f(η0) y θ( η0). El último punto de la malla corresponde a ηn+1 que mapea en f(η n+1) y θ( η n+1). La condición a la frontera dada por la ecuación (5.4) fue discretizada con expresión en diferencias hacia atrás, mientras que el resto de las ecuaciones del modelo Q, fue discretizado utilizando expresiones en diferencias centrales. El sistema de ecuaciones algebraicas no lineales fue resuelto con la rutina DNEQNF del IMSL de Visual Fortran Professional Edition 6.0A. Esta rutina requiere de las librerias SSTATD.LIB SSTATS.LIB SMATHD.LIB SMATHS.LIB SF90MP.LIB; además requiere del sistema de ecuaciones proporcionado por la subrutina FCN, el error máximo permitido, el número de ecuaciones, el número máximo de iteraciones y el vector de arranque. Entrega como resultados, el vector solución del sistema de ecuaciones y la norma del error. La adaptación del modelo R para ser resuelto por la rutina DNEQNF, que requiere un solo vector dos vectores, es la siguiente: Los vectores y 1210 ,...,,, += nfffff 1210 ,...,,, += nθθθθθ son sustituidos por un solo vector wi con 2n+4 componentes, de tal manera que:

54


142

14

03

12

12

01

...

...

++

+

+

++

=

===

==

nn

n

n

nn

w

ww

fw

fwfw

θ

θθ

Para n+2 nodos en la malla, el sistema se puede escribir como sigue: Modelo R2

01 =w (7.11) 013 =−+nw (7.12)

042 =+nw (7.13) 021 =− ++ nn ww (7.14)

( ) 02

123 =−

∆− +++ iiin www

η (7.15)

( ) ( ) 04

121 231242342 =−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆+

++−∆ +++++++++++++ iniininininin wwwwwww γ

ηγ

η (7.16)

Con i=1,2,3,…,n

Donde 1

01

+−

=∆ +

nn ηη

η

En el apéndice A4 se muestra el código del programa que resuelve este sistema de 2n+4 ecuaciones algebraicas no lineales con 2n+4 variables que resulta de fijar el número de nodos para el Modelo R2.

55


5.2. Solución del modelo discretizado para un caso base

En esta sección se estudia la solución de un caso base que será la referencia de los resultados del siguiente capítulo. Para la solución del modelo R se tomó un valor de γ igual a 1. El valor de n utilizado fue igual a 499. Para la solución del modelo P se considera que el fluido es agua y sus propiedades fueron calculadas a la temperatura de referencia T∞ , es decir, a la temperatura del seno del fluido.

H = 0.22m L = 0.19m

Tw = 303.15K T∞ = 290.15K

h = 2.00E-03m g = 9.81m/s2

k = 0.60497J/s·m·K ρ = 997.419 kg/m3

cp = 4180.01 J/kg·K µ = 9.35E-04 kg/m·s ν = 9.37E-07 m2/s β = 2.44E-04 K-1

a = 1.45104E-07 m2/s Pr = 6.44E+00

γ = 1.00E+00

56


5.2.1. Temperatura adimensional

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

η

θ

_

Figura 5.2 Temperatura adimensional contra longitud adimensional para γ=1 Fijando el parámetro γ en 1, la temperatura adimensional disminuye de manera asintótica desde 1, en η igual a 0, hasta 0, en η=10. El espesor de capa límite, δ, que es el tamaño de la zona de agua caliente, se define como θ(ηδ)=0.01

2/1xRa

x δηδ = (5.17)

Para este caso, el espesor de capa límite ocurre en ηδ = 4.601. Este comportamiento indica que la temperatura del fluido decae rápidamente de la pared calentada hasta el espesor de la capa límite y que, por lo tanto, la derivada de la temperatura con respecto a la coordenada y es grande, haciendo que el efecto de conducción de calor en la región de capa límite

57


predomine sobre el efecto de convección. Después de la capa límite térmica, la temperatura decrece muy lentamente hasta alcanzar la temperatura del seno del fluido a la mitad de la celda aproximadamente. En esta región, fuera de la capa límite, los efectos conductivos son muy pequeños por lo que el mecanismo de transferencia de calor que predomina es el convectivo.

5.2.2. Función de corriente adimensional

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

η

f

Figura 5.3 Función de corriente adimensional contra longitud adimensional

La función de corriente adimensional, que contiene información de la velocidad, tiene un valor de 0 en η igual a 0 y aumenta asintóticamente hasta un valor de 1 para η igual a 10. Se aprecia que la función de corriente adimensional aumenta rápidamente conforme aumenta η. El espesor adimensional de capa límite es de 4.601 y en este valor de η, la función de corriente alcanza un valor de 9.899. Dimensionalmente, la componente vertical de la velocidad, que es del orden de 10-1, es más grande cerca de la pared y disminuye

58


rápidamente hasta el espesor de capa límite, fuera de la capa límite, la componente vertical de la velocidad tiende lentamente a 0 pues la pendiente de la función de corriente tiende lentamente a 0. La componente horizontal de la velocidad es del orden de 10-5 y tiene dirección hacia la pared vertical calentada; es muy pequeña respecto a la componente vertical. Esta componente tiene un valor máximo en el seno del fluido. Desciende rápidamente dentro de la capa límite. Para el estudio de la velocidad del fluido se define la velocidad de referencia, Uref, como,

( ) 2/1THg ∆= βrefU Uref = 0.002017702 m/s De manera tal que y refU/xu=xU refU/yu=yU Se define la longitud vertical adimensional se define como X = x/H , y la longitud horizontal adimensional como Y = y/L. El espesor de la capa límite térmica fijando X= 0.5, es de Yδ = 0.029

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

00.010.020.030.040.050.06

Y

U x _

X =0.5

Figura 5.4. Componente vertical de la velocidad adimensional contra la posición horizontal adimensional.

