República bolivariana de Venezuela

Ministerio del poder popular para la defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas

(UNEFA)

Núcleo Anzoátegui Sede San Tome

Cátedra Calculo Numérico

Facilitador Bachiller (es)

Valdez Ángel Martínez Johana C.I 24846.994

Rodriguez Carmen C.I

09-06-2013

1. Solución de Ecuaciones Diferenciales.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más

funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las

que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: Aquellas que contienen derivadas respecto a una

sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o

más variables.

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a

una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales

son:

es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de

la variable independiente , es decir, , es la derivada de con

respecto a .

La expresión

es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución

de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una

función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un

método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como,

por ejemplo, la transformada de Laplace).

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función

incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la

convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

Solución general: Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes.

Solución general

Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una

constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente

infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación

lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que

resulta de hacer el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 0) más una

solución particular de la ecuación completa.

Solución particular: Si fijando cualquier punto por donde debe pasar

necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo

tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución

particular de la ecuación en el punto , que recibe el nombre de condición

inicial.

Solución particular

Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un

valor específico.

Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene

particularizando la solución general.

Solución singular

Solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.

Resolución de algunas ecuaciones

Ecuación diferencial de primer orden

Ecuación diferencial lineal

Ecuación diferencial exacta

Ecuación de Jacobi

Ecuación de Clairaut y también se llaman ecuaciones de estado diferencial que como las

ecuaciones lineales de dos variables, éstas son tangentes

2. Problema de Valor Inicial.

En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación

diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen

a los problemas de valor inicial o de frontera.

Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de

orden y de condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus

primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir

Es decir

Ejemplo

Una partícula se mueve a lo largo del eje de manera tal que su aceleración en cualquier

tiempo está dada por . Encuentre la posición de la partícula

en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en y

está viajando a una velocidad de .

Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la

aceleración. De donde el problema de valor inicial sería

Integrando con respecto a obtenemos

y usando la condición podemos hallar que , con lo cual la velocidad en

cualquier tiempo sería

Integrando de nuevo

y usando la condición podemos determinar que y obtener la posición de la

partícula en cualquier tiempo

En la siguiente figura se muestra la gráfica de la posición de la partícula versus tiempo.

Figura 7

Ejemplo

Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en el punto

está dada por . ¿ Hallar el miembro de esta familia que pasa por el punto ?

El problema de valor inicial asociado es

Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar

Y usando la condición inicial obtenemos que , con lo cual la curva buscada

es

Figura 8

3. Método de Aproximación Sucesiva de Picard.

El método de aproximaciones sucesivas de Picard por Charles Émile Picard, matemático

francés que lo desarrolló es un método iterativo para obtener una solución a una ecuación

diferencial.

Para un problema de Cauchy con la ecuación diferencial y condición de

contorno donde se puede asegurar la existencia y unicidad de solución para un

dominio es posible construir una solución de forma

iterativa según la expresión:

Donde se puede elegir arbitrariamente. Lo habitual es elegir .

La convergencia de esta serie de funciones es demostrable en el intervalo

donde con

El error del paso enésimo es acotable mediante la desigualdad

Dónde . Con ello es posible programar el algoritmo para que itere

hasta una resolución dada.

4. Metodo Euler

En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es

un procedimiento de integración numérica para resolverecuaciones diferenciales ordinarias a partir

de un valor inicial dado.

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del

siguiente tipo:

Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un

punto dado y safisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación

diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la

curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.

La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al

cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar

la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.

Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y

suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento

aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el

punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En

general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original,

además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al

avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es

finito(aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute

más abajo).

Consiste en dividir los intervalos que va de a en subintervalos de ancho ; o sea:

de manera que se obtiene un conjunto discreto de

puntos: del intervalo de interés . Para cualquiera de

estos puntos se cumple que:

.

La condición inicial , representa el punto por donde pasa

la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará

como .

Ya teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en ese punto;

por lo tanto:

Grafica A.

Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por y de

pendiente . Esta recta aproxima en una vecindad de . Tómese la

recta como reemplazo de y localícese en ella (la recta) el valor de

correspondiente a . Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:

Se resuelve para :

Es evidente que la ordenada calculada de esta manera no es igual a , pues

existe un pequeño error. Sin embargo, el valor sirve para que se aproxime en

el punto y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión

de aproximaciones siguiente:

Ejemplo

Calculamos el valor de tomando en cuenta que el valor de divisiones es de ;

por lo tanto quedaria así:

Antes de aplicar el método, veamos un esquema de cómo trabajaría el método en

este caso concreto:

Los valores iniciales de y vienen dados por:

, .

Teniendo dichos valores podemos comenzar con el método. Se harán

aproximaciones de hasta trece decimales. La función seno se evaluará

en grados.

Por lo que el resultado obtenido

es: ; posteriormente

procederemos a encontrar el valor relativo entre el valor exacto de la

ecuación que es .

Finalmente se calcula el error relativo:

Análisis de error para el método de euler

Gráfica B.

