Solución de problemas que involucran campos aleatorios de conductividad hidráulica

Solución de problemas que Solución de problemas que involucran campos aleatorios de involucran campos aleatorios de

conductividad hidráulicaconductividad hidráulica

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5

Solución a la ecuacion de

involucra la expansion

en series de parametros

desconocidos y la variable

de estado.

limite en la magnitud de

análisis de primer orden la varianza

flujo y transporte

de los parámetros

respecto de sus medias, y este

limite es mas pequeño

que los valores de la varianza

encontrados en situaciones

de campo.

La ventaja de este es

que

metodos Monte carlo

no esta sujeto a

las limitaciones de la

perturbación de series,

sin embargo, su solucion

requiere de grandes

recursos computacionales.


El método de Monte Carlo es un método El método de Monte Carlo es un método no deterministico ó estadístico numérico no deterministico ó estadístico numérico usado para aproximar expresiones usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.evaluar con exactitud.


Las características Las características estadísticas del estadísticas del campo de campo de conductividad conductividad hidráulica son hidráulica son conocidas. conocidas.

Por conveniencia Por conveniencia asumimos que el asumimos que el campo es campo es homogéneo, homogéneo, estacionario e estacionario e isótropo. isótropo.

Bajo esta suposición se requiere que la media y la desviación estándar sean constantes en el espacio y que la covarianza en dos lugares dependa solamente de ellas


En la aproximación Monte Carlo, una En la aproximación Monte Carlo, una muestra de valores de conductividad muestra de valores de conductividad hidráulica, una para cada nodo de la malla hidráulica, una para cada nodo de la malla numérica, se dibuja de un conjunto de numérica, se dibuja de un conjunto de valores consistentes con la estadística del valores consistentes con la estadística del campo. A tal conjunto de valores se le campo. A tal conjunto de valores se le

llama una llama una valoraciónvaloración


simulacion modelo numerico valoracion

El valor calculado de la variable de estado El valor calculado de la variable de estado constituye una valoración de la variable de constituye una valoración de la variable de estado del campo aleatorio.estado del campo aleatorio.


El procedimiento se repite para El procedimiento se repite para valoraciones adicionales de la estadística valoraciones adicionales de la estadística de los parámetros del campo y de los de los parámetros del campo y de los registros de las simulaciones de la registros de las simulaciones de la variable de estado. Obteniendo suficientes variable de estado. Obteniendo suficientes valoraciones, la estadística resultante de valoraciones, la estadística resultante de la variable de estado, debe ser la variable de estado, debe ser consistente con la descripción estadística consistente con la descripción estadística del campo del parámetro.del campo del parámetro.


La pregunta que surge La pregunta que surge es, como se puede es, como se puede generar una serie de generar una serie de valoraciones del campo valoraciones del campo de parámetros, en de parámetros, en nuestro caso valores de nuestro caso valores de la conductividad la conductividad hidráulica, que sean hidráulica, que sean consistentes con la consistentes con la estadística del parámetro estadística del parámetro conocido. conocido.

simulación secuencial simulación secuencial gausiana.gausiana.

método turning bandsmétodo turning bands latin hypercube samplinglatin hypercube sampling descomposición LUdescomposición LU

DefinicionesDefiniciones

The popular turning bands method (TBM) The popular turning bands method (TBM) generates realizations of two- or three-generates realizations of two- or three-dimensional Gaussian random fields from dimensional Gaussian random fields from appropriately summed line processes.appropriately summed line processes.

The The statisticalstatistical method of method of Latin hypercube Latin hypercube samplingsampling ( (LHSLHS) was developed to generate a ) was developed to generate a distribution of plausible collections of parameter distribution of plausible collections of parameter values from a values from a multidimensional distributionmultidimensional distribution. The . The sampling methodsampling method is often applied in is often applied in uncertaintyuncertainty analysis.analysis.


Una carga constante de 500m se ubica en el Una carga constante de 500m se ubica en el centro del cuadrado. En cada esquina del centro del cuadrado. En cada esquina del cuadrado se define una carga de 0m. los lados cuadrado se define una carga de 0m. los lados del cuadrado representan fronteras de no-flujo y del cuadrado representan fronteras de no-flujo y no- difusión. La malla consiste de 27 bloques de no- difusión. La malla consiste de 27 bloques de lado donde cada bloque es de 100m X 100m. en lado donde cada bloque es de 100m X 100m. en el centro del cuadrado se localiza una fuente el centro del cuadrado se localiza una fuente constante de concentración 10. el campo de constante de concentración 10. el campo de flujo es tal que el agua con una concentración flujo es tal que el agua con una concentración de 10 entra a través del pozo de inyección en el de 10 entra a través del pozo de inyección en el centro del cuadrado y sale por las esquinas.centro del cuadrado y sale por las esquinas.