59


Fijando la coordenada vertical adimensional en X = 0.5, la componente vertical de la velocidad adimensional disminuye de manera asintótica desde un valor máximo de 5.475973, en Y=0, hasta cero con forme aumenta Y dentro de la capa límite térmica.

-2.2E-03

-2.0E-03

-1.8E-03

-1.6E-03

-1.4E-03

-1.2E-03

-1.0E-03

-8.0E-04

-6.0E-04

-4.0E-04

-2.0E-04

0.0E+0000.010.020.030.040.050.06

Y

U y _

X =0.5

Figura 5.5. Componente horizontal de la velocidad adimensional contra la posición horizontal adimensional.

La componente horizontal de la velocidad adimensional aumenta de manera asintótica desde cero, en Y=0, hasta un valor máximo de -2.073461x10-3 , conforme aumenta Y. Por lo tanto, el gradiente de velocidad es dentro de la capa límite térmica.

60


5.2.3. Número de Rayleigh

0.00E+00

2.00E+03

4.00E+03

6.00E+03

8.00E+03

1.00E+04

1.20E+04

1.40E+04

1.60E+04

1.80E+04

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

X=x/H

Ra

Figura 5.6 Número de Rayleigh contra la coordenada vertical adimensional

El número de Rayleigh indica que las fuerzas boyantes son más grandes que las fuerzas viscosas y de disipación. El número Ra crece con respecto a la posición vertical. McGregor y Emery (McGregor, R.K. y Emery, A.P., Free convection through vertical plane layers, J. Heat Transfer, 91, 391, 1969) reportaron los siguientes regímenes de flujo como función de Ra. Para Ra < 103 se tiene un régimen conductivo. Para 103 < Ra < 104 el régimen es intermedio y entre 104 < Ra < 106 el régimen se caracteriza porque el calor se transfiere principalmente por convección.

61

Por lo tanto, respecto de la posición horizontal, en la parte baja de la celda, en donde Ra~104, y cerca de la pared la transferencia de calor se lleva a cabo por conducción, mientras que en la parte alta de la celda, en donde Ra~105, la transferencia de calor por conducción se da en una capa límite muy pequeña y predomina el mecanismo de convección. Esto se traduce en el hecho de que la geometría de las isotermas indicará cuando domina cada mecanismo de transferencia de calor.


5.2.4. Número local de Nusselt

La velocidad de transferencia de calor de la pared vertical calentada hacia el fluido es,

0=∂∂

−=yy

Tkq (5.18)

En variables adimensionales se puede expresar como,

0

2132/12

2/3

12=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

η

γ

ηθ

νβ

ddx

ahgAkq (5.19)

Introduciendo el número de Rayleigh,

( )0

2/1

=∞−−=

ηηθ

dd

TTxkRaq

w

(5.20)

Por otra parte,

( ∞−= TTq w )α (5.21) Donde α es el coeficiente de transferencia de calor. El número de Nusselt es el coeficiente adimensional de transferencia de calor y está en función de la coordenada horizontal. Este número relaciona los efectos de transferencia de calor por convección sobre los efectos de transferencia de calor por conducción.

kx

xα

=Nu (5.22)

Sustituyendo las ecuaciones (5.20) y (5.21) en la ecuación para el número de Nusselt se tiene que,

0

2/1Nu=

−=ηη

θddRaxx (5.23)

62


0.00E+00

2.00E+01

4.00E+01

6.00E+01

8.00E+01

1.00E+02

1.20E+02

1.40E+02

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Coordenada vertical adimensional X

Nu

x

Figura 5.7 Número local de Nusselt en función de la coordenada adimensional X

Reordenando la ecuación (5.23)

02/1

Nu

=

−=ηη

θdd

Rax

x (5.24)

63

La coordenada adimensional X se define como X=x/H, donde H es la altura de la celda. El número local de Nusselt es el coeficiente adimensional de transferencia de calor como función de la coordenada vertical. La transferencia de calor por convección se incrementa conforme aumenta la coordenada x, por lo tanto, el flujo convectivo se inicia en la parte baja de la celda, en la región cercana a la pared calentada y es más grande en las regiones altas de la celda en donde la velocidad es mucho mayor cerca de las paredes, por lo que se presentará estratificación del flujo en la parte central de la celda.

Para γ =1, La derivada de la temperatura adimensional respecto a la coordenada adimensional evaluada en η =0 es igual a 1, por lo que el número de local Nusselt es igual a la raíz cuadrada del número de Rayleigh. Esto coincide con las correlaciones que se encuentran en la literatura de la forma potencial, . En este sistema se encuentra que b=1/2.

baRaNu =


0.0E+00

2.0E+01

4.0E+01

6.0E+01

8.0E+01

1.0E+02

1.2E+02

1.4E+02

0.0E+00 2.0E+03 4.0E+03 6.0E+03 8.0E+03 1.0E+04 1.2E+04 1.4E+04 1.6E+04

Ra x

Nux

x

_

x

Figura 5.8 Número local de Nusselt contra número de Rayleigh.

