Sólido de revoluciónSólido de revolución

Introducción .

Un sólido de revolución es una región del espacio generada

por la rotación de una región plana en torno a una recta

(eje de rotación). Estudiaremos a continuación el problema

del volumen determinado por dichas regiones.

1. METODO DE LOS DISCOS

Sea una función continua: en esta sección trateremos el problema de definir el volumen del solido generado por la región R limitada por la curva y=f(x) y las rectas x=a ,x=b e y=0 , al rotar en torno al eje x . Sea una subdivisión arbitraria del intervalo y sean y definidos como:

Entonces como el volumen generado por el rectángulo de base y altura al rotar en torno al eje x es , se tendra que el volumen de todos estos discos está dado por

Por otro lado , si consideramos los discos circunscritos , vemos que el correspondiente volumen es

Por otro lado , como la función f es continua , también lo es ,de modo que la expresión

Existe y es el único número real que cumple con la desigualdad:

Para toda partición P. Es por consiguiente natural definir como volumen del sólido en cuestión

Para poder entender bien estas fórmulas debes saber que éstas se ocupan para calcular el volumen de cualquier función que te den al hacer rotar en cualquier eje que te pidan.

Ahora te diremos los pasos que debes seguir para poder resolver los ejercicios que te daremos más adelante

1.-Debes saber graficar la función dada en el ejercicio

2.-Debes tener claro en que eje te piden hacer rotar la función

3.-Tener una idea de cómo será el volumen pedido

4.-Debes tener en cuenta entre qué intervalos te piden el volumen de la función

5.-Recién ahora puedes aplicar la fórmula

Observación:

Si quieres calcular el volumen generado por la función f(x) cuando rota en torno al eje x y usando esta fórmula debes hacer:

1.-Buscar la función inversa de f(x)2.-Encontrar el dominio de esta nueva función (debes encontrar los nuevos límites de la gráfica)3.-La fórmula quedará de la siguiente manera:

MÉTODO DE LOS ANILLOS

El objetivo de este método es el de hallar una expresión para el volumen del sólido de revolución generado por la región R, pero ahora al rotar en torno al eje y

Supongamos que una función continua y

Una división arbitraria del intervalo consideremos la partición intermedia en donde es el punto medio del subintervalo .Esto es

.

La suma de todos estos anillos corresponde a la suma de Riemann de la función .Por consiguiente se sigue que si la norma de la partición P tiende a cero , la suma de los volúmenes de todos los anillos es necesariamente :

•Consideremos el rectángulo de base y altura .Si hacemos rotar este rectángulo en torno al eje y claramente se forma un anillo cuyo volumen esta dado por :

•Para poder entender bien como se emplea esta fórmula, debes saber que ésta se ocupa para calcular el volumen de cualquier función que te den y al hacerla rotar en cualquier eje que te pidan .

•Ahora te diremos los pasos que debes seguir para poder resolver los ejercicios que te daremos más adelante .

•1.-Debes saber graficar la función dada en el ejercicio•2.-Debes tener claro en que eje te piden hacer rotar la función•3.-Tener una idea de cómo será el volumen pedido

4.-Debes tener en cuenta entre qué intervalos te piden el volumen de la función

•5.-Recién ahora puedes aplicar la fórmula

•Observación :si quieres calcular el volumen de la función f(x) cuando rota en torno al eje x y usando esta formula debes hacer.

•1)buscar la función inversa de f(x)

•2)Encontrar el dominio de esta nueva función (debes encontrar los nuevos límites de la función)

•3)La fórmula estará de la siguiente manera:

•

•EJERCICIOS RESUELTOS (Método de los discos)

•Ejemplo1) Calcule el volumen generado por la función f(x)= entre a=- y b=

•Esta es la gráfica correspondiente a f(x),entre los intervalos mencionados:

•Este gráfico corresponde al sólido generado a f(x):

•Desarrollo .(Por fórmula se tiene que:)

•Ejemplo 2) Calcule el volumen generado por la función

•f(x)= ,limitadas por las cotas,a=1 y b=e

•Ésta es la gráfica f(x).

•El volumen generado por esta gráfica es apróximadamente un cono centrado en el eje x

•DESARROLLO

•Esta integral se puede resolver por el método de integración por parte.

•EJERCICIOS RESUELTOS (Método de los anillos)

•Ejemplo 1)Calcular el volumen que se forma al girar en el eje y la función, , en el intervalo

•Gráfica de la función

•Desarrollo

•Aplicando la formula del método de los anillos tenemos lo siguiente.:

•OBSERVACIÓN :Para resolver este ejemplo por el método de los discos, los rectángulos deben tomarse perpendiculares al eje y .Cada uno sería un disco.Para hallar el radio de este disco habría que resolver x como una función de y.

•Ejemplo2) Calcular el volumen de una esfera de radio 1, para calcular el volumen de esta esfera usaremos el método de los anillos , para la gráfica de una semicircunsferencia que gira en torno al eje x. Ésto es para que se den cuenta que este método no sólo sirve para calcular el volumen de funciones que giran en el eje y

•Gráfica de la función .

•La gráfica para corresponde a lo graficado en el primer cuadrante ,pero lo proyectaremos para así esta gráfica final hacerla rotar en el eje x

•El volumen generado por la semicircunsferencia corresponde a una esfera de radio 1.

•DESARROLLO:

•Es sabido por todos que el volumen de una esfera de radia a es . Si al término de este ejercicio llegamos a este resultado, estaremos en lo correcto.

•Aplicando la formula tenemos lo siguiente :

•Largo del anillo.

•Radio del anillo.

•Haciendo un cambio de variable

•Tenemos lo siguiente

•EJERCICIOS PROPUESTOS.

•B)Halla el volumen generado por la rotación , en torno al eje x , de las regiones encerradas por las curvas :

•A)Demuestre que el volumen de un sector esférico(cono de helado)de radio R y abertura esta dada por

•1)

•2)

•3)

•MÉTODO DE LOS DISCOS.

•MÉTODO DE LOS ANILLOS

•Encuentre el volumen de revolución obtenido al hacer girar en torno al eje y , las regiones cerradas por las curvas indicadas.

•1)

•2)

•3)

•4)

•5)