7/23/2019 Solución de ecuaciones lineales en base de diferencias finitas y programación

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE GEOLOGÍA Y PETRÓLEOS

CARRERA DE INGENIERÍA EN PETRÓLEOS, GEO A6

Solución de ecuaciones lineales en base de diferencias finitas yprogramaciónMejía Obaco Byron

byron181@hotmail.com bril !"1#

Resumen

$a simulación de yacimientos en la industria petrolera ha demostrado ser muy importanteen el desarrollo y puesta en marcha de importantes proyectos a tra%&s de la utili'ación desu herramienta la cual consiste en un simulador num&rico el cual basa su funcionamientoen la resolución de un sin n(mero de ecuaciones por medio del m&todo de diferenciasfinitas .

)l m&todo de diferencias finitas es una cl*sica apro+imación para encontrar la soluciónnum&rica de las ecuaciones ,ue gobiernan el modelo matem*tico de un sistema continuo.)s %alioso familiari'arse con &sta apro+imación por,ue tal conocimiento refor'ar* lacomprensión de los procedimientos de elementos finitos.

B*sicamente- en una solución por diferencias finitas- las deri%adas son reempla'adas por apro+imaciones en diferencias finitas- con%irtiendo entonces un problema de ecuacionesdiferenciales en un problema algebraico f*cilmente resoluble por medios comunesespecialmente matriciales/.

0na diferencia finita es una e+presión matem*tica de la forma f+ b/ 2 f+ a/. Si unadiferencia finita se di%ide por b 2 a se obtiene una e+presión similar al cociente diferencial-,ue difiere en ,ue se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. $aapro+imación de las deri%adas por diferencias finitas desempe3a un papel central en losm&todos de diferencias finitas del an*lisis num&rico para la resolución de ecuacionesdiferenciales.

)l procedimiento ,ue se usa en el simulador num&rico es el siguiente4 utili'a el m&todo delas diferencias finitas para discreti'ar las tres ecuaciones fundamentales ,ue gobiernan elmo%imiento de los fluidos en el medio poro en base a m&todos y algoritmos matem*ticosse obtienen flujo gramas de %ariables y funciones ,ue resuel%en las ecuaciones antesmencionadas en la presente entrega nos encargaremos de mostrar al lector la base delfuncionamiento y origen del m&todo de diferencias finitas utili'ado en el simulador deyacimientos petrolíferos usados hoy en día

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Recursos

Sistema de Ecuaciones

1. )s a,uella en donde en cada t&rmino de la ecuación aparece (nicamente

una %ariable o incógnita ele%ada a la primera potencia. 5or ejemplo4

a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)

)s una ecuación algebraica lineal en las %ariables 61- 6!- 67- ... - 6n. Seadmite ,ue los coeficientes a11- a1!- a17- ... - a1n y el t&rmino independiente

1- son constantes reales.

Los métodos numéricos son útiles para resolver problemas detransferencia de calor, dinámica de fluidos, y otras ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales que modelan problemas físicos;sobre todo cuando los mencionados problemas no pueden ser resueltospor medio de técnicas de análisis exacto ya que presentan complejas

geometrías, complicadas condiciones de contorno o iniciales, o bien,involucran ecuaciones diferenciales no lineales.

n la actualidad, la cantidad de problemas que se abordannuméricamente aumentan día a día ya que los resultados se ajustancada ve! más a la realidad.

l proceso por medio del cual se obtiene la soluci"n aproximada de unproblema gobernado por una ecuaci"n diferencial en derivadas parciales,está constituido por dos etapas que esquemáticamente se muestran enla siguiente figura. La primera etapa, llamada discretización, consisteen trasformar el dominio continuo en una malla de nodos, para luegoconvertir a la ecuaci"n diferencial parcial continua y a las condicionesauxiliares, ya sean de frontera o iniciales, en un sistema de ecuacionesalgebraicas.

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La segunda etapa del proceso de aproximaci"n requiere un métodoadecuado para obtener la soluci"n del sistema de ecuaciones algebraicas

planteado.xiste una gran variedad de métodos numéricos para resolver lasecuaciones diferenciales parciales. #o obstante, los más usados en laactualidad son$

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% &étodo de diferencias finitas

% &étodo de elementos finitos

Resolución

&étodo de diferencias finitas

La aproximaci"n por medio de diferencias finitas es el método más antiguoaplicado para obtener la soluci"n numérica de ecuaciones diferenciales. 'econsidera que la primera aplicaci"n (a sido desarrollada por uler en )*+.

Las bases del método de diferencias finitas -&/0 consisten en la construcci"n

de una malla de una manera estructurada, donde los nodos de la misma, en unespacio n dimensional, están locali!ados en las intersecciones de n familias delíneas rectas, el reempla!o de las derivadas continuas de la ecuaci"ndiferencial por las expresiones equivalentes en diferencias finitas y laresoluci"n del sistema de ecuaciones que queda planteado como consecuenciade la anterior sustituci"n.

l &/ es, tal ve!, el método más simple para aplicar, particularmente paramallas con una geometría uniforme. 'u mayor desventaja consiste en suincapacidad para tratar efectivamente la soluci"n de problemas sobre formasgeométricas irregulares.

• iscreti!aci"n del dominio

1ara obtener la soluci"n numérica de una ecuaci"n diferencial en derivadasparciales utili!ando el &/ se debe, como primer paso, discreti!ar el dominio.

1ara ello, el dominio continuo del problema en estudio es reempla!ado por unamalla. Las intersecciones de las líneas que constituyen la malla sondenominadas nodos y es en donde se calcula la soluci"n numérica de laecuaci"n diferencial parcial.