5.2.5. Análisis del error del caso base Como se explicó en el apartado de introducción al método numérico de diferencias finitas, capítulo 4, el error se puede estudiar desde dos criterios diferentes cundo el parámetro γ permanece constante; en el primero, el error depende de la variable independiente η cuando se resuelve el modelo R para un número de nodos fijo. Este error depende de la forma de las ecuaciones del sistema. En el segundo, el error depende del número de nodos de la malla y, en general, disminuye asintóticamente conforme aumenta el número de nodos de la malla. El modelo R fue resuelto para diferentes números de nodos en la malla, entre 9 y 499.

64


En general, se observa que la solución para números de nodos pequeños sobreestima la solución obtenida con números de nodos grandes. Atendiendo al primer criterio para calcular el error, se calcula el error relativo y el error absoluto de varias soluciones obtenidas con diferente número de nodos con respecto a la solución obtenida con 499 nodos en la malla. Comportamiento del error absoluto respecto de η.

n= 919

29

199

299

1.0E-09

1.0E-08

1.0E-07

1.0E-06

1.0E-05

1.0E-04

1.0E-03

1.0E-02

1.0E-01

1.0E+000.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

η

erro

r abs

olut

o

_.

Figura 5.9 Comportamiento del error absoluto, respecto de la solución con 499 nodos,

para diferentes números de nodos con el cambio de η γ =1 , El error absoluto se calculó con la siguiente expresión

nparasoluciónladeValornodosparasoluciónladeValor −499

Donde n<499 De manera puntual, el error absoluto es el valor absoluto de la resta del valor de la solución obtenida para 499 nodos y determinado valor de η, menos del valor de la solución obtenida para algún n menor que 499 y el mismo valor de η.

65


Así, el error absoluto es cero en los extremos de la malla, donde la condición a la frontera del modelo P es conocida; aumenta rápidamente conforme aumenta η hasta un máximo y posteriormente disminuye asintóticamente conforme sigue aumentando η. En esta misma gráfica se observa que cuando aumenta el número de nodos en la malla, el error absoluto máximo disminuye. Comportamiento del error relativo respecto de η.

n = 9

19

29

199

299

1.00E-05

1.00E-04

1.00E-03

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+000.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

η

erro

r rel

ativ

o

_

Figura 5.10 Comportamiento del error relativo, respecto de la solución con 499 nodos, para diferentes

números de nodos con el cambio de η , γ =1 El error relativo se calculó con la siguiente expresión

nodosparasoluciónladeValornparasoluciónladeValornodosparasoluciónladeValor

499499 −

Donde n<499 El error relativo es el valor absoluto del cociente entre el error absoluto para determinado valor de η y le valor de la solución para 499 nodos, correspondiente al mismo valor de γ.

66


El error relativo es cero en los extremos de la malla y aumenta linealmente en la primera parte de la malla, alcanza un valor máximo cerca del extremo derecho de la malla y posteriormente decae rápidamente a cero. Cuando el número de nodos de la malla aumenta, el error relativo disminuye rápidamente. Error absoluto máximo Respecto al segundo criterio del error, se propone un error eamax , que representa el error absoluto máximo obtenido al comparar una solución con n números de nodos con respecto de la solución obtenida para 499 nodos en la malla, donde n es menor que 499. El error absoluto máximo disminuye de manera asintótica conforme aumenta el número de nodos de la malla.

e amáx = 1.4631n -2.0333

R 2 = 0.997

1.00E-05

1.00E-04

1.00E-03

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+000 50 100 150 200 250 300

número de nodos (n)

erro

r abs

olut

o m

áxim

o

Figura 5.11 Error absoluto máximo respecto de la solución con n=499 para diferentes números de nodos.

γ =1 La diferencia máxima entre la solución con n=9 y n=19 es del orden de 4x10-3 mientras que la diferencia máxima entre las soluciones con n=299 y n=499 es del orden de 1x10-5,

67


por lo que el número máximo de nodos con el que fueron obtenidas las curvas para diferentes valores de γ fue de 499. Error relativo máximo

e rmáx = 9.6002n -1.619

R 2 = 0.9857

1.00E-04

1.00E-03

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+000 50 100 150 200 250 300

número de nodos (n)

erro

r rel

ativ

o m

áxim

o

_

Figura 5.12 Error relativo máximo respecto a la solución con n=499 para diferentes números de nodos. γ =1 El error máximo de una solución con n<499 relativo a la solución con n=499 disminuye asintóticamente conforme aumenta el número de nodos.

