SOLUCION APROXIMADA DE WHITNEY EN LUGAR DE SOLUCIONES EXACTAS

En vez del método de tanteos, se pueden utilizar con más rapidez las expresiones empíricas que propuso Whitney, aunque con exactitud algo menor.

COLUMNAS RECTANGULARES DE CONCRETO

Estas expresiones se presentan especialmente para columnas circulares, puesto que el procedimiento manual de tanteos para su análisis o diseño puede consumir mucho tiempo. Las verificaciones de la compatibilidad de las deformaciones en el refuerzo, requieren que la deformación en las varillas se calcule en cada nivel a lo largo de la sección; por este motivo es útil aplicar una expresión empírica de un solo paso para hacer un análisis rápido. El uso de computadoras de mano y de computadoras personales, reduce o evita la necesidad de utilizar el método empírico de Whitney, en el caso de que el diseñador este familiarizado con su uso. En el capítulo 13 se aplica el método exacto de análisis y diseño de columnas circulares y rectangulares, con verificaciones de compatibilidad de las deformaciones en todas las etapas, por medio de los programas para computadoras de mano que se desarrollan para este propósito. El estudiante y el ingeniero diseñador pueden modificar o desarrollar otros programas para sus computadoras personales, utilizando los diagramas de flujo.

La solución de Whitney se basa en las siguientes hipótesis.

1.- El refuerzo se coloca en capas simples simétricas, paralelas al eje de flexión de las secciones rectangulares.

2.- El acero de compresión está fluyendo.

3.- El concreto se desplaza el acero de compresión es despreciable en comparación con el área total del concreto en compresión; luego, no se hace ninguna corrección por el concreto que desplaza el acero de compresión.

4.- Para el propósito de calcular la contribución de Cc del concreto, se supone que la profundidad del bloque de esfuerzos es de 0.54d, que corresponde a un valor promedio de a en condiciones balanceadas de las secciones rectangulares.

5.- La curva de interacción en la zona de compresión es una línea recta.

En la mayor parte de los casos, el método de Whitney conduce a una solución conservadora excepto cuando la carga factorizada Pu tiene un valor mayor que la carga balanceada Pub, y la excentricidad externa e es muy pequeña. De otra forma, el método conduce a soluciones no conservadoras.

Si rige la compresión, se puede escribir la ecuación como:

Pn=AS´ F y

[ ed−d ´ ]+0.5 +

bhf ´

( 3hed2 )+1.18El ejemplo siguiente ilustra la aplicación de esta ecuación.

Ej.) Análisis de una columna por falla a compresión, ecuación de Whitney:

Calcule la carga nominal resistente Pn de la sección del ejemplo 9.6 con la ecuación de Whitney, si la excentricidad de la carga es (a) e=6 in (152.4 mm) y (b) e= 10 in (254 mm).

Solución

(a) e= 6 in :

Pn= 3x 60,000

[ 617.5−2.5 ]+0.5

+ 12 x 20 x 4000

[ 3x 20 x 617.52 ]+1.18

= 607,555 lb (2734.0 Kn)

La solución exacta, aplicando el método de tanteos e incluyendo al concreto desplazado, da: Pn = 608,458 lb (2,738.0 kN). La solución aproximada es conservadora.

(b) e = 10 in: aplicando la ecuación 9.26:

Pn= 3x 60,000

[ 1017.5−2.5 ]+0.5

+ 12 x 20 x 4000

[ 3x 20 x 1017.52 ]+1.18

= 460,098 lb (2070.4 kN)

Con la solución exacta, aplicando el método de tanteos e incluyendo el efecto de concreto desplazado, se obtiene Pn =433,138 lb (1960 kN), que se muestra, como se indicó antes, que la solución aproximada no siempre es conservadora.

Columnas Circulares de Concreto

Como en el caso de las columnas rectangulares, se pueden usar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos para obtener la carga nominal axial desconocida Pn,

para cualquier excentricidad dada. Las ecuaciones de equilibrio son similares a las ecuaciones 9.6 y 9.7, excepto que (1) la forma del área sujeta a esfuerzos de compresión será un segmento de círculo; y (2) las varillas de refuerzo no se colocan juntas paralelas los lados a tensión y a compresión. Por lo tanto, las fuerzas y los esfuerzos en cada varilla se deben considerar por separado. El área y el centroide de gravedad del segmento del círculo en compresión, se deben calcular con las expresiones matemáticas apropiadas. Este método exacto se puede adoptar con facilidad si se utilizan computadoras de mano o de escritorio. Para cálculos manuales, se puede emplear el siguiente método empírico simplificado de Whitney.

METODO EMPIRICO DE ANÁLISIS DE COLMUNAS CIRCULARES

Se transforma la columna circular a una columna rectangular equivalente idealizada. Para la falla en compresión, la columna rectangular equivalente tendrá: (1) un peralte total en la dirección de la flexión igual a 0.8h, en la que h es el diámetro externo de la columna circular; (2) el ancho de la columna rectangular idealizada se obtendrá a partir de la misma área bruta Ag de la columna circular, de tal forma que b=Ag /0.8 h y (3) el área total del refuerzo An se divide por igual en dos capas paralelas que se colocan a una distancia de 2Dg /3 en la dirección de la flexión, en la que Dg es el diámetro del núcleo medido de centro a centro de las varillas verticales externas. Para la falla en tensión, se utilizara a la columna real para evaluar a Cc, pero se colocara un 40% del área de acero An en paralelo a una distancia de 0.75Dg. El método de la columna equivalente proporciona resultados satisfactorios en la mayor parte de los casos.

Una vez que se establecen las dimensiones de la columna rectangular equivalente, se puede hacer el análisis (diseño) como para las columnas rectangulares. También se pueden expresar a las ecuaciones de falla por tensión y por compresión en términos de las dimensiones de la columna circular, como sigue:

Para falla de tensión:

Pn = 0.85. f´C.h2 [√( 0.85eh =0.38)2

+ρgmD g

2.5h−( 0.85eh −0.38)¿

Para falla de compresión:

Pn=

AS 1 f y

(3eD s)+1.00

+A g f ´ c¿ ¿ ¿

En las que:

h= diámetro de la sección

Dg= diámetro del núcleo de refuerzo, de centro a centro de las varillas verticales mas externas.

e= excentricidad al centroide plástico de la sección

pg=A s1Ag

= areabruta de aceroarea brutade concreto

m=f y

0.85 f ' c

DsAst

20 in(508 mm)

(a)0.003in/inn

10

in 16

inE

A`s= Ast/2

As= Ast/2

19.63 in

a

0.85f`c

Cc

Cs

N

Ts

SECCION EQUIVALENTEDEFORMACIONES

εs<εy

C

ESFUERZOS

(b)

11.2

5 in

20 in

A`s= 0.4Ast

As= 0.4Ast

C

0.003in/inn

εs<εy

a

0.85f`c

Ts

DEFORMACIONES ESFUERZOSSECCION EQUIVALENTE

Cc

Cs