La conductividad hidráulica se distribuye La conductividad hidráulica se distribuye logaritmicamente normalizada con una media logaritmicamente normalizada con una media del ln K de 5 y la varianza de 1. la relación para del ln K de 5 y la varianza de 1. la relación para la covarianza esla covarianza es..

22

exp),(cov,cov

y

y

x

xKK K

r

K

rxxrxx

Donde cov es la covarianza de dos puntos separados por una distancia r, rx y ry,es la distancia entre los puntos a lo largo del eje x y del eje y, respectivamente, (100m entre puntos vecinos para este ejemplo), son las correlacionasen las direcciones x y y respectivamente (224m en cada dirección).


El primer paso para resolver este El primer paso para resolver este problema es hacer una valoración del problema es hacer una valoración del campo aleatorio de la conductividad campo aleatorio de la conductividad hidráulica. Para esto, se examina la hidráulica. Para esto, se examina la distribución normal de los valores de ln K.distribución normal de los valores de ln K.


la fuente de tales distribuciones en cada la fuente de tales distribuciones en cada ubicación nodal podría ser obtenida con el ubicación nodal podría ser obtenida con el algoritmo de kriging. En la aproximación algoritmo de kriging. En la aproximación LHS la función de densidad de LHS la función de densidad de probabilidad en cada localización nodal, probabilidad en cada localización nodal, es dividida en áreas iguales. Por tanto la es dividida en áreas iguales. Por tanto la probabilidad de seleccionar un valor de ln probabilidad de seleccionar un valor de ln K es la misma en cada intervalo.K es la misma en cada intervalo.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5 ln Kln Kii

Distribución Distribución lognormallognormal

2

5

1


Supóngase que se harán 10 simulaciones Supóngase que se harán 10 simulaciones monte carlo, de forma tal que se monte carlo, de forma tal que se necesitaran 10 valoraciones del campo necesitaran 10 valoraciones del campo aleatorio, cada una conteniendo cuatro aleatorio, cada una conteniendo cuatro valores de la conductividad hidráulica valores de la conductividad hidráulica ( una para cada uno de los cuatro ( una para cada uno de los cuatro elementos).elementos).


LHS

obtener un valor10 realizaciones tabla 7.4 tabla 7.5 tabla 7.4 ec. 7.128

de 7.23

cov , ,

k l k k l l k k l k l

k k l l

x x x x f x x dx dx

E X X


Posteriormente hágase una Posteriormente hágase una descomposición cholesky tanto descomposición cholesky tanto para R como para R*; esto es, para R como para R*; esto es, obtener los factores Q y Q’ tal obtener los factores Q y Q’ tal que QQ’=R y P P’ tal que que QQ’=R y P P’ tal que PP’=R*. Ahora calcúlese una PP’=R*. Ahora calcúlese una nueva matriz K’=K(PQ-1)’nueva matriz K’=K(PQ-1)’

es, en cierto sentido, una estimación de los valores necesarios para las valoraciones. Su matriz de correlación se muestra en la tabla 7.7. una comparación entre esta matriz de correlación y la matriz de correlación R* prueba que K’ tiene la misma matriz de correlación que la target


Hay dos aspectos a considerar:Hay dos aspectos a considerar:

Esta serie de valores tiene la estructura de Esta serie de valores tiene la estructura de correlación completa.correlación completa.

No así para los valores originalmente mostrados No así para los valores originalmente mostrados para las cuatro distribuciones de probabilidad de para las cuatro distribuciones de probabilidad de los ln Klos ln K..

Para darle la vuelta a este problema re-Para darle la vuelta a este problema re-acomodamos los valores correctos (matriz K ) y acomodamos los valores correctos (matriz K ) y la fabricada (matriz K’) en la forma mostrada en la fabricada (matriz K’) en la forma mostrada en las tablas 7.8 y en 7.9.las tablas 7.8 y en 7.9.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5 Los valores en la Los valores en la

columna etiquetada rank columna etiquetada rank en esta tabla indica la en esta tabla indica la magnitud relativa en los magnitud relativa en los números en la columna números en la columna de la izquierda.de la izquierda.