68


6. SENSIBILIDAD PARAMÉTRICA

6.1. Variación del parámetro γ. Cheng y Minkowycz estudiaron el intervalo de valores de γ para el cual, el modelo P es físicamente consistente. Llegaron a la conclusión de que γ varía entre -1/3 y 1. En este capítulo se hace un estudio de la sensibilidad del parámetro γ ; en el trabajo de Vorontsov, el valor de γ que se ajusta a sus resultados experimentales es de cero. La temperatura en la pared fue definida como , por lo tanto, desde que la pared comienza a ser calentada, su temperatura tiene que ser mayor que la del seno del fluido y el flujo convectivo comienza. La magnitud de la componente vertical de la velocidad, v

γAxTTw += ∞

x, y el espesor de capa límite, δ, deben aumentar o al menos permanecer constante conforme aumenta x. La ecuación del espesor de capa límite (5.17), se puede escribir de la siguiente manera en función de la temperatura de la pared calentada,

( ) 2/12

21

12 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

ahAg

x

νβ

ηδ

γ

δ (6.1.1)

Para que se cumpla que el espesor de capa límite aumente con el aumento de x, el valor de γ debe ser menor a 1. Por otra parte, la ecuación de la componente x de la velocidad (3.10), tomando en cuenta la temperatura de la pared, se puede escribir como,

νβ γ

12

2 Axghx =v (6.1.2)

El valor de γ debe ser mayor a 0 para que la componente vertical de la velocidad aumente con el aumento de x. Los límites que resultan son 10 ≤≤ γ y dentro de ellos el modelo P es consistente. Cheng y Minkowycz también analizan que el total de la energía de convección debe aumentar con el aumento de x,

( )∫∞

∞∞ −=0

)( dyTTcxE xp vρ

En variables adimensionales se expresa,

∫∞+

∞ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

213

2/32/12

12)( ηθ

ηνβρ

γ

dddfxA

ahgcxE p (6.1.3)

69


Por lo tanto 3/1−≥γ Para el análisis paramétrico de esta sección se considera que 13/1 ≤≤− γ

6.1.1. Temperatura adimensional

γ = −1/3

−1/4

0

1/4

1/3

1/2

3/4

1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Longitud adimensional (η )

θ ,

f '

Figura 6.1 Temperatura y primera derivada de la función de corriente adimensionales La temperatura y la primera derivada de la función de corriente adimensionales disminuyen conforme aumenta η . Para el caso límite en que γ =-1/3, la temperatura adimensional tiene una pendiente de 0 en η =0. El otro caso límite, para γ =1, la temperatura adimensional tiene una pendiente igual a 1 en η =0. Para todos los valores estudiados de γ, la pendiente de la temperatura adimensional en η =10 es igual a 0.

70


6.1.2. Función de corriente adimensional

γ = -1/3-1/4

0

1/41/3

1/23/4

1

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Longitud adimensional, η

f

Figura 6.2. Función de corriente adimensional

La función de corriente adimensional se comporta de la misma manera para los diferentes valores de γ permitidos. Para γ igual a 1, la función de corriente aumenta asintóticamente desde 0, en η =0 hasta 1 para η =10.

71


El valor de la función de corriente en el seno del fluido, , cuando η tiende a 10, se muestra para diferentes valores de γ en la siguiente tabla.

∞f

Tabla 6.1 Valores de para diferentes valores de γ ∞fγ ∞f

-1/3 2.438 -1/4 2.109

0 1.612 1/4 1.361 1/3 1.300 1/2 1.200 3/4 1.086 1 1.000

6.1.3. Espesor de capa límite

El espesor de capa límite definido por la ecuación (6.1.1)

4.6

5

5.4

5.8

6.2

6.6

7

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0γ

η δ

_

Figura 6.3 Espesor de capa límite en función de γ.

72


Para cada valor de γ, se tiene un valor θ =0.01, que ocurre en ηδ . El espesor de capa límite disminuye desde 7.2 en γ=-1/3 hasta 4.6 en γ=1. Los resultados obtenidos comparados con los obtenidos por Cheng y Minkowycz difieren un máximo de 1.26% para γ=1/3.

Tabla. 6.2 Comparación de ηδ para diferentes valores de γ con la solución de Cheng y Minkowycz

γ ηδ ηδ

(Cheng y Minkowycz)

-1/3 7.20338E+00 7.20 -1/4 6.99544E+00 6.95

0 6.30742E+00 6.31 1/4 5.73326E+00 5.68 1/3 5.56935E+00 5.50 1/2 5.27554E+00 5.30 3/4 4.90585E+00 4.90 1 4.60134E+00 4.58

6.1.4. Transferencia de calor La transferencia de calor de la pared vertical calentada hacia el fluido está descrita en función del número local de Nusselt de acuerdo con la ecuación (5.24),

02/1

Nu

=

−=ηη

θdd

Rax

x (6.1.9)

Los resultados del modelo R2 dan información a cerca de los valores de θ(η) y f(η) pero sobre sus derivadas, por lo que, para el cálculo de la primera derivada en la ecuación (6.1.9) se hizo una aproximación polinomial en las regiones cerca de η=0.

73


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

γ

Figura 6.4 θ'(0) o Nux/Rax1/2 en función de γ.

