Solucion 3o Prob. de 2a Pp Mec. 555
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3º. Problema. (35 %). Para la estructura de la figura constituida por una placa rígida delgada sustentada por las barras que se muestran y sobre la cuál actúa la fuerza P, se pide determinar las fuerzas que solicitan las barras 1, 2, 3 y 4, e indicar si el esfuerzo es de tracción o compresión. Desprecie el peso propio de la placa rígida. DH no es barra. Datos: a P, Solución 1. “Usando ecuaciones vectoriales” Equilibrio del cuerpo libre: Ecuaciones de equilibrio: a) 0 = ∑ CG M → 0 ˆ ˆ 4 4 2 = ⋅ × + ⋅ × e P CA e S CA r r Donde: ( ) ( ) AH AH e P i P P e S S e = ⋅ = ⋅ = ⋅ = − = 2 2 2 2 4 ˆ 0 , 0 , 1 ˆ ˆ 0 , 1 , 0 ˆ r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , , : , , : , , 0 : − = − = a CA a a CA a a C a a a B a a A ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 , 1 , 0 ˆ 1 , 1 , 0 , , 0 0 , 0 , 0 2 − − = − − = − − = = e a AH a a AH H Luego: 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 2 = ⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅ − − − − P a S a P a a a 4 3 2 6 5 1 D C B A H G F E P a a a 6 S D B A H G F E 5 S 4 S 3 S 2 S 1 S C z y x
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3º. Problema. (35 %). Para la estructura de la figura constituida por una placa rígida delgada sustentada por las barras que se muestran y sobre la cuál actúa la fuerza P, se pide determinar las fuerzas que solicitan las barras 1, 2, 3 y 4, e indicar si el esfuerzo es de tracción o compresión. Desprecie el peso propio de la placa rígida. DH no es barra. Datos: aP, Solución 1. “Usando ecuaciones vectoriales” Equilibrio del cuerpo libre: Ecuaciones de equilibrio:
a) 0=∑ CGM → 0ˆˆ 442 =⋅×+⋅× ePCAeSCArr
Donde:
( )
( )
AHAHe
PiPP
eSS
e
=
⋅=⋅=
⋅=
−=
2
222
4
ˆ
0,0,1ˆˆ
0,1,0ˆ
r
r
( )( )( )( )( )1,0,1
,0,
0,,:,,:,,0:
−=
−=
aCA
aaCA
aaCaaaBaaA
( )( )( )
( )2
1,1,0ˆ
1,1,0
,,0
0,0,0
2−−
=
−−=
−−=
=
e
aAH
aaAH
H
Luego:
0010001101
2010110
1012 =⋅⋅
−
−+
⋅⋅
−−−
−PaSa
Pa
a
a
4
3 2
6
5
1
D C
B A
H G
F E
P a
a
a
6S
D
B A
H
G
F E
5S 4S
3S 2S
1S
C
z
y
x
O sea: 02
2 =⋅−⋅ PaSa
→ 22 PS = (tracción)
b) 0rr
=∑ BM → 04321
rrrrr=×+×+×+× SBCSBCSBASBA
Donde:
444
333
222
111
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
eSS
eSS
eSS
eSS
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
r
r
r
r
( )( )
21,1,0ˆ
0,1,0ˆ
2
1
−−=
−=
e
e
( )0,1,0ˆ
ˆ
4
3
−=
=
eCHCHe
( )( )( )0,1,1
1,0,0
0,0,1
−−⋅=
−⋅=
−⋅=
aCH
aBC
aBA
Luego:
( )
20,1,1ˆ3
−−=e
Entonces:
0011100
ˆˆˆ
2011110
ˆˆˆ
2110
001
ˆˆˆ
010001
ˆˆˆ
432
1
r=⋅
−−−+
⋅⋅
−−−+
⋅⋅
−−−+⋅
−− Sa
kjiSa
kjiSa
kjiSa
kji
Luego:
i → 02 4
3 =⋅−⋅
− SaSa → PSS −=−=
23
4 (compresión)
j → 022
32 =⋅
+⋅
−SaSa
→ 223 PSS == (tracción)
k → 02
21 =
⋅+⋅
SaSa → PS −=1 (compresión)
Solución 2. “Usando ecuaciones vectoriales con momentos respecto a ejes”: Equilibrio del cuerpo libre: Ecuaciones de equilibrio:
a) 0=∑ CGM → 0ˆˆ 442 =⋅×+⋅× ePCAeSCArr
Donde:
( )
21,1,0ˆ
1,0,1
2222−−
⋅=⋅=
−⋅=
SeSS
aCAr
( )( )0,0,1ˆ
0,1,0ˆ4
⋅=⋅=
−=
PiPP
er
Luego:
0010001101
2010110
1012 =⋅⋅
−
−+
⋅⋅
−−−
−PaSa
O sea: 02
2 =⋅−⋅ PaSa
→ 22 PS = (tracción)
b) 0=∑ BCM → ( ) ( ) 01,0,01,0,0 21 =−⋅×+−⋅× SCASCArr
Donde: ( )0,1,0ˆ 1111 −⋅=⋅= SeSSr
Luego:
02
100110
101
100010101
21 =
⋅⋅
−−−
−+⋅⋅
−−
−SaSa
O sea:
02
21 =
⋅−⋅−
SaSa → 22
1SS −= → PS −=1 (compresón)
P a
a
a
6S
D
B A
H
G
F E
5S 4S
3S 2S
1S
C
z
y
x
c) 0=∑ BFM → ( ) ( ) 00,1,00,1,0 32 =−⋅×+−⋅× SBHSBHrr
Donde:
( )( )
20,1,1ˆ
1,1,1
3333−−
⋅=⋅=
−−−=
SeSS
aBHr
Luego:
02
010011111
2010110111
32 =⋅
⋅−−−
−−−+
⋅⋅
−−−−−−
SaSa
O sea:
022
32 =⋅
−⋅ SaSa
→ 23 SS = → 23 PS = (tracción)
d) 0=∑ ABM → ( ) ( ) 00,0,10,0,1 43 =⋅×+⋅× SACSACrr
Donde:
( )
( )0,1,0ˆ
1,0,1
4444 −⋅=⋅=
−⋅=
SeSS
aACr
Luego:
0001010101
2001011101
43 =⋅⋅−
−+
⋅⋅−−
−SaSa
O sea:
02 4
3 =⋅−⋅
− SaSa →
23
4SS −= → PS −=4 (compresión)
Solución 3. “Usando ecuaciones escalares con momentos respecto a ejes”: Equilibrio del cuerpo libre: Ecuaciones de equilibrio: a) 0=∑ CGM
→ 045cos2 =⋅+⋅⋅− aPaS → 22 PS = (tracción)
b) 0=∑ BCM
→ 045cos21 =⋅⋅+⋅ aSaS → 45cos21 ⋅−= SS
→ PS −=1 (compresión)
c) 0=∑ BFM
→ 045cos45cos 32 =⋅⋅+⋅⋅− aSaS → 23 SS =
→ 23 PS = (tracción)
d) 0=∑ ABM
→ 045cos34 =⋅⋅−⋅− aSaS → 45cos34 ⋅−= SS
→ PS −=4 (compresión)
P a
a
a
6S
D
B A
H
G
F E
5S 4S
3S 2S
1S
C
z
y
x