La solución de las Ecuaciones diferenciales por medio de métodos numéricos involucra varios tipos

de errores:

Error del Método (Error de Truncamiento Local y Global): Este se debe a que, cómo la

aproximación de una curva mediante una línea recta no es exacta, se comete un error propio

del método. En este caso, el error es de primer orden - O(h1) -

Local: Es la diferencia que se produce entre el valor real de la función y el aproximado

mediante la recta tangente -en lugar de moverse por la curva- suponiendo que el punto desde

el que partimos -donde se cruzan la curva real y la recta que la aproxima- no tiene error

alguno.

Propagado: Acumulación de errores por las aproximaciones producidas durante los pasos

previos acumuladas. Es decir, ya no se supone que el punto del cual partimos -donde se

cruzan la curva real y la recta que la aproxima- no tenía error sino que asumimos que dicho

error existe y que se propaga de paso en paso. Dicha propagación es, en el peor de los casos,

lineal.

La suma de los dos es el error global.

Redondeo/Truncamiento: Resultado del número límite de cifras significativas que puede

retener una computadora. Ya que el número de dígitos utilizados para hacer los cálculos es

finito y los números representados puede que no lo sean (es decir, números con infinita

cantidad de dígitos). Al limitar los números con infinita cantidad de dígitos -mediante

truncamiento o redondeo- a números con finita cantidad de dígitos estamos cometiendo un

error extra.

Como se muestra en la Gráfica B, básicamente el método se encarga de aproximar la

curva por medio de una serie de segmentos en recta.

Debido a que la aproximación de una curva por medio de una línea recta no es exacta, se comete

un error derivado del método. A este error se le conoce como error de truncamiento. Este error se

puede disminuir reduciendo el valor de , pero se obtendrá un mayor número de cálculos y, por

consiguiente, un error de redondeo mucho más alto.

5. Metodo de Taylor

Aplicar el método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales, que como se verá es la misma

solución que proporciona la solución en series de potencias (o de coeficientes indeterminados).

Esto es, si la solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá

entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor también entregará dicha so-lución en

forma cerrada.

Por lo tanto, en el caso de solución en puntos ordinarios, debería de enseñarse el método

de desarrollo de Taylor, pues viene a ser mucho más cómodo para un estudiante

de ecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja con solución mediante series de potencias, el

acomodo de los índices de la sumatoria siempre es un poco confuso para ellos. Sin embargo

ambos métodos son en esencia los mismos.

Veamos en que consiste cada método.

Ya que no hay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo tanto no se podría

escribir la solución en forma cerrada y por consiguiente tendríamos que conformarnos con alguna

aproximación numérica.

Apliquemos inicialmente el método de Taylor.

Reemplazando (1.4) y (1.5) en (1.1), encontramos

Según el autor, debe ser obvio que es más fácil obtener valores adicionales de los coeficientes de

la serie utilizando el método de los coeficientes indetermina-dos, que utilizando el método de las

series de Taylor. En consecuencia, dice el autor, usualmente se empleará el método de los

coeficientes indeterminados, descartando entonces el método de las series de Taylor.

Pero si seguimos trabajando un poco en el ejemplo anterior, por el método de series de Taylor,

tenemos

Se observa la siguiente ley de formación:

Nuevamente se obtiene la solución encontrada por series de potencias:

En conclusión, el ejemplo para mostrar que el método de la series de Taylor no produce la

misma calidad de las soluciones, no es válido. Es más, el autor dice que el método de Taylor se

adapta fácilmente a problemas de valor inicial, lo cual, como veremos más adelante, el método

funciona si lo que se quiere resolver es una ecuación diferencial sin condiciones iniciales, con la

misma calidad de las soluciones que el método de las series de potencias.

6. Metodo de Runge-Kutta

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos

iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica deecuaciones diferenciales. Este conjunto

de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C.

Runge y M. W. Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos)

para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente,

del problema de valor inicial.

Sea

una ecuación diferencial ordinaria, con donde es un conjunto

abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

,

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento entre los sucesivos

puntos y . Los coeficientes son términos de aproximación intermedios, evaluados

en ƒ de manera local

con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de

la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o

implícitos dependiendo de las constantes del esquema. Si esta matriz es triangular

inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,

para , los esquemas son explícitos.

Ejemplo

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en y otra en .

ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

Para estimar ƒ(t,y) en se usa un esquema Euler

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

de manera que se obtiene la expresión:

Los coeficientes propios de este esquema

son:

Variantes

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales

como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos

Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-

Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de

paso.

Metodo de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos

iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones

diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los

matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es

referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».

Definiendo un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Donde

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño

del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de

pendientes, donde es la pendiente al principio del intervalo, es la pendiente en el punto

medio del intervalo, usando para determinar el valor de y en el punto usando el método

de Euler. es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando para determinar el

valor de y; es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por .

Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error

por paso es del orden de , mientras que el error total acumulado tiene el orden .

Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de , razón por la cual es usado en

los métodos computaciones.