La relación Nux/Rax

1/2 aumenta desde 0, en γ = -1/3 hasta 1 en γ =1. Para una placa isotérmica, donde γ = 0, la derivada de la temperatura adimensional respecto de la longitud adimensional es igual a 0.4438939. El resultado obtenido por Cheng y Minkowycz para este valor es de 0.4440. La velocidad de transferencia de calor global, Q, a lo largo de la placa vertical calentada es,

∫=L

dxxqhQ0

)(

∫=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

L

dxddx

ahgAkhQ

0 0

2132/12

2/3

12η

γ

ηθ

νβ

13122

213

0

2/122/3

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+

= γηθ

νβ

γ

η

Ldd

ahghkAQ (6.1.10)

74


El número de Nusselt promedio se define como kLh

=Nu

Donde el coeficiente de transferencia de calor promedio depende de la diferencia de temperatura entre la placa caliente y el seno del fluido, )( ∞−TTw . Tomando una temperatura promedio que sea función de x, definida como,

( )∫ ∞∞ −=−L

ww dxTTL

TT0

1

( Lww TTTT ∞∞ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=−1

1γ

) (6.1.11)

Si el flujo de calor es,

( )hLTTQ w ∞−= h El número de Nusselt promedio es entonces,

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=0

2/3

2/1 1312Nu

ηηθ

γγ

dd

Ra (6.1.12)

Donde el número de Rayleigh es evaluado utilizando la temperatura promedio definida por (6.1.11). Si el coeficiente de transferencia de calor es calculado en la diferencia de temperaturas a la mitad de la celda, en L/2, el número de Nusselt promedio sobre la raíz cuadrada del promedio del número de Rayleigh es,

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

=0

2/3

2/2/1 13

22Nu

η

γ

ηθ

γ dd

Ra L

75


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

γ

Figura 6.5 Relación del número de Nusselt promedio sobre la raíz cuadrada del número de Rayleigh promedio.

LRa⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2/1Nu

2/2/1

Nu

LRa⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

La relación del número de Nusselt promedio sobre la raíz cuadrada del número de Rayleigh promedio basada en una temperatura media promediada en L y la misma relación basada en la temperatura promediada en L/2 son iguales en γ =0 y en γ =1. En general, el efecto de variar el parámetro γ, es el de aumentar la transferencia de calor por el mecanismo de convección.

76


6.1.5. Solución del modelo para la celda de Hele Shaw utilizada por Vorontsov et. al.

En el trabajo realizado por Vorontsov et. al., los resultados experimentales fueron ajustados con los resultados de la solución numérica del modelo R con γ = 0, y con los siguientes parámetros,

H= 0.22m L= 0.19m

Tw= 303.15K T∞= 290.15K

h= 2.00E-03m g= 9.81 m/s2

k= 0.60497J/s·m·K ρ= 997.419kg/m3

cp= 4180.01J/kg·K µ= 9.35E-04kg/m·s ν= 9.37E-07m2/s β= 2.44E-04K-1

a= 1.45104E-07m2/s Pr= 6.44E+00

γ= 0.00E+00 Uref= 0.002017702m/s

γ = 1

0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

00.010.020.030.040.050.06Y=y/L

θ

Figura. 6.6 Temperatura adimensional contra la longitud horizontal adimensional, X = 0.5, γ =0, γ =1

77


La temperatura adimensional disminuye con el aumento de la coordenada horizontal adimensional; para γ = 1, disminuye más lentamente que para γ = 0, por lo que el espesor de la capa límite térmica es mayor para γ = 1 que para γ = 0.

1

0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

00.010.020.030.040.050.06

YU

x _

γ =

Figura 6.7. Componente vertical de la velocidad adimensional contra posición adimensional horizontal.

γ = 1 y γ = 0 La componente vertical de la velocidad adimensional para γ =1, con X=0.5, tiene un valor máximo de 5.4759 en Y=0 y decrece asintóticamente hasta cero. Para el caso en que γ =0, el valor máximo de la componente vertical de la velocidad adimensional tiene el mismo máximo y desciende hasta cero de manera más suave que con γ =1. Esto indica que la componente horizontal de la velocidad decrece más rápidamente con γ =1 que con γ =0.

78


γ =1

0

-3.0E-03

-2.8E-03

-2.6E-03

-2.4E-03

-2.2E-03

-2.0E-03

-1.8E-03

-1.6E-03

-1.4E-03

-1.2E-03

-1.0E-03

-8.0E-04

-6.0E-04

-4.0E-04

-2.0E-04

0.0E+0000.010.020.030.040.050.06

Y

U y _

Figura 6.8. Componente horizontal de la velocidad adimensional contra la posición adimensional horizontal.

γ = 1 y γ = 0 La componente horizontal de la velocidad adimensional para γ = 1 y X=0.5, tiene un valor mínimo en Y=0, y alcanza un valor máximo de -2.073461x10-3. Para γ = 0, el valor máximo es de -2.902269x10-3. Se observa que la componente horizontal de la velocidad para γ = 1 alcanza un valor máximo menor que para γ =0, y que lo alcanza más rápidamente que para γ = 0 debido a que el espesor de la capa límite térmica es menor con γ = 1 que con γ = 0.

79


10

γ =1

0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

00.010.020.030.040.050.06

YU

x _

-3.2E-03

-3.0E-03

-2.8E-03

-2.6E-03

-2.4E-03

-2.2E-03

-2.0E-03

-1.8E-03

-1.6E-03

-1.4E-03

-1.2E-03

-1.0E-03

-8.0E-04

-6.0E-04

-4.0E-04

-2.0E-04

0.0E+00U

y

_

UxUx Uy Uy

Figura 6.9. Velocidad adimensional contra la posición adimensional horizontal. γ = 1 y γ = 0

La componente vertical de la velocidad adimensional es más grande que la componente horizontal y mientras la primera disminuye, la segunda crece respecto a la coordenada horizontal. El espesor de capa límite para γ =0 en coordenadas adimensionales es, Yδ =0.0688. Se aprecia que el gradiente de la velocidad dentro de la capa límite es muy grande y fuera de ella es muy pequeño. Los cambios de la velocidad, en sus dos componentes, son muy grandes dentro de la capa límite, y por lo tanto, en esta región el mecanismo de transferencia de calor es la conducción. Fuera de la capa límite, la transferencia de calor se lleva a cabo mediante la convección natural. Los gradientes de la velocidad con respecto a la coordenada Y, son mayores con un valor de γ =1 que con γ =0. Lo que está de acuerdo con el espesor de capa límite térmica, menor para γ =1 que para γ =0.