2sí, por ejemplo, para discreti!ar el dominio-x,t0 de un problema de propagaci"nunidimensional se deberán definir lostama3os de paso tanto temporal comoespacial. stos tama3os de paso sondeterminados por medio de las expresiones$

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donde #x y #t son dos números enteros positivos, L es la longitud del dominioespacial y tf  indica el tiempo final en que se estudia el problema en cuesti"n.

La divisi"n del dominio espacial en #x4) partes iguales de anc(o (x, y deldominio temporal en #t4) partes iguales de 5anc(o6 (t, da como resultado ladiscreti!aci"n del dominio al tra!ar líneas verticales y (ori!ontales a través delos puntos de coordenadas -xi; t j0, donde$

 

2proximaciones en diferencias finitas

 

l pr"ximo paso para la resoluci"n numérica de una ecuaci"n diferencial parcialutili!ando el &/ es el reempla!o de las derivadas continuas de la ecuaci"ndiferencial por las expresiones equivalentes en diferencias finitas. sto se lograutili!ando el desarrollo en serie de 7aylor de la variable dependiente alrededorde un punto particular de la malla. 1ara ello, la variable dependiente en unnodo de la malla es indicada utili!ando como subíndice y superíndice losíndices que se utili!an para denotar dic(o nodo. 2sí, por ejemplo, la funci"n7-x, t0 en el nodo -i;j0 es expresada de la siguiente manera$

1ara ejemplificar el procedimiento de aproximaci"n, se considerará la derivadaparcial de primer orden de la funci"n 7 con respecto al tiempo. 1ara ello, seutili!ará el desarrollo en serie de 7aylor de 7 en -x i; t j0 y se lo evaluará en -x i;t j4)0. e esta manera se obtiene$

donde 8m4) es el término residual que está dado por$

l término residual 8m4) es el error asociado con el truncamiento de la serie de7aylor. s importante conocer el orden de dic(o error, es decir, conocer la

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forma en que el error tiende a cero cuando (t → 9. :omo se puede observar, eltérmino residual 8m4) depende de (tm4), por lo tanto, cuando (t → 9, el error

tenderá a cero como (t

m4)

.n consecuencia, el orden de truncamiento de la serie de 7aylor paraaproximar 7i

 j4) es m4). sto es indicado con el símbolo -(tm4)0.

'i se despeja la derivada parcial de primer orden de la funci"n 7 con respectoal tiempo resulta$

donde

n particular, si se escribe el desarrollo en serie de 7aylor de primer orden,entonces, la expresi"n anterior está dada por$

donde el término de error es$

<na aproximaci"n en diferencias finitas para la derivada temporal de primerorden se obtiene despreciando el término de error$

l término de error, que fue despreciado, se denomina error de truncamientode la aproximaci"n en diferencias finitas para la derivada temporal de primerorden de la funci"n 7. La aproximaci"n recién obtenida es de primer orden y esllamada aproximaci"n de diferencias progresivas.

el mismo modo, puede conseguirse una aproximaci"n de diferencias

regresivas de primer orden. 1ara ello, se escribe el desarrollo en serie de 7aylorde 7 en -xi; t j0 y se lo evalúa en -x i; t j=)0.

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1ara poder obtener una aproximaci"n en diferencias finitas para la derivadaparcial de segundo orden de la funci"n 7 con respecto al espacio, es necesario

escribir el desarrollo en serie de 7aylor de 7 de orden tres en -x i; t j0. valuandodic(o desarrollo en -xi=); t j0 y en -xi4); t j0 se obtiene$

espreciando el término de error, se obtiene una aproximaci"n de diferenciasfinitas de segundo orden$

sta aproximaci"n es denominada de diferencias centradas. 7rabajando demanera similar, es posible obtener las siguientes aproximaciones en diferenciasfinitas$

 

'oluci"n en diferencias finitas

 

La soluci"n en diferencias finitas de una ecuaci"n diferencial parcial se obtieneal reempla!ar cada una de las derivadas parciales exactas en la ecuaci"ndiferencial por su correspondiente aproximaci"n en diferencias finitas. e estamanera, es posible discreti!ar la ecuaci"n diferencial parcial.

2l aplicar la ecuaci"n discreti!ada en cada punto de la malla se obtiene unsistema de ecuaciones denominado sistema de ecuaciones de diferencias

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finitas. l proceso de aproximaci"n requiere de la selecci"n de un métodoadecuado para obtener la soluci"n del sistema de ecuaciones algebraicas

planteado. <na ve! resuelto el sistema de ecuaciones de diferencias finitas seobtiene el valor de la funci"n en los nodos de la malla, es decir, que al emplearel método de diferencias finitas se obtiene una soluci"n aproximada discreta.

Nomenclatura

• 61- 6!- 679 :ariables

• &/> &étodos de diferencias finitas

•

-x,t0> ominio• #x y #t> #úmeros enteros positivos

• 7-x, t0> /unci"n en el nodo

Conclusiones

• 0n es,uema de diferencias finitas puede también utili'arse para apro+imar 

la segunda deri%ada de una función en un punto de malla. )n este módulose ha obtenido un es,uema de segundo orden ,ue apro+ima la deri%ada

segunda.

• Se pueden desarrollar programas de computadora- con distintos lenguajes

de programación para solucionar problemas o modelar el mo%imiento de

fluidos

Recomendaciones

• $a apro+imación de las deri%adas por diferencias finitas desempe3a un

papel central en los m&todos de diferencias finitas del an*lisis

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num&rico para la resolución de ecuaciones diferenciales. 5or ende un

trabajo de calidad garanti'ara un buen desempe3o de la resolución

• $as diferencias finitas pueden utili'arse para apro+imar deri%adas

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Ante+t citation4 lberto finol- 1FGG/