Por ejemplo en la columna uno el valor mas pequeño es 3.355 y su correspondiente en la columna rango es 1. el valor mas grande en la columna izquierda tiene un valor de 6.935 y su correspondiente en la columna rango es 10.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5Finalmente, re-arreglamos las valoraciones en la matriz K usando los rangos en la matriz K’. en otras palabras, los valores en K se re-arreglan de forma tal que el orden de su rango sea el mismo que el de K’. la nueva matriz D es formada como se muestra en la tabla 7.10.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5Cada fila de la matriz D forma un Cada fila de la matriz D forma un conjunto de valoraciones del LHS. conjunto de valoraciones del LHS. La matriz de correlación de D La matriz de correlación de D formada por el re-acomodo de los formada por el re-acomodo de los valores se muestra en la tabla 7.11. valores se muestra en la tabla 7.11. Es muy parecida a la matriz de

correlación target . Ahora se tiene un conjunto de muestras que tienen los valores correctos de la distribución y casi la correlación correcta.


Para efectuar la simulación montecarlo, Para efectuar la simulación montecarlo, resolveríamos los 4 elementos del problema resolveríamos los 4 elementos del problema de flujo de agua subterránea diez veces, de flujo de agua subterránea diez veces, usando una fila de la matriz D para cada usando una fila de la matriz D para cada simulación. Registraríamos los valores simulación. Registraríamos los valores asociados con cada una de las corridas y de asociados con cada una de las corridas y de cada una de estas calcular la estadística de cada una de estas calcular la estadística de la variable de estado.la variable de estado.


Regresando al Regresando al problema definido en problema definido en la figura 7.22, se la figura 7.22, se muestra en la figura muestra en la figura 7.24 una valoración 7.24 una valoración del campo aleatorio del campo aleatorio para este problema para este problema generado usando la generado usando la técnica LHS.técnica LHS.

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5La solución para los valores de la media de la La solución para los valores de la media de la carga hidráulica se muestran en la figura.carga hidráulica se muestran en la figura.


La varianza de los La varianza de los valores de la carga se valores de la carga se muestran en la figuramuestran en la figura..


Para cada valoración de el ln K se calcula Para cada valoración de el ln K se calcula un valor de la carga del campo. De la un valor de la carga del campo. De la ecuación de Darcy, se calcula una velocidad ecuación de Darcy, se calcula una velocidad del campo. del campo.


La media de la concentración del campo para el La media de la concentración del campo para el problema de los cinco puntos se muestra en la problema de los cinco puntos se muestra en la figurafigura


La varianza respectiva se muestra en la figuraLa varianza respectiva se muestra en la figura

Capitulo 7.7.5Capitulo 7.7.5 Que tan bien funciona el método monte carlo con los distintos Que tan bien funciona el método monte carlo con los distintos

esquemas usados para generar valoraciones? En otras esquemas usados para generar valoraciones? En otras palabras, si se usan los cuatro métodos principales para palabras, si se usan los cuatro métodos principales para valoraciones, cual es la razón de convergencia relativa de la valoraciones, cual es la razón de convergencia relativa de la solución de monte carlo a la solución correcta conforme el solución de monte carlo a la solución correcta conforme el numero de valoraciones se incrementa.numero de valoraciones se incrementa.

A causa de la manera en que el LHS se calculo, no hay A causa de la manera en que el LHS se calculo, no hay errores en el calculo de la media de las valoraciones. Sin errores en el calculo de la media de las valoraciones. Sin embargo, el calculo de la covarianza es mas difícil de obtener embargo, el calculo de la covarianza es mas difícil de obtener de acuerdo a lo visto previamente.de acuerdo a lo visto previamente.

Debido a esto, hay que considerar una comparación de la Debido a esto, hay que considerar una comparación de la covariaza calculada tanto con LHS como con simulación covariaza calculada tanto con LHS como con simulación gausiana.gausiana.


En la figura se muestra una estimación del error entre los valores En la figura se muestra una estimación del error entre los valores calculados y los exactos de la correlación para los dos métodos usando calculados y los exactos de la correlación para los dos métodos usando la raíz media cuadrática del error.la raíz media cuadrática del error.

Se observa que ambos métodos convergen al valor correcto de la solución conforme el numero de valoraciones se incrementa. Sin embargo, en este ultimo ejemplo, el LHS converge mas rápidamente, llegando al valor mas preciso haciendo 800 valoraciones.


Ahora examinemos que tan rápido se aproximan al valor correcto el Ahora examinemos que tan rápido se aproximan al valor correcto el calculo de la covarianza de la concentración obtenido haciendo uso de calculo de la covarianza de la concentración obtenido haciendo uso de la aproximación a la ecuación de flujo y transporte. la aproximación a la ecuación de flujo y transporte.

En este caso no hay solución conocida de forma tal que se hará uso de una solución inexacta como referencia. Se ha elegido como solución después de 900 valoraciones.

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