80


γ =1

0

0.00E+00

2.00E+01

4.00E+01

6.00E+01

8.00E+01

1.00E+02

1.20E+02

1.40E+02

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Coordenada vertical adimensional X

Nu

x

.

Figura 6.10. Número local de Nusselt contra la posición vertical adimensional X. γ = 1 y γ = 0

La transferencia de calor por convección aumenta conforme aumenta la posición vertical en la celda y es mayor para γ =1 que para γ =0, por lo tanto, los mecanismos de transferencia de calor por convección son mayores en la parte superior de la celda que en la parte inferior.

81


γ =1

0

0.0E+00

2.0E+01

4.0E+01

6.0E+01

8.0E+01

1.0E+02

1.2E+02

1.4E+02

0.0E+00 2.0E+03 4.0E+03 6.0E+03 8.0E+03 1.0E+04 1.2E+04 1.4E+04 1.6E+04 1.8E+04

Ra x

Nu x

_

Figura 6.11. Número local de Nusselt contra la posición vertical adimensional X. γ = 1 y γ = 0

82

La transferencia de calor por convección es mayor cuando se los efectos boyantes son superiores a los efectos viscosos y disipativos, y aumenta con el incremento de la posición vertical de la celda, esto implica que se tendrá una mayor zona de estratificación del flujo convectivo en la parte alta de la celda que en la parte inferior.


7. CONCLUSIONES

En este trabajo se hizo un estudio numérico de la convección natural de un fluido newtoniano incompresible en una celda Hele Shaw debida al gradiente de temperatura entre las paredes laterales. Donde una de las paredes laterales es calentada a temperatura constante y la otra es enfriada.

Siguiendo los trabajos de Cheng y Minkowycz de la convección natural sobre una

placa vertical en un medio poroso, y de Vorontsov et. al. sobre convección natural en una celda Hele Shaw publicado en 1990, se desarrollaron los balances de materia, de momento y de energía para llegar al modelo publicado por Cheng en 1977 que describe la convección natural en un medio poroso y que fue utilizado más tarde por Vorontsov et. al. para describir la convección natural en una celda Hele Shaw. El modelo se adimensionalizó y se discretizó para ser resuelto por el método numérico de aproximación por diferencias finitas. Posteriormente se hizo un análisis del error con el fin de determinar el número de nodos a utilizar para obtener una solución que se aproxime razonablemente. Se hicieron ajustes polinomiales de los puntos de la solución obtenidos para recuperar la información de las derivadas de las funciones en las regiones de interés. Por último se hizo un análisis de sensibilidad paramétrica variando el parámetro γ del modelo de Cheng.

83

Del estudio numérico del modelo se concluye que, cerca de la pared calentada a

temperatura constante, se forma una capa límite térmica, dentro de la cual, el gradiente de temperatura y la componente vertical de la velocidad son grandes y el mecanismo de transferencia de calor es la conducción, fuera de la capa límite, en el centro de la celda, tanto el gradiente de temperatura como la componente vertical de la celda son pequeños, además la componente horizontal de la velocidad alcanza un valor máximo en el centro de la celda; en esta región, el mecanismo de transferencia de calor es la convección. De acuerdo con el comportamiento del número de Rayleigh, las fuerzas boyantes son superiores a las fuerzas viscosas y de disipación, este efecto aumenta linealmente desde la región baja de la celda hasta la región alta. De esta manera, en la región alta se tiene una estratificación térmica del fluido, lugar donde ocurre la convección. La transferencia de calor por convección también aumenta con la posición vertical de la celda como lo indica el comportamiento del número de Nusselt. El número de Nusselt está correlacionado de manera potencial con el número de Rayleigh. El efecto de aumentar el parámetro γ, dentro de los valores para los cuales el modelo es físicamente consistente, es el de aumentar la transferencia de calor por el mecanismo de convección natural. Los resultados obtenidos con este método se aproximan muy bien a los resultados obtenidos por Cheng y Minkowycz (1977), y Vorontsov et. al. (1990). El modelo estudiado parte de la hipótesis de que el fluido es incompresible, si se deseara estudiar al fluido como compresible, se deben utilizar ecuaciones de estado.


REFERENCIAS [1] S. S. Vorontsov, A. V. Gorin, V. Ye. Nakoryakov, A. G. Khoruzhenko y V. M.

Chupin. Convección Natural en una celda Hele-Shaw, Int. J. Heat Mass Transfer, 34 (1991) 703-709

[2] P. Cheng y W. J. Minkowycz, Convection about a vertical flan plate embedded in a

porous médium with application to heat transfer from a dike, J. Geophysical Research, 82 (1977) 2040-2044

[3] Hele-Shaw, H. S. The Flow of water. Nature 58, (1898) 34-36. [4] McGregor, R.K. y Emery, A.P., Free convection through vertical plane layers, J. Heat

Transfer, 91, 391, 1969 [5] R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot; “Transport phenomena”; Editorial John

Wiley & Sons, 2001. [6] I. G. Currie; “Fundamental Mechanics of Fluids”; Segunda Edición McGraw-Hill,

Inc., 1993. [7] E. Salinas Barrios; “El problema de Benard-Rayleigh”; Tesis de Licenciatura,

UNAM, México, 1980. [8] A.F.Mills, “Transferencia de Calor”; McGraw Hill [9] Curtis F. Gerald, Patrick O. Wheatley, “Análisis Numérico con Aplicaciones”, Sexta

edición, Editorial Pearson Educación, 2000. [10] J.N. Reddy & M.L. Rasmussen; “Análisis Matemático Avanzado”; Limusa; 1992. [11] K. Wark, D. E. Richards; “Termodinámica”, Segunda Edición; McGraw-Hill. España

2000.

84


APÉNDICES A.1 Nomenclatura

A Constante en la ecuación (6) [ºCm-1] a Difusividad térmica del fluido [m2s-1] f Función de corriente adimensional g Aceleración de la gravedad [ms-2] H Altura de la celda [m] h Espesor de la celda [m] L Longitud de la celda [m]

Nux Número de Nusselt local q Flux de calor [Wm-2]

Ra Número de Rayleigh local en el caso de temperatura de pared constante ( )

vaxhTTg w

12

2∞−β

u,v,w Proyección del vector velocidad sobre los ejes x,y,z, respectivamente [ms-1] x,y,z, Ejes del sistema de coordenadas cartesiano [m]

Pr Número de Prandtl Símbolos griegos

α Coeficiente de transferencia de calor [Wm-2s-1] β Coeficiente de expansión térmica [K-1] γ Constante definida en la ecuación (6) η Coordenada independiente similar a sí misma adimensional, Ra1/2y/x o Ra1/3y/x θ Temperatura adimensional

( )( ) ( ) ( xqRaTTo

TTTT

ww

3/1*∞

∞

∞ −−− )

k Conductividad térmica del fluido [Wm-1K-1] µ Viscosidad del fluido [kgm-1s-1] ν Viscosidad cinemática del fluido [m2s-1] ρ Densidad del fluido [kgm-3] ψ Función de corriente [m2s-1]

Subíndices

w Condiciones a la pared 0 Cantidades independientes de z

85


A.2 Notación tensorial. La notación tensorial es utilizada para simplificar o escribir de manera compacta ecuaciones vectoriales de varias componentes, fue desarrollada por Gregorio Ricci-Curbastro en 1890 y publicada en 1900 bajo el título de cálculo diferencial absoluto. Algunas reglas básicas para el uso de esta notación se describen a continuación. Se denomina rango de un tensor, al número de índices que tiene. Así, un escalar es un tensor de orden cero y un vector se puede representar como un tensor de orden uno. Cuando en un término dos factores tienen el mismo índice, implica una sumatoria de ese término con todos los valores probables de su índice. Al desarrollar la sumatoria, el índice repetido desaparece, por esta razón se le denomina índice mudo.

33

3

02211 bababababa

i

iiiii ++== ∑

=

=

Se le conoce como índice libre, a aquel que se encuentra, una sola vez por término, en alguno o en varios términos de la ecuación. Este índice indica ecuaciones independientes para cada valor del mismo. Así, la ecuación para i=1,2,3, implica que se tienen las siguientes tres ecuaciones independientes:

cba ii +=

cbacbacba

+=+=+=

33

22

11

Además, un índice no puede aparecer más de dos veces en un mismo término. Existen tensores notables utilizados muy frecuentemente como la delta de Kronecker y el tensor de permutación o tensor alternante. La delta de Kronecker, ijδ , es igual a 0 cuando ji ≠ , es decir, para todos los componentes que no pertenecen a la diagonal de la matriz cuadrada. Es igual a 1 cuando , es decir, para los elementos de la diagonal de la matriz. De esta manera se tiene:

ji =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010001

333231

122221

131211

δδδδδδδδδ

δ ij

Es una matriz unitaria.

86


Por ejemplo, en la siguiente ecuación el subíndice libre es j y el subíndice mudo es i:

ijij

gxp δρ=

∂∂ con j=1,2,3

Donde la densidad, ρ, es un escalar y el término que incluye al factor de la gravedad implica una sumatoria.

jjji

ijiiji ggggg 332211

3

1δρδρδρδρδρ ++== ∑

=

Se tienen entonces tres ecuaciones independientes para cada valor de j, así, las tres ecuaciones son, para j=1:

3132121111

δρδρδρ gggxp

++=∂∂

Sustituyendo los valores de la delta de Kronecker:

00)1(11

++=∂∂ gxp ρ

11

gxp ρ=

∂∂

De la misma forma, para j=2 y j=3:

22

gxp ρ=

∂∂

33

gxp ρ=

∂∂

El tensor permutación, Un producto escalar de dos vectores a y b se puede escribir en notación tensorial de la siguiente forma:

332211

3

1bababababa

iiiii ++===⋅ ∑

=

ba

87


La suma de vectores es:

bac += se puede escribir como:

iii bac += El producto directo de los vectores a y b, da como resultado un tensor C:

baC ⊗= En notación tensorial:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==

332313

322212

312111

bababababababababa

bac jiij

Este tensor, C, es un tensor de segundo orden ya que tiene dos subíndices diferentes en un término. Un ejemplo de esta clase de tensores es el tensor esfuerzo, τij:

i

jij x∂

∂−=

vµτ con j=1,2,3

El subíndice libre es j, por lo que se tendrán tres ecuaciones independientes para cada valor de j:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

1

2

1

1

11 xxxi

vvvµτ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

2

2

2

1

22 xxxi

vvvµτ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=3

3

2

3

1

33 xxxi

vvvµτ

88


A3. Expresiones de diferencias finitas para derivadas ordinarias de primer a cuarto orden.

Expresiones de Primeras diferencias centrales

Primera derivada ( )1121

−+ −=′ iii uuh

u

Segunda derivada ( )112 21−+ +−=′′ iiii uuu

hu

Tercera derivada ( )21123 2221

−−++ −+−=′′′ iiiii uuuuh

u

Cuarta derivada ( )21124 4641−−++ +−+−= iiiii

IVi uuuuu

hu

Expresiones de Segundas diferencias centrales

Primera derivada ( )2112 8812

1−−++ +−+−=′ iiiii uuuu

hu

Segunda derivada ( )21122 16301612

1−−++ −+−+−=′′ iiiiii uuuuu

hu


−−−+++ +−+−+−=′′′ iiiiiii uuuuuuh

u

Cuarta derivada ( 211234 123956391261

−−+++ +−+−+−= iiiiiiIVi uuuuuu

hu

Expresiones de Primeras diferencias hacia adelante

Primera derivada ( )iii uuh

u −=′ +11

Segunda derivada ( )iiii uuuh

u +−=′′ ++ 122 21

Tercera derivada ( )iiiii uuuuh

u −+−=′′′ +++ 1233 3321

Cuarta derivada ( )iiiiiIVi uuuuu

hu +−+−= +++ 4641

2344

Expresiones de Segundas diferencias adelante

Primera derivada ( )iiii uuuh

u 3421

12 −+−=′ ++

Segunda derivada ( )iiiii uuuuh

u 25411232 +−+−=′′ +++

Tercera derivada ( )iiiiii uuuuuh

u 5182414321

12343 −+−+−=′′′ ++++

Cuarta derivada ( )iiiiiiIVi uuuuuu

hu 31426241121

123454 +−+−+−= +++++

89


Expresiones de Primeras diferencias hacia atrás


−−=′ ii uuh

u

Segunda derivada ( )2112 21−− +−=′′ iii uuu

hu


−−− −+−=′′′ iiiii uuuuh

u

Cuarta derivada ( )43214 4641−−−− +−+−= iiiii

IVi uuuuu

hu

Expresiones de Segundas diferencias hacia atrás


−− +−=′ iiii uuuh

u

Segunda derivada ( )3212 4521−−− −+−=′′ iiiii uuuu

hu


−−−− +−+−=′′′ iiiiii uuuuuh

u

Cuarta derivada ( )543214 21124261431−−−−− −+−+−= iiiiii

IVi uuuuuu

hu

90


A4. Código del programa realizado en Visual Fortran Professional Edition 6.0A C Librerías: SSTATD.LIB SSTATS.LIB SMATHD.LIB SMATHS.LIB SF90MP.LIB C C Declaración de variables INTEGER ITMAX, N, M REAL ERRREL PARAMETER (N=500) PARAMETER (M=2*N+4) INTEGER K, NOUT REAL FNORM, W(M), WGUESS(M) EXTERNAL FCN, NEQNF, UMACH C ERRREL = 0.0001 ITMAX = 100 C Pide las entradas del punto de arranque call VECTORINI (M, WGUESS) C Mensajes de error en el proceso C CALL UMACH (2, NOUT) C C Solución del sistema de N ecuaciones CALL NEQNF (FCN, ERRREL, M, ITMAX, WGUESS, W, FNORM) C Salida WRITE (NOUT,*) (W(K),K=1,M) WRITE (NOUT,*) FNORM END C C Subrutinas C C SUBRUTINA VECTORINI subroutine vectorini (M,WGUESS) integer i, M real WGUESS(M) c write (*,*) 'Vector de arranque' c Do i=1,M c write (*,*) 'el valor de arranque',i,'es:' c read (*,*) WGUESS(i) c Enddo Do i=1,M WGUESS(i)=-0.1*(i**-2)+1 Enddo end C C SUBRUTINA FCN, Definine el sistema de ecuaciones SUBROUTINE FCN (W, F, M) INTEGER M, N, i REAL W(M), F(M), T(M), h, T1, TNM2, W1, WNM2, g C C PARAMETROS N=(M-4)/2 g=1.0 T1=0.0 TNM2=10 h=(TNM2-T1)/(N+1) C SISTEMA DE ECUACIONES do i=1,N F(i) = W(N+3+i)-(1/(2*h))*(W(i+2)-W(i)) F(N+i)= (1/(h**2))*(W(N+4+i)-2*W(N+3+i)+W(N+2+i))+((g+1)/(4*h))* &(W(N+4+i)-W(N+2+i))*W(1+i)-g*(W(N+3+i)**2) enddo F(2*N+1)=W(1) F(2*N+2)=W(N+3)-1 F(2*N+3)=W(2*N+4) F(2*N+4)=W(N+1)-W(N+2) RETURN END

91

SOLUCIÓN NUMÉRICA A UN PROBLEMA DE

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